Курс теоретической механики

Содержание:

  1. Статика
  2. Пример решения задачи №1.
  3. Равновесие твердого тела
  4. Эквивалентные системы Сил
  5. Изменяемые системы
  6. Веревочный многоугольник
  7. Принцип возможных скоростей
  8. Формулировка и доказательство принципа в случае связей, выражающихся равенствами
  9. Понятие о трении
  10. Кинематика
  11. Кинематика точки
  12. Пример решения задачи. №2.
  13. Пример решения задачи. №3.
  14. Поступательное движение и вращение неизменяемой системы
  15. Скорость в относительном движении. Сложение поступательных и вращательных движений. Скорости точек свободного тела
  16. Ускорения. Теорема Кориолиса
  17. Динамика точки
  18. Пример решения задачи №4.
  19. Пример решения задачи №5.
  20. Пример решения задачи №6.

Статика

Свободная точка. Для того чтобы свободная точка была в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая Курс теоретической механики приложенных к ней сил была равна нулю, т. е. чтобы проекции Курс теоретической механики вектора Курс теоретической механики были равны нулю:

Курс теоретической механики

Если в каком-нибудь положении Курс теоретической механики подвергнуть точку Курс теоретической механики действию силы Курс теоретической механики не сообщая ей при этом никакой начальной скорости, то начальное значение Курс теоретической механики может зависеть только от Курс теоретической механики и Курс теоретической механики Мы будем предполагать, что от Курс теоретической механики оно не зависит.. Тогда три уравнения (1) определяют координаты положения равновесия. Если существует силовая функция Курс теоретической механики то проекции Курс теоретической механики являются частными производными от Курс теоретической механики и уравнения принимают вид

Курс теоретической механики

Это как раз те уравнения, которые необходимо разрешить при нахождении максимума и минимума функции Курс теоретической механики от трех независимых переменных Курс теоретической механики Мы покажем в динамике (гл. X) методом Лежен-Дирихле, что если функция Курс теоретической механики действительно имеет в точке Курс теоретической механики максимум, то - эта точка является положением устойчивого равновесия. Это означает, что если материальную точку каким-нибудь образом отклонить бесконечно мало от положения Курс теоретической механики и сообщить ей бесконечно малую начальную скорость, то она получит движение, при котором она удаляется от положения Курс теоретической механики бесконечно мало.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретической механике:

Предмет теоретическая механика: формулы и лекции и примеры заданий с решением

Приближенное представление об этом можно получить следующим образом. Допустим, что в точке Курс теоретической механики функция Курс теоретической механики имеет максимум, значение которого равно Курс теоретической механики Вблизи точки Курс теоретической механики функция Курс теоретической механики меньше чем Курс теоретической механики и поэтому поверхность уровня будет

Курс теоретической механики

где Курс теоретической механики — очень малая положительная величина, которая . содержит замкнутую поверхность, окружающую точку Курс теоретической механики рая . содержит замкнутую поверхность, окружающую точку Мх и непрерывно стягивающуюся в нее, когда Курс теоретической механики стремится к нулю (рис. 63, а). В каждой точке Курс теоретической механики этой поверхности сила нормальна к ней и направлена в сторону возрастания Курс теоретической механики т. е. во внутрь. Она стремится, следовательно, помешать точке Курс теоретической механики удалиться от точки Курс теоретической механики

Если, наоборот, в точке Курс теоретической механики функция Курс теоретической механики имеет минимум и теперь Курс теоретической механики есть значение этого минимума, то поверхность уровня

Курс теоретической механики (Курс теоретической механики - положительно)

будет по-прежнему содержать замкнутую часть, окружающую точку Курс теоретической механики Теперь в каждой точке Курс теоретической механики этой поверхности сила по-прежнему нормальна к ней, но направлена наружу (рис. 63, б). Эта сила стремится, следовательно, удалить точку Курс теоретической механики от точки Курс теоретической механики и равновесие в точке Курс теоретической механики неустойчиво.

Курс теоретической механики

Допустим, наконец, что в положении Курс теоретической механики три уравнения (2) удовлетворяются, но что соответствующее значение Курс теоретической механики не является ни максимумом, ни минимумом функции Курс теоретической механики Тогда в окрестности точки Курс теоретической механики существуют две области Курс теоретической механики и Курс теоретической механики (рис. 63, в) такие, что в одной из них, например в Курс теоретической механики функция Курс теоретической механики принимает значения, меньшие чем Курс теоретической механики а во второй Курс теоретической механики — значения, большие чем Курс теоретической механики Эти две области разделяются поверхностью уровня Курс теоретической механики на которой

Курс теоретической механики

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Теоретическая механика разделы

Теоретическая механика работа силы, тяжести, трения, мощности

Теоретическая механика статика

Теоретическая механика динамика

Эта. особая поверхность уровня Курс теоретической механики проходящая, очевидно, через точку Курс теоретической механики имеет в ней коническую точку, так как, согласно (2), в ней одновременно обращаются в нуль все три частные производные первого порядка функции Курс теоретической механики Если через Курс теоретической механики обозначить бесконечно малую положительную величину, то поверхности уровня

Курс теоретической механики

расположены в области Курс теоретической механики ив этой области силы стремятся вернуть движущуюся точку в положение Курс теоретической механики Поверхности же

Курс теоретической механики

находятся в области Курс теоретической механики и в этой области силы стремятся удалить движущуюся точку от точки Курс теоретической механики так как они направлены в сторону возрастания Курс теоретической механики Следовательно, положение равновесия Курс теоретической механики неустойчиво. Этот последний случай представляется для точки, притягиваемой к двум неподвижным центрам силами, обратно пропорциональными квадратам расстояний, что подробно рассматривается в теории притяжения.

Пример решения задачи №1.

Притяжения, пропорциональные расстояниям. Найти положение равновесия материальной точки, притягиваемой неподвижными центрами пропорционально расстояниям и массам притягивающих центров.

Пусть Курс теоретической механики (рис. 64) —неподвижные центры и Курс теоретической механики — их массы. Силы притяжения Курс теоретической механикиКурс теоретической механики действующие на материальную точку Курс теоретической механики направлены по Курс теоретической механики Курс теоретической механики их величины равны соответственно

Курс теоретической механики Курс теоретической механики

где Курс теоретической механики - постоянная.

Курс теоретической механики

Пусть Курс теоретической механики Курс теоретической механики — координаты притягивающих центров Курс теоретической механики - координаты точки Курс теоретической механики Проекции силы Курс теоретической механики на оси координат равны проекциям соответствующих отрезков Курс теоретической механики умноженным на Курс теоретической механики Следовательно, она равны

Курс теоретической механики

Отсюда для проекций равнодействующей получаем

Курс теоретической механики

где суммирование распространено на все силы, т. е. на все значения Курс теоретической механики Полагая

Курс теоретической механики

можем написать

Курс теоретической механики

Рассмотрим точку Курс теоретической механики с координатами Курс теоретической механики Она называется центром масс системы масс Курс теоретической механики Полученные только что уравнения показывают, что равнодействующая сил, действующих на Курс теоретической механики есть сила, которую можно получить, если всю систему притягивающих центров заменить единственной точкой Курс теоретической механики полагая ее массу равной Курс теоретической механики Равнодействующая направлена поКурс теоретической механики и ее значение равно Курс теоретической механики Следовательно, равновесия не будет, если точка Курс теоретической механики не совпадает с центром масс Курс теоретической механики системы.

Мы предполагали, что величины Курс теоретической механики существенно положительны. Допустим теперь, что эти числа не являются больше массами, а лишь некоторыми коэффициентами, и предположим, что некоторые из них отрицательны. Это равносильно предположению, что соответствующие силы являются отталкивающими, так как проекции какой-нибудь из сил Курс теоретической механики меняют знак вместе с Курс теоретической механики и сила Курс теоретической механики меняет направление на обратное, когда Курс теоретической механики делается отрицательным.

Если Курс теоретической механики отлично от нуля, то приведенные вычисления сохранят силу, и мы придем к тем же результатам. Если Курс теоретической механики равно нулю, то три величины (3) не зависят от Курс теоретической механики равнодействующая постоянна по величине и направлению и положения равновесия нет. Если, наконец, одновременно

Курс теоретической механики

то Курс теоретической механики равны нулю, каковы бы ни были Курс теоретической механики и, следовательно, точка Курс теоретической механики находится в равновесии в любом положении.

В рассматриваемой задаче существует силовая функция Курс теоретической механики В общем случае, когда Курс теоретической механики отлично от нуля, она будет Курс теоретической механики

Если Курс теоретической механики положительно, то эта функция равна нулю в точке Курс теоретической механики и отрицательна во всех остальных точках. Она, следовательно, имеет максимум в положении равновесия, которое вследствие этого устойчиво. Когда Курс теоретической механики отрицательно, имеет место обратное. Если Курс теоретической механики равно нулю, то Курс теоретической механики имеют постоянные значения Курс теоретической механики и силовая функция имеет вид

Курс теоретической механики

Равновесие твердого тела

Приведение сил, приложенных к твердому телу:

Твердое тело. Твердым телом называется совокупность материальных точек, неизменно связанных между собой. Если сила приложена к одной из этих точек, то говорят, что она приложена к телу. Определяемое таким образом твердое тело является абстракцией. Все естественные тела изменяют свою форму под действием приложенных к ним сил. Но тела, называемые твердыми, настолько мало деформируются, что этой деформацией в первом приближении можно пренебречь, если только приложенные силы не слишком велики.

Согласно общим теоремам о равновесии произвольных систем для равновесия твердого тела под действием некоторых сил необходимо, чтобы эти силы составляли систему скользящих векторов, эквивалентную нулю.

  • Но для твердого тела это необходимое условие является также и достаточным. Это можно доказать, допуская как очевидное следующее предложение:

Две приложенные к твердому телу равные и прямо про• тивоположные силы находятся в равновесии.

Согласно этому предложению можно, не изменяя механического состояния твердого тела, приложить к нему или отнять от него две равные прямо противоположные силы.

Это предложение позволяет доказать, как мы это сделали в теории векторов (п. 19), следующее свойство:

  • Можно, не изменяя состояния твердого тела, переносить точку приложения любой силы вдоль ее линии действия, если только новая точка приложения неизменно связана с телом.

Следовательно, вектор силы, приложенной к' твердому телу. связан с прямой, т. е. является скользящим вектором.

Мы покажем, как можно привести к простейшему виду совокупность приложенных к твердому телу сил и вывести отсюда необходимые и достаточные условия равновесия.

Приведение сил, приложенных к твердому телу. Равновесие. Согласно предыдущему, состояние тела не изменится, если выполнить следующие элементарные действия.

Присоединить или отбросить две равные прямо противоположные силы; перенести силу в какую-нибудь точку на ее линии действия.

Сложить несколько сходящихся сил в одну или разложить одну силу на несколько сходящихся сил.

Мы видели, что все системы скользящих векторов, полученные при помощи этих элементарных действий, эквивалентны, т. е. имеют одни и те же главные векторы и главные моменты. Наоборот, две эквивалентные системы скользящих векторов могут быть получены одна из другой при помощи этих действий. Следовательно, две системы сил, представляющие собой эквивалентные системы скользящих векторов, могут быть заменены одна другой без изменения механического состояния твердого тела.

Приведение к двум силам. Как было показано в теории векторов. система сил Курс теоретической механики приложенная к твердому телу, может быть приведена при помощи элементарных операций к двум силам Курс теоретической механики и Курс теоретической механики из которых одна приложена в произвольно выбранной точке.

Приведение к силе и паре. Как было показапо в теории векторов, произвольная система сил Курс теоретической механики может быть заменена одной силой Курс теоретической механики равной главному вектору и приложенной в произвольной точке Курс теоретической механики и одной парой с вектором момента, равным главному моменту Курс теоретической механики относительно точки Курс теоретической механики

Равновесие. Для равновесия необходимо, чтобы система Курс теоретической механики была эквивалентна нулю, т. е. чтобы ее главный вектор Курс теоретической механики и главный момент Курс теоретической механики равнялись нулю. Это условие также и достаточно. В самом деле, если оно выполняется, то при помощи элементарных действий все силы могут быть приведены к одной паре с моментом Курс теоретической механики равным нулю, и образованной, следовательно, двумя равными и противоположными силами, лежащими на одной прямой.

Уравнения равновесия. Обозначим через Курс теоретической механики суммы проекций всех сил на три оси координат, а через Курс теоретической механики суммы их моментов относительно тех же осей. Тогда необходимые и достаточные условия равновесия выразятся уравнениями:

Курс теоретической механики

Эквивалентные системы Сил

Мы видели в предыдущем разделе, что если две системы сил, приложенные к твердому телу, изображаются двумя эквивалентными системами скользящих векторов, то они могут быть заменены одна другой без изменения состояния тела.

Наоборот, если две системы сил Курс теоретической механики и Курс теоретической механики могут быть заменены одна другой без изменения механического состояния тела, то они изображаются двумя эквивалентными системами скользящих векторов.

