Линейные электрические цепи постоянного тока

Линейные электрические цепи постоянного тока

Простейшая электрическая цепь - это совокупность источника электрической энергии, резистора нагрузки и соединительных проводов, образующих замкнутый контур, по которому течет электрический ток.

Направленное движение электрических зарядов в проводящей среде происходит за счет энергии источников электрической энергии цепи, которыми могут быть батарея, аккумулятор, генератор и т.д.

Для расчета электрических цепей обычно составляют схемы замещения, в которых реальные элементы цепи представляются их расчетными моделями (идеализированными элементами).

Любой источник электрической энергии характеризуется электродвижущей силой (э.д.с.) Е. На схеме замещения (рисунок 1.1.) реальный источник электрической энергии с э.д.с. Е и внутренним сопротивлением Линейные электрические цепи постоянного тока может быть представлен двумя способами: схемой

Линейные электрические цепи постоянного тока
Рисунок 1.1- Схемы замещения реального источника электрической энергии

замещения с идеальным источником э.д.с. (рисунок 1.1,а), внутреннее сопротивление которого равно нулю, и схемой замещения с идеальным источником тока Линейные электрические цепи постоянного тока (рисунок 1.1,6). Такой источник имеет бесконечно большое Е

внутреннее сопротивление, и создаваемый им ток Линейные электрические цепи постоянного тока не зависит от сопротивления внешней цепи Линейные электрические цепи постоянного тока. В зависимости от решения конкретной задачи удобнее пользоваться либо последовательной схемой замещения (рисунок 1.1 ,а), либо параллельной (рисунок 1.1 ,б).

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретическим основам электротехники (ТОЭ):

Основы электротехники: формулы и лекции и примеры заданий с решением

Нагрузка в цепях постоянного тока на схемах замещения представляется резистивным элементом (резистором) Линейные электрические цепи постоянного тока. Если сопротивление резисторов электрической цепи не зависит от токов в них или приложенных к ним напряжений, то такую цепь называют линейной.

Основными законами электрических цепей, описывающими любые режимы их работы, являются закон Ома и законы Кирхгофа.

В 1827 г. немецкий физик Ом открыл закон, устанавливающий связь между током и напряжением на участке цепи:

Линейные электрические цепи постоянного тока

Закон Ома для участка цепи выражает прямую пропорциональность между напряжением на зажимах резистора и током, протекающим через него. К примеру, напряжение на резисторе Линейные электрические цепи постоянного тока (рисунок 1.1,а):

Линейные электрические цепи постоянного тока

где Линейные электрические цепи постоянного тока - проводимость - величина, обратная сопротивлению.

Сопротивление измеряется в омах (Ом), а проводимость - в сименсах (См).

Последовательная схема (рисунок 1.1,а) рассчитывается с помощью закона Ома для полной цепи. Ток в ней:

Линейные электрические цепи постоянного тока

Из схемы (рисунка 1.1,а) следует, что напряжение U на зажимах источника электрической энергии всегда меньше его э.д.с. на величину падения напряжения на его внутреннем сопротивлении Линейные электрические цепи постоянного тока. Возможны два крайних случая. Холостой ход - когда внешняя цепь разомкнута Линейные электрические цепи постоянного тока, ток в цепи равен нулю Линейные электрические цепи постоянного тока и напряжение Линейные электрические цепи постоянного тока. И короткое замыкание -когда сопротивление нагрузки Линейные электрические цепи постоянного тока. В этом случае напряжение на выводах источника Линейные электрические цепи постоянного тока, а ток в цепи Линейные электрические цепи постоянного тока может достигать весьма больших значений, так как обычно Линейные электрические цепи постоянного тока. Любые режимы работы этой цепи при изменении сопротивления нагрузки находятся между ними.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Классификация электрических цепей

Электрическая цепь

Расчет электрической цепи методом эквивалентных преобразований

Расчет электрической цепи по закону Кирхгофа

Круг задач в электротехнике не ограничивается простыми (неразветвленными) цепями. Чаще встречаются сложные (разветвленные) цепи, в которых токи и напряжения на разных участках различны. Сложные цепи бывают с одним источником электрической энергии и с несколькими. Примеры таких цепей приведены на рисунке 1.2.

