Метод кусочно-линейной аппроксимации

Содержание:

  1. Метод гармонического баланса

В соответствии с определением данного метода, расчет нелинейной цепи с его использованием включает в себя в общем случае следующие основные этапы:

  1. Исходная характеристика нелинейного элемента заменяется ломаной линией с конечным числом прямолинейных отрезков.
  2. Для каждого участка ломаной определяются эквивалентные линейные параметры нелинейного элемента и рисуются соответствующие линейные схемы замещения исходной цепи.
  3. Решается линейная задача для каждого отрезка в отдельности.

Метод кусочно-линейной аппроксимации 4. На основании граничных условий определяются временные интервалы движения изображающей точки по каждому прямолинейному участку (границы существования отдельных решений).

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретическим основам электротехники (ТОЭ):

Основы электротехники: формулы и лекции и примеры заданий с решением

Пусть вольт-амперная характеристика (ВАХ) нелинейного резистора имеет форму, представленную на рис. 1. Заменяя ее ломаной линией 4-3-0-1-2-5, получаем приведенные в табл. 1 расчетные эквивалентные схемы замещения и соответствующие им линейные соотношения.

Расчет каждой из полученных линейных схем замещения при наличии в цепи одного нелинейного элемента и произвольного числа

линейных не представляет труда. В этом случае на основании теоремы об активном двухполюснике исходная нелинейная цепь сначала сводится к схеме, содержащей эквивалентный генератор с некоторым линейным внутренним сопротивлением и последовательно с ним включенный нелинейный элемент, после чего производится ее расчет. Если в цепи присутствует источник переменной энергии, рабочая точка (изображение) постоянно скользит по приближенной характеристике и проходит через точку останова. Прохождение через такую точку соответствует мгновенному изменению в эквивалентной схеме. Таким образом, задачей определения искомых переменных является не только расчет эквивалентных цепей, но и нахождение граничных условий в момент «переключения» между ними, т.е. во времени. Анализ очень сложен, когда в цепи присутствуют нелинейные элементы. Главная трудность в этом случае связана с тем, что заранее не известно сочетание линейных участков, соответствующее заданному входному напряжению (току). Искомое сочетание линейных участков всех нелинейных элементов определяется перебором их возможных сочетаний. Для любого принятого сочетания параметры схемы известны, и, следовательно, могут быть определены напряжения и токи для всех элементов. Если они лежат в пределах соответствующих линейных участков, то принятое сочетание дает верный результат. Если хотя бы у одного нелинейного элемента переменные выходят за границы рассматриваемого линейного участка, то следует перейти к другому сочетанию.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Общая характеристика задач и методов расчета магнитных цепей

Нелинейные цепи переменного тока

Переходные процессы в нелинейных цепях. Аналитические методы расчета

Основные термины и определения электротехники

Таблица 1. Кусочно-линейная аппроксимация ВАХ нелинейного резистора

Метод кусочно-линейной аппроксимации Необходимо отметить, что всегда имеется единственное сочетание линейных участков характеристик нелинейных элементов, соответствующее изменению входного сигнала в некоторых пределах.

Метод кусочно-линейной аппроксимации В качестве примера определим напряжение Метод кусочно-линейной аппроксимации в цепи на рис. 2, в которой Метод кусочно-линейной аппроксимации

Метод кусочно-линейной аппроксимации. BAX нелинейного резистора приведена на рис. 3, где Метод кусочно-линейной аппроксимации.

Решение

1. В соответствии с заданной ВАХ нелинейный резистор на участке 1-2 заменяем линейным резистором с сопротивлением

Метод кусочно-линейной аппроксимации на участке 2-3-источником тока с током Метод кусочно-линейной аппроксимации и на участке 4-1-источником тока с током Метод кусочно-линейной аппроксимации.

2. На основании данной эквивалентной замены для тока на участке 1-2 ВАХ можно записать:

Метод кусочно-линейной аппроксимации откуда

Метод кусочно-линейной аппроксимации При движении изображающей точки по участку 2-3 ВАХ имеем

Метод кусочно-линейной аппроксимации при движении по участку 1-4 ВАХ-

Метод кусочно-линейной аппроксимации 3. Определяем интервалы движения изображающей точки по отдельным участкам ВАХ. Для точки излома 1 на основании (1) справедливо уравнение

Метод кусочно-линейной аппроксимации или

Метод кусочно-линейной аппроксимации Отсюда получаем два значения мгновенной фазы питающего напряжения на одном периоде, соответствующих точке 1: Метод кусочно-линейной аппроксимации -Первое значение определяет переход изображающей точки с участка 4-1 на

участок 1-2, второе - с участка 2-1 на участок 1-4.

Аналогично записываем для точки 2 излома ВАХ

Метод кусочно-линейной аппроксимации или

Метод кусочно-линейной аппроксимации откуда Метод кусочно-линейной аппроксимации (значение, соответствующее переходу с участка 1-2 на участок 2-3) и Метод кусочно-линейной аппроксимации (значение, соответствующее переходу с участка 3-2 на участок 2-1).