В самом деле, рассмотрим систему Курс теоретической механики получаемую из системы Курс теоретической механики заменой всех сил на противоположные. Эта система Курс теоретической механики чевидно, уравновешивает систему Курс теоретической механики Но тогда она уравновесит также и систему Курс теоретической механики которая, по предположению, производит такое же действие, как и система Курс теоретической механики Следовательно, совокупность векторов Курс теоретической механики эквивалентна нулю, откуда вытекает, что система векторов Курс теоретической механики

Когда две системы сил Курс теоретической механики и Курс теоретической механики могут, быть заменены одна другой без нарушения механического состояния твердого тела, то их называют эквивалентными. Мы видим, таким образом, что для того, чтобы две системы сил были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы они представлялись двумя эквивалентными системами скользящих векторов.

Изменяемые системы

Предварительное замечание. В главе V мы указали необходимые условия равновесия произвольной материальной системы в следующей форме.

Если произвольная система находится в равновесии, то приложенные к ней внешние силы (т. е. все силы, отличные от взаимных реакций различных частей) образуют систему скользящих векторов, эквивалентную нулю, гп. е. удовлетворяют условиям равновесия сил, приложенных к твердому телу.

То же условие должно выполняться для внешних сил, приложенных к любой части материальной системы, если рассматривать ее как отделенную от остальной части.

Об этом можно составить себе представление на основании следующих рассуждений, основанных на идее затвердевания: если система находится в равновесии, то последнее, очевидно, сохранится, если все точки станут неизменно связанными между собой, т. е. если система затвердеет. Внешние силы должны уравновешиваться для полученного таким образом твердого тела и, следовательно, они удовлетворяют общим условиям равновесия твердого тела. Эти необходимые условия не будут, вообще говоря, достаточными. Мы применим эти рассуждения к некоторым изменяемым системам.

Веревочный многоугольник

121. Определение. Так называют систему материальных точек Курс теоретической механикиКурс теоретической механики каждая из которых связана с последующей при помощи гибкой нерастяжимой нити. К каждой из этих точек приложена соответственно одна из сил Курс теоретической механики под действием которых фигура может иметь некоторое положение равновесия в виде плоского или пространственного многоугольника. Исследуем условия равновесия такого многоугольника.

Рассмотрим сначала случай, когда имеются только две точки Курс теоретической механики и Курс теоретической механики и две силы Курс теоретической механики и Курс теоретической механики Равновесие может иметь место лишь тогда, когда внешние силы Курс теоретической механики и Курс теоретической механики действующий на точки Курс теоретической механики и Курс теоретической механики равны и прямо противоположны. Это необходимое условие не будет достаточным. Кроме того, силы должны иметь такое направление, при котором нить растягивается. Если силы будут направлены так, чтобы точки сближались, то равновесия не будет. Чтобы в этом случае оно все таки было, нужно заменить нить твердым стержнем (рис. 78).

Натяжение. Допуская, что равновесие имеет место, возьмем на нити Курс теоретической механики (рис. 78) произвольную точку Курс теоретической механики и выделим часть Курс теоретической механики Полученная нить Курс теоретической механики раньше находилась в равновесии.

Курс теоретической механики

На нее действовали только сила Курс теоретической механики и часть нити Курс теоретической механики Необходимо, следовательно, заменить это действие хилой, равной и противоположно направленной силе Курс теоретической механики Эта сила называется натяжением в точке Курс теоретической механики Она равна по абсолютному значению силе Курс теоретической механики и одинакова во всех точках нити. Точно так же часть Курс теоретической механики находится в равновесии под действием силы Курс теоретической механики и натяжения, приложенного в точке Курс теоретической механики в сторону Курс теоретической механики Наконец, произвольная часть Курс теоретической механики нити находится в равновесии под действием натяжений, приложенных на обоих концах в направлениях Курс теоретической механики и Курс теоретической механики

Вообще, если рассматривается произвольная часть веревочного многоугольника, находящегося в равновесии, например часть Курс теоретической механики полученная рассечением нитей Курс теоретической механики и Курс теоретической механики в точках Курс теоретической механики и Курс теоретической механики то можно считать, что она находится в равновесии под действием сил, непосредственно приложенных к его вершинам Курс теоретической механики (рис. 79) и под действием натяжений сторон Курс теоретической механики и Курс теоретической механики приложенных в точках Курс теоретической механики и Курс теоретической механики в направлениях Курс теоретической механики и Курс теоретической механики Эти силы и два натяжения удовлетворяют условиям равновесия сил, приложенных к твердому телу.

Например, если силы Курс теоретической механики имеют одну равнодействующую R, то должно быть равновесие между натяжениями Курс теоретической механики и Курс теоретической механики крайних сторон и этой равнодействующей. Следовательно (п. 107), эти крайние стороны должны пересекаться в некоторой точке на линии действия равнодействующей Курс теоретической механики

Курс теоретической механики

Равновесие веревочного многоугольника. Многоугольник Вариньона. Рассмотрим веревочный многоугольник, находящийся в равновесии под действием сил, приложенных к его различным вершинам. Чтобы исключить всякие недоразумения с направлением натяжений, будем обозначать через Курс теоретической механики натяжение стороны Курс теоретической механики которое она испытывает в направлении Курс теоретической механики а через Курс теоретической механики то же самое натяжение, но в противоположном направлении, так что Курс теоретической механики и Курс теоретической механики являются равными и прямо противоположными силами.

Допустим, что рассекаются стороны Курс теоретической механики и Курс теоретической механики в точках Курс теоретической механики и Курс теоретической механики и рассматривается часть Курс теоретической механики веревочного многоугольника. Эта часть находится в равновесии под действием натяжений Курс теоретической механики и Курс теоретической механики приложенных в точках Курс теоретической механики и Курс теоретической механики и заданных сил Курс теоретической механики приложенных к промежуточным вершинам. Точка Курс теоретической механики рассматриваемая как свободная, находится под действием силы Курс теоретической механики и двух натяжений Курс теоретической механики и Курс теоретической механики примыкающих к этой точке нитей; эти три силы находятся, следовательно, в равновесии. Точно так же точка Курс теоретической механики находится в равновесии под действием непосредственно приложенной силы Курс теоретической механики и двух натяжений Курс теоретической механики и Курс теоретической механики примыкающих к этой точке нитей, и т. д. Выражая таким же образом, что каждая вершина находится в равновесии под действием приложенной к ней силы и двух натяжений примыкающих к ней нитей, мы и получим условия равновесия.

Эти условия очень просто выражаются при помощи следующего построения, приводящего к многоугольнику Вариньона. Через произвольную точку Курс теоретической механики (рис. 79) проведем вектор Курс теоретической механики авный и параллельный натяжению Курс теоретической механики первой рассматриваемой стороны и через точку Курс теоретической механики вектор Курс теоретической механики равный Курс теоретической механики Так как три силы Курс теоретической механики находятся в равновесии, то вектор Курс теоретической механики замыкающий треугольник Курс теоретической механики равен и параллелен силе Курс теоретической механики и поэтому вектор Курс теоретической механики равен силе Курс теоретической механики Теперь, так как силы Курс теоретической механики и Курс теоретической механики находятся в равновесии, то, проведя через конец Курс теоретической механики вектора Курс теоретической механики равного и параллельного силе Курс теоретической механики а противоположно направленный вектор Курс теоретической механики равен силе Курс теоретической механики Продолжая так шаг за шагом, придем в конце концов к вектору Курс теоретической механики равному и параллельному силе Курс теоретической механики и к вектору Курс теоретической механики равному натяжению Курс теоретической механики Полученный таким образом многоугольник Курс теоретической механики называется многоугольником Вариньона.

Резюмируя сказанное, мы видим, что для того, чтобы рассматриваемая часть Курс теоретической механики (рис. 79) веревочного многоугольника была в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы после построения векторов Курс теоретической механики равных и параллельных силам Курс теоретической механики приложенным в вершинах, можно было найти такую точку Курс теоретической механики чтобы векторы Курс теоретической механики были параллельны векторам Курс теоретической механики и направлены в стороны, им противоположные. Это последнее условие вытекает из того, что такой вектор, как Курс теоретической механики должен быть равен натяжению Курс теоретической механики которое направлено в сторону Курс теоретической механики

Эти условия также и достаточны. Если они выполняются, то каждая вершина Курс теоретической механики будет находиться в равновесии под действием силы Курс теоретической механики и двух натяжений Курс теоретической механики и Курс теоретической механики равных соответственно векторам Курс теоретической механики и Курс теоретической механики

Главный момент крайних натяжений Курс теоретической механики и сил Курс теоретической механики будет равен нулю, так же как и главный момент каждой из сил Курс теоретической механики и двух натяжений Курс теоретической механики приложенных в точке Курс теоретической механики Следовательно, рассматривая моменты сил и натяжений относительно одной и той же точки, мы получим векторы, для которых можно построить многоугольник, аналогичный многоугольнику Вариньона.

Может случиться, что будут выполнены все условия равновесия, кроме тех, которые касаются направления натяжений сторон. Тогда некоторые из сторон будут сжиматься вместо того, чтобы быть растянутыми, и равновесия не будет. Для того чтобы оно было, надо заменить эти стороны твердыми стержнями, которые способны сопротивляться сжатию.

Условия на концах. Указанные нами условия равновесия должны выполняться для любой части многоугольника. Крайние вершины веревочного многоугольника могут быть подчинены разного вида условиям, которые называются условиями на концах.

1°. Свободные концы. Может случиться, что веревочный многоугольник Курс теоретической механики является свободным в пространстве и его концы Курс теоретической механики и Курс теоретической механики свободны и находятся под действием заданных сил Курс теоретической механики и Курс теоретической механики Допустим, для упрощения, что Курс теоретической механикии, следовательно, рассматривается многоугольник Курс теоретической механики Тогда натяжения крайних звеньев Курс теоретической механики и Курс теоретической механики известны. В самом деле, так как Курс теоретической механики находится в равновесии под действием Курс теоретической механики и натяжения Курс теоретической механики то это натяжение равно и противоположно Курс теоретической механики Точно так же Курс теоретической механики равно и противоположно Курс теоретической механики

Курс теоретической механики

Если построить многоугольник Вариньона, соответствующий полному веревочному многоугольнику, то первое звено Курс теоретической механики будет равно и параллельно Курс теоретической механики второе Курс теоретической механики равно и параллельно Курс теоретической механики и т. д., последнее Курс теоретической механики равно и параллельно Курс теоретической механики (рис. 80). Построенный таким образом многоугольник является многоугольником сил Курс теоретической механикиКурс теоретической механики Этот многоугольник должен быть замкнутым, т. е. точка Курс теоретической механики должна совпадать с точкой Курс теоретической механики так как силы Курс теоретической механики должны удовлетворять условиям равновесия сил, приложенных к твердому телу, и их главный вектор должен равняться нулю. Натяжения Курс теоретической механики равны и параллельны диагонали Курс теоретической механики многоугольника Вариньона.

2°. Концы Курс теоретической механики и Курс теоретической механики закреплены в неподвижных точках. Необходимо тогда принять в качестве вспомогательных неизвестных силы Курс теоретической механикии Курс теоретической механики представляющие действия неподвижных точек на концы Курс теоретической механики и Курс теоретической механики или, что то же, натяжения Курс теоретической механики и Курс теоретической механики

3°. Веревочный многоугольник замкнут. Многоугольник замкнут, когда последняя точка Курс теоретической механики непосредственно связана с первой Курс теоретической механики при помощи нити. В этом случае можно применить общие условия равновесия и построение Вариньона ко всему многоугольнику, разрезав мысленно нить Курс теоретической механики в двух точках Курс теоретической механики и Курс теоретической механики приложив вдоль Курс теоретической механики натяжение Курс теоретической механики и вдоль Курс теоретической механики натяжение Курс теоретической механики Тогда надо будет провести через точку Курс теоретической механики вектор Курс теоретической механики равный и параллельный натяжению Курс теоретической механики и далее векторы Курс теоретической механики Курс теоретической механики равные и параллельные силам Курс теоретической механики (рис. 81). Натяжения нитей будут равны и параллельны векторам Курс теоретической механики Курс теоретической механики причем натяжение Курс теоретической механики будет равно и параллельно вектору Курс теоретической механики натяжение Курс теоретической механики равно и параллельно вектору Курс теоретической механики и т. д, натяжение Курс теоретической механики - вектору Курс теоретической механики и т.д. Последнее натяжение Курс теоретической механики будет равно и параллельно вектору Курс теоретической механики точки Курс теоретической механики и Курс теоретической механики совпадают, так как Курс теоретической механики также равно Курс теоретической механики

Курс теоретической механики

Следовательно, для равновесия замкнутого веревочного многоугольника необходимо и достаточно: 1) чтобы многоугольник сил, непосредственно приложенных, был замкнут; 2) чтобы существовала такая точка Курс теоретической механики для которой каждая из сторон Курс теоретической механики веревочного многоугольника была параллельна и противоположно направлена диагонали Курс теоретической механики

Примечание. Если число сторон веревочного многоугольника неограниченно возрастает, причем каждая из этих сторон стремится к нулю, то как этот многоугольник, так и многоугольник Вариньона обращаются в кривые. Этот предельный случай будет изучен в параграфе 11.

В общем случае фигура равновесия будет пространственным многоугольником. Этот многоугольник будет плоским в случаях, когда силы Курс теоретической механики сходятся и параллельно.

