Курсовая работа по теории вероятности

Курсовая работа по теории вероятности

Теория вероятностей - сложный предмет для студента. На его изучение уходит много времени, чего недостаточно для современных студентов. Преподаватели требуют завершения курсовой работы по теорверу в срок. Трудно написать такую работу самостоятельно, поэтому один из наиболее правильных вариантов обратиться за помощью ко мне. Напишите мне и я вам помогу.

Предоставляю полный пример курсовой работы по теории вероятности, он вам пригодиться если вы собрались самостоятельно шаг за шагом сделать свою работу.

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Заказать работу по теории вероятности помощь в учёбе

Предельные теоремы теории вероятностей

Предельные теоремы теории вероятностей можно условно разбить на два класса: законы больших чисел и центральные предельные теоремы.

Законы больших чисел математически описывают стойкость средних значений массовых случайных явлений. Исторически первым законом больших чисел была следующая теорема.

Теорема 1 (теорема Я. Вернулли). Пусть — количество появлений события А в серии из Курсовая работа по теории вероятности независимых испытаний, в каждом из которых событие А происходит с вероятностью Курсовая работа по теории вероятности Тогда для произвольного Курсовая работа по теории вероятности

Курсовая работа по теории вероятности

Другими словами, с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при довольно большом количестве независимых испытаний статистическая частота Курсовая работа по теории вероятности появления события А как угодно мало отличается от вероятности появления события А в одном испытании.

  • Эта теорема, в частности, объясняет, почему при многократном подбрасывании симметричной монеты количество гербов составляет приблизительно половину от общего количества подбрасываний. Обобщением теоремы 1 является следующая теорема.

Теорема 2 (теорема П. Л. Чебишева). Пусть Курсовая работа по теории вероятности— последовательность попарно независимых случайных величин с конечными математическими ожиданиями Курсовая работа по теории вероятности и ограниченными дисперсиями Курсовая работа по теории вероятности. Тогда для произвольного Курсовая работа по теории вероятности

Курсовая работа по теории вероятности

В обеих теоремах существенно использовано неравенство Чеби-шева, которое, впрочем, имеет и самостоятельную ценность.

Лемма 1 (неравенство Чебишева). Пусть Курсовая работа по теории вероятности— произвольная случайная величина с дисперсией Курсовая работа по теории вероятности и математическим ожиданием Курсовая работа по теории вероятности. Тогда для произвольного Курсовая работа по теории вероятности

Курсовая работа по теории вероятности

Неравенство Чебишева можно записать также в форме

Курсовая работа по теории вероятности

Кроме законов больших чисел, описанных в теоремах 1 и 2, наблюдается еще одно довольно интересное явление, которое заключается в том, что при большом количестве случайных слагаемых, каждое из которых вносит лишь небольшой вклад в общую сумму, распределение каждого из случайных слагаемых не влияет на суммарный результат. Более точное утверждение сформулировано в следующей теореме.

Теорема 3 (центральная предельная теорема). Пусть Курсовая работа по теории вероятности — одинаково распределённые случайные величины с математическим ожиданием Курсовая работа по теории вероятности и дисперсией Курсовая работа по теории вероятности. Тогда при большом значении Курсовая работа по теории вероятности распределение суммы Курсовая работа по теории вероятности близко к нормальному распределению.

Если результирующая случайная величина Курсовая работа по теории вероятностиимеет математическое ожидание Курсовая работа по теории вероятности и дисперсию Курсовая работа по теории вероятности, то из теоремы 3 вытекает, что

Курсовая работа по теории вероятности

следовательно,

Курсовая работа по теории вероятности

Из последних равенств вытекает, что вероятность Курсовая работа по теории вероятностисобытия можно оценить, пользуясь экспериментальными данными. Действительно, если в серии из Курсовая работа по теории вероятностинезависимых испытаний исследуемое событие А происходит Курсовая работа по теории вероятности раз, то статистическая частота появления события А равняется Курсовая работа по теории вероятности. Эта частота является случайной величиной Курсовая работа по теории вероятности для которой математическое ожидание

Курсовая работа по теории вероятности

а дисперсия

Курсовая работа по теории вероятности

Тогда при достаточно больших значениях Курсовая работа по теории вероятности выполняется равенство

Курсовая работа по теории вероятности

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Решение задач по теории вероятности с примерами онлайн

Пример курсовой 1.

