Метод мора

Метод мора примеры решения задач по сопромату

Метод Максвелла - Мора представляет собой универсальный способ для определения линейных и угловых перемещений в любых плоских и пространственных системах.

  • Напомним основные этапы использования метода Максвелла -Мора.

При отыскании линейного перемещения к системе, освобожденной от заданных нагрузок, в направлении искомого перемещения (в заданной точке) прикладывается безразмерная единичная сила. Аналогично, при определении углового перемещения в сечении, поворот которого требуется найти, прикладывается пара сил (в плоскости искомого поворота) с моментом, равным безразмерной единице.

Строятся эпюры внутренних силовых факторов от заданной нагрузки и единичных воздействий.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по сопротивлению материалов:

Предмет сопротивление материалов (сопромат): формулы и лекции и примеры заданий с решением

Искомое перемещение определяется из выражения:

Метод мора

правую часть, которого называют интегралами Мора, где: Метод мора искомое перемещение (линейное или угловое). Первый индекс указывает номер искомого перемещения Метод мора второй индекс Метод мора указывает причины, вызывающие деформации отдельных элементов системы и как следствие , перемещение Метод мора (индекс Метод мора указывает, что перемещение определяется от заданной нагрузки);

Метод мора аналитические выражения продольной, поперечной сил и изгибающего момента соответственно от единичного и заданного воздействия (единичные и грузовые эпюры внутренних усилий);

Метод мора жесткости поперечных сечений стержня соответственно на растяжение, сдвиг, изгиб;

Метод мора коэффициент отражает неравномерность распределения касательных напряжений по поперечному сечению. Этот коэффициент зависит от формы сечения, например, для прямоугольника Метод мора для круга Метод мора

Направление единичного воздействия выбирается произвольно. Полученный по формуле (2.1) положительный результат указывает на то, что направление искомого перемещения совпадает с принятым направлением единичного воздействия, либо противоположно принятому направлению, если получен отрицательный результат.

В формуле (2.1) каждый интеграл четко выражает вклад соответствующей деформации в искомое перемещение. Обычно учитываются лишь основные виды деформации. В конструкциях работающих на изгиб учитывается влияние изгибающих моментов, а поперечными силами пренебрегают.

В комбинированных системах, где часть стержней работает на растяжение-сжатие, а часть - на изгиб, учитываются обе эти деформации. В фермах, где каждый стержень работает на растяжение -сжатие в формуле (2.1) остается только первый интеграл.

В случаях, когда ось бруса прямолинейна и жесткость поперечного сечения в пределах отдельных участков постоянна, интегралы

Мора, входящие в выражение (2.1) целесообразно вычислять, используя правило Верещагина или формулу Симпсона.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Задачи на эпюры по сопромату построение примеры и решения

Задачи с двутавром по сопромату примеры и решения

Задачи на устойчивость по сопромату примеры и решения

Двухопорная балка по сопромату задачи с примерами и решениями

Пример решения задачи 2.2.

Определить прогиб конца консольной балки (рис. 2.2,а), учитывая лишь деформации, изгиба, жесткость поперечного сечения балки постоянна.
Метод мора

Решение:

Эпюра изгибающих моментов от заданной нагрузки показана на рис. Метод мора

Построим единичную эпюру, для этой цели, сняв с балки заданную нагрузку, приложим к концу консоли (точка Метод мора рис. 2.2 в),

вертикально направленную единичную силу Метод мора , направление

единичной силы выбирается произвольно , например направим ее вниз, т.е. предполагаем , что точка Метод мора переместится вниз по отношению продольной оси балки .

При заданном загружении (рис. 2.2,в), балка имеет один участок Метод мора Единичный изгибающий момент для произвольного сечения Метод мора участка будет равен Метод мора

Подставляя в полученное уравнение прямой координаты начала и конца участка, построим единичную эпюру изгибающих моментов (рис. 2.2, г ).

Для определения прогиба точки Метод мора надо «перемножить» эпюры от заданной нагрузки и от единичной силы. Проделаем это. Балка имеет два участка, Метод мора На участке Метод мора интеграл Мора вычислим по способу Верещагина.

Метод мора

Перемещение положительно, так как обе сопрягаемые эпюры, лежат по одну сторону от базы ( продольной оси бруса ).

