Курсовая работа по логике

Курсовая работа по логике заказать готовую онлайн

 

Если у вас нету времени на курсач по логике вы всегда можете попросить меня, вам нужно написать мне, и я вам помогу онлайн или в срок 1-3 дня всё зависит что там у вас за работа, вдруг она огромная! Чуть ниже размещён теоретический и практический материал, который вам поможет сделать работу если у вас много свободного времени и желания!

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Заказать работу по логике помощь в учёбе

 

Символьная и математическая логика. В конце XIX - начале XX века логика, являющаяся одной из наиболее древних паук (по современным представлениям, рождение логики связано с деятельностью софистов в Древней Греции в 4-5 веке до н. э. — именно они создали логику как науку и активно использовали ее, в частности, для обучения ведению судебных споров; к этой же эпохе относится и деятельность первого ученого, систематизировавшего разрозненные логические знания — “отца логики” Аристотеля) пережила невиданную по своим масштабам и значению революцию.

Вначале преобразования казались несущественными и заключались в активном использовании в логических исследованиях символьной записи. Разработанная в 40-70х гг. прошлого века Дж. Булем, а затем развитая другими учеными (в основном математиками, в т.ч. Г. Кантором) символьная запись логических рассуждений оказалась очень удобной и быстро завоевала популярность, превратив формальную логику в символьную логику.

Например, рассмотренное выше логическое рассуждение “Курсовая работа по логике обладает свойством Курсовая работа по логике все Курсовая работа по логике имеющие свойство Курсовая работа по логике имеют и свойство Курсовая работа по логике, следовательно Курсовая работа по логике имеет свойство Курсовая работа по логике”, в современной записи выглядит очень компактно
Курсовая работа по логике

При этом Курсовая работа по логике обозначает “Курсовая работа по логике обладает свойством Курсовая работа по логике”, Курсовая работа по логике обозначает “если Курсовая работа по логике имеет свойство Курсовая работа по логике, то Курсовая работа по логике имеет свойство Курсовая работа по логике”, Курсовая работа по логике обозначает “для всех Курсовая работа по логике верно Курсовая работа по логике", а Курсовая работа по логике обозначает “доказывает”. “Символьная” революция в логике совпала по времени со столь же революционными преобразованиями в математике. Основными вехами этих преобразований было появление созданной Г. Кантором теории множеств, качественным повышением требований к строгости доказательств, прежде всего в математическом анализе в результате работ К. Вейерштрасса, активным поиском общих теоретикомножественных оснований математического анализа и математики в целом.

Возникшие на этом пути трудности оказались принципиальными и потребовали значительной формализации оснований математики с использованием методов символьной логики.

В свою очередь, произошедшее таким образом соприкосновение логики и математики привело к их взаимопроникновению настолько, что считавшаяся ранее частью философии логика оказалась пропитанной математическими методами, которые оказались эффективными и в применении к чисто логическим задачам.

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Решение задач по логике с примерами онлайн

 

В результате современная логика полностью базируется на математических методах и часто находит приложение в задачах математики и прикладных математических дисциплин, включающих теоретическую информатику, и является, таким образом, математической логикой. Однако нет никакого смысла в противопоставлении “логики” и “математической логики”, так как математическая логика представляет собой современное развитие классической логики, основы которой заложены еще Аристотелем.

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Контрольная работа по логике заказать

 

Представление произвольной функции алгебры логики в виде формулы алгебры логики.

Пусть Курсовая работа по логике - произвольная функция алгебры логики Курсовая работа по логике переменных.
Рассмотрим формулу
Курсовая работа по логике (1)
которая составлена следующим образом: каждое слагаемое этой логической суммы представляет собой конъюнкцию, в которой первый член является значением функции Курсовая работа по логике при некоторых определенных значениях переменных Курсовая работа по логике остальные же члены конъюнкции представляют собой переменные или их отрицания. При этом под знаком отрицания находятся те и только те переменные, которые в первом члене конъюнкции имеют значение 0.


Вместе с тем формула (1) содержит в виде логических слагаемых всевозможные конъюнкции указанного вида.
Ясно, что формула (1) полностью определяет функцию Курсовая работа по логике Иначе говоря, значения функции Курсовая работа по логике и формулы (1) совпадают на всех наборах значений переменных Курсовая работа по логике

Например, если Курсовая работа по логике принимает значение 0, а остальные переменные принимают значение 1, то функция Курсовая работа по логике принимает значение Курсовая работа по логике При этом логическое слагаемое Курсовая работа по логике входящее в формулу (1), принимает также значение Курсовая работа по логике все остальные логические слагаемые формулы (1) имеют значение 0. Действительно, в них знаки отрицания над переменными распределяются иначе, чем в рассмотренном слагаемом, но тогда при замене переменных теми же значениями в конъюнкцию войдет символ 0 без знака отрицания, символ 1 под знаком отрицания.

