Курсовая работа по теории вероятности

Ответы на вопросы по заказу заданий по теории вероятности:

Сколько стоит помощь?

• Цена зависит от объёма, сложности и срочности. Присылайте любые задания по любым предметам - я изучу и оценю.

Какой срок выполнения?

• Мне и моей команде под силу выполнить как срочный заказ, так и сложный заказ. Стандартный срок выполнения – от 1 до 3 дней. Мы всегда стараемся выполнять любые работы и задания раньше срока.

Если требуется доработка, это бесплатно?

• Доработка бесплатна. Срок выполнения от 1 до 2 дней.

Могу ли я не платить, если меня не устроит стоимость?

• Оценка стоимости бесплатна.

Каким способом можно оплатить?

• Можно оплатить любым способом: картой Visa / MasterCard, с баланса мобильного, google pay, apple pay, qiwi и т.д.

Какие у вас гарантии?

• Если работу не зачли, и мы не смогли её исправить – верну полную стоимость заказа.

В какое время я вам могу написать и прислать задание на выполнение?

• Присылайте в любое время! Я стараюсь быть всегда онлайн.

Содержание:

1. Ответы на вопросы по заказу заданий по теории вероятности:
2. Предельные теоремы теории вероятностей
3. Пример курсовой 1.
4. Решение:
5. Пример курсовой 2.
6. Решение:
7. Пример курсовой 3.
8. Решение:
9. Пример курсовой 4.
10. Решение:
11. Функции случайных величин
12. Пример курсовой 5.
13. Решение:
14. Пример курсовой 6.
15. Решение:
16. Системы двух случайных величин
17. Пример курсовой 7.
18. Решение:
19. Пример курсовой 8.
20. Решение:
21. Пример курсовой 9.
22. Решение:

Предельные теоремы теории вероятностей

Предельные теоремы теории вероятностей можно условно разбить на два класса: законы больших чисел и центральные предельные теоремы.

Законы больших чисел математически описывают стойкость средних значений массовых случайных явлений. Исторически первым законом больших чисел была следующая теорема.

Теорема 1 (теорема Я. Вернулли). Пусть — количество появлений события А в серии из независимых испытаний, в каждом из которых событие А происходит с вероятностью Тогда для произвольного

Другими словами, с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при довольно большом количестве независимых испытаний статистическая частота появления события А как угодно мало отличается от вероятности появления события А в одном испытании.

• Эта теорема, в частности, объясняет, почему при многократном подбрасывании симметричной монеты количество гербов составляет приблизительно половину от общего количества подбрасываний. Обобщением теоремы 1 является следующая теорема.

Теорема 2 (теорема П. Л. Чебишева). Пусть — последовательность попарно независимых случайных величин с конечными математическими ожиданиями и ограниченными дисперсиями . Тогда для произвольного

В обеих теоремах существенно использовано неравенство Чеби-шева, которое, впрочем, имеет и самостоятельную ценность.

Лемма 1 (неравенство Чебишева). Пусть — произвольная случайная величина с дисперсией и математическим ожиданием . Тогда для произвольного

Неравенство Чебишева можно записать также в форме

Кроме законов больших чисел, описанных в теоремах 1 и 2, наблюдается еще одно довольно интересное явление, которое заключается в том, что при большом количестве случайных слагаемых, каждое из которых вносит лишь небольшой вклад в общую сумму, распределение каждого из случайных слагаемых не влияет на суммарный результат. Более точное утверждение сформулировано в следующей теореме.

Теорема 3 (центральная предельная теорема). Пусть — одинаково распределённые случайные величины с математическим ожиданием и дисперсией . Тогда при большом значении распределение суммы близко к нормальному распределению.

Если результирующая случайная величина имеет математическое ожидание и дисперсию , то из теоремы 3 вытекает, что

следовательно,

Из последних равенств вытекает, что вероятность события можно оценить, пользуясь экспериментальными данными. Действительно, если в серии из независимых испытаний исследуемое событие А происходит раз, то статистическая частота появления события А равняется . Эта частота является случайной величиной для которой математическое ожидание

а дисперсия

Тогда при достаточно больших значениях выполняется равенство

Пример курсовой 1.

