Линейные электрические цепи постоянного тока

Содержание:

1. Преобразование схем замещения электрических цепей
2. Методы расчета линейных электрических цепей постоянного тока
3. Расчет разветвленной цепи постоянного тока с одним источником электрической энергии

Простейшая электрическая цепь - это совокупность источника электрической энергии, резистора нагрузки и соединительных проводов, образующих замкнутый контур, по которому течет электрический ток.

Направленное движение электрических зарядов в проводящей среде происходит за счет энергии источников электрической энергии цепи, которыми могут быть батарея, аккумулятор, генератор и т.д.

Для расчета электрических цепей обычно составляют схемы замещения, в которых реальные элементы цепи представляются их расчетными моделями (идеализированными элементами).

Любой источник электрической энергии характеризуется электродвижущей силой (э.д.с.) Е. На схеме замещения (рисунок 1.1.) реальный источник электрической энергии с э.д.с. Е и внутренним сопротивлением может быть представлен двумя способами: схемой

Рисунок 1.1- Схемы замещения реального источника электрической энергии

замещения с идеальным источником э.д.с. (рисунок 1.1,а), внутреннее сопротивление которого равно нулю, и схемой замещения с идеальным источником тока (рисунок 1.1,6). Такой источник имеет бесконечно большое Е

внутреннее сопротивление, и создаваемый им ток не зависит от сопротивления внешней цепи . В зависимости от решения конкретной задачи удобнее пользоваться либо последовательной схемой замещения (рисунок 1.1 ,а), либо параллельной (рисунок 1.1 ,б).

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретическим основам электротехники (ТОЭ):

Основы электротехники: формулы и лекции и примеры заданий с решением

Нагрузка в цепях постоянного тока на схемах замещения представляется резистивным элементом (резистором) . Если сопротивление резисторов электрической цепи не зависит от токов в них или приложенных к ним напряжений, то такую цепь называют линейной.

Основными законами электрических цепей, описывающими любые режимы их работы, являются закон Ома и законы Кирхгофа.

В 1827 г. немецкий физик Ом открыл закон, устанавливающий связь между током и напряжением на участке цепи:

Закон Ома для участка цепи выражает прямую пропорциональность между напряжением на зажимах резистора и током, протекающим через него. К примеру, напряжение на резисторе (рисунок 1.1,а):

где - проводимость - величина, обратная сопротивлению.

Сопротивление измеряется в омах (Ом), а проводимость - в сименсах (См).

Последовательная схема (рисунок 1.1,а) рассчитывается с помощью закона Ома для полной цепи. Ток в ней:

Из схемы (рисунка 1.1,а) следует, что напряжение U на зажимах источника электрической энергии всегда меньше его э.д.с. на величину падения напряжения на его внутреннем сопротивлении . Возможны два крайних случая. Холостой ход - когда внешняя цепь разомкнута , ток в цепи равен нулю и напряжение . И короткое замыкание -когда сопротивление нагрузки . В этом случае напряжение на выводах источника , а ток в цепи может достигать весьма больших значений, так как обычно . Любые режимы работы этой цепи при изменении сопротивления нагрузки находятся между ними.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Классификация электрических цепей

Электрическая цепь

Расчет электрической цепи методом эквивалентных преобразований

Расчет электрической цепи по закону Кирхгофа

Круг задач в электротехнике не ограничивается простыми (неразветвленными) цепями. Чаще встречаются сложные (разветвленные) цепи, в которых токи и напряжения на разных участках различны. Сложные цепи бывают с одним источником электрической энергии и с несколькими. Примеры таких цепей приведены на рисунке 1.2.

Рисунок 1.2 - Примеры сложных электрических цепей

Для разветвленных цепей вводят понятия узла, ветви и контура. Узел -это точка электрической цепи (схемы замещения), где сходятся не менее трех проводников. Точки - узлы (рисунок 1.2, б). Ветвью называют участок, соединяющий два узла. У каждой ветви свой ток, который одинаков для всех элементов этой ветви. Цепь - это путь вдоль ветви электрической цепи, начинающийся и заканчивающийся в одной и той же точке. Для схемы замещения рисунка 1.2, б можно выделить контуры , и т.д.

