Кривые поверхности в начертательной геометрии

Содержание:

1. Линейчатые поверхности
2. Линейчатые поверхности с двумя направляющими
3. Линейчатые поверхности с одной направляющей
4. Нелинейчатые поверхности
5. Нелинейчатые поверхности с постоянной образующей 

В начертательной геометрии фигуры задаются графически, поэтому поверхность рассматривается как совокупность всех последовательных положений некоторой линии, перемещающейся в пространстве по определенному закону. Она называется образующей, а линия, вдоль которой она перемещается, – направляющей.

Линейчатые поверхности

Первыми известными человечеству поверхностями были плоскость (рис. 3.46 а), цилиндр (рис. 3.46 б), конус (рис. 3.46 в) и сфера (рис. 3.46 г). Архимед присоединил к этому списку «коноиды» (рис. 3.46 д) и «сфероиды» (рис. 3.46 е).

Виды поверхностей

Только П. Ферма у 1643 г. сделал существенный шаг в теорию поверхностей. Он рассматривал любую поверхность как упорядоченную совокупность точек и линий пространства и дал классификацию поверхностей по их характерным признакам.

В 1655 р. Дж. Уоллис определил объёмы и центры тяжести тел, ограниченных кривыми поверхностями.

Наиболее применимыми являются такие способы задания поверхностей:

а) аналитический, в котором поверхность задаётся уравнением f(x,y,z) = 0,  связывающим координаты х, у, z каждой точки поверхности;

б) кинематический, согласно которому поверхность создаётся непрерывным движением одной линии l (образующей) вдоль неподвижной линии  (направляющей);

в) каркасный – с помощью множеств характерных точек А (1) , А (2) , … и линий l (1) , l (2) , … поверхности.

Примеры геометрического, кинематического и каркасного способов задания поверхности Ф приведены на рис. 3.47 а – в.

Комплексный чертёж поверхности Ф считается заданным, если одновременно выполняются такие условия:

а) можно построить три проекции l1, l2, l3 образующей линии l;

б) по одной проекции М1 точки М поверхности можно определить другие две её проекции;

в) по двум проекциям А1, А2 точки А на комплексном чертеже можно определить,  принадлежит ли она поверхности Ф, или не принадлежит.

Джон Уоллис (John Wallis) – английский математик, один из предшественников математического анализа, тригонометрии, теории чисел. В 1655 г. издал трактат «Арифметика бесконечного», где ввёл символ бесконечности  и рассчитал интегральные суммы (ещё до существования понятия про интеграл). Ввёл современное понятие математической операции  логарифмирования.

Способы задания поверхностей

Комплексный чертёж поверхности

Например, на рис. 3.48 можно установить проекции образующей l, определить фронтальную проекцию М2 точки М по известной проекции М1. По комплексному чертежу точки А однозначно определяется, что она не принадлежит поверхности. Таким образом, удовлетворив все условия, делается вывод о том, что на рис. 3.48 построен чертёж поверхности Ф.

Разнообразие форм поверхностей создаёт трудности при их изучении. Поэтому целесообразно сделать систематизацию поверхностей. Современное развитие теории поверхностей позволяет классифицировать поверхности по многим критериям. С позиции начертательной геометрии классификация поверхностей такая:

а) линейчатые – поверхности, образованные прямолинейной образующей l:

1) с тремя направляющими – образованы движением образующей l, которая одновременно пересекает три направления 

– линейчатая поверхность общего вида;

– конусоид; – косой цилиндр;

– однополостной гиперболоид;

2) с двумя направляющими (див. п. 3.2.1.2):

– цилиндроид;

– коноид;

– гиперболический параболоид;

– геликоид;

3) с одной направляющей (см. п. 3.2.1.3):

– плоскость;

– цилиндр и призма;

– конус и пирамида;

– торс;

б) нелинейчатые:

1) с переменной образующей (см. п. 3.2.2.1);

– поверхность общего вида;

– каналовая поверхность;

2) с постоянной образующей (см. п. 3.2.2.2):

– трубчатая поверхность;

– поверхность перенесения;

– поверхность вращения.

Линейчатая поверхность общего вида – поверхность, образованная движением прямолинейной образующей l, которая в каждом своём положении пересекает три кривые направляющие  (рис. 3.49 а).

 

Линейчатые поверхности с тремя направляющими

Конусоид – поверхность, образованная движением прямолинейной образующей l,, которая в каждом своём положении пересекает две криволинейные направляющие  и одну прямолинейную направляющую  (рис. 3.49 б).

