Курсовая работа по высшей математике

Курсовая работа по высшей математике! Заказать готовую онлайн!

Вы всегда можете обратиться за помощью по всем предметам, я вам помогу быстро, вам нужно только написать мне! Ниже предоставлена большая курсовая работа, охватывающая все разделы высшей математики.


Исследование функций на монотонность

На рис. 129 представлен график некоторой возрастающей дифференцируемой функции у = f(x).

Проведем касательные к графику в

Курсовая работа по высшей математике

точках Курсовая работа по высшей математике Что общего у построенных прямых? Общее то, что они составляют с осью х острый угол, а значит, у обеих прямых положительный угловой коэффициент. Но угловой коэффициент касательной ра-- вен значению производной в абсциссе _ точки касания. Таким образом,Курсовая работа по высшей математике касательная параллельна оси х, в этой - точке выполняется равенство Курсовая работа по высшей математике. Вообще в любой точке х из области определения возрастающей дифференцируемой функции выполняется равенство Курсовая работа по высшей математике

На рис. 130 представлен график некоторой убывающей дифференцируемой функции Курсовая работа по высшей математике Проведем касательные к графику в точках

Курсовая работа по высшей математикеКурсовая работа по высшей математике.

Что общего у построенных прямыхТЪбшее то, что обе они составляют с осью х тупой угол, а значит, у обеих прямых отрицательный угловой коэффициент. Но угловой коэффициент касательной равен значению производной в абсциссе точки касания. Таким образом, Курсовая работа по высшей математике

А в точке х=х, касательная параллельна оси х, в этой точке выполняется равенство Курсовая работа по высшей математике. Вообще в любой точке х из области определения убывающей дифференцируемой функции выполняется неравенство

Курсовая работа по высшей математике

Эти рассуждения показывают, что между характером монотонности функции и знаком ее производной есть определенная связь:

  • если функция возрастает на промежутке и имеет на нем производную, то производная неотрицательна; если функция убывает на промежутке и имеет на нем производную, то производная неположительна.

Для практики гораздо важнее то, что верны и обратные теоремы, показывающие, как по знаку производной можно установить характер монотонности функции на промежутке. При этом, во избежание недоразумений, берут только открытые промежутки, т.е. интервалы или открытые лучи. Дело в том, что для функции, определенной на отрезке [а, Ь], не очень корректно ставить вопрос о существовании и о значении производной в концевой точке (в точке х = а или в точке х= b), поскольку в точке х= а приращение аргумента может быть только положительным, а в точке х = Ь — только отрицательным. В определении производной такие ограничения не предусмотрены.


Теорема 1. Если во всех точках открытого промежутка X выполняется неравенство Курсовая работа по высшей математике (причем уравнение Курсовая работа по высшей математике имеет лишь конечное множество корней), то функция Курсовая работа по высшей математике возрастает на промежутке X.

Теорема 2. Если во всех точках открытого промежутка X выполняется неравенство Курсовая работа по высшей математике (причем уравнение Курсовая работа по высшей математике имеет лишь конечное множество корней), то функция y=f(x) убывает на промежутке X.

Доказательства этих теорем проводят обычно в курсе высшей математики. Мы ограничимся проведенными выше рассуждениями «на пальцах» и для вящей убедительности дадим еще физическое истолкование сформулированных теорем.

Пусть по прямой движется материальная точка, Курсовая работа по высшей математике — закон движения. Если скорость все время положительна, то точка постоянно удаляется от начала отсчета, т.е. функция Курсовая работа по высшей математике возрастает. Если же скорость все время отрицательна, то точка постоянно приближается к началу отсчета, т.е. функция Курсовая работа по высшей математике убывает.

Если скорость движения была положительна, затем в какой-то отдельный момент времени обратилась в нуль, а потом снова стала положительной, то движущееся тело в указанный момент времени как бы притормаживает, но все равно продолжает удаляться от начальной точки. Так что и в этом случае функция s = s(t) возрастает.

А что такое скорость? Это производная пути по времени. Значит, от знака производной (скорости) зависит характер монотонности функции — в данном случае функции Курсовая работа по высшей математике. Об этом как раз и говорят обе сформулированные теоремы.

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Заказать высшую математику

Пример курсовой работы 1. Доказать, что функция возрастает на всей числовой прямой.

Решение:

Найдем производную заданной функции:

Курсовая работа по высшей математике

Очевидно, что при всех х выполняется неравенство Курсовая работа по высшей математике Значит, по теореме 1, функция возрастает на всей числовой прямой.