Линейные электрические цепи постоянного тока
Рисунок 1.2 - Примеры сложных электрических цепей

Для разветвленных цепей вводят понятия узла, ветви и контура. Узел -это точка электрической цепи (схемы замещения), где сходятся не менее трех проводников. Точки Линейные электрические цепи постоянного тока - узлы (рисунок 1.2, б). Ветвью называют участок, соединяющий два узла. У каждой ветви свой ток, который одинаков для всех элементов этой ветви. Цепь - это путь вдоль ветви электрической цепи, начинающийся и заканчивающийся в одной и той же точке. Для схемы замещения рисунка 1.2, б можно выделить контуры Линейные электрические цепи постоянного тока, Линейные электрические цепи постоянного тока и т.д.

Немецкий физик Кирхгоф установил в 1845 г. законы электрического равновесия цепей. Уравнения, составленные на основе этих законов, называют уравнениями Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа устанавливает связь между токами в узле электрической цепи и формулируется: алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю.

Линейные электрические цепи постоянного тока

где Линейные электрические цепи постоянного тока - ток к-й ветви, присоединенной к узлу.

При составлении уравнения по первому закону Кирхгофа в выражении (1.3) токи, подтекающие к узлу, считают положительными, а оттекающие от узла - отрицательными (или наоборот).

Для узла с схемы замещения (рисунок 1.2,6) уравнение по первому закону Кирхгофа будет иметь вид:

Линейные электрические цепи постоянного тока

а для узла d:

Линейные электрические цепи постоянного тока

Второй закон Кирхгофа устанавливает связь между напряжениями и э.д.с. в контуре: алгебраическая сумма падений напряжений вдоль замкнутого контура сложной электрической цепи равна алгебраической сумме э.д.с., действующих в этом контуре.

Линейные электрические цепи постоянного тока

где Линейные электрические цепи постоянного тока - падение напряжения на к-м резисторе контура; Линейные электрические цепи постоянного тока - к - я э.д.с., входящая в данный контур; Линейные электрические цепи постоянного тока - число э.д.с. в контуре; Линейные электрические цепи постоянного тока - число резисторов контура.

Для записи уравнения по второму закону Кирхгофа сначала выбирают направление обхода, контура (по часовой стрелке или против). Те э.д.с., которые совпадают с направлением обхода контура, берутся положительными, а не совпадающие - отрицательными. Падение напряжения на резисторе записывается со знаком «плюс», если направление тока в нем совпадает с направлением обхода контура.

Для контура Линейные электрические цепи постоянного тока (рисунок 1.2,6) уравнение по второму закону Кирхгофа будет иметь вид:

Линейные электрические цепи постоянного тока, а для контура Линейные электрические цепи постоянного тока

Линейные электрические цепи постоянного тока

Преобразование схем замещения электрических цепей

В большинстве случаев преобразование схем замещения электрических цепей приводит к их упрощению и облегчению расчета. Различают последовательное, параллельное и смешанное соединение элементов схем замещения. Рассмотрим эти виды соединений и способы их преобразования.

При последовательном соединении (рисунок 1.3,а) по всем элементам протекает один и тот же ток. На основании второго закона Кирхгофа можно записать:

Линейные электрические цепи постоянного тока

Последовательное соединение резисторов обычно представляется одним эквивалентным резистором Линейные электрические цепи постоянного тока, и для эквивалентной схемы замещения (рисунок 1.3,6) можно записать:

Линейные электрические цепи постоянного тока

Сравнивая выражения для напряжения U в исходной и эквивалентной схемах, нетрудно увидеть, что Линейные электрические цепи постоянного тока

Линейные электрические цепи постоянного тока
Рисунок 1.3 - Последовательное соединение элементов электрической цепи

Для Линейные электрические цепи постоянного тока последовательно соединенных резисторов сопротивление эквивалентного резистора определяется как

Линейные электрические цепи постоянного тока

Параллельное соединение резисторов характеризуется тем, что они находятся под одним напряжением Линейные электрические цепи постоянного тока (рисунок 1.4,а).

Линейные электрические цепи постоянного тока
Рисунок 1.4 - Параллельное соединение резисторов

По первому закону Кирхгофа для исходной схемы (рисунок 1.4,а) можно записать:

Линейные электрические цепи постоянного тока

Расписав токи в параллельных ветвях по закону Ома, будем иметь:

Линейные электрические цепи постоянного тока

а для эквивалентной схемы замещения (рисунок 1.4,6) Линейные электрические цепи постоянного тока. Приравнивая правые части выражений для тока в цепи, получим:

Линейные электрические цепи постоянного тока

или

Линейные электрические цепи постоянного тока

Таким образом, при параллельном соединении резисторов, эквивалентная проводимость равна сумме проводимостей параллельных ветвей, т.е.