Принцип возможных скоростей

Исторический обзор. Принцип возможных скоростей применялся Галилеем в теории некоторых простых машин и затем Валлисом в его «Механике». Декарт пользовался правилом, похожим на правило Галилея, для того, чтобы свести всю статику к одному единственному принципу. Но (цитируем дословно Лагранжа) «Иван Бернулли был первым, понявшим общность принципа возможных скоростей и его полезность для решения задач статики. Это видно из одного из его писем к Вариньону, датированного 1717 годом, которое последний поместил в начале девятого раздела своей «Новой Механики», раздела, целиком посвященного доказательству справедливости для различных приложений принципа, о котором идет речь, и посвященного его использованию. Этот же принцип привел впоследствии к появлению другого принципа, предложенного Мопертюи в 1740 г. в M6moires de PAcademie des Sciences de Paris под названием «Закона покоя», и развитого затем в более общей форме Эйлером в 1751 г. в Memoires de l'AcadSmie de Berlin. Наконец, этот же самый принцип лежит в основе принципа, данного Куртивроном в AUmoires de l'Acad6mie des Sciences de Paris за 1748 и 1749 гг. И вообще я считаю возможным утверждать, что любой общий принцип, который, быть может, будет еще открыт в науке о равновесии, будет не чем иным, как тем же принципом возможных скоростей, рассматриваемым с иной точки зрения и иначе выраженным. Но этот принцип не только сам по себе является очень простым и очень общим: он обладает, кроме того, особо ценной и уникальной выгодой, позволяющей выразить в одной общей формуле все задачи, которые можно предложить на равновесие тел». (Лагранж, Аналитическая механика, часть первая, § 17.)

После Лагранжа было предложено несколько доказательств принципа возможных скоростей. Одно из наиболее известных принадлежит Амперу; изложение его можно найти, например, в Механике Депейру. Позднее К. Нейман предложил другое доказательство (Berichte der Sachsischen Gesellschaft der Wissenschaften, март, 1886). Мы изложим здесь классическое доказательство, основанное на анализе различных видов простых связей.

Формулировка и доказательство принципа в случае связей, выражающихся равенствами

Возможное перемещение и работа. Пусть Курс теоретической механики — материальная точка, к которой, среди других сил, приложена также сила Курс теоретической механики Допустим, что этой точке сообщено произвольное бесконечно малое перемещение Курс теоретической механики это сообщенное точке перемещение называют возможным перемещением для того, чтобы отличить его от действительного перемещения, которое эта точка совершает под действием приложенных к ней сил. Элементарная работа

Курс теоретической механики

называется возможной работой силы Курс теоретической механики соответствующей перемещению Курс теоретической механики К этой возможной работе можно тогда применить все, что говорилось об элементарной работе (глава IV). Ограничимся напоминанием двух следующих предложений.

Для одного и того же возможного перемещения Курс теоретической механики возможная работа равнодействующей нескольких сил, приложенных к точке Курс теоретической механики равна сумме работ составляющих сил.

Если возможное перемещение Курс теоретической механики есть геометрическая сумма нескольких перемещений, то работа одной и той же силы на перемещении Курс теоретической механики равна сумме работ этой силы на составляющих перемещениях.

Если обозначить через Курс теоретической механики бесконечно малый промежуток времени, в течение которого осуществляется возможное перемещение Курс теоретической механики то вектор Курс теоретической механики равный Курс теоретической механики и направленный по Курс теоретической механики называется возможной скоростью, сообщенной точке Курс теоретической механики Заменяя Курс теоретической механики через Курс теоретической механики можно написать возможную работу в виде

Курс теоретической механики

так как угол между силой Курс теоретической механики и вектором Курс теоретической механики равен углу между этой силой и перемещением Курс теоретической механики

Аналитически, в прямоугольной системе, если проекции силы обозначить через Курс теоретической механики а проекции перемещения через Курс теоретической механики то возможную работу можно выразить следующим образом:

Курс теоретической механики

ы будем брать возможную работу в форме (1); первоначально ее чаще бралн в форме (2). Если будет употребляться форма (2) и если будут рассматриваться возможные перемещения нескольких различных точек, то условимся считать, что для всех этих точек промежуток Курс теоретической механики имеет одно и то же значение.

Формулировка принципа. Установив это, рассмотрим систему точек, подчиненных связям без трения, которые могут быть выражены при помощи равенств. Разделим все силы, приложенные к различным точкам, на две группы: реакции связей, происходящие от связей, наложенных на систему, и силы непосредственно приложенные, или заданные силы, которые действуют на систему. Тогда принцип возможных перемещений формулируется следующим образом.

Необходимые и достаточные условия равновесия системы заключаются в том, что для любого возможного ее перемещения, допускаемого связями, сумма возможных работ непосредственно приложенных сил равна нулю.

Мы сначала установим справедливость этого принципа для некоторого числа простых случаев.

Свободная точка. Пусть дана совершенно свободная материальная точка и пусть Курс теоретической механики — равнодействующая непосредственно приложенных к ней сил. В этом случае любое перемещение будет возможным, так как отсутствуют связи. Возможная работа, соответствующая какому-нибудь из этих перемещений, есть

Курс теоретической механики

Если точка находится в равновесии, то Курс теоретической механики равны нулю и. следовательно, действительно Курс теоретической механики каково бы ни было перемещение Курс теоретической механики Наоборот, если Курс теоретической механики каковы бы ни были Курс теоретической механики то

Курс теоретической механики

и точка находится в равновесии.

Понятие о трении

Общие сведения. До сих пор мы рассматривали твердые тела как идеально твердые и идеально отполированные и допускали, что если два тела, находящиеся в покое или в движении, соприкасаются друг с другом в какой-нибудь точке и мог.ут скользить друг по другу, то их взаимодействие нормально к общей касательной плоскости в этой точке.

Это предположение противоречит опыту. Естественные тела не являются ни идеально твердыми, ни идеально гладкими. Когда два естественных тела Находятся в соприкосновении, то никогда касание не происходит в одной точке; оба тела испытывают деформации, вообще говоря, очень малые, вследствие которых касание происходит по малой части поверхности. Эти деформации постоянны, когда тела находятся в равновесии, и становятся переменными, когда одно тело скользит по другому. Тогда они вызывают колебания молекул и поэтому развивается тепло или электричество, на возникновение которых затрачивается часть работы движущих сил.

  • Эти сложные явления становятся доступными для расчета, если предположить, что к нормальной реакции добавляются касательная сила и пары.

Вообразим два движущихся твердых тела Курс теоретической механики и Курс теоретической механики (рис. 122), находящихся в соприкосновении.

Курс теоретической механики

Пусть Курс теоретической механики - точка тела Курс теоретической механики находящаяся в соприкосновении с телом Курс теоретической механики Как мы видели в п. 57, относительные скорости различных точек тела Курс теоретической механики по отношению к телу Курс теоретической механики рассматриваемому как неподвижное, будут такими, как если бы тело Курс теоретической механики обладало:

  • 1) поступательной скоростью, называемой скоростью скольжения и совпадающей с относительной скоростью Курс теоретической механики точки Курс теоретической механики лежащей в общей касательной плоскости к поверхностям тел в Курс теоретической механики
  • 2) мгновенным вращением с угловой скоростью Курс теоретической механики вокруг оси, проходящей через точку Курс теоретической механики

слагающая Курс теоретической механики этой угловой скорости по общей нормали в т к обеим поверхностям называется скоростью верчения, а слагающая Курс теоретической механики лежащая в касательной плоскости, называется скоростью качения. Когда мгновенная угловая скорость Курс теоретической механики равна нулю, то говорят, что относительное движение тела Курс теоретической механики по отношению к телу Курс теоретической механики является скольжением в собственном смысле слова; когда относительная скорость точки Курс теоретической механики равна нулю, то скольжение отсутствует и относительное движение тела Курс теоретической механики по отношению к телу Курс теоретической механики является качением и верчением. Следовательно, в общем случае имеют место одновременно скольжение, качение и верчение.

С точки зрения динамической, когда два движущихся твердых тела Курс теоретической механики и Курс теоретической механики находятся в соприкосновении и давят друг на друга, то оба тела деформируются и касание не происходит в одной точке (рис. 122). Оба тела соприкасаются по некоторой весьма малой площадке и в каждой точке они воздействуют друг на друга. Согласно теоремам о приведении системы сил, приложенных к твердому телу, совокупность таких действий на какое-нибудь из тел может быть приведена к одной силе, приложенной в произвольно выбранной точке, и к паре. Так как тела соприкасаются по очень малой площадке, то с точки зрения геометрической можно считать, что касание происходит в одной единственной точке Курс теоретической механики которую мы будем называть геометрической точкой касания. Тогда действие тела Курс теоретической механики на тело Курс теоретической механики можно свести к следующим элементам:

1) к силе Курс теоретической механики приложенной к телу Курс теоретической механики в геометрической точке касания Курс теоретической механики и направленной по нормали к соприкасающимся поверхностям; эта сила является нормальной реакцией, препятствующей взаимному проникновению тел;

2) к силе Курс теоретической механики приложенной в той же точке Курс теоретической механики и лежащей в общей касательной плоскости к соприкасающимся поверхностям, проведенной в точке Курс теоретической механики эта сила является трением скольжения, препятствующим скольжению;

3) к паре Курс теоретической механики вектор момента которой нормален к соприкасающимся поверхностям; эта пара является парой трения верчения, противодействующей верчению;

4) к паре Курс теоретической механики вектор момента которой лежит в общей касательной плоскости соприкасающихся поверхностей и направлен по касательной составляющей Курс теоретической механики мгновенной угловой скорости вращения; эта пара является парой трения качения, препятствующей качению.

Действие тела Курс теоретической механики на тело Курс теоретической механики выражается силами и парами, противоположными предыдущим. В общем случае влияние пар Курс теоретической механики и Курс теоретической механики очень мало по сравнению с влиянием сил Курс теоретической механики и Курс теоретической механики Мы начнем с изучения вопросов, в которых этими парами можно пренебречь, и вернемся в последующих пунктах к специальному изучению трения скольжения и верчения.

Мы предполагали, что оба тела Курс теоретической механики и Курс теоретической механики

касаются по очень малой площадке, которую можно рассматривать как точку. В некоторых вопросах оба тела могут иметь бесчисленное множество геометрических точек касания; так. например, будет для куба, лежащего на плоскости. Тогда предыдущие соображения должны быть применены к каждой геометрической точке касания.

Трение скольжения. Первые опыты по изучению трения скольжения были проделаны Кулоном и были повторены генералом Мореном. Но этот вопрос требует нового исследования. Необходимо различать два случая трения скольжения: 1) трение в состоянии покоя и, в частности, трение в начале движения; 2) трение в состоянии движения.

Законы трения скольжения в состоянии покоя. Возьмем тяжелый брусок, лежащий на горизонтальном столе. Система находится в равновесии, и поэтому сила давления стола на брусок имеет в данном случае равнодействующую Курс теоретической механики нормальную к столу, равную и противоположную весу Курс теоретической механики тела (рис. 123). Приложим теперь к телу в вертикальной плоскости, проходящей через его центр тяжести, и как можно ближе — к столу горизонтальную силу Курс теоретической механики интенсивность которой постепенно увеличивается, начиная от нуля. Пока эта сила Курс теоретической механики очень мала, тело не будет скользить и будет оставаться в равновесии.

Курс теоретической механики

Следовательно, необходимо, чтобы реакция Курс теоретической механики стола на тело была равна и противоположна равнодействующей веса Курс теоретической механики и силы Курс теоретической механики Эта реакция может быть разложена на две: нормальную Курс теоретической механики равную и противоположную силе Курс теоретической механики и касательную Курс теоретической механики равную и противоположную силе Курс теоретической механики Эта касательная составляющая и является силой трения. Для угла Курс теоретической механики между Курс теоретической механики и нормалью Курс теоретической механики имеем

Курс теоретической механики

Если постепенно увеличивать Курс теоретической механики то наступит момент, когда эта сила достигнет значения Курс теоретической механики при котором тело приходит в движение. Соответствующее значение Курс теоретической механики силы Курс теоретической механики называется трением в начале движения; соответствующее значение Курс теоретической механики угла Курс теоретической механики для которого

Курс теоретической механики

называется углом трения.

Можно говорить также, что скольжение начинается лишь с того момента, когда равнодействующая сил Курс теоретической механики и Курс теоретической механики приложенных к телу, образует с нормалью угол, превосходящий Курс теоретической механики

Кулон измерял значения Курс теоретической механики и Курс теоретической механики

на опыте, позволявшем осуществить предыдущие условия (на повозке, которую тянули возрастающими силами). Он пришел к следующим трем законам.

1°. Трение в начале движения не зависит от площадей поверхностей, находящихся в соприкосновении.

2°. Оно зависит от природы этих поверхностей.

3°. Оно пропорционально нормальной составляющей реакции, или, что приводится к тому же, нормальной составляющей давления.

