Линейные (векторные) n - мерные пространства

Содержание:

1. n-мерный вектор и векторное пространство
2. Линейные (векторные) n - мерные пространства
3. Линейные операции над n - измеримыми векторами
4. Скалярное произведение двух векторов
5. Линейная зависимость и независимость векторов
6. Базис n -мерного пространства. Разложение вектора по базису
7. Переход к новому базису. Нахождение базисных решений системы линейных алгебраических уравнений
8. Однородная система уравнений. Особенности решения

n-мерный вектор и векторное пространство

Множество всех векторов, которые мы рассматривали на плоскости или в пространстве и для которых определены операции сложения векторов, умножение вектора на число являются простыми примерами векторного пространства.

Определение 1. Упорядоченное множество n действительных чисел, записанных в виде (a₁, a₂, a₃, ..., a_n) называется n- мерным вектором. Числа a₁, a₂, a₃, ..., a_n называются координатами вектора , то есть  =  (a₁, a₂, a₃, ..., a_n).
Понятие n-мерного вектора широко используется в экономике, например, некоторый набор товаров можно охарактеризовать вектором  =  (a₁, a₂, a₃, ..., a_n), а соответственно цены — вектором   = (b₁, b₂, b₃, ..., b_n). 

Если у n-мерного вектора одна координата равна единице, а все остальные равны нулю, то такой вектор называется единичным. Очевидно, что существует n различных единичных векторов

исходящих из начала координат — точки О. Все определения и действия для двумерных и трехмерных векторов, заданных в координатной форме, распространяются и на n-мерные векторы (n ≥ 4).

Два  n-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда их соответствующие компоненты равны.

Вектор  = (a₁, a₂, a₃, ..., a_n)  и вектор   = (b₁, b₂, b₃, ..., b_n) равны, когда a_i = b_i (i = 1, 2, 3, ..., n).

Суммой двух n-мерных векторов   и   есть третий n-мерный вектор  ,  координаты которого равны сумме соответствующих одноименных координат векторов    и  , то есть с_i = a_i + b_i (i = 1, 2, 3, ..., n).

Произведением вектора  на действительное число λ называется вектор , координаты которого d_i равны произведению числа λ на соответствующие координаты вектора  , то есть d_i = λa_i (i = 1, 2, 3, ..., n).
Вектор, у которого все координаты равны нулю, называется нулевым вектором и обозначается

Операции над произвольными векторами удовлетворяют свойствам:
1.   — переместительный закон;
2.  — сочетательный закон;
3.  — сочетательный закон, относительно числового множителя;
4. — распределительный закон относительно суммы векторов;
5.  — распределительный закон относительно суммы числовых множителей.
6. Существует нулевой вектор , такой, что  для произвольного вектора  ;
7. Для произвольного вектора    существует противоположный вектор , такой, что

8.  , для любого вектора   (особая роль числового множителя 1).

Определение. Множество векторов с действительными координатами, в
котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющие выше приведенным восьми свойствам, называется векторным пространством.

Замечания. Если под векторами    и   можно рассматривать элементы произвольной природы, то соответствующее множество элементов называется линейным пространством.

Линейным пространством, например, множество всех алгебраических многочленов, степени которых не превышают натуральное число n. Если множество всех многочленов точно равно натуральному числу n, то не будет линейным пространством, потому что сумма двух многочленов может оказаться многочленом, степень которого меньше n.

Линейные (векторные) n - мерные пространства

Линейные -мерные пространства: основные определения:

В школьном курсе математики понятие вектора обозначалось как направленный отрезок. Положение (расположение) вектора на прямой плоскости  или в пространстве описывалось соответственно одним, двумя, тремя числами - координатами вектора. 

Математический подход к изучению различных явлений (процессов) окружающего мира, в том, числе и экономических, требует обобщения понятия вектора, связано с увеличением количества его координат. Такое обобщение не подразумевает геометрической интерnретации, но является удобным для математического моделирования.