Линейные электрические цепи постоянного тока

В случае Линейные электрические цепи постоянного тока параллельно соединенных резисторов:

Линейные электрические цепи постоянного тока

а эквивалентное сопротивление цепи определится:

Линейные электрические цепи постоянного тока

В случае двух параллельно соединенных резисторов (рисунок 1.5) можно записать:

Линейные электрические цепи постоянного тока
Рисунок 1.5 - Параллельное соединение двух резисторов

Линейные электрические цепи постоянного тока или

Линейные электрические цепи постоянного тока откуда:

Линейные электрические цепи постоянного тока
Для исходной схемы (рисунок 1.5,а) приложенное напряжение определяется как Линейные электрические цепи постоянного тока а для эквивалентной: Линейные электрические цепи постоянного тока, т.е.

Линейные электрические цепи постоянного токаили Линейные электрические цепи постоянного тока

Откуда ток в одной из параллельных ветвей определится:

Линейные электрические цепи постоянного тока

Таким образом, если известен ток I в неразветвленной части цепи, то ток в одной из параллельных ветвей равен этому току, умноженному на сопротивление противоположной параллельной ветви и деленному на сумму сопротивлений параллельных ветвей. Согласно этому, для определения тока во второй параллельной ветви можно записать:

Линейные электрические цепи постоянного тока

Сейчас есть возможность показать идентичность последовательной и параллельной схем замещения (рисунок 1.1) источника электрической энергии по отношению к нагрузке Линейные электрические цепи постоянного тока Ток в резисторе Линейные электрические цепи постоянного тока должен быть одинаков для обеих схем. В последовательной схеме замещения ток Линейные электрические цепи постоянного тока, а в параллельной он определяется по выражению (1.10):

Линейные электрические цепи постоянного тока

Для смешанного соединения резисторов характерно наличие участков с параллельным и последовательным соединением резисторов (рисунок 1.6).

Линейные электрические цепи постоянного тока
Рисунок 1.6 - Смешанное соединение резисторов

Для преобразования такого соединения до одного эквивалентного резистора R3 сначала заменяют участки с параллельным соединением резисторов эквивалентными, а затем получающиеся последовательные. Для схемы (рисунок 1.6) можно записать:

Линейные электрические цепи постоянного тока

В практике встречаются схемы (рисунок 1.7), в которых нет возможности выделить участки с параллельным или последовательным соединением резисторов. В этом случае целесообразно воспользоваться эквивалентной заменой треугольника резисторов Линейные электрические цепи постоянного тока трехлучевой звездой резисторов Линейные электрические цепи постоянного тока, Линейные электрические цепи постоянного тока

Линейные электрические цепи постоянного тока
Рисунок 1.7 - К замене треугольника резисторов эквивалентной звездой

В этом случае по известным значениям сопротивлений резисторов сторон треугольника Линейные электрические цепи постоянного тока определяются сопротивления резисторов лучей звезды по следующим формулам:

Линейные электрические цепи постоянного тока

После этого нетрудно заменить схему (рисунок 1.7,6) одним эквивалентным резистором относительно зажимов источника напряжения U:

Линейные электрические цепи постоянного тока

Если требуется эквивалентная замена звезды резисторов треугольником, то для определения сопротивлений резисторов сторон треугольника по известным значениям сопротивлений резисторов лучей звезды (рисунок 1.7,6) можно воспользоваться соотношениями:

Линейные электрические цепи постоянного тока

Часто при практических расчетах используется замена источника тока источником э.д.с., что позволяет также облегчить расчет. Допустим, в схеме рисунка 1.8,а необходимо определить ток Линейные электрические цепи постоянного тока если Линейные электрические цепи постоянного тока Линейные электрические цепи постоянного тока

Сначала преобразовывают источник тока 1к в источник э.д.с. (рисунок 1.8,6), э.д.с. которого Линейные электрические цепи постоянного тока В, а затем из уравнения по второму закону Кирхгофа определяется ток :

Линейные электрические цепи постоянного тока

Линейные электрические цепи постоянного тока
Рисунок 1.8 - К замене источника тока источником э.д.с.

Иногда устранение контура с источником тока облегчает задачу дальнейшего упрощения разветвленной цепи. В этом случае сначала источник тока (рисунок 1.9, а) заменяется несколькими одинаковыми, последовательно соединенными источниками тока (рисунок 1.9,6), с последующим соединением промежуточных точек (рисунок 1.9,в), а затем от схемы с источником тока переходят к схеме с источниками э.д.с. (рисунок 1.9,г), э.д.с. которых определяется:

Линейные электрические цепи постоянного тока

Линейные электрические цепи постоянного тока
Рисунок 1.9 - К вопросу об устранении контура с источником тока

При преобразовании цепей используют также перенос э.д.с. через узел. Так, источник э.д.с. Е (рисунок 1.10,а) можно перенести в ветви с резисторами Линейные электрические цепи постоянного тока а узел А устранить.