Постоянное отношение Курс теоретической механики силы трения Курс теоретической механики в начале движения к нормальной реакции Курс теоретической механики или к нормальному давлению Курс теоретической механики называется коэффициентом трения:

Курс теоретической механики

Угол трения Курс теоретической механикиопределяется тогда формулой

Курс теоретической механики

Угол Курс теоретической механики ри котором существует равновесие, меньше Курс теоретической механики

Например, если тело и стол сделаны из металла, то при отсутствии смазки

Курс теоретической механики

Примечание. Выше мы говорили, что силу Курс теоретической механики нужно прилагать возможно ближе к плоскости. Вот из каких соображений делается это ограничение. Если сила Курс теоретической механики приложена слишком высоко, то до того, как она достигнет предельного значения Курс теоретической механики при котором начнется скольжение, равнодействующая Курс теоретической механики и Курс теоретической механики может выйти за основание тела; тогда она не будет уравновешиваться, и тело опрокинется.

191. Равновесие тел с трением. Одна точка касания. Рассмотрим тело Курс теоретической механики положенное на другое тело Курс теоретической механики с которым оно соприкасается по очень малой части поверхности. Мы будем предполагать последнюю приведенной к одной точке Курс теоретической механики Реакция Курс теоретической механики тела Курс теоретической механики на тело Курс теоретической механики складывается из нормальной реакции Курс теоретической механики и касательной реакции Курс теоретической механики (рис. 124), направление которой неизвестно и максимум которой равен Курс теоретической механики Угол Курс теоретической механики между Курс теоретической механики и Курс теоретической механики будет, следовательно, меньше угла трения Курс теоретической механики Для того чтобы тело Курс теоретической механики было в равновесии, необходимо, чтобы существовало равновесие между непосредственно приложенными к телу Курс теоретической механики силами и реакцией Курс теоретической механики или чтобы силы, приложенные к телу, имели одну равнодействующую, равную и прямо противоположную силе Курс теоретической механики т. е. а) проходящую через точку Курс теоретической механики б) аправленную так, чтобы прижимать тело Курс теоретической механики к телу Курс теоретической механики и в) образующую с нормалью Курс теоретической механики угол, меньший, чем угол трения.

Эти необходимые условия достаточны, так как если они выполнены. то можно предположить, что равнодействующая непосредственно приложенных сил перенесена в точку Курс теоретической механики и разложена на две силы: на нормальную силу Курс теоретической механики и на касательную силу Курс теоретической механики под действием этих сил скольжения не будет, так как угол равнодействующей с нормалью меньше Курс теоретической механики вследствие чего (рис. 123)

Курс теоретической механики

и касательная составляющая меньше, чем трение в начале движения.

Если рассматривать конус вращения Курс теоретической механики с осью Курс теоретической механики описанный прямо Курс теоретической механики образующей с Курс теоретической механики угол Курс теоретической механики то для равновесия необходимо и достаточно, чтобы силы имели равнодействующую, проходящую через Курс теоретической механики и лежащую внутри конуса Курс теоретической механики

з предыдущих рассуждений можно заключить также, что любая приложенная к телу сила, проходящая через точку Курс теоретической механики и образующая с нормалью угол, меньший чем Курс теоретической механики т. е. сила, лежащая внутри конуса Курс теоретической механики уравновешивается реакцией тела Курс теоретической механики так как эту силу можно разложить так, как мы только что указали.

2°. Несколько точек касания. Вообразим тело Курс теоретической механики покоящееся в точках Курс теоретической механики на нескольких телах Курс теоретической механики с коэффициентами трения, равными соответственно Курс теоретической механики и с углами трения Курс теоретической механики На тело Курс теоретической механики действуют заданные силы Курс теоретической механики ребуется определить условия равновесия. Реакция тела Курс теоретической механики на тело Курс теоретической механики есть сила Курс теоретической механики приложенная в точке Курс теоретической механики и образующая с нормалью Курс теоретической механики угол, меньший угла трения Курс теоретической механики т. е. эта сила лежит внутри конуса Курс теоретической механики с вершиной Курс теоретической механики осью Курс теоретической механики и углом Курс теоретической механики Для того чтобы было равновесие, необходимо и достаточно, чтобы заданные силы Курс теоретической механики уравновешивались системой сил реакций Курс теоретической механики удовлетворяющих предыдущим условиям, т. е. чтобы система заданных сил была эквивалентна системе сил — Курс теоретической механики - Курс теоретической механики - Курс теоретической механики проходящих соответственно через точки Курс теоретической механики и лежащих внутри конусов Курс теоретической механики Эти последние силы все уравновешиваются реакциями поверхностей Курс теоретической механики

3°. Бесконечное число точек касания. Если тело Курс теоретической механики соприкасается с некоторыми телами по площадкам конечной протяженности, то необходимо и достаточно, чтобы система сил Курс теоретической механики была эквивалентна системе какого угодно числа сил, пересекающих площадки соприкосновения и образующих с нормалями в точках пересечения углы, меньшие соответствующих углов трения.

Примечание. Эти условия аналитически выражаются при помощи неравенств; поэтому в общем случае существует бесчисленное множество положений равновесия, образующих непрерывные множества.

Кинематика

Кинематика оформилась как самостоятельная наука сравнительно недавно. Уже Даламбер указал на важность изучения законов движения как такового. Но первый, кто показал необходимость предпослать динамике теорию геометрических свойств движения тел, был Ампер. Эти свойства были представлены в 1838 г. Факультету наук в Париже Понселе. В этом представлении содержались, в частности, и теоремы о непрерывном перемещении твердого тела в пространстве, за исключением понятия мгновенной винтовой оси, которое было введено Шалем. Формулы, дающие вариации координат точек движущегося в пространстве тела, принадлежат Эйлеру (Берлинская Академия, 1750). Кинематика допускает многочисленные геометрические приложения.

К ним относится, например, метод Роберваля построения касательных, теория мгновенных центров вращения, введенная Шалем, частный случай которой был дан уже Декартом в связи с задачей о касательной к циклоиде. К ним же относятся установленные Шалем свойства систем прямых, плоскостей и точек, связанные с движением твердого тела и приводящие наиболее простым образом к понятию комплекса прямых первого порядка. В 1862 г. Резаль выпустил курс «Чистой кинематики». С появлением этого курса кинематика окончательно утвердилась в качестве самостоятельной науки.

Мы ограничиваемся здесь изложением только тех понятий, которые необходимы для дальнейшего курса механики. Так, в частности, мы не занимаемся здесь перемещениями твердого тела, положение которого определяется двумя или несколькими параметрами.

Эти перемещения были изучены, главным образом, Томсоном и Тэтом, Шёнеманом, Мангеймом, Рибокуром, Кенигсом.

Кинематика точки

Определения. Когда говорят, что тело находится в покое или в движении, то под этим всегда понимают,что этот покой или движение имеет место относительно некоторых других тел. Так, объект, находящийся неподвижно на поверхности Земли, покоится относительно Земли, сама же Земля движется относительно Солнца, и т. д. Другими словами, наблюдают только относительные движения.

Тем не менее представляется удобным в каждом вопросе кинематики выбирать систему осей, которые по определению рассматриваются как абсолютно неподвижные. Тогда движение относительно этих осей называют абсолютным движением.

Но если в кинематике выбор осей, рассматриваемых как неподвижные, является произвольным, то в механике это будет не так. Ниже мы увидим, что с целью возможно большего упрощения исследования явлений природы осями, которые уславливаются считать неподвижными, являются оси, имеющие начало в центре тяжести солнечной системы и направленные на три, так называемые, неподвижные звезды.

  • Для определения момента времени, в котором происходит какое-нибудь явление, его относят к какому-нибудь определенному моменту, называемому начальным, и задают число, которое измеряет в каких-ибудь единицах (например, в секундах среднего времени) промежуток времени между рассматриваемым и начальным моментами. Этому числу приписывают знак Курс теоретической механики или Курс теоретической механики в зависимости от того, наступает ли рассматриваемый момент после или до начальною момента. Вследствие этого, когда мы будем говорить о моменте времени Курс теоретической механики буква Курс теоретической механики будет обозначать положительное или отрицательное число секунд.

С целью упрощения изучения кинематики сначала изучают движение одной точки, а после этого — движение тел произвольной протяженности.

Движение точки. Пусть Курс теоретической механики — три абсолютно неподвижные оси и Курс теоретической механики —движущаяся точка, координаты которой Курс теоретической механики Курс теоретической механики (рис. 29) являются заданными непрерывными функциями времени Курс теоретической механики

Курс теоретической механики

Курс теоретической механики

Кривая, описываемая движущейся точкой, называется ее траекторией. Ее уравнения могут быть получены исключением Курс теоретической механики из уравнений, определяющих Курс теоретической механики в функции Курс теоретической механики Движение может быть определено еще следующим образом: задают траекторию, далее, приняв на ней какую-нибудь точку Курс теоретической механики за начало отсчета дуг и какое-нибудь направление Курс теоретической механики отсчета за положительное, задают в функции времени алгебраическое значение Курс теоретической механики дуги Курс теоретической механики между движущейся точкой и точкой Курс теоретической механики

Прямолинейное равномерное движение; скорость. Говорят, что движение является прямолинейным, если траектория—прямая линия. Если эту прямую принять за ось Курс теоретической механики то оба предыдущих способа определения движения совпадут и движение будет определяться выражением абсциссы движущейся точки в функции времени.

Наиболее простым прямолинейным движением является то, для которого Курс теоретической механики есть линейная функция времени:

Курс теоретической механики

где Курс теоретической механики и Курс теоретической механики — постоянные. Это движение характеризуется тем, что приращение Курс теоретической механики величины Курс теоретической механики за произвольный промежуток времени Курс теоретической механики пропорционально этому промежутку Курс теоретической механики

Пусть Курс теоретической механики — положение движущейся точки в момент времени Курс теоретической механики а Курс теоретической механики — ее положение в момент Курс теоретической механики где Курс теоретической механики Геометрическая величина Курс теоретической механики если ее отсчитывать вдоль оси Курс теоретической механики имеет алгебраическое значение, равное Курс теоретической механики Если в направлении Курс теоретической механики отложить от точки Курс теоретической механики отрезок Курс теоретической механики равный Курс теоретической механики то геометрическая величина Курс теоретической механики алгебраическое значение которой равно Курс теоретической механики называется скоростью равномерного движения (рис. 30). Алгебраическое значение этой скорости равно Курс теоретической механики

Курс теоретической механики

Произвольное прямолинейное движение; скорость. Рассмотрим произвольное прямолинейное движение, для которого Курс теоретической механики Перемещение Курс теоретической механики которое получает точка, когда Курс теоретической механики увеличивается на Курс теоретической механики есть геометрическая величина, алгебраическое значение которой равно Курс теоретической механики Если в направлении Курс теоретической механики отложить отрезок Курс теоретической механики

Курс теоретической механики

(рис. 31), равный Курс теоретической механики то вектор Курс теоретической механики алгебраическое значение которого равно Курс теоретической механики называется средней скоростью движущейся точки за промежуток времени Курс теоретической механики Если Курс теоретической механики стремится к нулю, то вектор Курс теоретической механики алгебраическое значение которого равно производной Курс теоретической механики или Курс теоретической механики и который называется скоростью точки в момент Курс теоретической механики

Например, если

Курс теоретической механики

где Курс теоретической механики — постоянные, то скорость Курс теоретической механики в момент Курс теоретической механики будет иметь алгебраическое значение, отсчитываемое вдоль оси Курс теоретической механики равное

Курс теоретической механики

Изменение этой скорости пропорционально изменению времени. Говорят, что определяемое таким образом прямолинейное движение является равнопеременным.

Вектор скорости в криволинейном движении. Пусть Курс теоретической механики и Курс теоретической механики — положения движущейся точки в моменты Курс теоретической механики и Курс теоретической механики Отложим на хорде Курс теоретической механики (рис. 32) в направлении Курс теоретической механики отрезок Курс теоретической механики равный Курс теоретической механики Вектор Курс теоретической механики называется средней скоростью движущейся точки за промежуток времени Курс теоретической механики Это — скорость, которую должна иметь воображаемая точка, описывающая прямолинейно и равномерно отрезок прямой Курс теоретической механики за промежуток времени Курс теоретической механики Когда Курс теоретической механики стремится к нулю, средняя скорость Курс теоретической механики стремится к предельному вектору Курс теоретической механики касательному к траектории, который называется скоростью движущейся точки в момент Курс теоретической механики Скорость есть полярный вектор, приложенный к движущейся точке.

Курс теоретической механики

Пусть Курс теоретической механики — координаты движущейся точки. Проекции геометрической величины Курс теоретической механики на оси координат будут Курс теоретической механики т. е. средней скорости, равны

Курс теоретической механики

Если Курс теоретической механики стремится к нулю, то Курс теоретической механики стремится к Курс теоретической механики Следовательно, для проекций скорости в момент Курс теоретической механики имеем:

Курс теоретической механики

Допустим, что движение задано траекторией и выражением дуги Курс теоретической механики в функции Курс теоретической механики Так как отношение дуги Курс теоретической механики к хорде Курс теоретической механики стремится к единице, когда Курс теоретической механики стремится к нулю, то для абсолютного значения скорости получается

Курс теоретической механики

Если провести в направлении положительных дуг касательную Курс теоретической механики к траектории, то скорость будет направлена по Курс теоретической механики или в противоположную сторону в зависимости от того, будет ли величина Курс теоретической механики положительной или отрицательной. Следовательно, алгебраическое значение скорости, отсчитываемой в направлении Курс теоретической механики равно Курс теоретической механики Если скорость Курс теоретической механики Если скорость v постоянна, то криволинейное движение называют равномерным.