Вектором размерности , или -мерных вектором , называется совокупность вещественных чисел  упорядоченных по номеру , а числа - его координатами. Обозначают п-мерные векторы маленькой буквой латинского алфавита с значком вектора - чертой - сверху, или выделяют ее жирным шрифтом, а координаты вектора записывают в круглых скобках в столбец или в строку:

Согласно определению -измеримый вектор можно рассматривать как матрицу-столбец размера , или как матрицу-строку размера  и, наоборот  названные матрицы - рассматривать как векторы. Итак, для -мерных векторов остаются в силе введенные для матриц определения и действия над матрицами.

Нулевым вектором , или ноль-вектором, называется -мерный вектор, все координаты которого равны нулю: 

Два вектора  и  одной размерности называются равными, если совпадают их координаты с одинаковыми индексами: 

Линейные операции над n - измеримыми векторами

1. Суммой -мерных векторов  и  называется вектор  той самой размерности, каждая координата которого определяется как сумма координат векторов-слагаемых, имеющих одинаковые индексы:

Следовательно: 

Следствие. Для любого вектора имеем: 

2. Произведением вектора со скаляром называется вектор , каждая координата которого является произведением координаты вектора с постоянной :

Следствие. Если  и скаляр  Для любого вектора  и скаляра  имеем: 

Векторы  и  называются противоположными друг другу, или взаимно противоположными, если иx соответствующие координаты отличаются множителем , то есть 

Суммой взаимно противоположных векторов есть нулевой вектор той же размерности.

Разность векторов  и  рассматривают как сумму вектора  и вектора , противоположного вектору 

Векторы  называются коллинеарными, если для любого  выполняется равенство . Согласно определению координаты коллинеарных векторов, имеют одинаковые индексы, пропорциональные: 

 где  или 

Если  то геометрически это означает, что векторы лежат на одной
прямой или на параллельных прямых.

В частном случае, когда , получаем равные векторы. Результатом выполнения линейных операций над -мерными векторами являются векторы той же размерности, что и выходные векторы. Как и действия над матрицами, линейные операции над векторами подчиняются ассоциативном (связующем), коммутативной (переставной) и дистрибутивному (распределительном) законам: 

где  -мерные векторы; - стали. 

Совокупность всех -мерных векторов с действительными координатами, для которых определены линейные операции (4.3) - (4.4), называется -мерных (линейными) векторным пространством и обозначается .

Скалярное произведение двух векторов

Аналогично тому, как рассматривался произведение матриц вводят понятие скалярного произведения векторов -мерного линейного пространства.  Напомним, что условием существования произведения матриц является равенство количества столбцов первой матрицы и количества строк дpyгoй матрицы. Это требование выполняется, если рассматривать произведение вектора строки на вектор-столбец , принадлежащих пространству одной размерности.

Скалярным произведением двух -мерных векторов называется число, равное сумме произведений иx одинаковых по номеру координат, и обозначается символом

Действие умножения для получения скалярного произведения обозначают точкой между векторами: 

Произведение называют скалярным квадратом вектора. 

На основе скалярного произведения приведем определение понятий, которые вводились для векторов размерностью , а именно длина вектора и угол между двумя векторами.

Длиной  или модулем, -мерного вектора называется арифметический квадратный корень из его скалярного квадрата: 

то есть 

Единичным -мерным вектором, или ортом, называется вектор , коллинеарной заданном вектора , длина которого равна единице: 

Возведение любого ненулевого вектора к единичному называется его нормированием.

Среди единичных векторов выделяют векторы, для которых одна из координат равна единице, а все остальные - нулю. Такие векторы обозначают маленькой буквой  с индексом, что указывает на номер координаты, равной единице. В пространстве существует различных -мерных единичных векторов:

В частности, в трехмерном пространстве эти векторы называются ортами координатных осей, они имеют собственные обозначения:

Кутом между двумя векторами и называется кут , который определяется соотношением: 

Согласно (4.9) скалярное произведение можно рассматривать как общую числовую характеристику двух векторов. 

Свойства скалярного произведения:

Линейное пространство, для которого определено скалярное произведение векторов со свойствами (4.10), называется евклидовым пространством.

В тeopии линейных пространств любое множество векторов одинаковой размерности называется системой векторов.