Пример курсовой работы 2.

а) Доказать, что функция Курсовая работа по высшей математике убывает на всей числовой прямой;

б) решить уравнение Курсовая работа по высшей математике

Решение:

а) Найдем производную заданной функции:

Курсовая работа по высшей математике

Полученное выражение всегда отрицательно. В самом деле, для всех значений х выполняются неравенства:

Курсовая работа по высшей математике

Значит, Курсовая работа по высшей математике

Тем более Курсовая работа по высшей математике Это неравенство выполняется при всех значениях х. Значит, по теореме 2, функция убывает на всей числовой прямой.

б) Рассмотрим уравнение Курсовая работа по высшей математике

Курсовая работа по высшей математике

Как было установлено только что, Курсовая работа по высшей математике — убывающая функция. В то же время Курсовая работа по высшей математике — возрастающая функция. Имеет место следующее утверждение: если одна из функций y = f(x) или Курсовая работа по высшей математике возрастает, а другая убывает и если уравнение Курсовая работа по высшей математике имеет корень, то только

■ - один (рис. 131 наглядно иллюстрирует это утверждение). Корень заданного уравнения подобрать нетрудно — это число х= 0 (при этом ’— значении уравнение обращается в верное числовое равенство 5 = 5).

Итак, х = 0 — единственный корень заданного уравнения. <■

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Помощь по высшей математике

Пример курсовой работы 3.

а) Исследовать на монотонность функцию Курсовая работа по высшей математике

б) построить график этой функции.

Решение:

а) Исследовать функцию на монотонность — это значит выяснить, на каких промежутках области определения функция возрастает, а на каких убывает. Согласно теоремам 1 и 2 это связано со знаком производной.

Найдем производную данной функции: Курсовая работа по высшей математике и далее Курсовая работа по высшей математике

Курсовая работа по высшей математике

На рис. 132 схематически указаны знаки производной по промежуткам области определения: на луче Курсовая работа по высшей математике производная положительна, на интервале (-1,0) — отрицательна, на лучеКурсовая работа по высшей математике — положительна. Значит, на первом из указанных промежутков функция возрастает, на втором убывает, на третьем возрастает.

Обычно, если функция непрерывна не только на открытом промежутке, но и в его концевых точках, эти концевые точки включают в промежуток монотонности функции.

Таким образом, заданная функция возрастает на луче Курсовая работа по высшей математике, возрастает на луче Курсовая работа по высшей математике, убывает на отрезке [—1, 0].

б) Графики функций строят « по точкам». Для этого надо составить таблицу значений функции Курсовая работа по высшей математике, куда обязательно следует включить значения функции в концевых точках промежутков монотонности х = -1 их=0и еще пару-тройку значений:

Курсовая работа по высшей математике

Отметим эти точки на координатной плоскости. Учтем найденные в п. а) промежутки возрастания и убывания функции, а также то, что в точках х = -1 и х = 0 производная функции равна нулю, т.е. касательная к графику функции в

Курсовая работа по высшей математике

указанных точках параллельна оси абсцисс, более того, в точке (-1; 0) она даже совпадает с осью абсцисс. Учтем, наконец, то, что функция непрерывна, т.е. ее графиком является сплошная линия. График заданной в условии функции изображен на рис. 133.

Завершая рассуждения по исследованию функций на монотонность, обратим внимание на одно обстоятельство. Мы видели, что если на промежутке X выполняется неравенство f’(x)>0, то функция y = f(x) возрастает на промежутке X; если же на промежутке X выполняется неравенство f’(x) <0, то функция убывает на этом промежутке.

А что будет, если на всем промежутке выполняется тождество f'(x) =0 ? Видимо, функция не должна ни возрастать, ни убывать. Что же это за функция?

Ответ очевиден — это постоянная функция у = С (буква С — первая буква слова constanta, что означает «постоянная»). Справедлива следующая теорема, формальное доказательство которой мы не приводим, ограничиваясь приведенными выше правдоподобными рассуждениями.

Теорема 3. Если во всех точках открытого промежутка X выполняется равенство f'(x) = 0, то функция y = f(x) постоянна на промежутке X.