Вектор ускорения. Понятие ускорения для простейших случаев введено Галилеем.

Пусть Курс теоретической механики и Курс теоретической механики — скорости движущейся точки в моменты Курс теоретической механики и Курс теоретической механики (рис. 33, а).

Курс теоретической механики

Проведем через Курс теоретической механики отрезок Курс теоретической механики равный и параллельный Курс теоретической механики и пусть Курс теоретической механики —геометрическая разность векторов Курс теоретической механики и Курс теоретической механики т. е. вектор, который необходимо приложить к Курс теоретической механики чтобы получить Курс теоретической механики Если вдоль Курс теоретической механики отложить длину Курс теоретической механики равную Курс теоретической механики то вектор Курс теоретической механики даст среднее ускорение движущейся точки за промежуток времени Курс теоретической механики Когда Курс теоретической механики стремится к нулю, этот вектор стремится к пределу Курс теоретической механики который называется ускорением движущейся точки в момент Курс теоретической механики

Ускорение есть, следовательно, полярный вектор, приложенный к движущейся точке.

Так как плоскость Курс теоретической механики переходит в пределе в соприкасающуюся плоскость, то ускорение Курс теоретической механики лежит в соприкасающейся плоскости.

Чтобы получить проекции ускорения на оси координат, заметим, что проекция скорости Курс теоретической механики в момент Курс теоретической механики на какую-нибудь ось, например на ось Курс теоретической механики равна Курс теоретической механики а скорость Курс теоретической механики или вектор Курс теоретической механики имеет в момент Курс теоретической механики проекцию на ту же ось, равную Курс теоретической механики Проекция вектора Курс теоретической механики равная разности проекций векторов Курс теоретической механики и Курс теоретической механики будет, следовательно, Курс теоретической механики Поэтому проекции среднего ускорения Курс теоретической механики равны

Курс теоретической механики

Пусть Курс теоретической механики стремящимся к нулю, получим для проекций ускорения Курс теоретической механики в момент Курс теоретической механики значения:

Курс теоретической механики

Годограф. Понятие ускорения можно легко свести к понятию скорости. Проведем через произвольную фиксированную точку Курс теоретической механики вектор Курс теоретической механики равный и параллельный скорости Курс теоретической механики движущейся точки в момент Курс теоретической механики рис. 33, б). Когда Курс теоретической механики изменяется, вектор Курс теоретической механики также изменяется и его конец образует новую движущуюся точку, описывающую траекторию Курс теоретической механики которая называется годографом. Скорость Курс теоретической механики этой новой движущейся точки в каждый момент времени равна ускорению точки Курс теоретической механики В самом деле, в момент Курс теоретической механики точка Курс теоретической механики занимает положение Курс теоретической механики причем вектор Курс теоретической механики равен и параллелен вектору Курс теоретической механики или Курс теоретической механики Поэтому вектор Курс теоретической механики равен и параллелен вектору Курс теоретической механики или Курс теоретической механики Средняя скорость точки Курс теоретической механики за время Курс теоретической механики есть вектор Курс теоретической механики направленный по Курс теоретической механики и равный Курс теоретической механики Эта средняя скорость Курс теоретической механики равна, следовательно, и параллельна среднему ускорению Курс теоретической механики точки Курс теоретической механики Переходя к пределу, когда Курс теоретической механики стремится к нулю, мы видим, что скорость Курс теоретической механики точки Курс теоретической механики в момент Курс теоретической механики равна ускорению Курс теоретической механики точки Курс теоретической механики в тот же момент времени.

Пусть, например,

Курс теоретической механики

где Курс теоретической механики — постоянные. Тогда траекторией будет парабола.

Проекции скорости будут

Курс теоретической механики

а проекции ускорения

Курс теоретической механики

Последние, как видно, постоянны. Следовательно, ускорение будет постоянным по величине и направлению. И, наоборот, если в каком-нибудь движении ускорение постоянно по величине и направлению, то это движение определяется уравнениями вида (1). Действительно, исходя из уравнений (3), последовательным интегрированием придем сначала к уравнениям (2), а затем к уравнениям (1). Такое движение будет подробно изучено дальше при рассмотрении движения тяжелого тела в пустоте.

Важно заметить, что если ускорение движения постоянно по величине и направлению, то и среднее ускорение за произвольный промежуток времени Курс теоретической механики будет иметь ту же самую постоянную величину и направление. Действительно, если уравнения (3) выполняются, то, интегрируя их, получаем уравнения (2), из которых для проекций среднего ускорения за время Курс теоретической механики получаем те же значения Курс теоретической механики что и для проекций ускорения в момент Курс теоретической механики

В этом примере годографом является прямая линия, движение по которой будет равномерным.

Пример решения задачи. №2.

Если движение прямолинейно, то Курс теоретической механики равно бесконечности и нормальная составляющая обращается в нуль. Ускорение совпадает тогда с касательной составляющей. Наоборот, если нормальное ускорение везде нуль, то Курс теоретической механики обращается в бесконечность и траектория есть прямая линия.

Пример решения задачи. №3.

Если скорость постоянна по величине, т. е. если криволинейное движение является равномерным, то касательное ускорение равно нулю. Тогда ускорение направлено по главной нормали и изменяется обратно пропорционально радиусу кривизны. Так, если точка описывает окружность радиуса Курс теоретической механики с постоянной по величине скоростью Курс теоретической механики то касательное ускорение равно нулю; ускорение Курс теоретической механики будет нормальным и равным Курс теоретической механики т. е. постоянным по величине и направленным по радиусу. Наоборот, если в каком-нибудь движении касательное ускорение все время нуль, то скорость будет постоянной по величине и движение будет равномерным.

Применение векторных производных. Можно говорить, что вектор скорости Курс теоретической механики движущейся точки Курс теоретической механики есть векторная производная по времени вектора Курс теоретической механики соединяющего неподвижную точку Курс теоретической механики с точкой Курс теоретической механики Это вытекает из самого определения скорости.

Вектор ускорения Курс теоретической механики геометрически равен производной вектора Курс теоретической механики меющего начало в неподвижной точке Курс теоретической механики и геометрически равного вектору скорости. Это вытекает из определения ускорения при помощи годографа.

Поступательное движение и вращение неизменяемой системы

Поступательное движение. Неизменяемой системой или твердым телом называется совокупность точек, неизменно связанных между собой.

Твердое тело движется поступательно, если оно перемещается таким образом, что все отрезки прямых, соединяющих попарно точки тела, остаются параллельными самим себе. Для этого, очевидно, достаточно, чтобы триэдр, получающийся от соединения какой-нибудь точки Курс теоретической механики тела (рис. 35) с тремя другими его точками Курс теоретической механики и Курс теоретической механики не лежащими с Курс теоретической механики в одной плоскости, перемещался параллельно самому себе.

Когда тело движется поступательно, все его точки имеют одинаковые скорости и наоборот. В самом деле, пусть Курс теоретической механики и Курс теоретической механики — две произвольные точки тела. Так как отрезок Курс теоретической механики перемещается параллельно самому себе, то его проекции Курс теоретической механики Курс теоретической механики на оси постоянны. Следовательно, их производные равны нулю и мы получаем:

Курс теоретической механики

Это показывает, что обе точки имеют одинаковые скорости. Наоборот, если все точки тела имеют в каждый момент времени одинаковые скорости, то тело движется поступательно. В самом деле, если две точки Курс теоретической механики и Курс теоретической механики имеют одинаковые скорости, то будут справедливы уравнения (1), откуда после интегрирования увидим, что Курс теоретической механики постоянные, т. е. что отрезок Курс теоретической механики перемещается параллельно самому себе. Общая скорость всех точек называется скоростью поступательного движения. Дифференцируя уравнения (1), непосредственно убеждаемся, что все точки тела при поступательном движении имеют в каждый момент времени одинаковые ускорения.

Общее ускорение всех точек называется ускорением поступательного движения.

Курс теоретической механики

Вращение вокруг неподвижной оси. Угловая скорость. Геометрическое представление. Когда тело вращается вокруг неподвижной оси Курс теоретической механики (рис. 36), каждая его точка Курс теоретической механики описывает окружность, перпендикулярную к оси, с центром Курс теоретической механики лежащим на оси. Скорость точки Курс теоретической механики направлена, следовательно, нормально к плоскости Курс теоретической механики в сторону вращения. Дуги, описываемые двумя различными точками за одно и то же время, пропорциональны их расстояниям до оси. Скорости этих точек относятся, следовательно, как их расстояния до оси.

Курс теоретической механики

Угловой скоростью называют величину, численно равную скорости точек, расположенных от оси на расстоянии единицы длины. Если эту угловую скорость обозначить через Курс теоретической механики то величина Курс теоретической механики скорость точки Курс теоретической механики будет равна Курс теоретической механики где Курс теоретической механики — расстояние от точки Курс теоретической механики до оси вращения. Когда вращение задается углом Курс теоретической механики на который поворачивается тело от какого-нибудь начального положения, и этот угол выражен в функции Курс теоретической механики то Курс теоретической механики равно Курс теоретической механики

Для определения скоростей в какой-нибудь момент Курс теоретической механики при вращательном движении необходимо знать три элемента: ось вращения, угловую скорость и направление вращения. Эти три элемента могут быть представлены одним вектором следующим образом.

Возьмем на оси вращения Курс теоретической механики произвольную точку Курс теоретической механики и отложим на ней отрезок Курс теоретической механики длины Курс теоретической механики направленный таким образом, что для наблюдателя, стоящего в точке Курс теоретической механики и смотрящего с конца Курс теоретической механики отложенного отрезка, вращение происходит справо налево. Определяемая таким образом геометрическая величина Курс теоретической механики представляет вращение. Отождествляя вращательное движение с представляющим его вектором, часто говорят, что тело совершает вращение Курс теоретической механики Так как начало вектора Курс теоретической механики может быть выбрано где угодно на оси, то, не изменяя вращения, можно перенести начало изображающего его вектора Курс теоретической механики в произвольную точку его линии. Вращение представляется, следовательно, вектором, приложенным вдоль некоторой прямой. Этот вектор является аксиальным (п. 34).

Аналитические выражения проекций скорости точки тела. Пусть Курс теоретической механики (рис. 37)—вращение с угловой скоростью Курс теоретической механики а Курс теоретической механики Курс теоретической механики — проекции последней на оси Курс теоретической механики Курс теоретической механики предполагаемые прямоугольными, наконец, Курс теоретической механики — координаты точки Курс теоретической механики Пусть Курс теоретической механики — точка тела с координатами Курс теоретической механики — ее скорость Курс теоретической механики — проекции этой скорости на оси. Последние величины нам и нужно определить.

Курс теоретической механики

С этой целью заметим, что скорость Курс теоретической механики точки Курс теоретической механики по величине и направлению совпадает с моментом вектора Курс теоретической механики относительно точки Курс теоретической механики В самом деле, эта скорость равна Курс теоретической механики перпендикулярна плоскости Курс теоретической механики и направлена таким образом, что точка, перемещающаяся от Курс теоретической механики к Курс теоретической механики двигается вокруг Курс теоретической механики в положительном направлении. Нам известны (п. 9) формулы проекций момента относительно какой-нибудь точки Курс теоретической механики Прилагая эти формулы к рассматриваемому случаю и замечая, что момент берется относительно точки Курс теоретической механики найдем:

Курс теоретической механики

Когда точка Курс теоретической механики совпадает с началом координат, эти выражения принимают вид

Курс теоретической механики

Скорость в относительном движении. Сложение поступательных и вращательных движений. Скорости точек свободного тела

Относительное движение; скорость. Вообразим неизменяемую систему Курс теоретической механики совершающую заданное движение, и некоторую точку Курс теоретической механики движущуюся относительно этой системы. Система Курс теоретической механики может быть, например, Землей, а точка Курс теоретической механики — тяжелой точкой, предоставленной самой себе на поверхности Земли и падающей по вертикали. Для наблюдателя, увлекаемого системой Курс теоретической механики называемой подвижной системой отсчета, и не подозревающего об этом движении, точка Курс теоретической механики описывает относительно системы Курс теоретической механики некоторое движение, которое называется относительным. Траектория, скорость и ускорение в этом движении называются относительной траекторией, относительной скоростью и относительным ускорением. Одновременно та же точка совершает в пространстве некоторое абсолютное движение.

Курс теоретической механики

На рис. 38 изображена относительная траектория Курс теоретической механики точки Курс теоретической механики относительно системы сравнения Курс теоретической механики В то время, как точка Курс теоретической механики описывает эту кривую Курс теоретической механики неизменно связанную с системой Курс теоретической механики сама система перемещается в пространстве. Пусть в момент Курс теоретической механики движущаяся точка, система сравнения и относительная траектория занимают положения Курс теоретической механики Курс теоретической механики и Курс теоретической механики а в момент времени Курс теоретической механики они занимают положения Курс теоретической механики и Курс теоретической механики Абсолютное перемещение есть Курс теоретической механики точка переходит из Курс теоретической механики в Курс теоретической механики следуя по некоторой траектории Курс теоретической механики которая является её абсолютной траекторией.