Таким образом, получаем для одного периода питающего напряжения

Метод кусочно-линейной аппроксимации

Метод кусочно-линейной аппроксимации В соответствии с периодичностью синусоидальной функции данные решения повторяются через 360°п.

На рис. 4 представлен график зависимости искомой величины.

Что такое теоретические основы электротехники (ТОЭ) вы узнаете по этой ссылке:

Метод гармонического баланса

Применение аналитического выражения для аппроксимации характеристики нелинейного элемента позволяет наименее трудоемко провести расчет, когда закон изменения во времени одной из переменных, определяющих работу нелинейного элемента (ток или напряжение для резистора, потокосцепление или ток для катушки индуктивности, заряд или напряжение для конденсатора), задан или вытекает из предварительного анализа физических условий протекания процесса, что имело место при решении предыдущих задач данного раздела. При отсутствии такой определенности в общем случае проблема может быть решена только приблизительно. Одним из таких методов, наиболее широко применимым на практике, является метод гармонического баланса.

Метод основан на разложении периодических функций в ряд Фурье. В общем случае переменные, необходимые для нелинейных электрических цепей, несинусоидальны, включая бесконечный спектр гармоник. Ожидаемое решение может быть выражено в виде суммы основной и некоторых гармоник, но величина и начальная фаза неизвестны. Подставляя эту сумму в нелинейное дифференциальное уравнение, записанное для искомой величины, и приравнивая в полученном выражении коэффициенты перед гармониками (синусоидальными и косинусоидальными функциями) одинаковых частот в его левой и правой частях, приходим к системе из 2п алгебраических уравнений, где n-количество учтенных гармоник. Необходимо отметить, что точное решение требует учета бесконечного числа гармоник, что невозможно осуществить практически. В результате ограничения числа рассматриваемых гармоник точный баланс нарушается, и решение становится приближенным.

Методика расчета нелинейной цепи данным способом включает в себя в общем случае следующие основные этапы:

1. Записываются уравнения состояния цепи для мгновенных значений.

2. Выбирается выражение аналитической аппроксимации заданной нелинейности.

3. На основе предварительного анализа цепи и нелинейной характеристики задается выражение искомой величины в виде конечного ряда гармоник с неизвестными на этом этапе амплитудами Метод кусочно-линейной аппроксимации и начальными фазами Метод кусочно-линейной аппроксимации.

4. Осуществляется подстановка функций, определенных в пунктах 2 и 3, в уравнения состояния с последующей реализацией необходимых тригонометрических преобразований для выделения синусных и косинусных составляющих гармоник.

5. Производится группировка членов в полученных уравнениях по отдельным гармоникам, и на основании приравнивания коэффициентов при однопорядковых гармониках в их левых и правых частях (в отдельности для синусных и косинусных составляющих) записывается система нелинейных алгебраических (или трансцендентных) уравнений относительно искомых амплитуд Метод кусочно-линейной аппроксимации и начальных фаз Метод кусочно-линейной аппроксимации функции разложения определяемой величины.

6. Осуществляется решение (в общем случае численными методами на ЭВМ) полученной системы уравнений относительно Метод кусочно-линейной аппроксимации.

Частным случаем метода гармонического баланса является метод расчета по первым гармоникам несинусоидальных величин (метод гармонической линеаризации), когда высшими гармониками искомых переменных, а также входных воздействий пренебрегают. Анализ использует характеристики нелинейного элемента первой гармоники и заменяет первую гармонику одной из двух переменных, которые определяют эту характеристику, в аналитическое выражение для нелинейной характеристики мгновенного значения. Найдена нелинейная связь между амплитудами одной гармоники. Этапы расчета соответствуют описанным для метода гармонического равновесия. При этом, в силу того, что конечная система нелинейных уравнений имеет второй порядок, в ряде случаев появляется возможность их аналитического решения. Кроме того, поскольку рассматриваются только первые гармоники несинусоидальных величин, при расчете можно использовать символический метод.

Пусть, например, в цепи, питаемой от источника синусоидального напряжения Метод кусочно-линейной аппроксимации и состоящей из последовательно соединенных линейного резистора Метод кусочно-линейной аппроксимации и нелинейной катушки, вебер-амперная характеристика которой задана аппроксимацией вида Метод кусочно-линейной аппроксимации необходимо определить первую гармонику тока, задаваемую выражениемМетод кусочно-линейной аппроксимации где Метод кусочно-линейной аппроксимации - неизвестные (искомые величины).

Для решения определяем аналитическое выражение характеристики Метод кусочно-линейной аппроксимации для первых гармоник:

Метод кусочно-линейной аппроксимации откуда

Метод кусочно-линейной аппроксимации После подстановки выражения тока и соотношения (2) в уравнение состояния цепи

Метод кусочно-линейной аппроксимации получаем

Метод кусочно-линейной аппроксимации или

Метод кусочно-линейной аппроксимации На основании последнего получаем систему уравнений

Метод кусочно-линейной аппроксимации из которых находим искомые параметры Метод кусочно-линейной аппроксимации.