Матрица перехода

Содержание:

1. Пример с решением

Пусть и — два различных базиса линейного пространства .

Матрица , столбцы которой равны координатам векторов в базисе называется матрицей перехода от базиса к базису Тогда

Определитель матрицы перехода отличен от нуля:

Пример с решением

Пример 183.

Определим матрицу перехода от базиса к базису

Справа от матрицы указываются векторы и регистрируются проводимые преобразования матрицы.

Нулевым строкам ступенчатого вида матрицы соответствуют равенства Отсюда и

Получено разложение векторов и по базису . Записав коэффициенты этого разложения в виде столбцов матрицы, получим матрицу перехода . Тогда

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Мы ограничимся далее изложением простейших фактов для однородных цепей Маркова, в которых условная вероятность появления события в -м испытании при условии, что в -м испытании осуществилось событие не зависит от номера испытания. Мы назовем эту вероятность вероятностью перехода и обозначим буквой ; в этом обозначении первый индекс всегда будет обозначать результат предшествующего испытания, а второй индекс указывает, в какое состояние перейдет система в последующий момент времени.

Полная вероятностная картина возможных изменений, осуществляющихся при переходе от одного испытания непосредственно к следующему, задается матрицей

составленной из вероятностей перехода, которую мы будем называть матрицей перехода.

Отметим, каким условиям должны удовлетворять элементы этой матрицы. Прежде всего, они, как вероятности, должны быть неотрицательными числами, т.е. при всех и

Далее из того, что при переходе из состояний в -м испытании

система обязательно переходит в одно и только в одно из состояний в -м испытании, вытекает равенство

Таким образом, сумма элементов в каждой строке матрицы перехода равна единице.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Наша первая задача в теории цепей Маркова состоит в определении вероятности перехода из состояния в -м испытании в состояние через испытаний. Обозначим эту вероятность знаком

Рассмотрим какое-нибудь промежуточное испытание с номером . В этом испытании осуществится какое-то одно из возможных событий . Вероятность такого перехода, согласно с только что введенными обозначениями, равна . Вероятность же перехода из состояния в состояние равна . По формуле полной вероятности

Обозначим через матрицу перехода через п испытаний

Согласно (1) между матрицами с различными индексами существует соотношение

В частности, при находим, что

при

и вообще при любом

Отметим частный случай формулы (1): при