Обозначим через Курс теоретической механики положение, которое занимает в момент Курс теоретической механики точка системы Курс теоретической механики совпадавшая с точкой Курс теоретической механики в момент Курс теоретической механики Перемещение Курс теоретической механики есть относительное перемещение точки Курс теоретической механики перемещение Курс теоретической механики называется переносным перемещением. Вектор Курс теоретической механики есть геометрическая сумма векторов Курс теоретической механики и Курс теоретической механики Если на каждом из этих векторов отложить отрезки Курс теоретической механики и Курс теоретической механики равные соответственно этим векторам, деленным на Курс теоретической механики то полученные таким образом векторы будут представлять собой среднюю абсолютную скорость, среднюю относительную скорость и среднюю переносную скорость. Так как первый вектор есть сумма двух других, то

Курс теоретической механики

Когда Курс теоретической механики стремится к нулю (рис. 39), эти векторы стремятся к абсолютной скорости Курс теоретической механики относительной скорости Курс теоретической механики и переносной скорости Курс теоретической механики Мы имеем, следовательно, геометрическое равенство

Курс теоретической механики

Переносная скорость, согласно предыдущему, представляет собой скорость точки системы Курс теоретической механики совпадающей в рассматриваемый момент с точкой Курс теоретической механики или скорость, которую имела бы точка Курс теоретической механики если бы она в занимаемом ею положении оказалась неизменно связанной с системой Курс теоретической механики

Мы увидим дальше, как определяется абсолютное ускорение при помощи аналогичной формулы, но с добавочным членом. Однако прежде мы дадим некоторые приложения предыдущей теоремы.

Сложение поступательных движений. Рассмотрим неизменяемую систему Курс теоретической механики движущуюся поступательно со скоростью Курс теоретической механики и вторую систему Курс теоретической механики движущуюся поступательно относительно Курс теоретической механики со скоростью Курс теоретической механики (рис. 40).

Абсолютная скорость Курс теоретической механики какой-нибудь точки Курс теоретической механики системы Курс теоретической механики есть геометрическая сумма относительной скорости этой точки, которая равна Курс теоретической механики и ее переносной скорости, равной Курс теоретической механики Абсолютные скорости различных точек Курс теоретической механики будут, следовательно, такими, как если бы Курс теоретической механики совершала только одно поступательное движение со скоростью, равной геометрической сумме двух скоростей Курс теоретической механики и Курс теоретической механики Говорят, что два поступательных движения сложилась в одно. Точно так же несколько поступательных движений складываются в одно со скоростью, равной результирующей скорости всех скоростей заданных поступательных движений.

Курс теоретической механики

Курс теоретической механики

Совокупность двух вращений. Пусть тело Курс теоретической механики совершает вращение Курс теоретической механики Вообразим, что это тело Курс теоретической механики содержит ось Курс теоретической механики и что некоторое тело Курс теоретической механики совершает относительно Курс теоретической механики вращение Курс теоретической механики вокруг оси Курс теоретической механики (рис. 41).

Найдем абсолютную скорость какой-нибудь точки Курс теоретической механики тела Курс теоретической механики Относительная скорость точки Курс теоретической механики относительно тела Курс теоретической механики есть скорость, которой она обладает во вращении Курс теоретической механики это момент вектора Курс теоретической механики относительно точки Курс теоретической механики Переносная скорость — это скорость Курс теоретической механики которой обладала бы точка Курс теоретической механики если бы она была неизменно связана с телом Это та скорость, которая вызвана вращением Курс теоретической механики или момент вектора Курс теоретической механики относительно точки Курс теоретической механики Абсолютная скорость Курс теоретической механики точки Курс теоретической механики равна, следовательно, результирующему моменту векторов Курс теоретической механики и Курс теоретической механики относительно точки Курс теоретической механики Эта скорость не зависит от порядка, в котором происходят вращения Курс теоретической механики и Курс теоретической механики.

Рассмотрим несколько частных случаев:

1°. Оси вращения пересекаются. Результирующий момент векторов Курс теоретической механики и Курс теоретической механики относительно произвольной точки Курс теоретической механики равен моменту их результирующего вектора Курс теоретической механики (рис. 42, а). Абсолютная скорость точки Курс теоретической механики будет, следовательно, такой, как если бы тело Курс теоретической механики совершало только одно вращение Курс теоретической механики

2°. Оба вращения Курс теоретической механики и Курс теоретической механики параллельны и не образуют пары. Система этих двух векторов эквивалентна одному единственному вектору Курс теоретической механики получаемому по известному правилу (п. 31). Следовательно, результирующий момент относительно точки Курс теоретической механики равен моменту результирующего вектора Курс теоретической механики Результирующий момент относительно точки М равен моменту результирующего вектора Скорости различных точек тела будут, как и раньше, такими, как если бы тело совершало только вращение Курс теоретической механики (рис. 42, б).

Курс теоретической механики

3°. В случае, когда оба вращения образуют пару, результирующий момент равен вектору момента пары, какова бы ни была точка Курс теоретической механики и все точки тела Курс теоретической механики имеют одинаковую скорость. Скорости этих точек будут, следовательно, такими, как если бы тело Курс теоретической механики совершало поступательное движение со скоростью, равной вектору момента пары (рис. 43).

Произвольное число вращений. Пусть тело Курс теоретической механики совершает вращение Курс теоретической механики и с ним связаны ось Курс теоретической механики и тело Курс теоретической механики которое совершает относительно Курс теоретической механики вращение Курс теоретической механики С телом Курс теоретической механики связаны ось Курс теоретической механики и тело Курс теоретической механики совершающее относительно Курс теоретической механики вращение Курс теоретической механики и т. д. до тела Курс теоретической механики совершающего относительно Курс теоретической механики вращение Курс теоретической механики

Мы будем говорить для краткости, что тело Курс теоретической механики одновременно совершает вращения Курс теоретической механики Найдем абсолютную скорость какой-нибудь точки Курс теоретической механики неизменно связанной с последним твердым телом Курс теоретической механики Эта скорость равна главному моменту системы векторов Курс теоретической механики относительно точки Курс теоретической механики Так как это предложение установлено для случая двух вращений, то для того, чтобы установить его в общем виде, достаточно показать, что если оно справедливо для Курс теоретической механики вращений, то оно остается справедливым и для Курс теоретической механики вращений.

Абсолютная скорость точки Курс теоретической механики тела Курс теоретической механики равна геометрической сумме его относительной скорости Курс теоретической механики относительно Курс теоретической механики и переносной скорости Курс теоретической механики (рис. 44). Относительная скорость точки Курс теоретической механики по отношению к SКурс теоретической механики есть скорость, вызванная вращением Курс теоретической механики т. е. она равна моменту вектора Курс теоретической механики относительно точки Курс теоретической механики Переносная скорость точки Курс теоретической механики равна скорости, которую оиа имела бы, если бы была неизменно связана с телом Курс теоретической механики т. е. она равна главному моменту векторов Курс теоретической механики относительно точки Курс теоретической механики Абсолютная скорость есть результирующая этих двух моментов и равна, следовательно, главному моменту векторов Курс теоретической механики относительно точки Курс теоретической механики Эта скорость не зависит от порядка вращений.

Задача, которая возникает при аналогичной комбинации поступательных и вращательных движений, приводится к предыдущей путем замены каждого поступательного движения парой вращений.

Установив это, рассмотрим вторую систему векторов Курс теоретической механики эквивалентную первоначальной Курс теоретической механики т. е. такую, которая может быть получена из первоначальной элементарными операциями. Обе системы вращений, представляемые этими векторами, сообщают точке Курс теоретической механики одну и ту же скорость. Следовательно, если рассматриваются только скорости, то одну систему векторов Курс теоретической механики можно заменить другой.

Курс теоретической механики

Вот некоторые, вытекающие отсюда наиболее важные следствия:

1°. Система векторов эквивалентна двум векторам, из которых один проходит через произвольно выбираемую точку. Следовательно, скорости точек тела Курс теоретической механики будут такими же, как если бы это тело совершало два вращения, ось одного из.которых проходит через точку, выбираемую произвольно (Шаль).

2°. Система векторов эквивалентна одному вектору Курс теоретической механики проходящему через произвольную точку Курс теоретической механики и паре с вектором момента Курс теоретической механики Следовательно, скорости точек тела Курс теоретической механики будут такими же, как если бы это тело совершало одно вращение Курс теоретической механики ось которого проходит через произвольную точку Курс теоретической механики и пару вращений с вектором момента Курс теоретической механики т. е. поступательное движение со скоростью Курс теоретической механики (рис. 45).

Курс теоретической механики

Когда положение точки Курс теоретической механики меняется, вращение Курс теоретической механики сохраняется неизменным, а поступательная скорость Курс теоретической механики изменяется, но так, что произведение Курс теоретической механики остается постоянным.

Если Курс теоретической механики есть центральная ось системы векторов Курс теоретической механики то эта система эквивалентна одному-единственному вектору Курс теоретической механики (вращению), направленному по Курс теоретической механики и паре с минимальным векторным моментом Курс теоретической механики (поступательному движению со скоростью Курс теоретической механики), направленным также по Курс теоретической механики Скорости точек тела Курс теоретической механики будут такими же, как если бы оно совершало вращение Курс теоретической механики и поступательное движение Курс теоретической механики в направлении этого вращения. Это движение, эквивалентное движению болта в неподвижной гайке, называется винтовым движением, а ось Курс теоретической механики — мгновенной винтовой осью.

Частные случаи. Отметим некоторые частные случаи, соответствующие различным исследованным случаям в теории векторов (п. 26). Если минимальный момент Курс теоретической механики равен нулю, то система заданных вращений эквивалентна одному-единственному вращению вокруг центральной оси. Если Курс теоретической механики обращается в нуль, то система эквивалентна одному поступательному движению. Если Курс теоретической механики и"Курс теоретической механики одновременно равны нулю, то система вращений эквивалентна нулю: скорости всех точек тела Курс теоретической механики равны нулю.

Геометрические следствия. Очевидно, что каждая теорема, установленная в главе I в теории скользящих векторов, может служить теоремой о вращениях и поступательных движениях, сообщаемых некоторому телу Курс теоретической механики если векторы заменить вращениями, пары — поступательными движениями со скоростями, равными их векторам-моментам, и главный момент относительно точки Курс теоретической механики — скоростью, которою обладает эта точка, двигаясь вместе с телом. Теоремы геометрии о плоскостях и их фокусах, о сопряженных прямых, о прямых нулевого момента имеют простое истолкование. Так, например, если плоскость Курс теоретической механики неизменно связана с телом Курс теоретической механики при его движении, то фокусом плоскости Курс теоретической механики будет та ее точка, скорость которой перпендикулярна к плоскости, и т. д.

Тот факт, что произвольное число вращений и поступательных движений, приложенных к твердому телу, сообщают его различным точкам такие же скорости, как и винтовое движение, находит свое настоящее объяснение в теореме, согласно которой в наиболее общем движении твердого тела скорости в каждое мгновение будут такими же, как в винтовом движении. Это нам и предстоит доказать.

Ускорения. Теорема Кориолиса

Распределение ускорений в движущемся твердом теле.

В общем случае проекции скорости точки Курс теоретической механики тела на неподвижные оси равны:

Курс теоретической механики

где Курс теоретической механики обозначают величины Курс теоретической механики т. д. Дифференцируя по Курс теоретической механики получим формулы для проекций ускорения на неподвижные оси:

Курс теоретической механики

Заменяя первые производные Курс теоретической механики их значениями и полагая Курс теоретической механики найдем

Курс теоретической механикиКурс теоретической механики

Переставляя буквы, получим выражения других проекций Курс теоретической механики и Курс теоретической механики ускорения на неподвижные оси.

Ускорение в относительном движении. Теорема Кориолиса. Выше (п. 45) мы изложили очень важную теорему, устанавливающую связь между абсолютной скоростью движущейся точки и ее относительной скоростью относительно некоторой системы Курс теоретической механики совершающей известное движение.

Мы ставим себе задачей доказать такого же рода теорему, связывающую между собой абсолютное и относительное ускорения. Мы будем пользоваться аналитическим методом, который даст также и теорему о скоростях, доказанную ранее геометрически.

Для определения движения системы отсчета Курс теоретической механики относительно которой изучается относительное движение, введем три подвижные оси Курс теоретической механики неразрывно связанные с Курс теоретической механики и зададим их движение так же, как мы это делали в п. 51. Пусть Курс теоретической механики — движущаяся точка. Так как она движется и в системе Курс теоретической механики и в пространстве, то ее координаты Курс теоретической механики относительно подвижных осей и ее абсолютные координаты Курс теоретической механики будут функциями времени. Эти координаты связаны формулами

Курс теоретической механики

Точка Курс теоретической механики имеет абсолютную скорость и абсолютное ускорение, проекции которых на неподвижные оси равныКурс теоретической механики

Ее относительные скорость и ускорение имеют на подвижные оси проекции

Курс теоретической механики

а на неподвижные оси — проекции

Курс теоретической механики

Точка Курс теоретической механики имеет также переносные скорость и ускорение, проекции которых на неподвижные оси равны

Курс теоретической механики

Эти формулы получаются, если рассматривать Курс теоретической механики как постоянные, так как переносными скоростью и ускорением точки Курс теоретической механики называются скорость и ускорение, которые имела бы эта точка, если бы она была неизменно связана с подвижными осями.