Используя неравенство Чебишева, найти вероятность события А, которое заключается в том, что случайная величина X примет значение, которое будет отличаться от математического ожидания Курсовая работа по теории вероятности на величину, не превышающую утроенного среднего квадратического отклонения. Изменится ли ответ, если известно, что случайная величина X имеет нормальное распределение?

Решение:

Согласно неравенству Чебишева

Курсовая работа по теории вероятности

Итак,

Курсовая работа по теории вероятности

Если X имеет нормальное распределение, то

Курсовая работа по теории вероятности

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Контрольная работа по теории вероятности заказать

Пример курсовой 2.

При производстве дискет брак составляет 1 %. Сколько дискет нужно отобрать для проверки качества, чтобы с вероятностью 0,95 можно было утверждать, что в случайной выборке дискет процент бракованных отличается от 1 % не более чем на 0,5 %?

Решение:

Количество бракованных дискет является случайной величиной

Курсовая работа по теории вероятности

где Курсовая работа по теории вероятности — независимые одинаково распределённые случайные величины; Курсовая работа по теории вероятности — случайная величина, которая равняется количеству бракованных дискет при изготовлении одной дискеты, т. е. Курсовая работа по теории вероятности может принимать значение или 0, или 1 с вероятностью соответственно 0,99 и 0,01.

Если Курсовая работа по теории вероятности — достаточно большое число, то согласно центральной предельной теореме распределение случайной величины Курсовая работа по теории вероятности близко к нормальному. Поэтому

Курсовая работа по теории вероятности

где -Курсовая работа по теории вероятности частота брака; Курсовая работа по теории вероятности— неизвестное количество дискет.

Число Курсовая работа по теории вероятностинужно выбрать таким, чтобы

Курсовая работа по теории вероятности

Другими словами,

Курсовая работа по теории вероятности

По таблице значений функции Лапласа (ирил. 1) находим значение аргументаКурсовая работа по теории вероятности такое, что Курсовая работа по теории вероятности

Курсовая работа по теории вероятности

Решив уравнение

Курсовая работа по теории вероятности

получим
Курсовая работа по теории вероятности

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Помощь по теории вероятности онлайн

Пример курсовой 3.

При анонимном тестировании оказалось, что 10 % работников предприятия совсем не употребляют спиртного. Случайная величина X — количество людей, которые совсем не употребляют спиртного в случайной выборке из 900 рабочих. Указать границы, в которые попадает случайная величина X с вероятностью 0,9.

Решение:

Согласно центральной предельной теореме можно считать, что случайная величина X имеет распределение, близкое к нормальному. По условию

Курсовая работа по теории вероятности

Тогда

Курсовая работа по теории вероятности

Итак,

Курсовая работа по теории вероятности

По таблице значений функции Лапласа находим значение аргумента Курсовая работа по теории вероятности такое, что Курсовая работа по теории вероятности

Курсовая работа по теории вероятности

Отсюда Курсовая работа по теории вероятности

Итак, с вероятностью 0,9 будет выполняться условие
Курсовая работа по теории вероятности
что равносильно тому, что случайная величина X попадёт в интервал (75; 105) с вероятностью 0,9.

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

РГР по теории вероятности расчетно графическая работа

Пример курсовой 4.

Пусть Курсовая работа по теории вероятности — случайно выбранное число из отрезка [0; 1],

Курсовая работа по теории вероятности

десятичное представление числа Курсовая работа по теории вероятности Пусть Курсовая работа по теории вероятности — количество цифр «7», которые встретились в десятичном представлении числа Курсовая работа по теории вероятности до Курсовая работа по теории вероятности-ro места включительно. Найти вероятность того, что частота цифры «7», которая равняется

Курсовая работа по теории вероятности

будет отличаться от 0,1 не более чем на Курсовая работа по теории вероятности.