В дальнейшем эта теорема будет нами востребована, т.е. в ее пользе для математики мы сумеем убедиться. А сейчас приведем (для наиболее любознательных) пример использования теоремы 3 (из разряда математических развлечений). Мы приведем новый способ доказательства хорошо вам известного тождества Курсовая работа по высшей математике

Рассмотрим функцию Курсовая работа по высшей математике. Найдем ее производную:

Курсовая работа по высшей математике

Итак, для всех x выполняется равенство Курсовая работа по высшей математике, значит, Курсовая работа по высшей математике. Чтобы найти значение С, достаточно вычислить значение функции в любой точке х, например, х =0. Имеем:

Курсовая работа по высшей математике

Таким образом, Курсовая работа по высшей математике


Точки экстремума функции и их отыскание

Вернемся к графику функции Курсовая работа по высшей математике (рис. 133). На графике есть две уникальные точки, определяющие его структуру, — это точки (-1; 0) и (0; -1). В этих точках:

1) происходит изменение характера монотонности функции (слева от точки х = -1 функция возрастает, справа от нее, но только до точки х =0, функция убывает; слева от точки х ^0 функция убывает, справа от нее возрастает);

2) касательная к графику функции параллельна оси х, т.е. производная функции в каждой из указанных точек равна нулю;

3) Курсовая работа по высшей математике — наибольшее значение функции, но не во всей области определения, а в локальном смысле, т.е. по сравнению со значениями Курсовая работа по высшей математике

Функции из некоторой окрестности точ- ких = -1. Точно так же f(0) — наименьшее значение функции, но не во всей области определения, а в локальном смысле, т.е. по сравнению со значениями функции из некоторой окрестности точки х = 0.

А тепеРь взгляните на рис. 134, где изображен график другой функции. Не правда ли, он похож на предыдущий график? На нем те же две уникальные точки, но одна из указанных выше трех особенностей этих точек изменилась: теперь касательные к графику в этих точках не параллельны оси х. В точке х=-1 касательная вообще не существует, а в точке х = 0 она перпендикулярна оси х (точнее, она совпадает с осью у).

Дальнейший ход рассуждений вам уже известен: если появляется новая математическая модель или новая особенность математической модели, ее надо специально изучить, т.е. ввести новый термин, новые обозначения, сформулировать новые свойства.

Определение 1. Точку х =Курсовая работа по высшей математике называют точкой минимума функции Курсовая работа по высшей математике, если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой (кроме самой точки х =Курсовая работа по высшей математике) выполняется неравенство:

Курсовая работа по высшей математике

Так, функции, графики которых изображены на рис. 133 и 134, имеют точку минимума х = 0. Почему? Потому что у этой точки существует окрестность, например, Курсовая работа по высшей математике для всех точек которой, кроме точки х= 0, выполняется неравенство Курсовая работа по высшей математике. Это верно для обеих функций.

Значение функции в точке минимума обычно обозначают Курсовая работа по высшей математике Не путайте это значение (наименьшее, но в локальном смысле) с !Курсовая работа по высшей математике т.е. с наименьшим значением функции во всей рассматриваемой области определения (в глобальном смысле). Посмотрите еще раз на рис. 133 и 134. Вы видите, что наименьшего значения нет ни у той, ни у другой функции, а Курсовая работа по высшей математике существует.

Определение 2. Точку х =Курсовая работа по высшей математике называют точкой максимума функции Курсовая работа по высшей математике, если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой, кроме самой точки х = Курсовая работа по высшей математике, выполняется неравенство:

Курсовая работа по высшей математике

Так, функции, графики которых изображены на рис. 133 и 134, имеют точку максимума х = -1. Почему? Потому что у этой точки существует окрестность, например, Курсовая работа по высшей математике для всех точек которой, кроме х = -1, выполняется неравенство Курсовая работа по высшей математике. Это верно для обеих функций.

Значение функции в точке максимума обычно обозначают Курсовая работа по высшей математике. Не путайте это значение (наибольшее, но в локальном смысле) с Курсовая работа по высшей математике, т.е. с наибольшим значением функции во всей рассматриваемой области определения (в глобальном смысле). Посмотрите еще раз на рис. 133 и 134. Вы видите, что наибольшего значения нет ни у той, ни у другой функции Курсовая работа по высшей математике, а существует.

Точки минимума и максимума функции объединяют общим термином — точки экстремума (от латинского слова extremum — «крайний»).

Как искать точки экстремума функции? Ответ на этот вопрос мы сможем найти, еще раз проанализировав графические модели, представленные на рис. 133 и 134.