Дифференцируя формулы (1) по Курс теоретической механики мы получим аналитическое выражение теоремы, доказанной ранее (п. 45): абсолютная скорость равна геометрической сумме относительной скорости и переносной скорости.

После второго дифференцирования формул (1) получим

Курс теоретической механикиКурс теоретической механики

и две аналогичные формулы для вторых производных величин Курс теоретической механики и Курс теоретической механики

Для уяснения смысла этих равенств рассмотрим вектор Курс теоретической механики имеющий начало в точке Курс теоретической механики и следующие проекции на неподвижные оси:

Курс теоретической механики

Этот вектор называется добавочным ускорением. Уравнения (2) показывают, что проекция вектора Курс теоретической механики на каждую из неподвижных осей равна сумме проекций Курс теоретической механики и УКурс теоретической механики на ту же ось, т. е. что вектор Курс теоретической механики есть геометрическая сумма векторов Курс теоретической механики и Курс теоретической механики

Следовательно, абсолютное ускорение есть результирующая относительного ускорения, переносного ускорения и добавочного ускорения.

Остается найти простое истолкование вектора Курс теоретической механики С этой целью найдем проекции Курс теоретической механики вектора Курс теоретической механики на подвижные оси. Очевидно, имеем

Курс теоретической механики

Система отсчета Курс теоретической механики относительно которой рассматривается относительное движение, представляет собой движущееся твердое тело или неизменяемую систему. На основании полученных ранее результатов мы знаем, что скорости ее различных точек в рассматриваемый момент будут такими же, как если бы эта система совершала поступательное движение и мгновенное вращение Курс теоретической механики проекциями Курс теоретической механики на подвижные оси, причем

Курс теоретической механикиКурс теоретической механики

При помощи этих формул сразу находим:

Курс теоретической механики

Рассмотрим точку Курс теоретической механики (рис. 50), имеющую в подвижных осях координаты Курс теоретической механики т. е. координаты конца вектора Курс теоретической механики с началом в точке Курс теоретической механики равного и параллельного относительной скорости Курс теоретической механики Тогда проекции Курс теоретической механики на оси Курс теоретической механики равны удвоенным проекциям скорости, которую будет иметь эта точка Курс теоретической механики если угол Курс теоретической механики предполагаемый неизменяемым, будет вращаться с угловой скоростью Курс теоретической механики вокруг Курс теоретической механики как вокруг неподвижной оси. Следовательно, вектор Курс теоретической механики по величине и направлению равен удвоенной этой скорости, т. е. удвоенному моменту вектора Курс теоретической механики относительно точки Курс теоретической механики Этот вектор приложен в точке Курс теоретической механики

Курс теоретической механики

Более подробно его можно определить так: вектор Курс теоретической механики перпендикулярен плоскости Курс теоретической механики мгновенной оси и относительной скорости; он равен по величине удвоенному произведению о> на расстояние от точки Курс теоретической механики до оси Курс теоретической механики, т. е. Курс теоретической механики наконец, он направлен по отношению к плоскости Курс теоретической механики в ту сторону, куда мгновенное вращение Курс теоретической механики стремится повернуть конец Курс теоретической механики вектора Курс теоретической механики параллельного относительной скорости. Итак, имеем:

Курс теоретической механики

Вектор Курс теоретической механики обращается в нуль, если один из трех множителей: Курс теоретической механики или Курс теоретической механики или Курс теоретической механики — обращается в нуль. Наиболее важными являются следующие случаи.

Поступательное движение подвижных осей. Сложение движений. Если Курс теоретической механики все время равно нулю, то и добавочное ускорение будет все время равно нулю. Для того чтобы это имело место, необходимо и достаточно, чтобы подвижные оси перемещались поступательно. Абсолютное ускорение Курс теоретической механики будет тогда результирующим вектором относительного ускорения Курс теоретической механики и переносного ускорения Курс теоретической механики

Этот частный случай относительного движения носит название сложения движений. Для определения поступательного движения подвижных осей, которые можно тогда предполагать параллельными неподвижным осям (рис. 51), достаточно определить движение одной точки Курс теоретической механики подвижной системы отсчета, что может быть сделано заданием изменения вектора Курс теоретической механики в функции времени. Относительное движение точки Курс теоретической механики определяется изменением вектора Курс теоретической механики Абсолютное движение точки Курс теоретической механики определяемое изменением результирующего вектора Курс теоретической механики называется результирующим двух первых движений. Согласно предыдущему скорость и ускорение в этом движении равны геометрическим суммам скоростей и ускорений составляющих движений.

Общие формулы для скорости и ускорения точки, отнесенной к подвижным осям. Допустим, что подвижный триэдр Курс теоретической механики совершает известное движение. Обозначим, как и выше, через Курс теоретической механики Курс теоретической механики проекции абсолютной скорости Курс теоретической механики начала Курс теоретической механики на подвижные оси, а через Курс теоретической механики— компоненты мгновенного вращения триэдра Курс теоретической механики относительно тех же осей.

Скорость. Рассмотрим точку Курс теоретической механики имеющую относительно осей Курс теоретической механики координаты Курс теоретической механики Относительная скорость Курс теоретической механики точки Курс теоретической механики относительно триэдра имеет на подвижные оси проекции

Курс теоретической механики

а переносная скорость той же точки имеет проекции (п. 51)

Курс теоретической механики

Абсолютная скорость Курс теоретической механики этой же точки, равная геометрической сумме скоростей Курс теоретической механики и Курс теоретической механики имеет проекции

Курс теоретической механики

Ускорение. Для получения проекций абсолютного ускорения точки Курс теоретической механики на оси Курс теоретической механики достаточно обратиться к определению ускорения при помощи годографа (п. 41). Через некоторую неподвижную точку Курс теоретической механики проведем три оси Курс теоретической механики параллельные осям Курс теоретической механики и отрезок Курс теоретической механики равный и параллельный абсолютной скорости Курс теоретической механики точки Курс теоретической механики Искомое ускорение Курс теоретической механики равно и параллельно абсолютной скорости точки Курс теоретической механики Но эта точка Курс теоретической механики имеет относительно осей Курс теоретической механики координаты

Курс теоретической механики

Скорость начала Курс теоретической механики равна нулю и мгновенное вращение триэдра Курс теоретической механики совпадает с мгновенным вращением параллельного триэдра Курс теоретической механики Следовательно, проекции на Курс теоретической механики или Курс теоретической механики абсолютной скорости точки Курс теоретической механики согласно формулам, аналогичным (3), равны

Курс теоретической механики

Поэтому для проекций абсолютного ускорения Курс теоретической механики имеем:

Курс теоретической механики

Эти формулы позволяют другим путем доказать теорему Кориолиса.

Динамика точки

Уравнения движения. Интегралы. В главе Курс теоретической механики мы видели, ню если точка Курс теоретической механики находится в движении под действием некоторых сил, имеющих равнодействующую Курс теоретической механики то ускорение Курс теоретической механики этой точки и сила Курс теоретической механики имеют одинаковые направления и их величины связаны соотношением

Курс теоретической механики

где Курс теоретической механики — масса точки. Говоря на языке алгебры, мы получили дифференциальные уравнения движения.

Пусть Курс теоретической механики — координаты движущейся точки относительно трех произвольных осей, Курс теоретической механики — составляющие силы Курс теоретической механики по этим осям. Проекции силы Курс теоретической механики равны проекциям ускорения Курс теоретической механики умноженным на массу Курс теоретической механики и мы получаем таким образом три уравнения движения

Курс теоретической механики

Если предположить, что точка Курс теоретической механики совершенно свободна, то действующие на нее силы зависят, в общем случае, от положения, скорости и времени. Следовательно, проекции Курс теоретической механики равнодействующей являются заданными функциями от Курс теоретической механики Курс теоретической механики т. е. от Курс теоретической механики если употреблять обозначения Лагранжа для производных: Курс теоретической механики Тогда уравнения (1) образуют систему трех совместных Дифференциальных уравнений второго порядка, определяющих Курс теоретической механики в функции Курс теоретической механики Эту систему можно заменить системой шести совместных уравнений первого порядка

Курс теоретической механики

определяющих переменные Курс теоретической механики в функции Курс теоретической механики Общие интегралы этих уравнений содержат шесть произвольных постоянных; они имеют вид:

Курс теоретической механики

откуда получаем:

Курс теоретической механики

где Курс теоретической механики обозначает производные от Курс теоретической механики по времени Курс теоретической механики

В каждой частной задаче произвольные постоянные должны быть определены при помощи начальных условий. Задаются положение и скорость движущейся точки в момент Курс теоретической механики нужно определить Курс теоретической механики так. чтобы при Курс теоретической механики величины Курс теоретической механики приняли наперед заданные значения Курс теоретической механики а величины Курс теоретической механики — наперед заданные значения Курс теоретической механики

Чтобы такое определение было возможным, каковы бы ни были заданные начальные значения для Курс теоретической механики необходимо, чтобы можно было разрешить, по крайней мере теоретически, шесть уравнений (2) и (3) относительно Курс теоретической механики т. е. чтобы эти уравнения (2) и (3), в которых Курс теоретической механики рассматриваются как неизвестные, не были ни несовместными, ни неопределенными.

Тогда для этих шести постоянных получатся значения вида

Курс теоретической механики

которые непосредственно определят численные значения постоянных, когда заданы начальные значения переменных Курс теоретической механики

Допускается, что заданным начальным условиям отвечает только одно движение. Это обстоятельство, в котором мы будем убеждаться во всех примерах, изучаемых дальше, вытекает из теоремы Коши при условии, что Курс теоретической механики являются регулярными функциями от Курс теоретической механики Но это предполагается во всех случаях, встречающихся в явлениях природы. Вследствие этого, если каким-нибудь образом удастся найти какое-нибудь возможное движение, т. е. удовлетворяющее уравнениям движения и начальным условиям, то это движение будет тем, которое действительно совершает точка.

Первые интегралы. Первым интегралом уравнений движения называется соотношение вида

Курс теоретической механики

сдедовательно Курс теоретической механики и одну произвольную постоянную Курс теоретической механики и имеющее место вследствие уравнений движения, каковы бы ни были начальные условия. Можно всегда представить это соотношение, разрешенным относительно Курс теоретической механики и написать его в виде

Курс теоретической механики

Нетрудно непосредственно проверить, что соотношение такого вида является первым интегралом. Дифференцируя по Курс теоретической механики получим

Курс теоретической механики

или, заменяя вторые производные от Курс теоретической механики их значениями, взятыми из уравнений движения, получим

Курс теоретической механики

Это последнее уравнение содержит только величины Курс теоретической механики Курс теоретической механики и так как оно должно иметь место, каковы бы ни были начальные условия, т. е. каковы бы ни были значения, приписываемые этим величинам, то оно должно удовлетворяться тождественно.

Практическая полезность какого-либо первого интеграла с точки зрения интегрирования уравнений (1) заключается в том, что он позволяет понизить на одну единицу число неизвестных. В самом деле, соотношение (5) позволяет выразить одну из неизвестных Курс теоретической механики Курс теоретической механики как функцию остальных неизвестных и Курс теоретической механики Несколько первых интегралов

Курс теоретической механики

являются независимыми, когда из них нельзя исключить все величины Курс теоретической механики Если такое исключение возможно, то оно приведет к соотношению между постоянными Курс теоретической механики которое, очевидно, не может содержать независимую переменную Курс теоретической механики являющуюся произвольной. Отсюда следует, что число независимых первых интегралов, которые можно найти, равно шести, так как если Курс теоретической механики больше Курс теоретической механики то всегда можно исключить шесть величин Курс теоретической механикиКурс теоретической механики

Если известны Курс теоретической механики первых интегралов (6), то в уравнениях (Г) можно уменьшить на v единиц число неизвестных. Действительно, из уравнений (б) можно выразить Курс теоретической механики этих неизвестных в функции Курс теоретической механики остальных неизвестных и времени Курс теоретической механики

Например, шесть уравнений (4), полученных после разрешения общих интегралов уравнений движения относительно произвольных постоянных, образуют шесть независимых первых интегралов.

Наоборот, если известны шесть независимых первых интегралов вида (6), где целое число Курс теоретической механики равно шести, то из этих уравнений после разрешения относительно Курс теоретической механики получится общий интеграл уравнений движения.

Аналогичные рассуждения применимы, как мы увидим дальше, и к движению точки по кривой или по поверхности.

По вопросам анализа, с которыми мы здесь столкнулись, мы отсылаем к нашему Cours d'Analyse a l'Ecole Centrale, гл. XXII.