Используя неравенство Чебишева, найти вероятность события А, которое заключается в том, что случайная величина X примет значение, которое будет отличаться от математического ожидания на величину, не превышающую утроенного среднего квадратического отклонения. Изменится ли ответ, если известно, что случайная величина X имеет нормальное распределение?

Решение:

Согласно неравенству Чебишева

Итак,

Если X имеет нормальное распределение, то

Пример курсовой 2.

При производстве дискет брак составляет 1 %. Сколько дискет нужно отобрать для проверки качества, чтобы с вероятностью 0,95 можно было утверждать, что в случайной выборке дискет процент бракованных отличается от 1 % не более чем на 0,5 %?

Решение:

Количество бракованных дискет является случайной величиной

где — независимые одинаково распределённые случайные величины; — случайная величина, которая равняется количеству бракованных дискет при изготовлении одной дискеты, т. е. может принимать значение или 0, или 1 с вероятностью соответственно 0,99 и 0,01.

Если — достаточно большое число, то согласно центральной предельной теореме распределение случайной величины близко к нормальному. Поэтому

где - частота брака; — неизвестное количество дискет.

Число нужно выбрать таким, чтобы

Другими словами,

По таблице значений функции Лапласа (ирил. 1) находим значение аргумента такое, что

Решив уравнение

получим

Пример курсовой 3.

При анонимном тестировании оказалось, что 10 % работников предприятия совсем не употребляют спиртного. Случайная величина X — количество людей, которые совсем не употребляют спиртного в случайной выборке из 900 рабочих. Указать границы, в которые попадает случайная величина X с вероятностью 0,9.

Решение:

Согласно центральной предельной теореме можно считать, что случайная величина X имеет распределение, близкое к нормальному. По условию

Тогда

Итак,

По таблице значений функции Лапласа находим значение аргумента такое, что

Отсюда

Итак, с вероятностью 0,9 будет выполняться условие что равносильно тому, что случайная величина X попадёт в интервал (75; 105) с вероятностью 0,9.

Пример курсовой 4.

Пусть — случайно выбранное число из отрезка [0; 1],

десятичное представление числа Пусть — количество цифр «7», которые встретились в десятичном представлении числа до -ro места включительно. Найти вероятность того, что частота цифры «7», которая равняется

будет отличаться от 0,1 не более чем на .

Решение:

— случайная величина, которая является суммой

где, если , и , если . Другими словами, имеет такое распределение:

Легко увидеть, что

Поэтому

Поскольку случайные величины независимы и имеют ограниченные дисперсии и математические ожидания, то выполняется теорема Чебишева:

Итак, для произвольного с вероятностью 1 частота цифры «7» в десятичном представлении случайно выбранного числа отличается от 0,1 не более чем на .

Функции случайных величин

Пусть — случайная величина, связанная с некоторым вероятностным экспериментом, — числовая функция, которая удовлетворяет таким требованиям:

• • функция определена для всех значений, которые принимает случайная величина .
• • для произвольного значения можно вычислить вероятность , где

т. е. — полный прообраз функции в точке .

Тогда — случайная величина, которая принимает значение в зависимости от того, какое значения приняла случайная величина . Если в результате эксперимента случайная величина принимает значение случайная величина принимает значение

Если — дискретная случайная величина с рядом распределения

то случайная величина — дискретная случайная величина с рядом распределения

Если некоторые значения и равны между собой, то в ряд распределения записывают это значение лишь один раз, а вероятность, которая ему отвечает, равняется

Если — непрерывная случайная величина, то случайная величина может:

а) быть дискретной случайной величиной (если — ступенчатая функция, т. е. разрывная функция, которая принимает не более чем счётное количество значений);

б) быть непрерывной случайной величиной, если — непрерывная функция без интервалов постоянства;

в) не быть ни дискретной, ни непрерывной случайной величиной (такие случайные величины называются случайными величинами смешанного типа).