Немецкий физик Кирхгоф установил в 1845 г. законы электрического равновесия цепей. Уравнения, составленные на основе этих законов, называют уравнениями Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа устанавливает связь между токами в узле электрической цепи и формулируется: алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю.

где - ток к-й ветви, присоединенной к узлу.

При составлении уравнения по первому закону Кирхгофа в выражении (1.3) токи, подтекающие к узлу, считают положительными, а оттекающие от узла - отрицательными (или наоборот).

Для узла с схемы замещения (рисунок 1.2,6) уравнение по первому закону Кирхгофа будет иметь вид:

а для узла d:

Второй закон Кирхгофа устанавливает связь между напряжениями и э.д.с. в контуре: алгебраическая сумма падений напряжений вдоль замкнутого контура сложной электрической цепи равна алгебраической сумме э.д.с., действующих в этом контуре.

где - падение напряжения на к-м резисторе контура; - к - я э.д.с., входящая в данный контур; - число э.д.с. в контуре; - число резисторов контура.

Для записи уравнения по второму закону Кирхгофа сначала выбирают направление обхода, контура (по часовой стрелке или против). Те э.д.с., которые совпадают с направлением обхода контура, берутся положительными, а не совпадающие - отрицательными. Падение напряжения на резисторе записывается со знаком «плюс», если направление тока в нем совпадает с направлением обхода контура.

Для контура (рисунок 1.2,6) уравнение по второму закону Кирхгофа будет иметь вид:

, а для контура

Преобразование схем замещения электрических цепей

В большинстве случаев преобразование схем замещения электрических цепей приводит к их упрощению и облегчению расчета. Различают последовательное, параллельное и смешанное соединение элементов схем замещения. Рассмотрим эти виды соединений и способы их преобразования.

При последовательном соединении (рисунок 1.3,а) по всем элементам протекает один и тот же ток. На основании второго закона Кирхгофа можно записать:

Последовательное соединение резисторов обычно представляется одним эквивалентным резистором , и для эквивалентной схемы замещения (рисунок 1.3,6) можно записать:

Сравнивая выражения для напряжения U в исходной и эквивалентной схемах, нетрудно увидеть, что

Рисунок 1.3 - Последовательное соединение элементов электрической цепи

Для последовательно соединенных резисторов сопротивление эквивалентного резистора определяется как

Параллельное соединение резисторов характеризуется тем, что они находятся под одним напряжением (рисунок 1.4,а).

Рисунок 1.4 - Параллельное соединение резисторов

По первому закону Кирхгофа для исходной схемы (рисунок 1.4,а) можно записать:

Расписав токи в параллельных ветвях по закону Ома, будем иметь:

а для эквивалентной схемы замещения (рисунок 1.4,6) . Приравнивая правые части выражений для тока в цепи, получим:

или

Таким образом, при параллельном соединении резисторов, эквивалентная проводимость равна сумме проводимостей параллельных ветвей, т.е.

В случае параллельно соединенных резисторов:

а эквивалентное сопротивление цепи определится:

В случае двух параллельно соединенных резисторов (рисунок 1.5) можно записать:

Рисунок 1.5 - Параллельное соединение двух резисторов

или

откуда:

Для исходной схемы (рисунок 1.5,а) приложенное напряжение определяется как а для эквивалентной: , т.е.

или

Откуда ток в одной из параллельных ветвей определится:

Таким образом, если известен ток I в неразветвленной части цепи, то ток в одной из параллельных ветвей равен этому току, умноженному на сопротивление противоположной параллельной ветви и деленному на сумму сопротивлений параллельных ветвей. Согласно этому, для определения тока во второй параллельной ветви можно записать:

Сейчас есть возможность показать идентичность последовательной и параллельной схем замещения (рисунок 1.1) источника электрической энергии по отношению к нагрузке Ток в резисторе должен быть одинаков для обеих схем. В последовательной схеме замещения ток , а в параллельной он определяется по выражению (1.10):

Для смешанного соединения резисторов характерно наличие участков с параллельным и последовательным соединением резисторов (рисунок 1.6).