Естественные уравнения (Эйлер). Возьмем на траектории начало Курс теоретической механики дуг. Движение по этой кривой определено, если дуга Курс теоретической механики является известной функцией времени. Проведем касательную Курс теоретической механики в сторону положительных дуг (рис. 128). Условимся считать скорость положительной, если движение происходит в сторону Курс теоретической механики и отрицательной, если оно происходит в обратную сторону. Тогда скорость по величине и знаку будет

Курс теоретической механики

Курс теоретической механики

Пусть Курс теоретической механики — ускорение движущейся точки. Как известно, его проекции на касательную и главную нормаль выражаются соответственно формулами (п. 41):

Курс теоретической механики

а проекция на бинормаль равна нулю. Так как вектор силы равен вектору ускорения, умноженному на массу, то обозначая через Курс теоретической механики Курс теоретической механики проекции силы Курс теоретической механики на касательную, главную нормаль и бинормаль, получим:

Курс теоретической механики

Эти три уравнения образуют систему, эквивалентную трем уравнениям движения. Так как Курс теоретической механики всегда положительно, a Курс теоретической механики всегда равно нулю, то сила всегда лежит в соприкасающейся плоскости траектории и направлена в сторону вогнутости последней.

Если сила все время нормальна к траектории, то Курс теоретической механики скорость постоянна и сила обратно пропорциональна радиусу кривизны.

Если сила все время касательна к траектории, то Курс теоретической механики и так как Курс теоретической механики не равно нулю, то Курс теоретической механики равно бесконечности, т. е. траектория есть прямая линия.

Можно установить отмеченные уже Маклореном интересные аналогии между этими уравнениями и уравнениями равновесия нити. Мёбиус указал большое число таких аналогий в своей Статике, так же как и Оссиан Бонне в томе IX Journal de Math£matiques и П. Серре в своей ТИёопе nouvelle des lignes a double courbure (Mallet-Ba-chelier, I860). (См. упражнения.)

Мы переходим теперь к выводу теорем, позволяющих во многих случаях найти первые интегралы.

Количество движения. Количеством движения точки Курс теоретической механики называют вектор Курс теоретической механики который направлен по линии скорости в ту же сторону, что скорость, и длина которого равна произведению скорости на массу: Курс теоретической механики Так как проекции скорости на оси равны Курс теоретической механики Курс теоретической механики то проекции количества движения будут

Курс теоретической механики

Моменты количества движения относительно осей координат равны

Курс теоретической механики

так что момент количества движения относительно точки Курс теоретической механики есть вектор Курс теоретической механики проекции которого равны только что написанным величинам.

Теорема о проекции количества движения. Первое уравнение движения может быть написано так:

Курс теоретической механики

Так как ось Курс теоретической механики произвольна, то это уравнение выражает следующее: Производная по времени от проекции количества движения на какую-нибудь ось равна проекции на ту же ось равнодействующей всех сил, приложенных к движущейся точке.

В частности, если сумма проекций сил на ось все время равна нулю, то по этой теореме получается первый интеграл. В самом деле, приняв эту ось за ось Курс теоретической механики имеем

Курс теоретической механики

где значение постоянной Курс теоретической механики равно проекции на ось Курс теоретической механики начального количества движения. Интегрируя вторично, получим

Курс теоретической механики

т. е. движение проекции точки на ось Курс теоретической механики является равномерным.

Пример решения задачи №4.

Параллельные силы. Если сила Курс теоретической механики параллельна определенному направлению, то траектория будет лежать в плоскости, параллельной этому направлению. В самом, деле, приняв за ось Курс теоретической механики прямую, параллельную равнодействующей силе Курс теоретической механики имеем Курс теоретической механики Курс теоретической механики. Следовательно,

Курс теоретической механики

Курс теоретической механики

что является уравнением плоскости, параллельной оси Курс теоретической механики Эта плоскость, в которой происходит движение, определяется начальными условиями; она является плоскостью, проведенной через начальную скорость параллельно постоянному направлению силы.

Теорема о моменте количества движения. Закон площадей. Из уравнений движения можно вывести теорему, аналогичную предыдущей, для момента количества движения. Два уравнения

Курс теоретической механики

путем преобразований приводятся к одному

Курс теоретической механики

которое можно написать так:

Курс теоретической механики

т. е. производная по времени от момента количества движения относительно какой-нибудь оси (оси Курс теоретической механики) равна моменту равно-действующей всех сил, приложенных к точке, относительно той же оси.

Из этой теоремы получается первый интеграл уравнений движения в случае, когда Курс теоретической механики т. е. когда равнодействующая сил, приложенных к материальной точке, находится все время в одной плоскости с осью Курс теоретической механики Этот интеграл будет Курс теоретической механики

Курс теоретической механики

Он имеет очень простую геометрическую интерпретацию, а именно:

пусть (рис. 129) Курс теоретической механики — проекция движущейся точки Курс теоретической механики на плоскость Курс теоретической механики и Курс теоретической механики — начальное положение этой проекции. Рассмотрим сектор, ограниченный проекцией траектории и двумя радиусами Курс теоретической механики и Курс теоретической механики Обозначая через Курс теоретической механики площадь этого сектора, отсчитываемую в направлении положительного вращения вокруг оси Курс теоретической механики имеем

Курс теоретической механики

Следовательно, предыдущее уравнение принимает вид

Курс теоретической механики

откуда, интегрируя, находим

Курс теоретической механики

Другими словами, площадь Курс теоретической механики пропорциональна времени, в течение которого она была описана. В этом случае говорят, что для проекции движения на плоскость Курс теоретической механики справедлива теорема площадей.

Постоянная площадей Курс теоретической механики входящая в предыдущую формулу, равна отношению удвоенной площади, описанной радиусом-вектором Курс теоретической механики к затраченному на это времени. Она определяется начальными условиями, а именно: она равна значению, принимаемому в начале движения величиной Курс теоретической механики т. е. моменту начальной скорости относительно оси Курс теоретической механики

Наоборот, если теорема площадей применима к проекции движения на плоскостьКурс теоретической механики относительно точки Курс теоретической механики то сила находится в одной плоскости с осью Курс теоретической механики так как уравнение Курс теоретической механики после дифференцирования принимает вид

Курс теоретической механики

откуда

Курс теоретической механики

Пример решения задачи №5.

Центральные силы. Допустим, что равнодействующая Курс теоретической механики сил, приложенных к точке, является центральной, т. е. ее направление все время проходит через неподвижную точку Курс теоретической механики Если эту точку принять за начало, то момент Курс теоретической механики относительно каждой из трех координатных осей будет равен нулю и теорема площадей будет применима к проекциям движения на каждую из трех координатных плоскостей. В этом случае траектория будет лежать в плоскости, проходящей через центр сил. В самом деле, имеем три уравнения:

Курс теоретической механики

Умножая их на Курс теоретической механики и складывая, найдем

Курс теоретической механики

т. е. уравнение плоскости, проходящей через точку Курс теоретической механики Эта плоскость определяется начальной скоростью и точкой Курс теоретической механики

Геометрическая интерпретация двух предыдущих теорем. Проведем через точку Курс теоретической механики вектор Курс теоретической механики, равный и параллельный равнодействующей всех сил, приложенных к точке, и вектор Курс теоретической механики равный и параллельный количеству движения точки (рис. 130). Точка Курс теоретической механики имеет координаты:

Курс теоретической механики

Уравнения движения, выражающие теорему проекций количества движения на каждую из координатных осей, имеют вид

Курс теоретической механики

и обозначают, что скорость Курс теоретической механики геометрической точки Курс теоретической механики в каждый момент времени равна и параллельна силе Курс теоретической механики

Курс теоретической механики

Точно так же, пусть Курс теоретической механики — момент равнодействующей сил, приложенных к точке Курс теоретической механики относительно точки Курс теоретической механики и пусть Курс теоретической механики — момент количества движения относительно той же точки. Координаты Курс теоретической механики точки Курс теоретической механики выражаются равенствами

Курс теоретической механики

а проекции вектора Курс теоретической механики суть

Курс теоретической механики

И мы приходим к уравнению Курс теоретической механики точно так же получаются уравнения

Курс теоретической механики

выражающие, что точка Курс теоретической механики oблaдает в кaждый момент времени скоростью Курс теоретической механики равной и параллельной вектору Курс теоретической механики В. этом заключается аналогия между обеими предыдущими теоремами.

Например, если равнодействующая сил, действующих на движущуюся точку, проходит через неподвижную точку Курс теоретической механики то величины Курс теоретической механики будут постоянными и отрезок Курс теоретической механики во время движения будет оставаться неподвижным. Мы видели, что в этом случае траектория будет плоской; она будет находиться в плоскости, перпендикулярной к Курс теоретической механики

Теорема кинетической энергии. Возьмем уравнения движения

Курс теоретической механики

и сложим их почленно, умножив предварительно первое уравнение на Курс теоретической механики второе на Курс теоретической механики и третье на Курс теоретической механики Получим

Курс теоретической механики

Замечая, что квадрат скорости равен

Курс теоретической механики

можно это уравнение написать следующим образом:

Курс теоретической механики

Произведение Курс теоретической механики половины массы на квадрат скорости называется кинетической энергией *). Предыдущее уравнение может быть поэтому выражено следующим образом:

Дифференциал кинетической энергии за промежуток времени Курс теоретической механики равен элементарной работе равнодействующей сил, действующих на точку, за тот же промежуток времени. Действительно, правая часть

Курс теоретической механики

уравнения является элементарной работой силы Курс теоретической механики на действительном перемещении Курс теоретической механики которое совершает точка за промежуток времени Курс теоретической механики Работу равнодействующей Курс теоретической механики можно, как мы видели (п. 77). заменить суммой работ отдельных сил, приложенных к движущейся точке.

Уравнение (1) вытекает также сразу из первого из естественных уравнений движения

Курс теоретической механики

Умножая на Курс теоретической механики и заменяя Курс теоретической механики через Курс теоретической механики получим уравнение

Курс теоретической механики

в котором правая часть равна элементарной работе силы Курс теоретической механики на перемещении Курс теоретической механики

Если уравнение (1) проинтегрировать от момента Курс теоретической механики до момента Курс теоретической механики то, обозначая через Курс теоретической механики скорость в момент Курс теоретической механики получим

Курс теоретической механики

что выражает следующую теорему:

Изменение кинетической энергии точки за произвольный промежуток времени равно полной работе сил, приложенных к точке, за тот же промежуток времени.

С точки зрения оценки полной работы следует, как мы показали в главе IV, различать три случая:

  • 1°. В наиболее общем случае, когда Курс теоретической механики зависят от Курс теоретической механики Курс теоретической механики для вычисления полной работы надо знать выражения координат Курс теоретической механики в функции Курс теоретической механики т. е. надо знать движение.
  • 2°. В случае, когда Курс теоретической механики зависят только от Курс теоретической механики для вычисления полной работы достаточно знать траекторию движущейся точки между положением Курс теоретической механики которое она занимает в момент Курс теоретической механики и положением Курс теоретической механики занимаемым в момент Курс теоретической механики
  • 3°. Наконец, если равнодействующая Курс теоретической механики зависит только от положения движущейся точки и имеет силовую функцию Курс теоретической механики т. е.

Курс теоретической механики

то можно вычислить полную работу, зная только положения Курс теоретической механики и Курс теоретической механики В этом случае теорема кинетической энергии приводит к первому интегралу. Действительно, выполняя интегрирование в правой части уравнения (2), получим

Курс теоретической механики

или

Курс теоретической механики

где Курс теоретической механики обозначает произвольную постоянную Курс теоретической механикиКурс теоретической механики эта постоянная называется постоянной кинетической энергии. Согласно этому уравнению скорость движущейся точки становится тою же самою, что и раньше, каждый раз когда функция Курс теоретической механики принимает прежнее значение. Если Курс теоретической механики является однозначной функцией от Курс теоретической механики то можно говорить, что скорость движущейся точки принимает одинаковые значения, когда она возвращается на одну и ту же поверхность уровня Курс теоретической механики Когда функция Курс теоретической механики многозначна, как, например, Курс теоретической механики то скорость не обязательно принимает одинаковые значения, когда точка возвращается на одну и ту же поверхность уровня, так как на определенной поверхности уровня функция Курс теоретической механики а вследствие этого и полная работа принимают различные значения вдоль пути (см. п. 82).

Пример решения задачи №6.

Рассмотрим движущуюся в пустоте совершенно свободную тяжелую точку. Если ось Курс теоретической механики направить вертикально вверх, то так как единственной силой, приложенной к точке, является вес, проекции которого суть

Курс теоретической механики

то по теореме кинетической энергии получаем уравнение

Курс теоретической механики

правая часть которого является полным дифференциалом, что показывает, как это уже отмечалось много раз, что вес имеет силовую функцию. Интегрируя, получим

Курс теоретической механики

Это уравнение показывает, что скорость принимает одно и то же численное значение всякий раз, когда точка находится на одной и той же высоте, т. е. возвращается на ту же поверхность уровня.

Вообще, если точка находится под действием вертикальной силы, являющейся функцией от Курс теоретической механики то

Курс теоретической механики

откуда

Курс теоретической механики

Поверхностями уровня по-прежнему являются горизонтальные плоскости. Во всех этих движениях траектории являются плоскими кривыми (п. 202, пример).