Косой цилиндр – поверхность, образованная движением прямолинейной образующей l,, которая в каждом своём положении пересекает одну криволинейную направляющую  и две прямолинейные направляющие  (рис. 3.49 в).

Однополостной гиперболоид – поверхность, образованная движением прямолинейной образующей l, которая в каждом своём положении пересекает три прямолинейные направляющие  (рис. 3.49 г).

Линейчатые поверхности широко используются в проектировании архитектурных сооружений башен, павильонов, каркасов крыш зданий и т.д..

На рис. 3.50 приведены примеры сооружений, построенных по методу В. Г. Шухова – ученого, который впервые предложил строить каркасы сооружений в форме однополостного гиперболоида.

Сооружения, построенные по методу В. Г. Шухова

Линейчатые поверхности с двумя направляющими

Для построения линейчатых поверхностей с двумя направляющими образующая линия параллельна неподвижной плоскости – плоскости параллелизма. Как правило, эта плоскость занимает особое положение.

Линейчатые поверхности с двумя направляющими и плоскостью параллелизма также называются поверхностями Каталана в честь выдающегося бельгийского математика ХІХ столетия.

Цилиндроид – поверхность, образованная движением прямолинейной образующей l, которая в каждом своём положении пересекает две кривые направляющие   оставаясь параллельной заданной неподвижной плоскости Σ (рис. 3.51 а).

Коноид – поверхность, образованная движением прямолинейной образующей l,, которая в каждом своём положении пересекает одну кривую направляющую  ) и одну прямолинейную направляющую  оставаясь параллельной заданной неподвижной плоскости Σ (рис. 3.51 б).

Владимир Григорьевич Шухов – советский инженер, архитектор, изобретатель и ученый, член-корреспондент Академии наук СССР. Автор проектов и руководитель первых нефтепроводов (1878 г.) и нефтеперерабатывающего предприятия (1939 г.). Первый в мире использовал стальные сетчатые оболочки для строительства сооружений. Методы Шухова широко используются в практике строительства авангардных hi-tech-сооружений ХХІ столетия.

Эжен-Шарль Каталан (Eugéne-Charles Catalan) – бельгийский математик, профессор Шалонской коллегии, репетитор в Парижской политехнической школе и в коллегии святой Варвары, профессор в коллегии Карла и Святого Людовика. Один из лучших геометров ХІХ столетия.

Гиперболический параболоид – поверхность, образованная движением прямолинейной образующей l,, которая в каждом своём положении пересекает две прямолинейные направляющие  оставаясь параллельной заданной неподвижной плоскости Σ (рис. 3.51 в).

Линейчатые поверхности с двумя направляющими

Одной из разновидностей линейчатых поверхностей с двумя направляющими являются  винтовые поверхности, или геликоиды (от греческого ελικοειδής – винтовой). Геликоиды делятся на закрытый и открытый, прямой и косой.

Закрытый геликоид – коноид, у которого криволинейная направляющая  является  винтовой линией, а прямолинейная направляющая  совпадает с осью  этой винтовой линии.

Прямой закрытый геликоид – закрытый геликоид, у которого существует плоскость параллелизма Σ, перпендикулярная оси  винтовой линии. Как правило, плоскость параллелизма Σ является плоскостью уровня.

Косой закрытый геликоид– закрытый геликоид, образующая линия l которого образует постоянный острый угол χ с осью ) винтовой линии . Косой закрытый геликоид не имеет плоскости параллелизма.

На рис. 3.52 а построен комплексный чертёж прямого закрытого геликоида, на рис. 3.52 б – косого закрытого геликоида.

Закрытые геликоиды

Открытый  геликоид – цилиндроид, у которого обе направляющие  являются соосными винтовыми линиями.

На рис. 3.53 а – б показаны комплексные чертежи открытого прямого и косого геликоидов.

Открытые геликоиды

Прямой открытый геликоид – открытый геликоид , у которого существует плоскость параллелизма Σ, перпендикулярная общей оси винтовых линий. Как правило,  плоскость параллелизма Σ является плоскостью уровня.

Косой открытый геликоид – открытый геликоид , образующая линия l которого образует постоянный острый угол χ с винтовой линией  Косой открытый геликоид не имеет плоскости параллелизма.

