Линейно связные множества

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Интуиция подсказывает, что некоторые подмножества метрических пространств можно рассматривать как нечто целое (например, интервал и отрезок на числовой прямой R, круг на плоскости R2, тар в Rn), тогда как другие подмножества могут состоять из нескольких отдельных „кусков" (например, объединение двух интервалов или отрезков в R, не имеющих общих точек; объединение двух кругов в R2, также не имеющих общих точек; дополнение к некоторой окружности в R2).

Далее нас будут интересовать множества, представляющие собой нечто целое. Для уточнения зтого интуитивного понятия введем следующее определение. Определение 5.18. Метрйческое пространство М называют линейно связным, если, каковы бы ни были точки а и Ь этого пространства, существует такое непрерывное отображение у> некоторого отрезка [а, /?] числовой прямой R в пространство М, что Отображение у? при этом именуют путем (или дугой), соединяющим точки а и 6.

Сами точки а и 6 называют в этом случае соответственно началом и концом пути. Итак, линейно связное пространство — это метрическое пространство, в котором любые две его точки могут быть соединены некоторым путем. Путь проходит через точку с € М, если образ содержит эту точку, т.е. .

Путь ip пересекает подмножество Очевидно, что если две точки а и 6 множества М могут быть соединены некоторым путем и, в свою очередь, точки бис этого множества тоже могут быть соединены некоторым путем , то а и с также могут быть соединены путем. Пример 5.12. Тождественное отображение является примером пути, так как оно непрерывно в R. Действительно, при произвольном е > 0 положим \

Ясно, что условие (5.7) непрерывности функции tp(x) будет выполнено, если выбрать 6 = ss Путь ф(х) = х проходит через любую точку с € R, поскольку образ <!-- ?([(х) = х отображала непрерывно в М (функция у>(а;) со значениями в М С R не определена на всем отрезке [ai, 61] и потому не является непрерывной на этом отрезке, т.е. в данном случае не удовлетворяет определению 5.16 пути — график функции <р(х) состоит из двух прямолинейных участков CD и EF). # Существует ли путь в таком случае?

Ответ на зтот вопрос дает следующая теорема.

Теорема 5.11. Множество М С R линейно связно тогда и только тогда, когда оно является промежутком числовой прямой. < Пусть MCR —промежуток, а,б€М и а <6. В качестве пути <ру соединяющего точки о и 6, возьмем тождественное отображение <р(х) — х Vx € [a, 6]. Оно является непрерывным на [о, 6] (см. пример 5.12) и y?(a) = a, 0).

Следоваг тельно, и в этом случае 7 ф sup Л. Итак, имеем а < 7 < /?, причем /(ar) ^ с, если х < 7, а при а; > 7 /(аг) > с. В силу непрерывности / на отрезке [а, /?] у точки 7 существует (5-окрестность для которой справедливо Если , то, положив в , получим f{x) с. Следовательно, Доказывая теорему 5.11, попутно доказали следующее утверждение. Утверждение 5.3. Если действительная функция f(x) действительного переменного х € R непрерывна на отрезке [а, /?], причем то существует такая точка . Это утверждение в дальнейшем будет играть важную роль. Его часто называют теоремой о промежуточном значении действительной непрерывной функции. В частности, если /(а)/(/3) < 0, т.е. функция на концах отрезка имеет ненулевые значения разных знаков, то справедливо следующее утверждение.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Линейно связные множества Утверждение 6.4. Если действительная функция f(x) непрерывна на отрезке [о, /3] и на концах отрезка принимает разные по знаку значения, то внутри отрезка существует точка 7, в которой Свойства отображения линейно связного множества устанавливает следующая теорема. Теорема 5.12. Образ линейно связного метрического пространства при непрерывном отображении является линейно связным метрическим пространством. <

отображением линейно связного метрического пространства X в метрическое пространство У. Докажем, что образ f(X) является линейно связным метрическим пространством. Рассмотрим две произвольные точки /(о) и /(/?) множества f(X). В силу линейной связности X точки а и Р можно, согласно определению 5.16, соединить некоторым путем, т.е. существует непрерывное отображение некоторого отрезка [а, 0] С R в множество X, такое, что у>(аг) = о,

Тогда отображение / о будет непрерывным как композиция непрерывных отображений (см. теорему 5.8). Оно будет осуществлять отображение отрезка [а, в множество f(X) так, что / Из теорем 5.11 и 5.12 можно сделать такой вывод. Следствие б.б. Если действительная функция непрерывна на линейно связном множестве X, то множество ее значений является промежутком числовой прямой.

4 Действительно, для непрерывной на линейно связном множестве X функции f(x) множество f(X) С R является, согласно теореме 5.12, линейно связным и остается лишь применить теорему 5.11. Линейно связные множества Это свойство действительной функции часто формулируют как свойство промежуточных значений непрерывной на линейно связном множестве функции: вместе с любыми двумя своими значениями такая функция принимает и все промежуточные между ними значения.