Обратите внимание: для функции, график которой изображен на рис. 133, в обеих точках экстремума производная обращается в нуль (касательные параллельны оси х). А для функции, график которой изображен на рис. 134, в обеих точках экстремума производная не существует. Это не случайно, поскольку, как доказано в курсе математического анализа, справедлива следующая теорема.

Теорема 4. Если функция y=f(x) имеет экстремум в точке х =Курсовая работа по высшей математике,то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.

Для удобства условимся внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю, называть стационарными, а внутренние точки области определения функции, в которых функция непрерывна, но производная функции не существует, — критическими.

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Заказать контрольную по высшей математике

Пример курсовой работы 4.

Построить график функции Курсовая работа по высшей математике

Курсовая работа по высшей математике

Решение:

Вам известно, что графиком заданной квадратичной функции является парабола, причем ветви параболы направлены вверх, поскольку коэффициент при Курсовая работа по высшей математике положителен. Но в таком случае вершина параболы является точкой минимума функции, касательная к пара- _1 боле в ее вершине параллельна оси х, значит, в вершине параболы должно выполняться условие Курсовая работа по высшей математике

Имеем: Курсовая работа по высшей математике

Приравняв производную нулю, получим: 4х -6=0; х = 1,5.

Подставив найденное значение X в уравнение параболы, получим:

Курсовая работа по высшей математике

Итак, вершиной параболы служит точка (1,5; -1,5), а осью параболы — прямая х= 1,5 (рис. 135). В качестве контрольных точек удобно Курсовая работа по высшей математике

взять точку (0; 3) и симметричную ей относительно оси параболы точку (3; 3). На рис. 136 по найденным трем точкам построена парабола — график заданной квадратичной функции.

Помните ли вы, как мы строили график квадратичной функции Курсовая работа по высшей математике в 8—9-м классах? Практически так же, лишь ось пара-Рис. 136 болы находили не с помощью производной, а по формуле Курсовая работа по высшей математике, которую приходилось запоминать. Решение, показанное в примере 4, освобождает вас от необходимости помнить эту формулу.

  • Чтобы найти абсциссу вершины параболы Курсовая работа по высшей математике или уравнение ее оси симметрии, достаточно приравнять нулю производную квадратичной функции.

А теперь вернемся к теореме 4, которая говорит, что если в точке х = Курсовая работа по высшей математике функция Курсовая работа по высшей математике имеет экстремум, то х = Курсовая работа по высшей математике — стационарная или критическая точка функции. Возникает естественный вопрос: верна ли обратная теорема, т.е. верно ли, что если х = Курсовая работа по высшей математике — стационарная или критическая точка, то в этой точке функция имеет экстремум? Отвечаем: нет, неверно. Посмотрите на рис. 137, где изображен график возрастающей функции, не имеющей точек экстремума. У этой функции есть стационарная точка Курсовая работа по высшей математике, в которой производная обращается в нуль (в этой точке график функции имеет касательную, параллельную оси х), но

Курсовая работа по высшей математике

это не точка экстремума, а точка перегиба, и есть критическая точка х =х2, в которой производная не существует, но это также не точка экстремума, а точка излома графика. Поэтому скажем так: теорема 4 дает только необходимое условие экстремума (справедлива прямая теорема), но оно не является достаточным условием (обратная теорема не 1 выполняется).

А как же быть с достаточным условием? Как узнать, есть ли в стационарной или в критической точке экстремум? Для ответа на этот вопрос снова рассмотрим графики функций, представленные на рис. 133, 134, 136 и 137.

Замечаем, что при переходе через точку максимума (речь идет о точке х = -1 на рис. 133 и 134) изменяется характер монотонности функции: слева от точки максимума функция возрастает, справа убывает. Соответственно изменяются знаки производной: слева от точки максимума производная положительна, справа отрицательна.

Замечаем, что при переходе через точку минимума (речь идет о точке х=0 на рис. 133 и 134 и о точке х = 1,5 на рис. 136) также изменяется характер монотонности функции: слева от точки минимума функция убывает, справа возрастает. Соответственно изменяются знаки производной: слева от точки минимума производной отрицательна, справа положительна.

Если же и слева, и справа от стационарной или критической точки производная имеет один и тот же знак, то в этой точке экстремума нет, именно так обстоит дело с функцией, график которой изображен на рис. 137.

Наши рассуждения могут служить подтверждением (но, конечно, не доказательством — строгие доказательства проводятся в курсе математического анализа) справедливости следующей теоремы.

