Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах

Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах

Предыдущие лекции были посвящены анализу электрических цепей при синусоидальных токах и напряжениях. На практике ЭДС и токи в большей или меньшей степени являются несинусоидальными. Это связано с тем, что реальные генераторы не обеспечивают, строго говоря, синусоидальной формы кривых напряжения, а с другой стороны, наличие нелинейных элементов в цепи обусловливает искажение формы токов даже при синусоидальных ЭДС источников.

На практике к несинусоидальности напряжений и токов следует подходить двояко:

  • в силовой электроэнергетике несинусоидальные токи обусловливают в общем случае дополнительные потери мощности, пульсации момента на валу двигателей, вызывают помехи в линиях связи; поэтому здесь необходимо «всеми силами» поддержание синусоидальных режимов;
  • в цепях автоматики и связи, где несинусоидальные токи и напряжения лежат в основе принципа действия электротехнических устройств, задача наоборот заключается в их усилении и передаче с наименьшими искажениями.

В общем случае характер изменения величин может быть периодическим, почти периодическим и непериодическим. В данном разделе будут рассматриваться цепи только с периодическими переменными.

Периодическими несинусоидальными величинами называются переменные, изменяющиеся во времени по периодическому несинусоидальному закону. Причины возникновения несинусоидальных напряжений и токов могут быть обусловлены или несинусоидальностью источника питания или (и) наличием в цепи хотя бы одного нелинейного элемента. Кроме того, в основе появления несинусоидальных токов могут лежать элементы с периодически изменяющимися параметрами.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретическим основам электротехники (ТОЭ):

Основы электротехники: формулы и лекции и примеры заданий с решением

В качестве примера на рис. 1,а представлена цепь с нелинейным резистором (HP), нелинейная вольт-амперная характеристика (ВАХ) которого обусловливает несинусоидальную форму тока i в цепи при синусоидальном напряжении и на ее входе (см. рис. 1,6).

Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах

Характеристики несинусоидальных величин

Для характеристики несинусоидальных периодических переменных служат следующие величины и коэффициенты (приведены на примере периодического тока):

1. Максимальное значение - Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах

2. Действующее значение- Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах

3. Среднее по модулю значение - Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах

4. Среднее за период значение (постоянная составляющая) - Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах

5. Коэффициент амплитуды (отношение максимального значения к действующему) - Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах

6. Коэффициент формы (отношение действующего значения к среднему по модулю) - Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах

7. Коэффициент искажений (отношение действующего значения первой гармоники к действующему значению переменной) - Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах

8. Коэффициент гармоник (отношение действующего значения высших гармонических к действующему

значению первой гармоники) - Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Теорема об активном двухполюснике для симметричных составляющих

Вращающееся магнитное поле. Принцип действия асинхронного и синхронного двигателей

Резонансные явления в цепях несинусоидального тока. Высшие гармоники в трехфазных цепях

Переходные процессы в линейных электрических цепях. Классический метод расчета переходных процессов

Разложение периодических несинусоидальных кривых в ряд Фурье

Из математики известно, что всякая периодическая функция Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах, где Т - период, удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть разложена в тригонометрический ряд. Можно отметить, что функции, рассматриваемые в электротехнике, этим условиям удовлетворяют, в связи с чем проверку на их выполнение проводить не нужно.

При разложении в ряд Фурье функция представляется следующим образом:

Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах
Здесь Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах постоянная составляющая или нулевая гармоника; Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах- первая (основная) гармоника, изменяющаяся с угловой частотой Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах, где Т - период несинусоидальной периодической функции.

В выражении (1) Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах где коэффициенты Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах и Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах определяются по формулам

Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах

Свойства периодических кривых, обладающих симметрией

Коэффициенты ряда Фурье для стандартных функций могут быть взяты из справочной литературы или в общем случае рассчитаны по приведенным выше формулам. Однако в случае кривых, обладающих симметрией, задача существенно упрощается, поскольку из их разложения выпадают целые спектры гармоник. Знание свойств таких кривых позволяет существенно сэкономить время и ресурсы при вычислениях.

1. Кривые, симметричные относительно оси абсцисс.

Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах
К данному типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах (см. пример на рис. 2). В их разложении отсутствуют постоянная составляющая и четные гармоники, т.е. Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах.

2. Кривые, симметричные относительно оси ординат.

Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах
К данному типу относятся кривые, для которых выполняется равенство Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах (см. примерна рис. 3). В их разложении отсутствуют синусные составляющие, т.е. Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах.

3. Кривые, симметричные относительно начала координат.

Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах
К этому типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах (см. пример на рис. 4). При разложении таких кривых отсутствуют постоянная и косинусные составляющие, т.е. Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах

Действующее значение периодической несинусоидальной переменной

Как было показано выше, действующим называется среднеквадратичное за период значение величины:

Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах
При наличии аналитического выражения функции i(t) и возможности взятия интеграла от ее квадрата действующее значение i(t) определяется точно. Однако в общем случае на практике действующее значение переменной определяется на основе информации о действующих значениях конечного ряда гармонических.

Пусть Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах Тогда

Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах
Очевидно, что каждый из интегралов от тригонометрических функций в последнем выражении равен нулю. Таким образом,

Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах

или

Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах
Аналогичные выражения имеют место для ЭДС, напряжения и т.д.

Что такое теоретические основы электротехники (ТОЭ) вы узнаете по этой ссылке:

Мощность в цепях периодического несинусоидального тока

Пусть Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах
Тогда для активной мощности можно записать

Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах
Как было показано при выводе соотношения для действующего значения несинусоидальной переменной, среднее за период значение произведения синусоидальных функций различной частоты равно нулю. Следовательно,

Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах

где Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах

Таким образом, активная мощность несинусоидального тока равна сумме активных мощностей отдельных гармонических:

Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах
Аналогично для реактивной мощности можно записать

Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах
Полная мощность

Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах

где Т - мощность искажений, определяемая произведениями действующих значений разнопорядковых гармонических тока и напряжения.

Методика расчета линейных цепей при периодических несинусоидальных токах

Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах
Возможность расширения периодических несинусоидальных функций для рядов Фурье для расчета линейных цепей при воздействии несинусоидальной ЭДС (или тока) источника, а также для расчета контуров постоянного и синусоидального тока для каждой гармоники Может быть уменьшено до Мгновенные значения тока и напряжения определяются на основе принципа суперпозиции путем суммирования гармонических составляющих напряжения и тока, найденных в расчете. В соответствии с вышесказанным цепь на рис. 5 при воздействии на нее ЭДС

Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах
(при расчете спектр рассматриваемых гармоник ограничивается) в расчетном плане представляется суммой цепей на рис. 6.

Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах

Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах
Тогда, например, для тока в ветви с источником ЭДС, имеем

Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах

где каждая к-я гармоника тока рассчитывается символическим методом по своей к-й расчетной схеме. При этом (поверхностный эффект не учитывается) для всех гармоник параметры Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах и С постоянны.

Линейные электрические цепи при несинусоидальных периодических токах
Необходимо помнить, что ввиду различия частот суммировать комплексы различных гармоник недопустимо. Таким образом, методика расчета линейных цепей при несинусоидальных токах сводится к следующему:

1. ЭДС и токи источников раскладываются в ряды Фурье.

2. Осуществляется расчет цепи в отдельности для каждой гармонической.

3. Искомые величины определяются как алгебраические суммы соответствующих гармонических.