Пусть имеем систему, которая состоит из векторов, принадлежащих пространства . (Измеримость пространства обозначено через  в отличие от обозначения через количества векторов системы.) Систему векторов, имеющих размерность , можно рассматривать как матрицу размером , столбцами которой являются -мерные векторы, и наоборот:

С помощью этой системы векторов систему линейных алгебраических уравнений с неизвестными можно представить в вeктopний форме:

или кратко:

Действительно, если по правилам сложения векторов и умножения на скаляр умножить каждый вектор по координатам на а затем записать сумму результатов и приравнять координаты полученных векторов в левой и правой частях, то придем к системе линейных алгебраических уравнений ( 1.6). Решением такой системы будет -мерный вектор 

Замечания. На основе тeopии -мерных линейных пространств можно построить всю теорию матриц, в частности матричную алгебру, теорию систем линейных алгебраических уравнений и др. Поэтому линейной алгеброй, основы которой мы рассматриваем, называют раздел математики, объектом изучения которого являются линейные (векторные) пространства, а предметом - разработка соответствующих алгебраических методов для установления свойств пространств в целом и иx элементов в частности.

Линейная зависимость и независимость векторов

Пусть имеется система векторов , принадлежащие пространству  и действительные числа (скаляры) . Произвольное -мерный вектор , называют линейной комбинацией векторов системы, если его можно представить в виде суммы произведений чисел на вектор и :

Векторы называются линейно зависимыми, если хотя бы один из векторов системы является линейной комбинацией других. В противном случае, когда в системе векторов нет ни одного, который был бы линейной комбинацией других, векторы называются линейно независимыми.

Теорема 4.1 (про линейную зависимость системы векторов). Если среди чисел , где , не все равны нулю, и выполняется равенство

то система векторов  является линейно зависимой.

Доказательство. Пусть в равенстве (4.14) среди чисел существуют числа, отличающиеся от нуля. Выберем одно из них, неважно какое. Пусть этим числом будет . Умножим левую и правую части равенства (4.14) на 

Отсюда получаем: 

а согласно (4.13) это означает, что система векторов является линейно зависимой, поскольку вектор  является линейной комбинацией других векторов системы.

Последствие из теоремы 4.1 (о линейной независимости системы векторов).

Система векторов есть линейно независимой, если векторное равенство 

выполняется только в случае   (все числа равны нулю).

Доказательство. Предположим, что система векторов линейно независима, и при этом существуют , где . Тогда из теоремы 4.1 получим линейную зависимость системы векторов, которая противоречит условию.

Одной из основных задач теории линейных пространств является задача исследования системы векторов на линейную независимость, то есть выяснения вопрос о том, какова есть заданная система векторов - линейно зависимой или линейно независимой.

Решение этой задачи сводится к решению систем линейных уравнений.

Запишем равенство (4.14) в координатной форме:

выполним умножение векторов системы на скаляры найдем сумму полученных произведений и приравняем координаты векторов левой и правой частей равенства, что дает систему однородных линейных уравнений относительно постоянных :

По следствием из теоремы 4.1 система векторов линейно независимая, если система однородных уравнений (4.15) имеет только тривиальное решение: Если ранг основной матрицы системы равен числу неизвестных , то для этого необходимо и достаточно, чтобы ее определитель не равнялся нулю.

Проведем исследование на линейную независимость системы векторов:

Запишем векторное равенство:

Отсюда получаем систему уравнений:

Вычислим определитель основной матрицы системы:

Поскольку , однородная система линейных уравнений относительно коэффициентов имеет множество решений.

Преобразование основной матрицы системы по методу Жордана-Гаусса позволяет определить количество линейно независимых векторов в заданной системе векторов:

Ранг матрицы системы меньше количества векторов, поэтому система содержит только два линейно независимых вектора. По последнему преобразованию имеем:

Подставляя найденные коэффициенты в векторное равенство (4.14), получим

Таким образом, векторы и  является линейно зависимыми и любой из них можно представить в виде линейной комбинации двух других. Например, разделив последнее равенство на , определим вектор ; как линейную комбинацию векторов и :

В линейной алгебре широко применяется система п единичных векторов пространства , из которых согласно (4.11) можно образовать единичную матрицу -го порядка. Поскольку для любого определитель такой матрицы не равен нулю, то для пространства любой размерности система таких единичных векторов линейно независимой.