В случае а) случайная величина принимает значения , с вероятностями

В случае б) для произвольного интервала мы должны определить полный прообраз

и вероятность

Функция распределения случайной величины имеет вид

где

— плотность распределения вероятностей случайной величины

Если — абсолютно непрерывная случайная величина с плотностью и — дифференцированная строго монотонная функция с обратной функцией , то плотность распределения случайной величины определяется из равенства

При этом функция распределения

Пример курсовой 5.

Случайная величина задана рядом распределения

Найти ряды распределения таких случайных величин:

Решение:

а) Найдём возможные значения случайной величины

Разным значениям случайной величины отвечают разные значения случайной величины . Итак, ряд распределения случайной величины имеет вид

б) Найдем возможные значения случайной величины

Поскольку

то ряд распределения случайной величины имеет такой вид:

Пример курсовой 6.

Случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [0;9]. Найти закон распределения случайной величины если:

Решение:

а) Поскольку множество значений функции состоит лишь из четырёх чисел, то случайная величина дискретная с возможными значениями 0, 5, 7, 2002 и вероятностями, которые им отвечают:

Поскольку случайная величина имеет равномерное распределение на [0; 9], то её функция распределения

Отсюда получаем:

Итак, ряд распределения случайной величины имеет вид б) Поскольку , то . Функция на интервале [0; 9] является строго возрастающей дифференцированной, поэтому случайная величина имеет непрерывное распределение, причем плотность этого распределения удовлетворяет равенству

где — плотность распределения вероятностей случайной величины :

— функция, обратная к функции т. е.

Тогда

Функция распределения случайной величины имеет вид

в) Функция является непрерывной и неубывающей, график которой изображён на рис. 32.

Образом отрезка [0; 9] при отображении является отрезок [0; 7]. Поскольку распределена на [0;9], то случайная величина распределена на [0;7]. Еслии , то прообразом точки является единственная точка . Поэтому

Если Поэтому

Поскольку

где

то

при

Если , то . Тогда

и

Итак,

График функции изображён на рис. 33.

Системы двух случайных величин

Если на одном и том же пространстве элементарных событий задано две случайные величины и : то считают, что задана случайная величина (или случайный двумерный вектор).

При изучении системы случайных величин, вообще говоря, недостаточно знать информацию о каждой случайной составляющей. Необходимо учитывать еще и зависимость между ними.

Функцией распределения двумерной случайной величины называется функция двух переменных

Функция распределения геометрически определяет вероятность попадания случайной точки в бесконечный квадрант с вершиной в точке , который находится левее и ниже от нее.

Функция распределения двумерной случайной величины имеет такие свойства.

Свойство 1.

Свойство 2. Для любой системы случайных величин

Свойство 3. а) Если , то

для всех

б) Если , то

для всех

Свойство 4. Если случайная величина имеет функцию распределения , а случайная величина — функцию распределения , то

Свойство 5. Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, вычисляется по формуле

Как и в одномерном случае, двумерные случайные величины можно разделить на два класса: дискретные и непрерывные.

Двумерная случайная величина называется дискретной, если и случайная величина и случайная величина являются дискретными случайными величинами. В этом случае случайную величину удобно задавать с помощью таблицы:

где — вероятности того, что одновременно будут выполняться равенства Очевидно, при этом

Для дискретной случайной величины функция распределения приобретает вид суммы

т. е. суммирование выполняется по всем наборам для которых

одновременно и .

Пользуясь приведенной выше таблицей, легко определить распределения каждой случайной величины отдельно по формулам

Двумерная случайная величина называется непрерывной, если вероятность попадания случайной точки в произвольную фиксированную точку равняется нулю, т. е.

для любых

Случайная величина , называется абсолютно непрерывной, если существует такая функция , для которой выполняется равенство

Функция называется плотностью распределения двумерной случайной величины .

Плотность имеет такие свойства. Свойство 1. . Свойство 2.

Свойство 3.

Свойство 4. Вероятность попадания случайной точки в

плоскую область

Случайные величины и называются независимыми, если

Для абсолютно непрерывных случайных величин это условие равносильно условию

где и — плотность распределения случайных величин и соответственно.

