Линейные электрические цепи

Линейные электрические цепи однофазного синусоидального переменного тока

Основные понятия

Переменным называется ток (напряжение) изменяющий во времени свое направление и величину.

Переменные токи могут быть периодическими и непериодическими.

Наибольшее применение находят периодические токи, то есть токи, мгновенные значения которых повторяются через равные промежутки времени, называемые периодом Т (рис. 1).

Линейные электрические цепи
Рис. 1. График изменения во времени периодического тока.

Число повторений изменяющейся величины или число периодов в секунду называется частотой Линейные электрические цепи и измеряется в Герцах [Гц].

Частота тока промышленных электрических сетей в большинстве стран, в том числе и в РФ - 50 Гц; в США и Японии - 60 Гц. Выбор такой частоты объясняется тем, что при частоте, меньшей 40 Гц, возрастают габариты, масса, а значит и стоимость электрических машин и трансформаторов и становится заметным для человеческого глаза мигание света осветительных устройств. При больших частотах возрастают потери мощности в электротехнических установках и падение напряжения в линиях электропередачи.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретическим основам электротехники (ТОЭ):

Основы электротехники: формулы и лекции и примеры заданий с решением

Преимущества переменного тока:

  • • источники электроэнергии переменного тока - синхронные генераторы -дешевле, надежней и могут быть выполнены большей мощности и напряжения чем генераторы постоянного тока;
  • • энергия переменного тока одного напряжения легко преобразуется в энергию другого (высшего или низшего) напряжения с помощью трансформаторов - простых и надежных устройств с высоким КПД, что очень важно при передаче электрической энергии на большие расстояния и распределении ее между потребителями;
  • • приемники электрической энергии - двигатели переменного тока дешевле и надежней двигателей постоянного тока.

Пионером применения переменного тока был русский электротехник П.Н. Яблочков. В 1876 г. он изобрел аппарат, названный им трансформатором и впервые использовал переменный ток для питания электрической свечи.

Закон изменения тока может быть разным. В связи с этим электрические цепи переменного тока подразделяются на цепи синусоидального и несинусоидального тока.

В свою очередь цепи синусоидального тока могут быть однофазные и многофазные (трехфазные), которым посвящен отдельный раздел дисциплины "Электротехника".

Рассматриваемый раздел дисциплины "Электротехника" посвящен изучению процессов, закономерностей, режимов работы в цепях синусоидального тока.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Баланс мощности электрической цепи

Расчет потенциальной диаграммы

Расчет электрических цепей переменного тока

Алгебраические операции с комплексными числами

Принцип создания синусоидальной ЭДС

Синусоидальная ЭДС создается в генераторах переменного тока. Их работа основана на применении закона электромагнитной индукции.

Устройство простейшего генератора синусоидальной ЭДС показано на рис. 2.

Линейные электрические цепи
Рис.2. Схема устройства генератора синусоидального напряжения

Статор (1) - неподвижная часть генератора. Его магнитопровод выполнен из электротехнической стали. В пазах статора уложена электрическая обмотка (2). На рис. 2 обмотка статора условно изображена одним витком, состоящим из двух проводников, находящихся в диаметрально противоположных пазах. Реальная обмотка статора состоит из нескольких электрических катушек, имеющих большее количество витков, и укладывается в несколько пазов, равномерно распределенных по внутренней окружности статора.

Вращающаяся часть генератора - ротор (3), который представляет собой электромагнит. В обмотку возбуждения ротора (4) через щетки (5) и контактные кольца (6) подается постоянный ток от источника постоянного тока. Обмотка возбуждения с током создает магнитное поле. Магнитный поток замыкается по магнитопроводу генератора. На рис. 2 силовые линии магнитного поля показаны пунктиром.

Ротор приводится во вращение турбиной. При вращении ротора его постоянное магнитное поле пересекает витки обмотки статора. При этом возникает явление электромагнитной индукции, согласно которому в каждом проводнике обмотки статора индуктируется ЭДС.

По закону электромагнитной индукции величина ЭДС, индуктируемой в одном витке, состоящем из двух проводников,

Линейные электрические цепи

где Линейные электрические цепи- ЭДС одного проводника;

Линейные электрические цепи - длина активной части проводника, определяемая конструкцией устройства;

Линейные электрические цепи - линейная скорость перемещения магнитного поля относительно проводника, определяемая частотой вращения ротора;

Линейные электрические цепи - индукция магнитного поля в месте расположения проводника.

При равномерном вращении ротора ЭДС Линейные электрические цепи пропорциональна индукции магнитного поля Линейные электрические цепи. Таким образом, характер изменения ЭДС определяется законом распределения индукции магнитного поля в воздушном зазоре.