Решение:

Курсовая работа по теории вероятности — случайная величина, которая является суммой

Курсовая работа по теории вероятности

гдеКурсовая работа по теории вероятности, если Курсовая работа по теории вероятности, и Курсовая работа по теории вероятности, если Курсовая работа по теории вероятности. Другими словами, имеет такое распределение:Курсовая работа по теории вероятности

Легко увидеть, что

Курсовая работа по теории вероятности

Поэтому

Курсовая работа по теории вероятности

Поскольку случайные величины Курсовая работа по теории вероятностинезависимы и имеют ограниченные дисперсии и математические ожидания, то выполняется теорема Чебишева:

Курсовая работа по теории вероятности
Итак, для произвольного Курсовая работа по теории вероятностис вероятностью 1 частота цифры «7» в десятичном представлении случайно выбранного числа Курсовая работа по теории вероятности отличается от 0,1 не более чем на Курсовая работа по теории вероятности.

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Задачи по теории вероятности с решением

Функции случайных величин

Пусть Курсовая работа по теории вероятности — случайная величина, связанная с некоторым вероятностным экспериментом, Курсовая работа по теории вероятности — числовая функция, которая удовлетворяет таким требованиям:

  • • функция Курсовая работа по теории вероятности определена для всех значений, которые принимает случайная величина Курсовая работа по теории вероятности.
  • • для произвольного значения Курсовая работа по теории вероятности можно вычислить вероятность Курсовая работа по теории вероятности, где

Курсовая работа по теории вероятности

т. е. Курсовая работа по теории вероятности — полный прообраз функции Курсовая работа по теории вероятности в точке Курсовая работа по теории вероятности.

Тогда Курсовая работа по теории вероятности — случайная величина, которая принимает значение в зависимости от того, какое значения приняла случайная величина Курсовая работа по теории вероятности. Если в результате эксперимента случайная величина Курсовая работа по теории вероятности принимает значение Курсовая работа по теории вероятности случайная величина Курсовая работа по теории вероятности принимает значение Курсовая работа по теории вероятности

Если Курсовая работа по теории вероятности — дискретная случайная величина с рядом распределенияКурсовая работа по теории вероятности

то случайная величина Курсовая работа по теории вероятности — дискретная случайная величина с рядом распределения

Курсовая работа по теории вероятности

Курсовая работа по теории вероятности

Если некоторые значения Курсовая работа по теории вероятности и Курсовая работа по теории вероятности равны между собой, то в ряд распределения записывают это значение лишь один раз, а вероятность, которая ему отвечает, равняется Курсовая работа по теории вероятности

Если Курсовая работа по теории вероятности — непрерывная случайная величина, то случайная величина Курсовая работа по теории вероятности может:

а) быть дискретной случайной величиной (если Курсовая работа по теории вероятности — ступенчатая функция, т. е. разрывная функция, которая принимает не более чем счётное количество значений);

б) быть непрерывной случайной величиной, если Курсовая работа по теории вероятности — непрерывная функция без интервалов постоянства;

в) не быть ни дискретной, ни непрерывной случайной величиной (такие случайные величины называются случайными величинами смешанного типа).

В случае а) случайная величина Курсовая работа по теории вероятности принимает значения Курсовая работа по теории вероятности, с вероятностями

Курсовая работа по теории вероятности

В случае б) для произвольного интервала Курсовая работа по теории вероятности мы должны определить полный прообраз

Курсовая работа по теории вероятности

и вероятность

Курсовая работа по теории вероятности

Функция распределения случайной величины Курсовая работа по теории вероятности имеет вид Курсовая работа по теории вероятности

где

Курсовая работа по теории вероятности

Курсовая работа по теории вероятности — плотность распределения вероятностей случайной величины

Если Курсовая работа по теории вероятности — абсолютно непрерывная случайная величина с плотностью Курсовая работа по теории вероятности и Курсовая работа по теории вероятности— дифференцированная строго монотонная функция с обратной функцией Курсовая работа по теории вероятности, то плотность распределения Курсовая работа по теории вероятности случайной величины Курсовая работа по теории вероятности определяется из равенства

Курсовая работа по теории вероятности

При этом функция распределения

Курсовая работа по теории вероятности

Пример курсовой 5.

