Логические символы. Логические высказывания

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

дальнейшем изложении для сокращения записи и для упрощения построения определений мы будем пользоваться некоторыми логическими символами и отношениями. Квантор существования 3 соответствует словам «существует», «существуют», «найдется». Квантор общности V соответствует словам «для всякого», «для любого», «для каждого», «для всех». Будем называть высказыванием всякое повествовательное предложение, в отношении которого и мест смысл утверждать, истинно оно или ложно.

Например, высказываниями являются предложения «Математика есть наука», «2 меньше 3», «6 есть простое число». Напротив, предложения «Закройте дверь», «Сколько Вам лет?» не являются высказываниями. Условимся обозначать высказывания буквами а, /3, 7 и т.д. Импликация а => /3 (читается «если а, то /3» или «а влечет за собой /3») означает высказывание, которое ложно в том и только в том случае, когда а истинно, a /3 ложно. Соотношение «если а, то /3» не следует понимать как отношение основания и следствия.

Напротив, высказывание а /Зистинновсякийраз, когда а есть ложное высказывание. Иными словами, из неверного суждения следует любое суждение: если 2x2=5, то существуют ведьмы. Эквиваленция а <=> /3 («а тогда и только тогда, когда /3») означает логическую равносильность высказываний а и /3. Конъюнкция а л/3 означает высказывание, составленное из высказываний а и /3 при помощи союза «и» (читается «а и /3»). Конъюнкция а л /3 считается истинный высказыванием тогда и только тогда, когда оба высказывания а и /3 истинны.

Дизъюнкция а v/З означает высказывание, образованное из высказываний а и /3 при помощи союза «или» (читается «а или /3»). Дизъюнкция aV/З считается истинным высказыванием тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно изданных высказываний. Отрицание. Пусть а — некоторое высказывание. Высказывание а называют отрицанием высказывания а (читается «а с чертой» или «не а»). Высказывание а истинно, если а ложно и, наоборот, ложно, если а истинно. Логические символы.

Логические высказывания Необходимое и достаточное условия Метод математической индукции Принцип математической индукции. Геометрический смысл предела последовательности критерий Коши Отрицание некоторогосвойства, содержащего кванторы V, 3 и свойство Л, получается заменой каждого квантора на двойственный (т. е. квантора общности на квантор существования и наоборот) и заменой свойства А на его отрицание А. При этом, если /3 => 7, то /3 => 7 о /3 л 7. Необходимое и достаточное условия Пусть р — некоторое высказывание. Всякое высказывание а, из которого следует р, называется достаточным условием для р.

Всякое высказывание а, которое вытекает из р, называется необходимым условием для р. Например, пусть высказывания а и р таковы: а: «число х равно нулю»; р\ «произведение ху равно нулю». Тогда а является достаточным условием для р. Действительно, для того, чтобы произведение ху равнялось нулю, достаточно, чтобы число х было равно нулю. Для того, чтобы х было равно нулю, необходимо, чтобы произведение ху было равно нулю. Однако, р не является достаточным для а: из того, что произведение ху равно нулю, не вытекает, что обязательно число х равно нулю.

Теорему: «если истинно высказывание а, то истинно высказывание р*, можно запи-сатьтак: а р и выразить любой из следующих формулировок: «а является достаточным условием для р*\ «р является необходимым условием для а». Если высказывания аир таковы, что из каждого из них вытекает другое, т.е. а => р и р => а, то говорят, что каждое из высказываний а и р является необходимым и достаточным условием для другого и пишут р.

Другие употребительные формулировки: 1) для справедливости а необходимо и достаточно, чтобы имело место р\ 2) а имеет место в том и только в том случае, если выполняется р; 3) а истинно тогда и только тогда, когда истинно р. 5.2. Метод математической индукции Многочисленные примеры убеждают нас в том, что некоторое утверждение может быть справедливо в целом ряде частных случаев и в то же время быть несправедливым вообще. Вот один из таких примеров.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Аминокислоты для чего нужны? Свойства!