В таком случае один из членов конъюнкции имеет значение 0, а поэтому вся конъюнкция имеет значение 0. В связи с этим на основании равносильности Курсовая работа по логике значением формулы (1) является Курсовая работа по логике

Ясно, что вид формулы (1) может быть значительно упрощен, если в ней отбросить те логические слагаемые, в которых первый член конъюнкции имеет значение 0 (и, следовательно, вся конъюнкция имеет значение 0). Если же в логическом слагаемом первый член конъюнкции имеет значение 1, то, пользуясь равносильностью Курсовая работа по логике этот член конъюнкции можно не выписывать.

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Помощь по логике онлайн


Таким образом, в результате получается формула (1), которая содержит только элементарные переменные высказывания и обладает следующими свойствами:

 

  • 1) Каждое логическое слагаемое формулы содержит все переменные, входящие в функцию Курсовая работа по логике
  • 2) Все логические слагаемые формулы различны.
  • 3) Ни одно логическое слагаемое формулы не содержит одновременно переменную и ее отрицание.
  • 4) Ни одно логическое слагаемое формулы не содержит одну и ту же переменную дважды.


Перечисленные свойства будем называть свойствами совершенства или, коротко, свойствами Курсовая работа по логике
Из приведенных рассуждений видно, что каждой не тождественно ложной функции соответствует единственная формула указанного вида.

 

Если функция Курсовая работа по логике задана таблицей истинности, то соответствующая ей формула алгебры логики может быть получена просто. Действительно, для каждого набора значений переменных, на котором функция Курсовая работа по логике принимает значение 1, запишем конъюнкцию элементарных переменных высказываний, взяв за член конъюнкции Курсовая работа по логике если значение Курсовая работа по логике на указанном наборе значений переменных есть 1 и отрицание Курсовая работа по логике, если значение Курсовая работа по логике есть 0.

Дизъюнкция всех записанных конъюнкций и будет искомой формулой.


Пусть, например, функция Курсовая работа по логике имеет следующую таблицу истинности:

Курсовая работа по логике

Для наборов значений переменных (1,1,0), (1,0,1), (0,1,0), (0,0,0), на которых функция принимает значение 1, запишем конъюнкции Курсовая работа по логике а искомая формула, обладающая свойствами Курсовая работа по логике, имеет вид:
Курсовая работа по логике

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

РГР по логике расчетно графическая работа

 

Закон двойственности.

Пусть формула Курсовая работа по логике содержит только операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания.
Будем называть операцию конъюнкции двойственной операции дизъюнкции, а операцию дизъюнкции двойственной операции конъюнкции.
Определение. Формулы Курсовая работа по логике и Курсовая работа по логике называются двойственными, если формула Курсовая работа по логике получается из формулы Курсовая работа по логике путем замены в ней каждой операции на двойственную.


Например, для формулы Курсовая работа по логике двойственной формулой будет формула Курсовая работа по логике
Теорема. Если формулы Курсовая работа по логике и Курсовая работа по логике равносильны, то равносильны и им двойственные формулы, то есть Курсовая работа по логике
Предварительно докажем лемму.
Лемма. Если для формулы Курсовая работа по логике двойственной формулой является Курсовая работа по логике, то справедлива равносильность
Курсовая работа по логике
Доказательство. Для элементарной формулы утверждение леммы очевидно. Действительно, если Курсовая работа по логике то Курсовая работа по логике

Пусть теперь утверждение леммы справедливо для всяких формул, содержащих не более Курсовая работа по логике операций. Докажем, что при этом предположении утверждение справедливо и для формулы, содержащей Курсовая работа по логике операцию.
Пусть формула Курсовая работа по логике содержит Курсовая работа по логике операцию. Тогда ее можно представить в одном из трех видов:
Курсовая работа по логике

где формулы Курсовая работа по логике и Курсовая работа по логике содержат не более Курсовая работа по логике операций, и, следовательно, для них утверждение справедливо, то есть
Курсовая работа по логике
В случае 1) имеем Курсовая работа по логике а поэтому
Курсовая работа по логике
В случае 2) имеем Курсовая работа по логике а поэтому
Курсовая работа по логике

Аналогичное доказательство проводится и в случае 3). Докажем теперь закон двойственности.