Случайная величина Курсовая работа по теории вероятности задана рядом распределенияКурсовая работа по теории вероятности

Найти ряды распределения таких случайных величин:

Курсовая работа по теории вероятности

Решение:

а) Найдём возможные значения случайной величины Курсовая работа по теории вероятности

Курсовая работа по теории вероятности

Разным значениям случайной величины Курсовая работа по теории вероятности отвечают разные значения случайной величины Курсовая работа по теории вероятности. Итак, ряд распределения случайной величины Курсовая работа по теории вероятностиимеет видКурсовая работа по теории вероятности

б) Найдем возможные значения случайной величины Курсовая работа по теории вероятности

Курсовая работа по теории вероятности
Поскольку

Курсовая работа по теории вероятности

то ряд распределения случайной величины Курсовая работа по теории вероятности имеет такой вид:Курсовая работа по теории вероятности

Пример курсовой 6.

Случайная величинаКурсовая работа по теории вероятности имеет равномерное распределение на отрезке [0;9]. Найти закон распределения случайной величины Курсовая работа по теории вероятности если:

Курсовая работа по теории вероятности

Решение:

а) Поскольку множество значений функции Курсовая работа по теории вероятности состоит лишь из четырёх чисел, то случайная величина Курсовая работа по теории вероятности дискретная с возможными значениями 0, 5, 7, 2002 и вероятностями, которые им отвечают:

Курсовая работа по теории вероятности

Поскольку случайная величина Курсовая работа по теории вероятностиимеет равномерное распределение на [0; 9], то её функция распределения

Курсовая работа по теории вероятности

Отсюда получаем:

Курсовая работа по теории вероятности

Итак, ряд распределения случайной величины Курсовая работа по теории вероятности имеет вид
Курсовая работа по теории вероятности
б) Поскольку Курсовая работа по теории вероятности, то Курсовая работа по теории вероятности. Функция Курсовая работа по теории вероятности на интервале [0; 9] является строго возрастающей дифференцированной, поэтому случайная величина Курсовая работа по теории вероятности имеет непрерывное распределение, причем плотность Курсовая работа по теории вероятности этого распределения удовлетворяет равенству

Курсовая работа по теории вероятности

где Курсовая работа по теории вероятности — плотность распределения вероятностей случайной величины Курсовая работа по теории вероятности:

Курсовая работа по теории вероятности

Курсовая работа по теории вероятности — функция, обратная к функции Курсовая работа по теории вероятности т. е.

Курсовая работа по теории вероятности

Тогда

Курсовая работа по теории вероятности

Функция распределения Курсовая работа по теории вероятности случайной величины Курсовая работа по теории вероятности имеет вид

Курсовая работа по теории вероятности
в) Функция Курсовая работа по теории вероятности является непрерывной и неубывающей, график которой изображён на рис. 32.

Курсовая работа по теории вероятности

Образом отрезка [0; 9] при отображении Курсовая работа по теории вероятности является отрезок [0; 7]. Поскольку Курсовая работа по теории вероятностираспределена на [0;9], то случайная величина Курсовая работа по теории вероятностираспределена на [0;7]. ЕслиКурсовая работа по теории вероятностии Курсовая работа по теории вероятности, то прообразом точки Курсовая работа по теории вероятности является единственная точка Курсовая работа по теории вероятности. Поэтому

Курсовая работа по теории вероятности

Если Курсовая работа по теории вероятности Поэтому

Курсовая работа по теории вероятности

Курсовая работа по теории вероятности

Поскольку

Курсовая работа по теории вероятности

где

Курсовая работа по теории вероятности

то

Курсовая работа по теории вероятности

при Курсовая работа по теории вероятности

Если Курсовая работа по теории вероятности, то Курсовая работа по теории вероятности. Тогда

Курсовая работа по теории вероятности

и

Курсовая работа по теории вероятности

Итак,

Курсовая работа по теории вероятности

Курсовая работа по теории вероятности
График функции Курсовая работа по теории вероятности изображён на рис. 33.