Рассмотрим питания о наибольшее количество векторов, которое может содержать линейно независимая система -мерных векторов.

Выберем из пространства произвольным образом систему векторов:

запишем векторное равенство

и соответствующую ей однородную линейную систему уравнений с неизвестными

Для ответа на поставленный вопрос будем исходить из сравнения количества векторов системы  с размерностью пространства , учитывая иx соотношение с рангом матрицы.

1. Если количество векторов больше измеримости пространства , то ранг основной матрицы однородной системы уравнений не будет превышать количество строк, а значит и количество неизвестных . В этом случае система имеет множество решений, среди которых есть и нетривиальные, то есть среди чисел существуют отличающиеся от нуля. Итак, по теореме 4.1 такая система векторов линейно зависима.

2. Если количество векторов равно размерности пространства , то такой системе уравнений соответствует квадратная основная матрица -го порядка. Система векторов будет линейно независимой, если определитель системы уравнений отличается от нуля .

Из проведенного анализа следует, что наибольшее количество линейно независимых векторов равно размерности линейного пространства.

Базис n -мерного пространства. Разложение вектора по базису

Понятие базис (от греч. basis - основа) является одним из фундаментальных понятий теории векторных пространств. Любая система линейно независимых -мерных векторов называется базисом линейного пространства . Определитель, состоящий из координат векторов базиса отличается от нуля, так как совокупность векторов содержит линейно независимых векторов и любой другой вектор является линейной комбинацией базисных векторов.

Теорема 4.2 (о разложении -мерного вектора по базису).

Произвольный вектор  с  можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса и к тому же единственным способом.

Доказательство. Согласно определению линейной комбинации системы векторов (4.13) надо показать существование единого набора цифр , таких, что сумма произведений этих цифр с векторами базиса дает вектор :

Представим векторы  и вектор  через их координаты:

и запишем соответствующую систему линейных уравнений:

Поскольку определитель основной матрицы системы отличается от нуля (по условию векторы образуют базис пространства), то система уравнений совместима и имеет единственное решение, которым является набор чисел

Представление вектора в виде линейной комбинации векторов базиса (4 16) называется разложением вектора по базису, а числа коэффициентами разложения, или координатами вектора по этому базису.

Система -мерных единичных векторов называется единичным базисом . Единичный базис является частным случаем так называемых ортогональных базисов, то есть таких базисов, что скалярное произведение любых двух векторов с базиса равно нулю: Ортогональный базис из нормированных векторов называется ортонормированным.

Запись -мерного вектора в виде , то есть представление его в координатные форме, можно рассматривать как разложение вектора за ортонормированным базисом.

Определение базиса пространства и разложения вектора по базису можно выполнять одновременно, аналогично тому, как выбор базисных неизвестных и нахождения решений СЛАУ осуществляли при применении методов Гаусса и Жордана-Гаусса.

Осуществить разложение вектора  по векторам 

 если они образуют базис.

Для решения задачи представим вектор как линейную комбинацию векторов  и :

где  неизвестные коэффициенты разложения, или координаты вектора при условии, что вектор и образуют базис.

Представим векторы  и вектор через координаты и получим систему уравнений относительно координат вектора :

Проверку на линейную независимость векторов  и отыскания координат вектора по базису можно проводить одновременно.
Для этого запишем расширенную матрицу системы и проведем ее преобразования по методу Жордана-Гаусса:

Поскольку элементарными преобразования на месте основной матрицы системы получено единичную матрицу третьего порядка, то определитель исходной матрицы отличен от нуля, и система векторов   является линейно независимой, то есть она образует базис пространства . Вектор  можно разложить по этому базису единственным способом:

Следовательно, координатами вектора в базисе будут 

В другом базисе вектор будет иметь другие координаты. В ортонормированном базисе он выглядит так: то есть

Любой вектор с , заданный в координатной форме, можно рассматривать как его разложение по ортонормированному базису.

Переход к новому базису. Нахождение базисных решений системы линейных алгебраических уравнений

Представим произвольный вектор с  в виде линейной комбинации векторов базиса 

где  координаты вектора  в данном базисе.