Пусть формулы Курсовая работа по логике и Курсовая работа по логике равносильны:
Курсовая работа по логике
Но тогда, очевидно,
Курсовая работа по логике (1)
В то же время, согласно лемме,
Курсовая работа по логике (2)
Из равносильностей (1) и (2) получаем
Курсовая работа по логике
и, следовательно,

Курсовая работа по логике

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Задачи по логике с решением

 

Дизъюнктивная нормальная форма и совершенная дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ и СДНФ).

Определение 1. Элементарной конъюнкцией Курсовая работа по логике переменных называется конъюнкция переменных или их отрицаний.
Элементарная конъюнкция Курсовая работа по логике переменных может быть записана в виде: Курсовая работа по логике
где Курсовая работа по логике
Определение 2. Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) формулы А называется равносильная ей формула, представляющая собой дизъюнкцию элементарных конъюнкций.
Для любой формулы алгебры логики путем равносильных преобразований можно получить ее ДНФ, причем не единственную.


Например, для формулы Курсовая работа по логике имеем:
Курсовая работа по логике то есть
Курсовая работа по логике
Среди многочисленных ДНФ Курсовая работа по логике существует единственная ДНФ Курсовая работа по логике, для которой выполняются перечисленные выше четыре свойства совершенства (свойства Курсовая работа по логике).


Такая ДНФ Курсовая работа по логике называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой формулы Курсовая работа по логике (СДНФ Курсовая работа по логике ).
Как уже указывалось, СДНФ Курсовая работа по логике может быть получена с помощью таблицы истинности.
Другой способ получения СДНФ формулы Курсовая работа по логике основан на равносильных преобразованиях формулы и состоит в следующем:

  • 1. Путем равносильных преобразований формулы Курсовая работа по логике получают одну из ДНФ Курсовая работа по логике.
  • 2. Если в полученной ДНФ Курсовая работа по логике входящая в нее элементарная конъюнкция Курсовая работа по логике не содержит переменную Курсовая работа по логике то, используя равносильность Курсовая работа по логике элементарную конъюнкцию Курсовая работа по логике заменяют на две элементарных конъюнкции Курсовая работа по логике и Курсовая работа по логике, каждая из которых содержит переменную Курсовая работа по логике.
  • 3. Если в ДНФ Курсовая работа по логике входят две одинаковых элементарных конъюнкции Курсовая работа по логике, то лишнюю можно отбросить, пользуясь равносильностью Курсовая работа по логике
  • 4. Если некоторая элементарная конъюнкция Курсовая работа по логике, входящая в ДНФ Курсовая работа по логике, содержит переменную Курсовая работа по логике и ее отрицание Курсовая работа по логике, то Курсовая работа по логике и Курсовая работа по логике можно исключить из ДНФ Курсовая работа по логике, как нулевой член дизъюнкции.
  • 5. Если некоторая элементарная конъюнкция, входящая в ДНФ Курсовая работа по логике, содержит переменную Курсовая работа по логике дважды, то одну переменную можно отбросить, пользуясь равносильностью Курсовая работа по логике


Ясно, что после выполнения описанной процедуры будет получена СДНФ Курсовая работа по логике.
Например, для формулы Курсовая работа по логике

Так как элементарная конъюнкция Курсовая работа по логике входящая в ДНФ Курсовая работа по логике, не содержит переменной Курсовая работа по логике то, пользуясь равносильностью Курсовая работа по логике заменим ее на две элементарных конъюнкции Курсовая работа по логике и Курсовая работа по логике В результате получим Курсовая работа по логике
Так как теперь ДНФ Курсовая работа по логике содержит две одинаковых элементарных конъюнкции Курсовая работа по логике то лишнюю отбросим, пользуясь равносильностью Курсовая работа по логике В результате получим Курсовая работа по логике
Так как элементарная конъюнкция Курсовая работа по логике содержит переменную Курсовая работа по логике и ее отрицание Курсовая работа по логике то Курсовая работа по логике и ее можно отбросить как нулевой член дизъюнкции. Таким образом, получаем
Курсовая работа по логике

 

Проблема разрешимости.

Все формулы алгебры логики делятся на три класса:

  • 1) тождественно истинные,
  • 2) тождественно ложные и
  • 3) выполнимые.


Определения тождественно истинной и тождественно ложной формул даны выше.
Формулу Курсовая работа по логике называют выполнимой, если она принимает значение «истина» хотя бы на одном наборе значений входящих в нее переменных и не является тождественно истинной.
В связи с этим возникает задача: к какому классу относится данная формула?
Эта задача носит название проблемы разрешимости.
Очевидно, проблема разрешимости алгебры логики разрешима.