Курсовая работа по теории вероятности

Системы двух случайных величин

Если на одном и том же пространстве элементарных событий Курсовая работа по теории вероятности задано две случайные величины Курсовая работа по теории вероятностии Курсовая работа по теории вероятности: то считают, что задана случайная величина Курсовая работа по теории вероятности (или случайный двумерный вектор).

При изучении системы случайных величин, вообще говоря, недостаточно знать информацию о каждой случайной составляющей. Необходимо учитывать еще и зависимость между ними.

Функцией распределения двумерной случайной величины Курсовая работа по теории вероятности называется функция двух переменных

Курсовая работа по теории вероятности

Функция распределения геометрически определяет вероятность попадания случайной точки Курсовая работа по теории вероятности в бесконечный квадрант с вершиной в точке Курсовая работа по теории вероятности, который находится левее и ниже от нее.

Функция распределения двумерной случайной величины имеет такие свойства.

Свойство 1. Курсовая работа по теории вероятности

Свойство 2. Для любой системы случайных величин Курсовая работа по теории вероятности

Свойство 3. а) Если Курсовая работа по теории вероятности, то

Курсовая работа по теории вероятности

для всех Курсовая работа по теории вероятности

б) Если Курсовая работа по теории вероятности, то

Курсовая работа по теории вероятности

для всех Курсовая работа по теории вероятности

Свойство 4. Если случайная величина Курсовая работа по теории вероятности имеет функцию распределения Курсовая работа по теории вероятности, а случайная величина Курсовая работа по теории вероятности — функцию распределения Курсовая работа по теории вероятности, то

Курсовая работа по теории вероятности
Свойство 5. Вероятность попадания случайной точки Курсовая работа по теории вероятности в прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, вычисляется по формуле

Курсовая работа по теории вероятности

Как и в одномерном случае, двумерные случайные величины можно разделить на два класса: дискретные и непрерывные.

Двумерная случайная величина Курсовая работа по теории вероятности называется дискретной, если и случайная величина Курсовая работа по теории вероятности и случайная величина Курсовая работа по теории вероятности являются дискретными случайными величинами. В этом случае случайную величину Курсовая работа по теории вероятности удобно задавать с помощью таблицы:

Курсовая работа по теории вероятности

где Курсовая работа по теории вероятности — вероятности того, что одновременно будут выполняться равенства Курсовая работа по теории вероятности Очевидно, при этом

Курсовая работа по теории вероятности

Для дискретной случайной величины Курсовая работа по теории вероятности функция распределения приобретает вид суммы

Курсовая работа по теории вероятности

т. е. суммирование выполняется по всем наборам Курсовая работа по теории вероятности для которых

одновременно Курсовая работа по теории вероятности и Курсовая работа по теории вероятности.

Пользуясь приведенной выше таблицей, легко определить распределения каждой случайной величины отдельно по формулам

Курсовая работа по теории вероятности

Двумерная случайная величина называется непрерывной, если вероятность попадания случайной точкиКурсовая работа по теории вероятности в произвольную фиксированную точку равняется нулю, т. е.

Курсовая работа по теории вероятности

для любых Курсовая работа по теории вероятности

Случайная величина Курсовая работа по теории вероятности, называется абсолютно непрерывной, если существует такая функция Курсовая работа по теории вероятности, для которой выполняется равенство

Курсовая работа по теории вероятности

Функция Курсовая работа по теории вероятности называется плотностью распределения двумерной случайной величины Курсовая работа по теории вероятности.