Дифференцирование суммы, произведения и частного

Фундаментальная система циклов

Винтовые поверхности и изделия с резьбой. Резьба, резьбовые изделия

Подставляя в выражение 991 п2 + 1 вместо п последовательные натуральныечисла 1, 2, 3,..., 1010, мы будем получать числа, не являющиеся полными квадратами.

Однако делать отсюда вывод, что все числа такого вида не являются квадратами, было бы преждевременным: существуют п, при которых число 991п2+ 1 есть полный квадрат. Вот наименьшее из таких значений п: 12055735790331359447442538767. Поэтому естественно возникает следующий вопрос. Имеется утверждение а, зависящее от натурального параметра (числа) п и справедливое в нескольких частных случаях. Как узнать справедливо ли это утверждение вообще (при всех значениях параметра п)?

Этот вопрос иногда удается решить методом математической индукции (полной индукции). В основе этого метода лежит принцип математической индукции, заключающийся в следующем. Принцип математической индукции. Если 1) утверждение а(п) справедливо для п = 1; 2) из справедливости утверждения а(п) для какого-либо натурального числа п = к следует его справедливость для п = к + \, то утверждение сх(п) справедливо для всякого натурального п.

Этот принцип принимают в качестве основного положения математического мышления. В качестве его применения установим одно неравенство, называемое неравенством Бернулли: если h > -1, то В самом деле, неравенство (*) верно для п = 1. Допустим, что оно доказано для некоторого натурального п = т > 1, т. е. и покажем, что оно справедливо при n = га 4- 1. Умножим обе части последнего неравенства на 1 + h > 0. Имеем Отбрасывая справа неотрицательное слагаемое rnh2, получим т. е. неравенство оказывается верным и для га + 1.

Следовательно, согласно принципу математической индукции, неравенство (*) вернодля всякого натурального числа п. §6. Числовая последовательность и ее предел Если каждому натуральному числу п по некоторому закону поставлено в соответствие определенное действительное число ап,то говорят, что задана числовая последовательность Числа называются членами последовательности; ап называют общим членом последовательности.

Он содержит закон образования членов последовательности. Ради сокращения записи последовательность будем обозначать Примеры последовательностей: Введем важное понятие предела числовой последовательности. Число А называется пределом числовой последовательности {а„}, если для любого как угодно малого Не следует путать последовательность {а„} с множеством {ап}. Так. например, последовательность ..в то время как множество {5} состоит из одною элемента 5. положительного числа е существует номер N такой, что все члены последовательности ап с номерами п > N удовлетворяют неравенству Обозначения:

С помощью логических символов определение предела последовательности {ап} выражается следующим образом: Геометрический смысл предела последовательности Изобразим члены последовательности , {ап} точками числовой оси (рис.5).Неравенство | равносиль- Рис 5 ноедвойномунеравенству А е, означает, что точка ап находится в £-окрестности точки А.

Таким образом, число А есть предел

последовательности {ап}, если какова бы ни была е-окрсстность точки А, найдется такой номер N, что все точки ап с номерами п > N будут содержаться в этой окрестности точки А, т. е. в интервале (Л - е, А + е); вне этого интервала может оказаться лишь конечное множество точек данной последовательности. Определение. Последовательность {ап} называется сходящейся, если она имеет (конечный) предел, и расходящейся, если она предела не имеет.

Номер N в определении понятия предела, вообще говоря, зависит от е: N = N(e). Так, вприведенномпримереприе = 0,1 в качестве jV можно взять число 10 (или любое большее), а при е — 0,01 в качестве N следует брать число, не меньшее, чем 100. Замечание. Номер ЛГ, фигурирующий в определении понятия предела последовательности, определяется заданием числа е неоднозначно в следующем смысле: если неравенство (I) выполнено при всех п > N|, то оно выполнено и при n > JV2, где ЛГ2 > ЛГ|.

Как правило, не возникает необходимости искать среди этих номеров наименьший. Сформулируем теорему, которая дает необходимое и достаточное условие существования предела последовательности. Теорема 2 (критерий Коши). Для сходимости последовательности необходимо и достаточно, чтобы для любого чиыа е > 0 существовал номер N такой, что для всех п> N и всех то > N было бы верно неравенство Последовательность {ап}, удовлетворяющая условию Коши, называется фундаментальной.