Рисунок 1.6 - Смешанное соединение резисторов

Для преобразования такого соединения до одного эквивалентного резистора R3 сначала заменяют участки с параллельным соединением резисторов эквивалентными, а затем получающиеся последовательные. Для схемы (рисунок 1.6) можно записать:

В практике встречаются схемы (рисунок 1.7), в которых нет возможности выделить участки с параллельным или последовательным соединением резисторов. В этом случае целесообразно воспользоваться эквивалентной заменой треугольника резисторов трехлучевой звездой резисторов ,

Рисунок 1.7 - К замене треугольника резисторов эквивалентной звездой

В этом случае по известным значениям сопротивлений резисторов сторон треугольника определяются сопротивления резисторов лучей звезды по следующим формулам:

После этого нетрудно заменить схему (рисунок 1.7,6) одним эквивалентным резистором относительно зажимов источника напряжения U:

Если требуется эквивалентная замена звезды резисторов треугольником, то для определения сопротивлений резисторов сторон треугольника по известным значениям сопротивлений резисторов лучей звезды (рисунок 1.7,6) можно воспользоваться соотношениями:

Часто при практических расчетах используется замена источника тока источником э.д.с., что позволяет также облегчить расчет. Допустим, в схеме рисунка 1.8,а необходимо определить ток если

Сначала преобразовывают источник тока 1к в источник э.д.с. (рисунок 1.8,6), э.д.с. которого В, а затем из уравнения по второму закону Кирхгофа определяется ток :

Рисунок 1.8 - К замене источника тока источником э.д.с.

Иногда устранение контура с источником тока облегчает задачу дальнейшего упрощения разветвленной цепи. В этом случае сначала источник тока (рисунок 1.9, а) заменяется несколькими одинаковыми, последовательно соединенными источниками тока (рисунок 1.9,6), с последующим соединением промежуточных точек (рисунок 1.9,в), а затем от схемы с источником тока переходят к схеме с источниками э.д.с. (рисунок 1.9,г), э.д.с. которых определяется:

Рисунок 1.9 - К вопросу об устранении контура с источником тока

При преобразовании цепей используют также перенос э.д.с. через узел. Так, источник э.д.с. Е (рисунок 1.10,а) можно перенести в ветви с резисторами а узел А устранить.

Справедливость такого преобразования очевидна. Если в ветви с резисторами (рисунок 1.10,а) включить по две одинаковых, противоположно направленных э.д.с. Е (рисунок 1.10,в), то токи в этих ветвях останутся прежними, а потенциал точки Д равен потенциалу точки В . Аналогично .

Объединив точки С, Д и В, как равнопотенциальные, получим схему рисунка 1.10,6.

Рисунок 1.10 - Иллюстрация к переносу э.д.с. через узел

В практических схемах встречаются активные звезды и треугольники резисторов, когда в лучах звезды или сторонах треугольника есть источник электрической энергии. Если необходимо преобразовать такую звезду резисторов (рисунок 1.11,а) в треугольник, то сначала пассивную звезду заменяют треугольником (рисунок 1.11,б).

Рисунок 1.11 - К преобразованию активной звезды в треугольник

Сопротивления резисторов сторон его определяются по приведенным выше формулам (1.12), т.е.:

А затем э.д.с. переносится через узел А (рисунок 1.11,в).

Если необходимо произвести эквивалентное преобразование активного треугольника резисторов (рисунок 1.12,а) в звезду, то сначала заменяют источник э.д.с. источником тока (рисунок 1.12,6),

Рисунок 1.12 - Преобразование активного треугольника резисторов в звезду

величина которого , а затем получившийся пассивный треугольник ri2

заменяют эквивалентной звездой (рисунок 1.12,в). Сопротивления лучей этой звезды определятся из формул (1.11) как:

Далее устраняется контур с источником тока (рисунок 1.12,г). Значения э.д.с. в лучах звезды определяется как:

Часто схема значительно упрощается, если несколько параллельных ветвей, содержащих источники э.д.с. или тока, заменить одной эквивалентной ветвью. К примеру, если в схеме рисунка 1.13,а необходимо определить ток

Рисунок 1.13 - Иллюстрация к замене нескольких параллельных ветвей одной эквивалентной то целесообразно все параллельные ветви представить одной эквивалентной с параметрами (рисунок 1.13,6).