В генераторах магнитная индукция в воздушном зазоре между ротором и статором распределена по синусоидальному закону Линейные электрические цепи. Это достигается, путем придания полюсным наконечникам соответствующей формы, при которой воздушный зазор к краю полюса увеличивается.

Примем за начало отсчета Линейные электрические цепи момент, когда магнитная ось ротора занимает горизонтальное положение (рис.3,а). В месте расположения проводников а и б индукция магнитного поля в воздушном зазоре Линейные электрические цепи, поэтому Линейные электрические цепи. В произвольный момент времени Линейные электрические цепи, когда ротор повернется на угол Линейные электрические цепи (рис. 3,6), индукция Линейные электрические цепи, а ЭДС

Линейные электрические цепи

При равномерном вращении ротора с угловой частотой со его положение изменяется со временем:

Линейные электрические цепи

Следовательно ЭДС изменяется по синусоидальному закону:

Линейные электрические цепи

где Линейные электрические цепи - максимальное значение ЭДС при вертикальном положении ротора.
Рис.З. Упрощенная модель однофазного генератора.

Линейные электрические цепи

В общем случае в начальный момент времени отсчета ротор может быть повернут относительно горизонтального положения на произвольный угол Линейные электрические цепи. Тогда его положение изменяется со временем по закону:

Линейные электрические цепи

При этом ЭДС генератора изменяется во времени по синусоидальному закону:

Линейные электрические цепи

При подключении к генератору приемника электрической энергии образуется электрическая цепь, в которой возникает синусоидальный электрический ток.

Пример.

Рассмотрим участок электрической цепи, схема которого показана на рис. 8.

Линейные электрические цепи
Рис. 8. Участок электрической цепи синусоидального тока

Здесь две параллельно соединенные ветви подключены к источнику синусоидального напряжения Линейные электрические цепи. Под действием напряжения в цепи возникают синусоидальные токи: в первой ветви - ток Линейные электрические цепи, во второй ветви - ток Линейные электрические цепи, в неразветвлен-ном участке цепи - ток Линейные электрические цепи.

Примем заданными токи первой и второй ветвей:

Линейные электрические цепи

Определим ток в неразветвленном участке цепи, пользуясь разными способами изображения синусоидальных токов.

Аналитически с помощью функции sin.

В соответствии первым законом Кирхгофа для узла "а"

Линейные электрические цепи

Амплитуду тока Линейные электрические цепи и его начальную фазу у, можно определить, пользуясь формулами преобразования тригонометрических выражений. При этом амплитуда тока

Линейные электрические цепи

Начальная фаза тока

Линейные электрические цепи

Таким образом, результат может быть изображен в виде:

Линейные электрические цепи

Графически в форме временной диаграммы.

Токи, изображенные графически на временной диаграмме, показаны на рис. 9.

Линейные электрические цепи
Рис. 9. Временная диаграмма токов

Здесь синусоиды заданных токов ветвей Линейные электрические цепи и Линейные электрические цепи сдвинуты относительно начала координат в соответствии с их начальными фазами Линейные электрические цепи. Амплитуды токов Линейные электрические цепи соответствуют масштабу на оси ординат. Для определения тока в неразветвленном участке цепи Линейные электрические цепи в соответствии с первым законом Кирхгофа на временной диаграмме складываются два графика. Результирующая синусоида изображает искомый ток Линейные электрические цепи. Амплитуда этой синусоиды в соответствии с масштабом определяет амплитуду тока Линейные электрические цепи. Начальная фаза тока определяется точкой пересечения синусоиды с осью абсцисс: м. Этот результат, полученный графически, соответствует предыдущему (28).

Что такое теоретические основы электротехники (ТОЭ) вы узнаете по этой ссылке:

Графически в форме векторной диаграммы.

Токи, изображенные векторами на комплексной плоскости, показаны на рис. 10.

Линейные электрические цепи
Рис. 10. Графический расчет на векторной диаграмме

Направления векторов токов ветвей определяются их начальными фазами: Линейные электрические цепи = 15°, Линейные электрические цепи = 105°. Длины векторов в принятом масштабе равны их величинам: Линейные электрические цепи= 5А, Линейные электрические цепи = ЗА.

Для определения тока в неразветвленном участке цепи Линейные электрические цепи в соответствии с первым законом Кирхгофа на векторной диаграмме складываются два вектора. Результирующий вектор изображает искомый ток Линейные электрические цепи. Амплитуда этого тока определяется длиной результирующего вектора в соответствии с принятым масштабом: Линейные электрические цепи = 5,83А. Начальная фаза тока определяется углом между направлением вектора и вещественной осью: Линейные электрические цепи= 46°.

Этот результат, полученный графически на векторной диаграмме, соответствует полученному ранее (28).

Аналитически с помощью комплексных чисел.