Теорема 3 (единственность предела последовательности). Последовательность {а*} не может иметь двух различных пределов. м Пусть последовательность ет пределом число А. Докажем, что А В тогда никакое число В Ф А не может Рис 6 быть пределом {а„}. Для этой цели возьмем ^-окрестности точек А и В столь малыми, чтобы они не пересекались, например, возьмем Так как lim ап = А, то вне интервала , в частности, в интервале {В - , В + е) может располагаться лишь конечное числоточек из последовательности {а,,}.

Поэтому число В и не может быть пределом последовательности {ап}. Определение. Последовательность {ап} называется ограниченной сверху, если существует число М такое, что Пример. Последовательность ограничена сверху: любой член этой последовательности меньше нуля. Определение. Последовательность {а„} называется ограниченной снизу, если существует число то такое, что Пример. Последовательность ограничена снизу: любой член этой последовательности не меньше единицы.

Определение. Последовательность {ап} называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу, т. е. если существуют числа т и М такие, что Геометрически это означает, что все точки, изображающие члены последовательности {ап}, лежат на отрезке [тп, М]. Пример. Последовательность с общим членом а„ = ограничена: при всяком п имеем Иногда бывает удобнее другое, равносильное определение. Определение. Последовательность {ап} называется ограниченной, если существуют число такое, что для любого п выполнено неравенство Логические символы.

Логические высказывания Необходимое и достаточное условия Метод математической индукции Принцип математической индукции. Геометрический смысл предела последовательности критерий Коши Сформулируем определение ограниченности последовательности с помощью логических символов: (последовательность ограничена) Определение неограниченной последовательности получаем из предыдущего заменой квантора существования на квантор общности, квантора общности на квантор существования и обращения неравенства: (последовательность {ап} неограничена) Пример.

Последовательность {2П} — неограниченная. Каково бы ни было число К 0, найдется п такое, что 2п > К, именно п > log2 К. Тем самым, последовательность {24} неограничена. Определение. Последовательность {ап} называется бесконечно большой, если для любого как угодно большого числа М > 0 существует номер N такой, что . Мы пишем в этом случае, что Если последовательность {а„} такова, что (соответственно, ап , то эту последовательность также называют бесконечно большой и пишут (соответственно, Любая бесконечно большая последовательность является неограниченной. Напротив, неограниченная последовательность {а„} может и не быть бесконечно большой.

Такова, например, последовательность {nsinn^}. Теорема 4 (об ограниченности сходящейся последовательности). Всякая сходящаяся последовательность ограничена, т. е. существуют числа т и М такие, что для всех членов данной nociedoeamejibnocmu. Возьмем какое угодно. Тогда найдется такой номер что все члены номерами Рис будут содержаться в интервале (А-е, А+е),а вне этого интервала могут оказаться только точки (рис. 7). Последнихконечное м ножество.

Поэтому среди нихестьсамая левая точка а_, и самая правая точка а+. Обозначим через m меньшее из двух чисел а_ и А-е: а через — большее из чисел Тогда на отрезке будут находиться точки , а также интервал ( е), содержащий все точки ап с номерами Следовательно, отрезок [m, М] будет содержать все члены данной последовательности {an}, что и означает ее ограниченность. Из теоремы 4 следует, что необходимым условием сходимости последовательности является ее ограниченность. Однако для сходимости последовательности условие ограниченности достаточным не является. Пример.

Ограниченная последовательность расходится. * Предположим противное, т.е. что последовательность (3) имеет предел, равный числу А. Тогда для любого с > 0, в частности, для е = j. должно найтись натуральное число N такое, что Поскольку члены последовательности (3) равны то единице, то нулю, будут выполняться неравенства откуда легко вытекает, что Полученное противоречие свидетельствует о том, что наше допущение о сходимости последовательности (3) неверно. Значит, последовательность (3) предела не имеет, т. е. расходится.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Статические моменты площади сечения