На участке Метод мора грузовая эпюра нелинейная и заранее неизвестно, где находится ее центр тяжести, использовать правило Верещагина на этом участке затруднительно. Для вычисления интеграла Мора на участке Метод мора воспользуемся формулой Симпсона. Применяя ее, найдем:

Метод мора

Прогиб сечения Метод мора равняется сумме интегралов Мора на участках Метод мора

Метод мора

Знак плюс прогиба Метод мора указывает на то, что сечение переместится по направлению единичной силы, т.е. вниз.

Пример решения задачи 2.3.

Определить угол поворота сечения Метод мора двухопорной балки с консолью (рис. 2.3,а), учитывая лишь деформации изгиба, жесткость, балки постоянна.

Решение:

Эпюра изгибающих моментов от заданной нагрузки построена ранее в примере, ее вид показан (рис. 2.3, б).

Построим единичную эпюру, для этой цели, сняв с балки заданую нагрузку, приложим в сечении Метод мора единичный момент Метод мора направление единичного момента выбираем произвольно, например по ходу часовой стрелки (рис. 2.3,в).

Балка имеет три участка. Сопряжение эпюр проведем по участкам. На первом участке (участок Метод мора для вычисления угла поворота, используем формулу Симпсона, так как эпюра Метод мора на участке интегрирования нелинейная:

Метод мора

На втором участке (участок Метод мора обе эпюры изгибающих моментов линейны.

Поэтому интеграл Мора на этом участке можно вычислить по формуле трапеций. Применяя ее, найдем:

Метод мора

Полученные выражения отрицательны потому, что знаки ординат «перемножаемых» эпюр Метод мора противоположны. На третьем участке (участок Метод мора интеграл Мора вычислим способом Верещагина:

Метод мора

Получен отрицательный результат потому, что эпюры Метод мора и Метод мора лежат по разные сторону от базы ( продольной оси бруса ). Угол поворота сечения Метод мора равняется сумме интегралов Мора на трех участках ( на участках Метод мора

Метод мора

Полученный знак минус указывает на то, что сечение Метод мора поворачивается в направлении, противоположном направлению единичного момента.

Пример решения задачи 3.1.

Для консольной рамы, рис. 3.1,а, определить вертикальное и горизонтальное перемещение точки Метод мора а также угол поворота узла Метод мора жесткости стержней Метод мора

Решение:

Поскольку при определении перемещений в рамах используется интеграл Мора, содержащий изгибающие моменты, построение эпюр Метод мора не обязательно.

Построим грузовую эпюру изгибающих моментов, её вид показан на рис. 3.1,6.

Для определения вертикального и горизонтального перемещение точки Метод мора в это сечение приложим единичные силы Метод мора и

Метод мора построим единичные эпюры, их вид показан на рисунках

«Перемножим» грузовую и единичные эпюры в пределах длины каждого участка (стержня).

Метод мора

Вертикальное перемещение точки Метод мора

Метод мора

Горизонтальное перемещение точки Метод мора

Метод мора

Анализируя, полученные выражения, устанавливаем, что точка Метод мора перемещается вверх и влево.

Для определения угла поворота узла Метод мора в этот узел приложим единичный момент Метод мора и построим единичную эпюру изгибающих моментов, см. рис. 3.1,д.

«Перемножая» грузовую и единичную эпюры, определим угол поворота узла Метод мора

Метод мора

Сечение поворачивается против хода часовой стрелки.

Пример решения задачи 3.2.

Для шарнирно опертой рамы со стержнями различной жесткости, рис. 3.2,а, определить горизонтальное перемещение точки Метод мора и угол поворота сечения Метод мора

Решение:

Определим опорные реакции от действия заданных нагрузок.

Метод мора

Строим грузовую эпюру изгибающих моментов (рис. 3.2,6).

Метод мора
Приложим в точке Метод мора горизонтальную единичную силу Метод мора а в сечение Метод мора единичный момент Метод мора и построим

единичные эпюры изгибающих моментов, см. рис. 3.2,в,г. «Перемножив» эти эпюры с грузовой эпюрой Метод мора получим:

Метод мора

Точка Метод мора перемещается вправо, а сечение Метод мора поворачивается по ходу часовой стрелки.