Метод эквивалентного генератора

Метод эквивалентного генератора. Теорема вариаций

Метод эквивалентного генератора, основанный на теореме об активном двухполюснике (называемой также теоремой Гельмгольца-Тевенена), позволяет достаточно просто определить ток в одной (представляющей интерес при анализе) ветви сложной линейной схемы, не находя токи в остальных ветвях. Применение этого метода особенно эффективно, когда необходимо определить текущие значения в ветви для различных значений сопротивления в этой ветви. С другой стороны, остальная часть резисторной цепи, а также ЭДС и ток источника являются постоянными.

Теорема об активном двухполюснике формулируется следующим образом: если активную цепь, к которой присоединена некоторая ветвь, заменить источником с ЭДС, равной напряжению на зажимах разомкнутой ветви, и сопротивлением, равным входному сопротивлению активной цепи, то ток в этой ветви не изменится.
Ход доказательства теоремы иллюстрируют схемы на рис. 1.

Метод эквивалентного генератора
Пусть в схеме выделена некоторая ветвь с сопротивлением 2, а вся оставшаяся цепь обозначена как активный двухполюсник А (рис. 1,а). Разомкнем эту ветвь между точками 1 и 2 (рис. 1,6). На зажимах этой ветви имеет место напряжение Метод эквивалентного генератораТеперь включите источник ЭДС между клеммами 1 и 2 в указанном направлении. В случае рисунка 1с ток равен нулю, как в схеме рисунка 1.6. Для схемы на рисунке 1, сделайте эквивалентную схему на рисунке 1a, другой источник ЭДС должен быть включен в рассматриваемую ветвь, чтобы компенсировать влияние первого источника ЭДС (Рисунок 1г). Будем теперь искать ток Метод эквивалентного генератора по принципу наложения, т.е. как сумму двух составляющих, одна из которых вызывается источниками, входящими в структуру активного двухполюсника, и источником ЭДС Метод эквивалентного генератора, расположенным между зажимами 1 и 2 слева, а другая - источником ЭДС Метод эквивалентного генератора, расположенным между зажимами 1 и 2 справа. Но первая из этих составляющих в соответствии с рис. 1,в равна нулю, а значит, ток Метод эквивалентного генератора определяется второй составляющей, т.е. по схеме на рис. 1,д, в которой активный двухполюсник А заменен пассивным двухполюсником П. Таким образом, теорема доказана.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретическим основам электротехники (ТОЭ):

Основы электротехники: формулы и лекции и примеры заданий с решением

Указанные в теореме ЭДС и сопротивление можно интерпретировать как соответствующие параметры некоторого эквивалентного исходному активному двухполюснику генератора, откуда и произошло название этого метода.

Метод эквивалентного генератора
Таким образом, в соответствии с данной теоремой схему на рис. 2,а, где относительно ветви, ток в которой требуется определить, выделен активный двухполюсник А со структурой любой степени сложности, можно трансформировать в схему на рис. 2,6.

Отсюда ток Метод эквивалентного генератора находится, как:

Метод эквивалентного генератора

где Метод эквивалентного генератора - напряжение на разомкнутых зажимах а-Ь.

Уравнение (1) представляет собой аналитическое выражение метода эквивалентного генератора.

Параметры эквивалентного генератора (активного двухполюсника) могут быть определены экспериментальным или теоретическим путями.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Особенности составления матричных уравнений при наличии индуктивных связей и ветвей с идеальными источниками

Методы расчета, основанные на свойствах линейных цепей

Пассивные четырехполюсники

Электрические фильтры

В первом случае, в частности на постоянном токе, в режиме холостого хода активного двухполюсника замеряют напряжение Метод эквивалентного генератора на его зажимах с помощью вольтметра, которое и равно Метод эквивалентного генератора. Затем закорачивают зажимы а и b активного двухполюсника с помощью амперметра, который показывает ток Метод эквивалентного генератора (см. рис. 2,6). Тогда на основании результатов измерений Метод эквивалентного генератора

В принципе аналогично находятся параметры активного двухполюсника и при синусоидальном токе; только в этом случае необходимо определить комплексные значения Метод эквивалентного генератора

При теоретическом определении параметров эквивалентного генератора их расчет осуществляется в два этапа:

1. Любым из известных методов расчета линейных электрических цепей определяют напряжение на зажимах а-Ь активного двухполюсника при разомкнутой исследуемой ветви.