Выясним, как можно осуществить переход от одного базиса линейного пространства к другому и найти координаты вектора в новом базисе за известными координатами вектора в начальном ортонормированном базисе.

Пусть в пространстве  есть два базиса: начальный и новый Каждый из векторов нового базиса можно представить в линейную комбинацию векторов начального базиса:

Запишем систему (4.17) в матричном виде:  где 

Неособенная матрица называется матрицей пepexoда от начального базиса к новому . Переход от нового базиса к первоначальному осуществляется по формуле: 

Можно показать, что зависимость между координатами вектора в разных базисах определяется формулами: 

где  вектор  с координатами в новом базисе 

Переход к новому базису широко используется в задачах линейного программирования и в других задачах математических методов в экономике.

Задан вектор в ортонормированном базисе векторов   и  Найдем координаты вектора в базисе из векторов   и  с помощью матрицы перехода. 

В предыдущем примере было показано, что векторы  образуют базис. Опишем связь между базисами с помощью системы векторных уравнений: 

Матрица перехода от базиса  и  к базису  и  является основной матрицей системы векторных уравнений:

Транспонируем матрицу :

Для нее существует обратная матрица, поскольку  Находим ее:

По соотношению (4.18) определяем координаты вектора в базисе векторов   и 

Рассмотрим разложение вектора по новому базису для нахождения базисных решений СЛАУ.

Запишем систему линейных алгебраических уравнений в векторной форме 

где коэффициентами при неизвестных системы являются векторы   которые образуют основную матрицу системы,  вектор-столбец свободных членов, - неизвестные системы, или коэффициенты разложения вектора по векторам .

Система линейных уравнений называется сводной к единичному базису, если среди векторов есть единичный базис. Система имеет единственное решение только в случае, если количество неизвестных системы совпадает с размерностью векторов и все векторы системы образуют базис 

В общем случае, если количество векторов, образующих базис, меньше количества векторов системы , то система линейных уравнений имеет множество решений, среди которых необходимо найти все базисные.

Таким образом, для нахождения всех базисных решений системы можно предложить такой алгоритм:
1) сводим систему линейных уравнений элементарными преобразованиями к единичному базису;
2) находим значения неизвестных, что соответствуют данном базису, то есть координаты вектора в этом базисе (свободные неизвестные возлагаем равными нулю)
3) выполняем преобразование системы уравнений с целью введения в базис других векторов системы. Тогда координаты вектора равны соответствующим неизвестным системы линейных уравнений в новом базисном решении и т. д.

Заметим, что максимальное количество базисных решений равно количеству сопряжений с векторов системы по , где - размерность пространства.

Найдем все базисные решения системы линейных уравнений

В векторной форме система уравнений имеет вид

где 

Среди заданных векторов  определим все возможные базисы и осуществим расписание вектора по каждому из этих базисов.

Есть четыре вектора двумерного пространства, среди которых необходимо определить базисные. Поскольку наибольшее количество линейно независимых векторов в этом пространстве равно двум, то все четыре вектора не могут быть линейно независимыми. Сводим систему линейных уравнений к единичному базису. Запишем матрицу коэффициентов системы в таблице 4.1 и выполним элементарные преобразования этой системы по методу Жордана-Гаусса.

Сведение системы уравнений к единичному базису                                       Таблица 4.1

По результатам последней операции получено единичную матрицу.

Следовательно, векторы и образуют единичный базис пространства. Координаты вектора в этом базисе  Для нахождения базисного решению системы положим тогда базисным решением системы будет По базису из векторов и можно разложить не только вектор , но и все другие векторы:

Количество базисов для данного примера определяется количеством соединений из четырех векторов по два , то есть равна шести. Преобразование системы по методу Жордана-Гаусса для нахождения других базисных решений приведены в таблице 4.2.

В таблице 4.2 первым из базисных решений системы приведено именно то, которое получили в таблице 4.1.

Нахождение базисных решений                                                                                  Таблица 4.2

Заметим, что среди шестерых базисных решений данной системы линейных уравнений только и имеют среди своих координат отрицательные, то есть эти решения не являются опорными.