Геликоиды широко применяются в машиностроении как рабочие поверхности винтов, шнеков, сверл, пружин, лопастей турбин и вентиляторов, червяков редукторов и т.д.. Они также используются в проектировании транспортных развязок автомагистралей. На рис. 3.54 поверхность дороги в зоне спуска является прямым закрытым геликоидом, поверхность земляной насыпи с внешнего бока является косым открытым геликоидом.

Применение геликоидов

Линейчатые поверхности с одной направляющей

Простейшим видом линейчатой поверхности с одной направляющей  является плоскость – поверхность, образованная поступательным движением прямолинейной образующей  l по прямолинейной направляющей  (рис. 3.55 а).

Под поступательным движением прямой l понимают движение, в котором все положения этой прямой остаются параллельными одно другому (рис. 3.55 а – б).

Цилиндр (от греческого κύλινδρος – каток, валик) – поверхность, образованная поступательным движением прямолинейной образующей  l по криволинейной направляющей  (рис. 3.55 б).

Конус (от латинского conus – кол, остриё) – поверхность, образованная движением прямолинейной образующей  l, которая в каждом своём положении проходит через неподвижную точку S (вершину) и пересекает криволинейную направляющую  (рис. 3.55 в).

Линейчатые поверхности с одной направляющей

Призма (от греческого πρίσµα – свет) – поверхность, образованная поступательным движением прямолинейной образующей l по ломаной направляющей   (рис. 3.56 а).

Пирамида (от греческого πυρα – отпил) – поверхность, образованная движением прямолинейной образующей l , которая во всех своих положениях проходит через неподвижную точку S (вершину) и пересекает ломаную направляющую  (рис. 3.56 б).

К отдельной группе линейчатых поверхностей с  одной направляющей относятся поверхности с  ребром возврата, которые называются торсы.

Торс (от латинского torso – возвращать) – поверхность, образованная движением прямолинейной образующей l , которая в каждом своём положении касается криволинейной направляющей  (рис. 3.57). Эта направляющая называется ребром возврата.

Линейчатые поверхности с ломаной направляющей

Торс

Нелинейчатые поверхности

Нелинейчатые поверхности, образованные поступательным движением – это гиперболический параболоид и другие сложные поверхности.

Нелинейчатые поверхности с переменной образующей:

Нелинейчатыми поверхностями называются поверхности, образованные движением криволинейной образующей l по направляющей Нелинейчатые поверхности делят на поверхности с переменной образующей l  и с постоянной образующей.

К нелинейчатым поверхностям с переменной образующей относятся поверхность общего вида и каналовая поверхность.

Поверхность общего вида – поверхность, образованная движением криволинейной образующей l которая в каждом своём  положении пересекает три кривые направляющие (рис. 3.58).

Поверхность общего вида

Каналовая поверхность (от латинского canalis – труба, желоб) – поверхность, образованная движением замкнутой плоской линии l переменного размера и формы, геометрический центр О которой движется по криволинейной направляющей  по определённому закону.

Как правило, образующей l   является окружность или контур любой плоской симметричной или правильной геометрической фигуры (квадрат, прямоугольник, эллипс и т.д.). Направляющей  может быть пространственная или плоская кривая. В последнем случае кривую  удобно задать, как принадлежащую  плоскости уровня. Построение каналовой поверхности осуществляется каркасным способом.

Каналовые поверхности делятся на прямые и с плоскостью параллелизма.

Прямая каналовая поверхность – каналовая поверхность, образующие линии l которой принадлежат плоскости Σ, перпендикулярной направляющей  (рис. 3.59 а).

Необходимо отметить, что плоскость Σ перпендикулярна линии ,если касательная  (см. п. 3.3), проведенная в точке О пересечения  , Σ , перпендикулярна  плоскости Σ.

Каналовая поверхность с плоскостью параллелизма – каналовая поверхность, образующие линии l которой принадлежат плоскости Σ, параллельной заданной плоскости Ω (рис. 3.59 б). 

Как правило, плоскость параллелизма Ω является плоскостью уровня.

Каналовые поверхности

В случае, когда образующей l каналовой поверхности является окружность переменного диаметра, эта поверхность называется циклической (рис. 3.60).

На рис. 3.60 а построен комплексный чертёж прямой циклической поверхности, на рис. 3.60 б – циклической поверхности с плоскостью параллелизма Ω.

Циклические поверхности

Нелинейчатые поверхности с постоянной образующей 

К нелинейчатым поверхностям с постоянной образующей  относятся трубчатая поверхность, поверхность переноса и поверхность вращения.