2. При разомкнутой исследуемой ветви определяется входное сопротивление активного двухполюсника, заменяемого при этом пассивным. Данная замена осуществляется путем устранения из структуры активного двухполюсника всех источников энергии, но при сохранении на их месте их собственных (внутренних) сопротивлений. В случае идеальных источников это соответствует закорачиванию всех источников ЭДС и размыканию всех ветвей с источниками тока.

Сказанное иллюстрируют схемы на рис. 3, где для расчета входного (эквивалентного) сопротивления активного двухполюсника на рис. 3,а последний преобразован в пассивный двухполюсник со структурой на рис. 3,б. Тогда согласно схеме на рис. 3,б

Метод эквивалентного генератора
В качестве примера использования метода эквивалентного генератора для анализа определим зависимость показаний амперметра в схеме на рис. 4 при изменении сопротивления R переменного резистора в диагонали моста в пределах Метод эквивалентного генератора. Параметры цепи Метод эквивалентного генератора

Метод эквивалентного генератора
В соответствии с изложенной выше методикой определения параметров активного двухполюсника для нахождения значения Метод эквивалентного генератора, перейдем к схеме на рис. 5, где напряжение Метод эквивалентного генератора на разомкнутых зажимах 1 и 2 определяет искомую ЭДС Метод эквивалентного генератора. В данной цепи

Метод эквивалентного генератора
Для определения входного сопротивления активного двухполюсника трансформируем его в схему на рис. 6.

Метод эквивалентного генератора
Со стороны зажимов 1-2 данного пассивного двухполюсника его сопротивление равно:

Метод эквивалентного генератора
Таким образом, для показания амперметра в схеме на рис. 4 в соответствии с (1) можно записать

Метод эквивалентного генератора
Задаваясь значениями R в пределах его изменения, на основании (2) получаем кривую на рис.7.

В качестве примера использования метода эквивалентного генератора для анализа цепи при синусоидальном питании определим, при каком значении нагрузочного сопротивления Метод эквивалентного генератора в цепи на рис. 8 в нем будет выделяться максимальная мощность, и чему она будет равна.

Метод эквивалентного генератора
Параметры цепи: Метод эквивалентного генератора

В соответствии с теоремой об активном двухполюснике обведенная пунктиром на рис. 8 часть схемы заменяется эквивалентным генератором с параметрами

Метод эквивалентного генератора
В соответствии с (1) для тока Метод эквивалентного генератора через Метод эквивалентного генератора можно записать

Метод эквивалентного генератора

откуда для модуля этого тока имеем

Метод эквивалентного генератора
Анализ полученного выражения (з) показывает, что ток I, а следовательно, и мощность будут максимальны, если Метод эквивалентного генератора; откуда Метод эквивалентного генератора, причем знак "-” показывает, что нагрузка Метод эквивалентного генератора имеет емкостный характер.

Таким образом,

Метод эквивалентного генератора
Данные соотношения аналогичны соответствующим выражениям в цепи постоянного тока, для которой, как известно, максимальная мощность на нагрузке выделяется в режиме согласованной нагрузки, условие которого Метод эквивалентного генератора

Таким образом, искомые значения Метод эквивалентного генератора и максимальной мощности: Метод эквивалентного генератора

Что такое теоретические основы электротехники (ТОЭ) вы узнаете по этой ссылке:

Теорема вариаций

Теорема вариаций применяется в тех случаях, когда требуется рассчитать, насколько изменятся токи или напряжения в ветвях схемы, если в одной из ветвей этой схемы изменилось сопротивление.

Выделим на рис. 9,а некоторые ветви стоками Метод эквивалентного генератора, а остальную часть схемы обозначим активным четырехполюсником А. При этом, полагаем что проводимости Метод эквивалентного генератора известны.

Метод эквивалентного генератора
Пусть сопротивление n-й ветви изменилось на Метод эквивалентного генератора. В результате этого токи в ветвях схемы будут соответственно равны Метод эквивалентного генератора (рис. 9,6). На основании принципа компенсации заменим Метод эквивалентного генератора источником с ЭДС Метод эквивалентного генератора. Тогда в соответствии с принципом наложения можно считать, что приращения токов Метод эквивалентного генератора и Метод эквивалентного генератора вызваны Метод эквивалентного генератора в схеме на рис. 9,в, в которой активный четырехполюсник А заменен на пассивный П.

Для этой цели можно записать

Метод эквивалентного генератора

откуда

Метод эквивалентного генератора
Полученные соотношения позволяют определить изменения токов в m-й и n-й ветвях, вызванные изменением сопротивления в n-й ветви.