В рамках учебной дисциплины Оптимизационные модели и методы изучается специальный алгоритм отбора только опорных решений системы, по которому в базис не вводятся векторы, которые в новом базисе превращают вектор на вектор, имеет отрицательное координаты.

Однородная система уравнений. Особенности решения

Рассмотрим векторный подход к нахождению общего решения систем линейных уравнений (1.9):

где основная матрица системы;

 матрица-столбец неизвестных;

 нулевая матрица-столбец.

В векторной форме система однородных линейных уравнений имеет вид:

где основная матрица системы;

 -измеримые векторы (столбцы матрицы 

вектор неизвестных;

 нулевой вектор.

Если ранг основной матрицы меньше количества неизвестных то однородная система уравнений имеет множество решений.

Пусть коэффициенты при неизвестных составляют базисный минор, другие неизвестные свободны. Если систему (4.20) решить относительно базисных неизвестных, то общее решение (по аналогии с (3.7)) будет иметь вид:

где линейные функции, отражающие законы зависимости базисных неизвестных от свободных неизвестных

По свойству 3 (п. 3.2) любая линейная комбинация решений однородной системы также является решением этой системы.

Фундаментальной системой решений однородной системы уравнений называется такая линейно независимая система векторов ранг основной матрицы системы), их линейные комбинации определяют все бесконечное множество решений системы.

Теорема 4.3 (пpo фундаментальную систему решений). Однородная система уравнений (4.20) имеет фундаментальную систему решений, количество векторов которой равно , где - ранг системы уравнений

Доказательство. Предоставим свободным неизвестным последовательно  значений, которые являются элементами столбцов единичной матрицы:

(Конечно, при получаем тривиальное решение.)

Выражения базисных неизвестных через свободные получим при равенстве (4.21), при этом получим частных решений системы: Эти решения линейно независимы, ведь матрица, составленная из координат всех векторов, включая единичную матриuю (4.22) порядка

Вектор 

где  как линейная комбинация решений системы (4.22) тоже будет и решением. 

Если числа , брать равными координатам векторов , которые соответствуют свободным неизвестным системы уравнений, то этот вектор опишет (отобразит) общее решение системы. 

Следовательно, для нахождения общего решения однородной системы уравнений выполняем следующее:

1. Выражает базисные неизвестные системы (4.20) через свободные.
2. Предоставляем значение свободным неизвестным системы согласно (4.21).
3. Подставляемые в (4.21) последовательно значение свободных неизвестных (4.22), находим базисные неизвестные, получая таким образом фундаментальную систему решений:
4. Записываем общее решение системы как линейную комбинацию фундаментальных решений (4.23).

Найдем фундаментальную систему решений однородной системы уравнений:

Чтобы выразить базисные неизвестные системы через свободные неизвестные, воспользуемся методом Жордана-Гаусса. Выполняем элементарные преобразования основной матрицы системы для получения в ней единичной матрицы:

Выбираем за базисные неизвестные , тогда  и  есть свободными. Общее решение системы (4.24) получим в виде:

Если свободным неизвестным последовательно предоставить значения а затем получим соответствующие частные решения системы и . Система векторов и   является фундаментальной системой решений.

Общее решение системы уравнений в векторной форме находим как линейную комбинацию фундаментальных решений, а именно:

где 

Тогда общее решение однородной системы уравнений, составленный из фундаментальных решений системы, имеет вид: 

Замечания. Аналогично можно представить общее решение и неоднородной системы уравнений, которая имеет множество решений.

Пусть система неоднородных уравнений 

совместима, но ранг матрицы системы меньше количества неизвестных . Тогда ее общее решение определяется формулой 

где  произвольное частичное решение неоднородной системы (4.25), а 

- общее решение (4.22) соответствующей однородной системы уравнений (4.20).

Найдем общее решение неоднородной системы уравнений:

Если праве части всех уравнений положить равными нулю, то получим однородной систему уравнений (4.24), общее решение которой определен в предыдущем примере:

где 

Найдем произвольный частное решение неоднородной системы. Например, возьмем свободные неизвестные равными нулю: , и найдем и , тогда . Таким образом, общим решением системы (4.27) является вектор:

где 

или 

Такое представление общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений обобщается на произвольные неоднородные системы, которые имеют множество решений.