Справедливость такого преобразования очевидна. Если в ветви с резисторами Линейные электрические цепи постоянного тока (рисунок 1.10,а) включить по две одинаковых, противоположно направленных э.д.с. Е (рисунок 1.10,в), то токи в этих ветвях останутся прежними, а потенциал точки Д равен потенциалу точки В Линейные электрические цепи постоянного тока. Аналогично Линейные электрические цепи постоянного тока.

Объединив точки С, Д и В, как равнопотенциальные, получим схему рисунка 1.10,6.

Линейные электрические цепи постоянного тока
Рисунок 1.10 - Иллюстрация к переносу э.д.с. через узел

В практических схемах встречаются активные звезды и треугольники резисторов, когда в лучах звезды или сторонах треугольника есть источник электрической энергии. Если необходимо преобразовать такую звезду резисторов (рисунок 1.11,а) в треугольник, то сначала пассивную звезду заменяют треугольником (рисунок 1.11,б).

Линейные электрические цепи постоянного тока
Рисунок 1.11 - К преобразованию активной звезды в треугольник

Сопротивления резисторов сторон его определяются по приведенным выше формулам (1.12), т.е.:

Линейные электрические цепи постоянного тока
А затем э.д.с. Линейные электрические цепи постоянного тока переносится через узел А (рисунок 1.11,в).

Если необходимо произвести эквивалентное преобразование активного треугольника резисторов (рисунок 1.12,а) в звезду, то сначала заменяют источник э.д.с. Линейные электрические цепи постоянного тока источником тока Линейные электрические цепи постоянного тока (рисунок 1.12,6),

Линейные электрические цепи постоянного тока
Рисунок 1.12 - Преобразование активного треугольника резисторов в звезду

величина которого Линейные электрические цепи постоянного тока, а затем получившийся пассивный треугольник ri2

заменяют эквивалентной звездой (рисунок 1.12,в). Сопротивления лучей этой звезды определятся из формул (1.11) как:

Линейные электрические цепи постоянного тока

Далее устраняется контур с источником тока Линейные электрические цепи постоянного тока (рисунок 1.12,г). Значения э.д.с. в лучах звезды определяется как:

Линейные электрические цепи постоянного тока

Часто схема значительно упрощается, если несколько параллельных ветвей, содержащих источники э.д.с. или тока, заменить одной эквивалентной ветвью. К примеру, если в схеме рисунка 1.13,а необходимо определить ток Линейные электрические цепи постоянного тока

Линейные электрические цепи постоянного тока
Рисунок 1.13 - Иллюстрация к замене нескольких параллельных ветвей одной эквивалентной то целесообразно все параллельные ветви представить одной эквивалентной с параметрами Линейные электрические цепи постоянного тока (рисунок 1.13,6).

Эквивалентная э.д.с. Линейные электрические цепи постоянного тока в общем виде определяется:Линейные электрические цепи постоянного тока

В числителе записывается алгебраическая сумма произведений Линейные электрические цепи постоянного тока, ветвей, содержащих э.д.с. С плюсом берется Линейные электрические цепи постоянного тока в том случае, если э.д.с. в рассматриваемой ветви совпадает по направлению с произвольно выбранным положительным направлением э.д.с. Линейные электрические цепи постоянного тока. Сумма Линейные электрические цепи постоянного тока также алгебраическая, с плюсом записывается ток источника тока, который направлен к точке высшего потенциала. В знаменателе выражения (1.13) записывается арифметическая сумма проводимостей всех параллельных ветвей. Эквивалентное сопротивление определяется как

Линейные электрические цепи постоянного тока где Линейные электрические цепи постоянного тока

g, ™i

Для примера рисунка 1.13 будем иметь:

Линейные электрические цепи постоянного тока

Линейные электрические цепи постоянного тока

Записав уравнение по второму закону Кирхгофа для схемы рисунка 1.13,6, можно определить ток Линейные электрические цепи постоянного тока

Линейные электрические цепи постоянного тока

Рассмотрим пример на преобразование цепей.