Действительно, для каждой формулы алгебры логики может быть записана таблица истинности, которая и даст ответ на поставленный вопрос.
Однако практическое использование таблицы истинности для формулы Курсовая работа по логике при больших Курсовая работа по логике затруднительно.


Существует другой способ, позволяющий, не используя таблицы истинности, определить, к какому классу относится формула Курсовая работа по логике.

Этот способ основан на приведении формулы к нормальной форме (КНФ или ДНФ) и использовании алгоритма, который позволяет определить, является ли данная формула тождественно истинной или не является. Одновременно с этим решается вопрос о том, будет ли формула Курсовая работа по логике выполнимой.

Предположим, что мы имеем критерий тождественной истинности для формул алгебры логики. Рассмотрим механизм его применения.
Применим критерий тождественной истинности к формуле Курсовая работа по логике. Если окажется, что формула Курсовая работа по логике - тождественно истинная, то задача решена. Если же окажется, что формула Курсовая работа по логике не тождественно истинная, то применим критерий тождественной истинности к формуле Курсовая работа по логике. Если окажется, что формула Курсовая работа по логике - тождественно истинная, то ясно, что формула Курсовая работа по логике - тождественно ложная, и задача решена. Если же формула Курсовая работа по логике не тождественно истинная, то остается единственно возможный результат: формула Курсовая работа по логике выполнима.


Установим теперь критерий тождественной истинности произвольной формулы алгебры логики. С этой целью предварительно сформулируем и докажем критерий тождественной истинности элементарной дизъюнкции.


Теорема 1. Для того, чтобы элементарная дизъюнкция была тождественно истинной, необходимо и достаточно, чтобы в ней содержалась переменная и ее отрицание.
Доказательство. Необходимость. Пусть элементарная дизъюнкция тождественно истинна, но в нее одновременно не входит некоторая переменная и ее отрицание. Придадим каждой переменной, входящей в элементарную дизъюнкцию без знака отрицания, значение ложь, а каждой переменной, входящей в элементарную дизъюнкцию под знаком отрицания - значение «истина». Тогда, очевидно, вся элементарная дизъюнкция примет значение ложь, что противоречит условию.
Достаточность. Пусть теперь элементарная дизъюнкция содержит переменную и ее отрицание. Так как Курсовая работа по логике то и вся элементарная дизъюнкция будет тождественно истинной.

Критерий тождественной истинности элементарной дизъюнкции позволяет сформулировать и доказать критерии тождественной истинности произвольной формулы алгебры логики.

Теорема 2. Для того, чтобы формула алгебры логики А была тождественно истинна, необходимо и достаточно, чтобы любая элементарная дизъюнкция, входящая в КНФ Курсовая работа по логике, содержала переменную и ее отрицание.
Доказательство. Необходимость. Пусть Курсовая работа по логике - тождественно истинна. Тогда и КНФ Курсовая работа по логике - тождественно истинна. Но Курсовая работа по логике где Курсовая работа по логике - элементарные дизъюнкции Курсовая работа по логике Так как Курсовая работа по логике то Курсовая работа по логике Но тогда по теореме 1 каждая элементарная дизъюнкция Курсовая работа по логике содержит переменную и ее отрицание.
Достаточность. Пусть любая элементарная дизъюнкция Курсовая работа по логике, входящая в КНФ Курсовая работа по логике, содержит переменную и ее отрицание. Тогда по теореме 1 Курсовая работа по логике При этом и Курсовая работа по логике
Например, выясним, является ли формула Курсовая работа по логике тождественно истинной.
Так как Курсовая работа по логике то ясно, что каждая элементарная дизъюнкция Курсовая работа по логике и Курсовая работа по логике входящая в КНФ Курсовая работа по логике, содержит переменную и ее отрицание. Следовательно, Курсовая работа по логике
Аналогично можно установить критерий тождественной ложности формулы алгебры логики, используя ее ДНФ.

Теорема 3. Для того, чтобы элементарная конъюнкция была тождественно ложной, необходимо и достаточно, чтобы в ней содержалась переменная и ее отрицание.

Теорема 4. Для того, чтобы формула алгебры логики Курсовая работа по логике была тождественно ложной, необходимо и достаточно, чтобы любая конъюнкция, входящая в ДНФ Курсовая работа по логике, содержала переменную и ее отрицание.

1. Приложения алгебры логики в технике (релейно-контактные схемы).
Среди технических средств автоматизации значительное место занимают устройства релейно-контактного действия. Они широко используются в технике автоматического управления, в электронно-вычислительной технике и т.д.