Трубчатая поверхность – циклическая поверхность с образующей l постоянного диаметра (рис. 3.61). На рис. 3.61 показана прямая трубчатая поверхность, на рис. 3.61 б – трубчатая поверхность с плоскостью параллелизма Ω.

Трубчатые поверхности

Поверхность переноса – поверхность, образованная поступательным движением постоянной криволинейной образующей l по криволинейной направляющей т (рис. 3.62).

Поверхность вращения – поверхность, образованная вращением плоской криволинейной образующей l вокруг неподвижной оси  вращения (рис. 3.62).

Поверхность переноса Поверхность вращения

Поверхность вращения Ф имеет такие геометрические элементы:

а) меридиан (от латинского meridiem – юг) – линия пересечения поверхности Ф плоскостью Σ, которая пересекает ось вращения і. Меридиан является образующей l, вращением которой образована эта поверхность;

б) параллель – линия пересечения поверхности плоскостью Ω, перпендикулярной  оси   вращения і. Параллель является направляющей –окружностью ;

в) экватор – параллель наибольшего диаметра;

г) горло – параллель наименьшего диаметра.

Существует бесконечное количество поверхностей  вращения, классификация которых сходна с классификацией кривых линий (см. п. 3.1). Например, к алгебраическим поверхностям вращения второго порядка относятся прямой круговой цилиндр (рис. 3.46 б), прямой круговой конус (рис. 3.46 в), сфера (от греческого σφαϊρα – мяч), эллипсоид (рис. 3.64 а), параболоид (рис. 3.46 е), одно- и двуполостной гиперболоиды (рис. 3.46 д, рис. 3.64 б).

К поверхностям вращения высших порядков можно отнести, например, тор – поверхность четвертого порядка, образованную вращением окружности вокруг оси, которая принадлежит плоскости этой окружности. На рис. 3.65 а изображен открытый тор, на рис. 3.65 б – закрытый тор.

Эллипсоид(а) и однополостной гиперболоид(б)

 Открытый(а) и закрытый(б) тор

Псевдосфера

К трансцендентным поверхностям вращения принадлежат те, которые образованы вращением трансцендентной кривой вокруг неподвижной оси. Например, псевдосфера (от греческого ψευδο – ложь) – поверхность, образованная вращением половины трактрисы (см. п. 3.1.1.5, рис. 3.31) вокруг оси, которая проходит через особую точку трактрисы перпендикулярно  оси симметрии (рис. 3.66).

Геометрические тела, ограниченные поверхностями вращения, детально рассмотрены в п. 4.2.

Поверхности  вращения широко используются в быту: большинство существующей посуды имеет форму тел вращения. В машиностроении  поверхности вращения используются как поверхности осей и валов (рис. 3.67 а), корпусов (рис. 3.67 б), мембран и т.д. В форме поверхностей вращения строят сооружения атомных электростанций (рис. 3.67 в). В архитектуре в форме поверхностей вращения строят сооружения разного назначения и их элементы: купола, перекрытия (рис. 3.67 г) и т.д.. Форму тел  вращения имеют параболические и тороидальные антенны (рис. 3.67 д – е) за счёт свойства этих поверхностей фокусировать пучок радиоволн.

Применение поверхностей вращения

Примеры и образцы решения задач:

• Решение задач по инженерной графике
• Решение задач по начертательной геометрии

Услуги по выполнению чертежей:

1. Заказать чертежи
2. Помощь с чертежами
3. Заказать чертеж в компасе
4. Заказать чертеж в автокаде
5. Заказать чертежи по инженерной графике
6. Заказать чертежи по начертательной геометрии
7. Заказать черчение

Учебные лекции:

1. Инженерная графика
2. Начертательная геометрия
3. Оформление чертежей
4. Чертеж общего вида и сборочный чертеж
5. Техническое рисование
6. Машиностроительные чертежи
7. Геометрические построения
8. Деление окружности на равные части
9. Сопряжение линий
10. Коробовые кривые линии
11. Построение уклона и конусности
12. Лекальные кривые
13. Параллельность и перпендикулярность
14. Методы преобразования ортогональных проекций
15. Поверхности
16. Способы проецирования
17. Метрические задачи
18. Способы преобразования чертежа
19. Кривые линии
20. Трёхгранник Френе
21. Проецирование многогранников
22. Проецирование тел вращения
23. