Квадратуры Гаусса

Квадратуры Гаусса

Квадратуры Гаусса

Квадратуры Гаусса

Квадратуры Гаусса

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Решение задач по математике

Рассмотрения § 3 естественно приводят к мысли попытаться улучшить качество получаемых квадратур за счет специального выбора узлов при том же их количестве. Возможны разные понимания того, что такое «более качественная квадратура», мы че в основу последующих рассуждений положим следующее — квадратура с фиксированным числом узлов тем качественнее, чем выше степень многочленов, для которых она точна.

Такое понимание качества квадратуры связано с тем, что многочлен более высокой степени, вообще говоря, лучше приближает функцию, а поэтому можно о кидать, что квадратуры, точные на классе многочленов более высокой степени, будут иметь меньшую погрешность Элементарный анализ показывает, что построить г-узловую квадратуру, точную на многочленах степени выше или равной 2г, невозможно. "

Для квадратур Ньютона—Котсса Действительно, если такая квадратура существует, то для функции Квадратуры Гаусса где Xi — узлы квадратуры, должно выполняться равенство что невозможно, так как интеграл слева положителен в силу положительности подынтегральной функции, а сумма справа тождественно равна нулю при любом выборе узлов Xi и весов и>,. Поскольку г-узловая квадратура определяется 2г параметрами — узлами и весами, — то разумно искать г-узловую квадратуру, точную на многочленах степени не выше (2г - 1)-й.

Оказывается, такие квадратуры существуют. Они называются квадратурами Гаусса и могут быть построены для всех г. Для упрощения выкладок рассмотрим процедуру построения упомянутых квадратур для интеграла переход к которому от интеграла осуществляется посредством замены переменной интегрирования При этом Квадратуры Гаусса Пусть искомая r-узловая квадратура имеет вид.

Поскольку мы хотим, чтобы она была точной на классе многочленов степени не выше, то для каждого из значений , должно иметь место соотношение если 8 — нечетное, в противном случае. , и узлов Система (1) может быть эффективно решена способом скользящего суммирования:. пусть — многочлен степени г, корни которого совпадают с узлами искомой квадратуры. Умножим первое уравнение системы (1) на ро, второе — на р\, третье — на р2 и так вплоть до г-го уравнения системы, которое умножим на 1.

Складывая получившиеся соотношения почленно, получим Поскольку по определению , последнее соотношение приводит к равенству, связывающему коэффициенты многочлена Wr(x).

Продолжая процесс, умножим теперь второе уравнение системы (1) на ро, третье — на pi, четвертое — на р2 и так вплоть до (г + 1)-го уравнения системы, которое умножим на 1. Сложив эти соотношения почленно, получим второе уравнение для коэффициентов р, Последовательно сдвигая суммирование на один шаг вперед, мы таким образом получим систему из г линейных уравнений относительно коэффициентов р, характеристического многочлена Wr(x).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Кривые второго порядка. Свойства эллипса. Что такое Гипербола
Химический анализ. Аналитическая химия
Кинематический расчет привода
Формула Грина. Площадь плоской области. Масса кривой

Можно показать, что для любого г эта система однозначно разрешима, причем все корни Wr(x) различны и лежат на промежутке (—1, 1]. Взяв в качестве узлов искомой квадратуры корни многочлена Wr(x), соответствующие им веса легко можно найти из системы (1). Они оказываются неотрицательными и обладающими симметрией относительно среднего узла.

Последнее означает, что Проиллюстрируем изложенное

на простых примерах. Одноузловая квадратура Гаусса Одноузловая квадратура Гаусса (точная в классе линейных функций) определяется узлом и весом -I и совпадает с формулой прямоугольников из семейства квадратур Ньютона—Котеса. Двух узловая квадратура Гаусса При г = 2 получаем . Для этого случая система уравнений (1) запишется в виде.

Скользящее суммирование приводит к системе для коэффициентов ро и pi Теперь легко определяем веса и искомую двухуэловую квадратуру Гаусса Трехузловая квадратура Гаусса Полагая получаем Квадратуры Гаусса Скользящее суммирование приводит к системе для коэффициентов откуда получаем Теперь легко определяем веса и искомую квадратуру Гаусса Точность квадратур Гаусса на классе 2г непрерывно дифференцируемых на промежутке функций может быть оценена соотношением откуда для полученных выше квадратур получаем