Плотность Курсовая работа по теории вероятности имеет такие свойства.
Свойство 1. Курсовая работа по теории вероятности.
Свойство 2. Курсовая работа по теории вероятности

Свойство 3. Курсовая работа по теории вероятности

Свойство 4. Вероятность попадания случайной точки Курсовая работа по теории вероятности в

плоскую область Курсовая работа по теории вероятности

Курсовая работа по теории вероятности

Случайные величины Курсовая работа по теории вероятности и Курсовая работа по теории вероятности называются независимыми, если

Курсовая работа по теории вероятности

Для абсолютно непрерывных случайных величин это условие равносильно условию

Курсовая работа по теории вероятности

где Курсовая работа по теории вероятностииКурсовая работа по теории вероятности — плотность распределения случайных величин Курсовая работа по теории вероятности и Курсовая работа по теории вероятности соответственно.

Плотности Курсовая работа по теории вероятности и Курсовая работа по теории вероятности можно вычислить но таким формулам:

Курсовая работа по теории вероятности

Если случайные величины Курсовая работа по теории вероятности и Курсовая работа по теории вероятности зависимы, то для нахождения закона распределения двумерной случайной величины Курсовая работа по теории вероятности недостаточно знать законы распределения каждой из случайных величин Курсовая работа по теории вероятности и Курсовая работа по теории вероятности.

Условным законом распределения называется распределение одной случайной величины, найденный при условии, что другая случайная величина системы приняла некоторое фиксированное значение.

Условный закон можно задавать как функцией распределения Курсовая работа по теории вероятности, так и плотностью Курсовая работа по теории вероятности (для абсолютно непрерывного случая), где
Курсовая работа по теории вероятности
Итак,

Курсовая работа по теории вероятности

Условная плотность обладает всеми свойствами плотности одномерного закона распределения.

Числовые характеристики условных законов распределения вычисляют так же, как и для безусловных, но используют условную плотность.

Для описания степени зависимости случайных величин Курсовая работа по теории вероятности и Курсовая работа по теории вероятности используют такие числовые характеристики, как ковариация и коэффициент корреляции.

Ковариацией (корреляционным моментом) системы случайных величин называют число

Курсовая работа по теории вероятности

Если случайные величины Курсовая работа по теории вероятности и Курсовая работа по теории вероятности дискретные, то

Курсовая работа по теории вероятности

Если случайные величины Курсовая работа по теории вероятности и Курсовая работа по теории вероятности непрерывные, то

Курсовая работа по теории вероятности

Коэффициентом корреляции системы случайных величин Курсовая работа по теории вероятности и Курсовая работа по теории вероятности называют число

Курсовая работа по теории вероятности

Если Курсовая работа по теории вероятности и Курсовая работа по теории вероятности — независимые случайные величины, то

Курсовая работа по теории вероятности

Обратное утверждение неправильное. Существуют зависимые случайные величины, для которых ковариация и коэффициент корреляции равняются нулю.

Для произвольных случайных величин

Чем ближеКурсовая работа по теории вероятности к единице, тим более сильный степень зависимости между Курсовая работа по теории вероятности и Курсовая работа по теории вероятности. Если Курсовая работа по теории вероятности, то случайные величины называются некоррелированными.

Пример курсовой 7.

Из коробки, в которой находятся три красных и два синих шара, наугад без возвращений вынимают последовательно шары до первого появления синего шара. Далее шары вынимают до первого появления красного шара.

Необходимо описать закон распределения вероятностей системы случайных величин Курсовая работа по теории вероятности, где Курсовая работа по теории вероятности— количество шаров, взятых из коробки до первого появления синего шара; Курсовая работа по теории вероятности— количество шаров, взятых из коробки до первого появления красного шара после того, как первый синий шар был вынут из коробки.

Составить отдельные законы распределения для случайных величин Курсовая работа по теории вероятностии Курсовая работа по теории вероятности.