Пример 1.1. Путем преобразования цепи (рисунок 1.14) определить ток Линейные электрические цепи постоянного тока, если Линейные электрические цепи постоянного тока

Линейные электрические цепи постоянного тока
Рисунок 1.14 - Иллюстрация к примеру 1.1

Решение. Ветвь с резистором R2, в котором следует определить ток Линейные электрические цепи постоянного тока, необходимо сохранять до конца преобразования цепи. Для упрощения схемы следует осуществить эквивалентную замену активного треугольника резисторов Линейные электрические цепи постоянного тока звездой (рисунок 1.15). Треугольник резисторов Линейные электрические цепи постоянного тока нецелесообразно преобразовывать в звезду, так как в этом случае исчезает ветвь с резистором Линейные электрические цепи постоянного тока, в котором течет искомый ток Линейные электрические цепи постоянного тока. Так как сопротивления сторон треугольника равны между собой, то и сопротивления лучей звезды будут одинаковы и определяются как

Линейные электрические цепи постоянного тока

Э.д.с. в лучах звезды:

Линейные электрические цепи постоянного тока

Линейные электрические цепи постоянного тока
Рисунок 1.15 - Замена активного треугольника резисторов Линейные электрические цепи постоянного тока эквивалентной звездой

В параллельных ветвях схемы рисунка 1.15 последовательно соединенные резисторы преобразовываем до эквивалентных (рисунок 1.16,а).

Линейные электрические цепи постоянного тока
Рисунок 1.16 - Замена параллельных ветвей одной эквивалентной

В этой схеме: Линейные электрические цепи постоянного тока

Параллельные ветви Линейные электрические цепи постоянного тока заменяем эквивалентной (рисунок 1.16,6) с параметрами:

Линейные электрические цепи постоянного тока

Искомый ток Линейные электрические цепи постоянного тока определяется:

Линейные электрические цепи постоянного тока

Что такое теоретические основы электротехники (ТОЭ) вы узнаете по этой ссылке:

Методы расчета линейных электрических цепей постоянного тока

Расчет электрических цепей с источниками постоянного тока проще, чем цепей с источниками синусоидального напряжения или э.д.с. произвольной формы. Поэтому рекомендуется рассмотреть расчет цепи постоянного тока. Кроме того, метод расчета цепей постоянного тока может использоваться для цепей переменного напряжения. Расчет электрической цепи обычно заключается в нахождении токов в ветвях при заданных значениях сопротивлений резисторов, известных э.д.с. или токов источников тока.

Расчет разветвленной цепи постоянного тока с одним источником электрической энергии

Примером такой цепи может быть цепь, представленная на рисунке 1.2,а. При расчете подобных цепей сначала преобразовывают всю пассивную часть схемы до одного эквивалентного резистора относительно зажимов источника э.д.с., а затем по закону Ома определяется ток через источник э.д.с. и, при необходимости, токи в ветвях пассивной части схемы. Рассмотрим расчет цепи с одной э.д.с. на конкретном примере.

Пример 1.2. Определить токи в ветвях схемы (рисунок 1.17,а), если Линейные электрические цепи постоянного тока

Линейные электрические цепи постоянного тока
Рисунок 1.17- Схема замещения электрической цепи с одним источником электрической энергии

Решение. Предварительно выбирают положительные направления токов в ветвях и проставляют стрелками на схеме. Так как в цепи действует одна э.д.с., то направление токов в ветвях очевидно, т.е. по направлению действия э.д.с. Затем преобразовывают пассивную часть схемы Линейные электрические цепи постоянного тока до эквивалентного резистора Линейные электрические цепи постоянного тока, значение которого определится:

Линейные электрические цепи постоянного тока

По закону Ома определяется ток Линейные электрические цепи постоянного тока:

Линейные электрические цепи постоянного тока

Возвращаясь к исходной схеме (рисунок 1.17,а) и пользуясь формулой (1.10), определяют ток Линейные электрические цепи постоянного тока:

aЛинейные электрические цепи постоянного тока

Ток во второй параллельной ветви Линейные электрические цепи постоянного тока можно определить аналогично: Л^=±10_=10 =

Линейные электрические цепи постоянного тока

либо по первому закону Кирхгофа для узла Линейные электрические цепи постоянного тока

Линейные электрические цепи постоянного тока

Токи в параллельных ветвях Линейные электрические цепи постоянного тока можно найти и по-другому, определив предварительно напряжение Линейные электрические цепи постоянного тока

Линейные электрические цепи постоянного тока

Напряжение Линейные электрические цепи постоянного тока можно было бы определить и из уравнения по второму закону Кирхгофа для левого контура схемы рисунка 1.17,а:

Линейные электрические цепи постоянного тока