В комплексном виде заданные токи ветвей изображаются следующим образом:

Линейные электрические цепи

При этом модуль комплексного тока определяет его амплитуду, а аргумент - его начальную фазу.

Для определения тока в неразветвленном участке цепи Линейные электрические цепи в соответствии с первым законом Кирхгофа аналитически складываются два комплексных тока:

Линейные электрические цепи

Для сложения комплексных токов необходимо преобразовать их к алгебраической форме записи, а полученный результат преобразовать к показательной форме:

Линейные электрические цепи

Таким образом, амплитуда полного тока, определяемая модулем его комплексного значения, Линейные электрические цепи = 5,83А, а начальная фаза, определяемая аргументом комплексного тока, Линейные электрические цепи = 46°.

Этот результат соответствует полученному ранее при использовании других способов изображения синусоидальных токов.

Пример выполнения РГЗ задачи с решением

Линейные электрические цепи
Исходные данные:

Линейные электрические цепи

Определение токов и напряжений на элементах схемы

Исключив из исходной схемы (рисунок 23) измерительные приборы: вольтметр V и ваттметр W, заменим элементы схемы их комплексными сопротивлениями (рисунок 24).

Индуктивное и емкостное сопротивления схемы:

Линейные электрические цепи
Рисунок 24

Комплекс полного электрического сопротивления ветвей схемы:

Линейные электрические цепи
Комплекс полного электрического сопротивления схемы (входное сопротивление):

Линейные электрические цепи

Общий комплексный ток в цепи:

Линейные электрические цепи

Комплексное напряжение Линейные электрические цепи Комплекс полного напряжения Линейные электрические цепи есть сумма комплексных напряжений на элементах схемы Линейные электрические цепи, тогда: Линейные электрические цепи

Линейные электрические цепи

Комплексные токи в параллельных ветвях:

Линейные электрические цепи

Комплексные напряжения на отдельных участках

Линейные электрические цепи

Баланс мощностей

Комплекс полной мощности цепи:

Линейные электрические цепи

где Линейные электрические цепи - активная мощность источника;

Линейные электрические цепи - реактивная мощность источника.

Активная мощность потребителей цепи:

Линейные электрические цепи

Реактивная мощность потребителей цепи:

Линейные электрические цепи

Баланс активных и реактивных мощностей источника энергии и потребителей сошелся, следовательно, расчет цепи произведен верно.

Законы изменения токов и напряжений

Мгновенные значения токов в ветвях схемы.

Линейные электрические цепи

Мгновенные значения напряжений на участках схемы. Комплексное напряжение на участке 1-2 соответствует комплексному напряжению на катушке индуктивности: Линейные электрические цепи

Линейные электрические цепи

Векторная диаграмма токов и потенциальная диаграмма напряжений

Согласно первому закону Кирхгофа, ток первой ветви равен сумме токов второй и третьей ветвей. Построение векторной диаграммы токов начинают с построения векторов токов Линейные электрические цепи, а затем, складывая векторы по правилу параллелограмма, получают вектор тока Линейные электрические цепи (рисунок 25).

Построение потенциальной диаграммы начинают с выбора базового узла, потенциал которого условно приравнивают нулю. Для данной схемы в качестве базового удобнее принять узел 3. Далее двигаясь от этого узла через элементы схемы, определяют потенциалы точек электрической схемы по закону Ома:

Линейные электрические цепи

На комплексной плоскости определяется положение точки а по рассчитанному значению потенциала (Линейные электрические цепи) и соединяется с началом координат (точка 3). Таким образом, получили вектор Линейные электрические цепи. Затем на плоскости находится положение точки 2, и соединяется с точкой а. Получаем вектор Линейные электрические цепиАналогично строим векторы Линейные электрические цепи, Линейные электрические цепи Соединив точки 3 и 1, получим вектор напряжения, приложенного к сети.

Линейные электрические цепи

Определение показания вольтметра

Линейные электрические цепиВыделим на заданной схеме контур Линейные электрические цепи (рисунок 26). На основании второго закона Кирхгофа для выбранного контура запишем уравнение:

Линейные электрические цепи
откуда

Линейные электрические цепи
Вольтметр показывает действующее значение комплексного напряжения Линейные электрические цепи, которое равно его модулю, т.е. 15,267 В.

Определение показания ваттметра

Ваттметр имеет две обмотки: токовую (последовательную) и обмотку напряжения (параллельную). Начало намотки помечено звездочкой и называется «зажим генератора». Положительное значение на измерителе мощности соответствует потоку энергии со стороны зажима генератора. Для схемы (рисунок 23) ваттметр показывает активную мощность равную произведению модуля комплексного тока во второй ветви Линейные электрические цепи, модуля комплексного напряжения на зажимах Линейные электрические цепи и косинуса угла сдвига фаз между током и напряжением:

Линейные электрические цепи