Эти устройства (их в общем случае называют переключательными схемами) содержат сотни реле, электронных ламп, полупроводников и электромагнитных элементов. Описание и конструирование таких схем в силу их громоздкости весьма затруднительно.
Еще в 1910 году физик П. С. Эренфест указал па возможность применения аппарата алгебры логики при исследовании релейно-контактных схем (РКС). Однако его идеи стали реализовываться значительно позже, когда создание общей теории конструирования РКС стало остро необходимым.

Использование алгебры логики в конструировании РКС оказалось возможным в связи с тем, что каждой схеме можно поставить в соответствие некоторую формулу алгебры логики, и каждая формула алгебры логики реализуется с помощью некоторой схемы.
Это обстоятельство позволяет выявить возможности заданной схемы, изучая соответствующую формулу, а упрощение схемы свести к упрощению формулы.


С другой стороны, до построения схемы можно заранее описать с помощью формулы те функции, которые схема должна выполнять.
Рассмотрим, как устанавливается связь между формулами алгебры логики и переключательными схемами.
Под переключательной схемой понимают схематическое изображение некоторого устройства, состоящего из следующих элементов:

  • 1) переключателей, которыми могут быть механические действующие устройства (выключатели, переключающие ключи, кнопочные устройства и т. д.), электромагнитные реле, электронные лампы, полупроводниковые элементы и т.п.;
  • 2) соединяющих их проводников;
  • 3) входов в схему и выходов из нее (клемм, на которые подается электрическое напряжение). Они называются полюсами схемы.


Сопротивления, конденсаторы и т.д. на схемах не изображаются.
Переключательной схемой принимается в расчет только два состояния каждого переключателя, которые называют «замкнутым» и «разомкнутым».
Рассмотрим простейшую схему, содержащую один переключатель Курсовая работа по логике и имеющую один вход Курсовая работа по логике и один выход Курсовая работа по логике. Переключателю Курсовая работа по логике поставим в соответствие высказывание Курсовая работа по логике, гласящее: «Переключатель Курсовая работа по логике замкнут». Если Курсовая работа по логике истинно, то импульс, поступающий на полюс Курсовая работа по логике, может быть снят на полюсе Курсовая работа по логике без потери напряжения. Будем в этом случае говорить, что схема проводит ток. Если Курсовая работа по логике ложно, то переключатель разомкнут, и схема тока не проводит или на полюсе В снимается минимальное напряжение при подаче на полюс Курсовая работа по логике максимального напряжения.
Если принять во внимание не смысл высказывания, а только его значение, то можно считать, что любому высказыванию может быть поставлена в соответствие переключательная схема 1.

Курсовая работа по логике

Схема 1.

Формулам, включающим основные логические операции, также могут быть поставлены в соответствие переключательные схемы.
Конъюнкция двух высказываний Курсовая работа по логике и Курсовая работа по логике будет представлена двухполюсной схемой с последовательным соединением двух переключателей Курсовая работа по логике и Курсовая работа по логике (схема 2) .

Курсовая работа по логике

Схема 2.

Эта схема пропускает ток тогда и только тогда, когда истинны и Курсовая работа по логике, и Курсовая работа по логике одновременно, то есть истинна конъюнкция Курсовая работа по логике.
Дизъюнкция двух высказываний Курсовая работа по логике и Курсовая работа по логике изобразится двухполюсной схемой с параллельным соединением двух переключателей Курсовая работа по логике и Курсовая работа по логике (схема 3).

Курсовая работа по логике

Схема 3.

Эта схема пропускает ток в случае, если истинно высказывание Курсовая работа по логике или истинно высказывание Курсовая работа по логике, то есть истинна дизъюнкция Курсовая работа по логике
Если высказывание Курсовая работа по логике есть отрицание высказывания Курсовая работа по логике, то тождественно истинная формула Курсовая работа по логике изображается схемой, которая проводит ток всегда (схема 4), а тождественно ложная формула Курсовая работа по логике изобразится схемой, которая всегда разомкнута (схема 5).

Курсовая работа по логике

Схема 4.

Курсовая работа по логике

Схема 5.

Из схем 1, 2 и 3 путем последовательного и параллельного их соединения могут быть построены новые двухполюсные переключательные схемы, которые называют П-схемами.
Как было показано, всякая формула алгебры логики путем равносильных преобразований может быть представлена в виде формулы, содержащей только две операции: конъюнкцию и отрицание или дизъюнкцию и отрицание. Из этого следует, что всякая формула алгебры логики может быть изображена П-схемой и, обратно, для любой П-схемы может быть записана формула, которая изображается этой схемой.