Решение:

Случайная величина Курсовая работа по теории вероятности может принимать значения 1, 2, 3, 4, а случайная величина Курсовая работа по теории вероятности — значения 0, 1, 2. Вычислим Курсовая работа по теории вероятности, Курсовая работа по теории вероятности = 1,4, Курсовая работа по теории вероятности= 0, 1, 2 — вероятности того, что Курсовая работа по теории вероятности

Курсовая работа по теории вероятности

Полученные значения запишем в таблицу распределения вероятностей системы случайных величин Курсовая работа по теории вероятности (табл. 2).Курсовая работа по теории вероятности

Пользуясь табл. 2, довольно легко записать безусловные законы распределения для случайных величин Курсовая работа по теории вероятностии Курсовая работа по теории вероятности:

Курсовая работа по теории вероятности

Пример курсовой 8.

Задана таблица распределения двумерной случайной величиныКурсовая работа по теории вероятности:Курсовая работа по теории вероятности

Необходимо:

  • а) найти безусловные законы распределения двумерной случайной величиныКурсовая работа по теории вероятности;
  • б) найти условный закон распределения Курсовая работа по теории вероятностипри условии, что Курсовая работа по теории вероятности;
  • в) найти условный закон распределения Курсовая работа по теории вероятностипри условии, что Курсовая работа по теории вероятности;
  • г) выяснить, зависимы или нет случайные величины Курсовая работа по теории вероятностии Курсовая работа по теории вероятности.
Решение:

а) Вычислим вероятности Курсовая работа по теории вероятности и Курсовая работа по теории вероятности:

Курсовая работа по теории вероятности

Запишем безусловные законы распределения Курсовая работа по теории вероятности и Курсовая работа по теории вероятности:
Курсовая работа по теории вероятности
б) Поскольку

Курсовая работа по теории вероятности
условный закон распределения Курсовая работа по теории вероятности при условии, что Курсовая работа по теории вероятности, будет иметь такой вид:Курсовая работа по теории вероятности

в) Поскольку
Курсовая работа по теории вероятности
условный закон распределения Курсовая работа по теории вероятности при условии, что Курсовая работа по теории вероятности, будет иметь такой вид:Курсовая работа по теории вероятности

г) Тот факт, что безусловный закон распределения величины Курсовая работа по теории вероятности не совпадает с условным законом распределения этой величины, свидетельствует о том, что величины Курсовая работа по теории вероятностии Курсовая работа по теории вероятности зависимы.

Пример курсовой 9.

Система случайных величин Курсовая работа по теории вероятности имеет такое распределение вероятностей:

Курсовая работа по теории вероятности

Найти:

а) математические ожидания Курсовая работа по теории вероятности и Курсовая работа по теории вероятности;

б) дисперсии Курсовая работа по теории вероятности и Курсовая работа по теории вероятности.

Решение:

а) Чтобы определить математическое ожидание Курсовая работа по теории вероятности, можно воспользоваться формулой

Курсовая работа по теории вероятности

откуда

Курсовая работа по теории вероятности

Такой же результат получим, если запишем безусловный закон распределения случайной величины Курсовая работа по теории вероятности:

Курсовая работа по теории вероятности

и дальше воспользуемся формулой

Курсовая работа по теории вероятности

откуда

Курсовая работа по теории вероятности.
Аналогично вычисляем математическое ожидание:

Курсовая работа по теории вероятности
или из безусловного закона распределения

Курсовая работа по теории вероятности

получаем

Курсовая работа по теории вероятности

б) Чтобы найти дисперсию Курсовая работа по теории вероятности, можно воспользоваться формулой

Курсовая работа по теории вероятности
откуда

Курсовая работа по теории вероятности

Такой же результат получим, если воспользуемся безусловным законом распределения вероятностей случайной величины X и формулой

Курсовая работа по теории вероятности

откуда

Курсовая работа по теории вероятности

Аналогично вычисляется дисперсия Курсовая работа по теории вероятности. Воспользуемся безусловным законом распределения вероятностей случайной величины Курсовая работа по теории вероятности и формулой

Курсовая работа по теории вероятности

Получим

Курсовая работа по теории вероятности