Метод максимального правдоподобия

Метод максимального правдоподобия

Метод максимального правдоподобия

Метод максимального правдоподобия

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Решение задач по математике

непрерывная случайная величина с плотностью Вид плотности известен, но неизвестны значения параметров Функцией правдоподобия называется функция (здесь — выборка объема п из распределения случайной величины £). Легко видеть, что функции правдоподобия можно придать вероятностный смысл, а именно: рассмотрим случайный вектор компоненты которого независимые в совокупности одинаково распределенные случайные величины с законом Д(ж).

Тогда элемент вероятности вектора Е имеет вид т.е. функция правдоподобия связана с вероятностью получения фиксированной выборки в последовательности экспериментов П. Основная идея метода правдоподобия состоит в том, что в качестве оценок параметров А предлагается взять такие значения (3), которые доставляют максимум функции правдоподобия при данной фиксированной выборке, т. е. предлагается считать выборку, полученную в эксперименте, наиболее вероятной.

Нахождение оценок параметров pj сводится к решению системы к уравнений (к — число неизвестных параметров): Поскольку функция log L имеет максимум в той же точке, что и функция правдоподобия, то часто систему уравнений правдоподобия (19) записывают в виде В качестве оценок неизвестных параметров Д следует брать решения системы (19) или (20), действительно зависящие от выборки и не являющиеся постоянными.

Вслучае, когда £ дискретна с рядом распределения , функцией правдоподобия называют функцию и оценки ищут как решения системы Метод максимального правдоподобия или эквивалентной ей Можно показать, что оценки максимального правдоподобия обладают свойством состоятельности. Следует отмстить, что метод максимального правдоподобия приводит к более сложным вычислениям, нежели метод моментов, но теоретически он более эффективен, так как оценки максимального правдоподобия меньше уклоняются от истинных значений оцениваемых параметров, чем оценки, полученные по методу моментов.

Для наиболее часто встречающихся в приложениях распределений оценки параметров, полученные по методу моментов и по методу максимального правдоподобия, в большинстве случаев совпадают.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Концентрация ионов в растворе и константа диссоциации
Арифметические операции над сходящимися последовательностями
Поток вектора через незамкнутую поверхность. Теорема Гаусса—Остроградского
Элементарные функции комплексного переменного. Дробно-рациональные функции

Пршир 1. Отклонение ( размера детали от номинала является нормально распределенной случайной личиной. Требуется по выборке определить систематическую ошибку и дисперсию отклонения. М По условию ( — нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием (систематическая ошибка) и дисперсией, подлежащими оценке по выборке объема п: Х\>...уХп. В этом случае Функция правдоподобия Система (19) имеет вид.

Отсюда, исключай решения, не зависящие от Хх, получаем т е. оценки максимального правдоподобия в этом случае совпадают с уже известными нам эмпирическими средним и дисперсией > Пример 2. Оценить по выборке параметр /i экспоненциально распределенной случайной величины. 4 Функция правдоподобия имеет вид Уравнение правдоподобия приводит нас к решению совпадающему с оценкой этого же параметра, полученной по методу моментов, см. (17). ^ Пример 3.

Пользуясь методом максимального

правдоподобия, оценить вероятность появления герба, если при десяти бросаниях монеты герб появился 8 раз. -4 Пусть подлежащая оценке вероятность равна р. Рассмотрим случайную величину ( с рядом распределения . Функция правдоподобия (21) имеет вид Метод максимального Уравнение правдоподобия дает в качестве оценки неизвестной вероятности р частоту появления герба в эксперименте.

Заканчивая обсуждение методов нахождения оценок, подчеркнем, что, даже имея очень большой объем экспериментальных данных, мы все равно не можем указать точного значения оцениваемого параметра, более того, как уже неоднократно отмечалось, получаемые нами оценки близки к истинным значениям оцениваемых параметров только «в среднем» или «в большинстве случаев». Поэтому важной статистической задачей, которую мы рассмотрим далее, является задача определения точности и достоверности проводимого нами оценивания.