Теорема 5 (достаточные условия экстремума). Пусть функция V=f(x) непрерывна на промежутке X и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку х = Курсовая работа по высшей математике. Тогда:

  • а) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней при х<х0 выполняется неравенство f (х) < О, а при х > Курсовая работа по высшей математике — неравенство f(x)>0, то х = Курсовая работа по высшей математике — точка минимума функции y=f(x);
  • б) если у этой точки существует такая окрестность, что в нейприх<х0 выполняется неравенство f(x)> О, а при х>Курсовая работа по высшей математике — неравенство f(x)<0, то х = Курсовая работа по высшей математике — точка максимума функции У=1(х);
  • в) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней и слева, и справа от точки х0 знаки производной одинаковы, то в точке х = х0 экстремума нет.

Пример курсовой работы 5.

а) Найти точки экстремума функции

Курсовая работа по высшей математике

б) построить график этой функции.

Решение:

а) Найдем производную данной функции:

Курсовая работа по высшей математике и далее

Курсовая работа по высшей математике

Курсовая работа по высшей математике

Производная обращается в нуль в точках х = 0 и х = 2 — это две стационарные точки заданной функции. На рис. 138 схематически указаны знаки производной по промежуткам области определения: на промежутке Курсовая работа по высшей математике производная отрицательна, на промежутке (0, 2) — положительна, на промежутке Курсовая работа по высшей математике— положительна.

  • Значит, х =0 — точка минимума функции, ах = 2точкойэкстремума не является. На первом из указанных выше промежутков функция убывает, на втором и третьем возрастает.

В точке минимума Курсовая работа по высшей математике (подставили значение х = 0 в аналитическое задание функции), значит, Курсовая работа по высшей математике

б) Чтобы построить график функции, нужно знать особо важные точки графика. К таковым относятся:

— найденная точка минимума (0; -11);

— стационарная точка х = 2; в этой точкеКурсовая работа по высшей математике

Курсовая работа по высшей математике

— точки пересечения с осями координат; в данном примере это уже найденная

точка (0; -11) — точка пересечения графика £ yl -I- N 1 -I— с осью у. И еще: можно догадаться, что Курсовая работа по высшей математике, значит, найдена точка пересечения графика с осью х — это точка (1; 0).

Итак, мы имеем точку минимума (0; -11), точку пересечения графика с осью х — точку (1; 0) и стационарную точку (2; 5). В этой точке касательная к графику функции горизонтальна, но это не точка экстремума, а точка перегиба. График функции схематически изображен на рис. 139. Заметим, что есть еще одна точка пересечения графи ка с осью абсцисс, но найти ее нам не удалось.

Завершая этот пункт, заметим, что мы фактически выработали

АЛГОРИТМ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ Курсовая работа по высшей математике НА МОНОТОННОСТЬ И ЭКСТРЕМУМЫ

1. Найти производную Курсовая работа по высшей математике

2. Найти стационарные и критические точки.

3. Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.

4. Опираясь на теоремы из § 35, сделать выводы о монотонности функции ио ее точках экстремума.

Р(х)

Заметим, что если заданная функция имеет вид Курсовая работа по высшей математике то полюсы функции, т.е. точки, в которых знаменатель?(х) обращается в нуль, тоже отмечают на числовой прямой, причем делают это до определения знаков производной. Но, разумеется, полюсы не могут быть точками экстремума.

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Задачи по высшей математике с решением

Пример курсовой работы 6.

Исследовать функцию Курсовая работа по высшей математике на монотонность и экстремумы.

Решение:

Заметим, что функция всюду непрерывна, кроме точки х = 0. Воспользуемся указанным выше алгоритмом.

1) Найдем производную заданной функции:

Курсовая работа по высшей математике

2) Производная обращается в нуль в точках х = 2 и х = -2 — это стационарные точки. Производная не существует в точке х = 0, но это не критическая точка, это точка разрыва функции (полюс).

Курсовая работа по высшей математике

3) Отметим точки -2, 0 и 2 на числовой прямой и расставим знаки производной на получившихся промежутках (рис. 140).

4) Делаем выводы: на луче Курсовая работа по высшей математике функция убывает, на полуинтервале [-2, 0) функция возрастает, на полуинтервале (0, 2] функция убывает, налучеКурсовая работа по высшей математике функция возрастает.

Далее, х = -2 — точка минимума, причем Курсовая работа по высшей математике (подставили значение х = -2 в формулу Курсовая работа по высшей математике ).

Аналогично устанавливаем, что и х = 2 — точка минимума, причем Курсовая работа по высшей математике