Плотности и можно вычислить но таким формулам:

Если случайные величины и зависимы, то для нахождения закона распределения двумерной случайной величины недостаточно знать законы распределения каждой из случайных величин и .

Условным законом распределения называется распределение одной случайной величины, найденный при условии, что другая случайная величина системы приняла некоторое фиксированное значение.

Условный закон можно задавать как функцией распределения , так и плотностью (для абсолютно непрерывного случая), где Итак,

Условная плотность обладает всеми свойствами плотности одномерного закона распределения.

Числовые характеристики условных законов распределения вычисляют так же, как и для безусловных, но используют условную плотность.

Для описания степени зависимости случайных величин и используют такие числовые характеристики, как ковариация и коэффициент корреляции.

Ковариацией (корреляционным моментом) системы случайных величин называют число

Если случайные величины и дискретные, то

Если случайные величины и непрерывные, то

Коэффициентом корреляции системы случайных величин и называют число

Если и — независимые случайные величины, то

Обратное утверждение неправильное. Существуют зависимые случайные величины, для которых ковариация и коэффициент корреляции равняются нулю.

Для произвольных случайных величин

Чем ближе к единице, тим более сильный степень зависимости между и . Если , то случайные величины называются некоррелированными.

Пример курсовой 7.

Из коробки, в которой находятся три красных и два синих шара, наугад без возвращений вынимают последовательно шары до первого появления синего шара. Далее шары вынимают до первого появления красного шара.

Необходимо описать закон распределения вероятностей системы случайных величин , где — количество шаров, взятых из коробки до первого появления синего шара; — количество шаров, взятых из коробки до первого появления красного шара после того, как первый синий шар был вынут из коробки.

Составить отдельные законы распределения для случайных величин и .

Решение:

Случайная величина может принимать значения 1, 2, 3, 4, а случайная величина — значения 0, 1, 2. Вычислим , = 1,4, = 0, 1, 2 — вероятности того, что

Полученные значения запишем в таблицу распределения вероятностей системы случайных величин (табл. 2).

Пользуясь табл. 2, довольно легко записать безусловные законы распределения для случайных величин и :

Пример курсовой 8.

Задана таблица распределения двумерной случайной величины:

Необходимо:

• а) найти безусловные законы распределения двумерной случайной величины;
• б) найти условный закон распределения при условии, что ;
• в) найти условный закон распределения при условии, что ;
• г) выяснить, зависимы или нет случайные величины и .

Решение:

а) Вычислим вероятности и :

Запишем безусловные законы распределения и : б) Поскольку

условный закон распределения при условии, что , будет иметь такой вид:

в) Поскольку условный закон распределения при условии, что , будет иметь такой вид:

г) Тот факт, что безусловный закон распределения величины не совпадает с условным законом распределения этой величины, свидетельствует о том, что величины и зависимы.

Пример курсовой 9.

Система случайных величин имеет такое распределение вероятностей:

Найти:

а) математические ожидания и ;

б) дисперсии и .

Решение:

а) Чтобы определить математическое ожидание , можно воспользоваться формулой

откуда

Такой же результат получим, если запишем безусловный закон распределения случайной величины :

и дальше воспользуемся формулой

откуда

. Аналогично вычисляем математическое ожидание:

или из безусловного закона распределения

получаем

б) Чтобы найти дисперсию , можно воспользоваться формулой

откуда

Такой же результат получим, если воспользуемся безусловным законом распределения вероятностей случайной величины X и формулой

откуда

Аналогично вычисляется дисперсия . Воспользуемся безусловным законом распределения вероятностей случайной величины и формулой

Получим

Возможно, вас также заинтересует

• Заказать работу по теории вероятности помощь в учёбе
• Решение задач по теории вероятности с примерами онлайн
• Контрольная работа по теории вероятности заказать
• Помощь по теории вероятности онлайн
• РГР по теории вероятности расчетно графическая работа
• Задачи по теории вероятности с решением