Эквивалентная э.д.с. в общем виде определяется:

В числителе записывается алгебраическая сумма произведений , ветвей, содержащих э.д.с. С плюсом берется в том случае, если э.д.с. в рассматриваемой ветви совпадает по направлению с произвольно выбранным положительным направлением э.д.с. . Сумма также алгебраическая, с плюсом записывается ток источника тока, который направлен к точке высшего потенциала. В знаменателе выражения (1.13) записывается арифметическая сумма проводимостей всех параллельных ветвей. Эквивалентное сопротивление определяется как

где

g, ™i

Для примера рисунка 1.13 будем иметь:

Записав уравнение по второму закону Кирхгофа для схемы рисунка 1.13,6, можно определить ток

Рассмотрим пример на преобразование цепей.

Пример 1.1. Путем преобразования цепи (рисунок 1.14) определить ток , если

Рисунок 1.14 - Иллюстрация к примеру 1.1

Решение. Ветвь с резистором R2, в котором следует определить ток , необходимо сохранять до конца преобразования цепи. Для упрощения схемы следует осуществить эквивалентную замену активного треугольника резисторов звездой (рисунок 1.15). Треугольник резисторов нецелесообразно преобразовывать в звезду, так как в этом случае исчезает ветвь с резистором , в котором течет искомый ток . Так как сопротивления сторон треугольника равны между собой, то и сопротивления лучей звезды будут одинаковы и определяются как

Э.д.с. в лучах звезды:

Рисунок 1.15 - Замена активного треугольника резисторов эквивалентной звездой

В параллельных ветвях схемы рисунка 1.15 последовательно соединенные резисторы преобразовываем до эквивалентных (рисунок 1.16,а).

Рисунок 1.16 - Замена параллельных ветвей одной эквивалентной

В этой схеме:

Параллельные ветви заменяем эквивалентной (рисунок 1.16,6) с параметрами:

Искомый ток определяется:

Что такое теоретические основы электротехники (ТОЭ) вы узнаете по этой ссылке:

• Теоретические основы электротехники

Методы расчета линейных электрических цепей постоянного тока

Расчет электрических цепей с источниками постоянного тока проще, чем цепей с источниками синусоидального напряжения или э.д.с. произвольной формы. Поэтому рекомендуется рассмотреть расчет цепи постоянного тока. Кроме того, метод расчета цепей постоянного тока может использоваться для цепей переменного напряжения. Расчет электрической цепи обычно заключается в нахождении токов в ветвях при заданных значениях сопротивлений резисторов, известных э.д.с. или токов источников тока.

Расчет разветвленной цепи постоянного тока с одним источником электрической энергии

Примером такой цепи может быть цепь, представленная на рисунке 1.2,а. При расчете подобных цепей сначала преобразовывают всю пассивную часть схемы до одного эквивалентного резистора относительно зажимов источника э.д.с., а затем по закону Ома определяется ток через источник э.д.с. и, при необходимости, токи в ветвях пассивной части схемы. Рассмотрим расчет цепи с одной э.д.с. на конкретном примере.

Пример 1.2. Определить токи в ветвях схемы (рисунок 1.17,а), если

Рисунок 1.17- Схема замещения электрической цепи с одним источником электрической энергии

Решение. Предварительно выбирают положительные направления токов в ветвях и проставляют стрелками на схеме. Так как в цепи действует одна э.д.с., то направление токов в ветвях очевидно, т.е. по направлению действия э.д.с. Затем преобразовывают пассивную часть схемы до эквивалентного резистора , значение которого определится:

По закону Ома определяется ток :

Возвращаясь к исходной схеме (рисунок 1.17,а) и пользуясь формулой (1.10), определяют ток :

a

Ток во второй параллельной ветви можно определить аналогично: Л^=±10_=10 =

либо по первому закону Кирхгофа для узла

Токи в параллельных ветвях можно найти и по-другому, определив предварительно напряжение

Напряжение можно было бы определить и из уравнения по второму закону Кирхгофа для левого контура схемы рисунка 1.17,а: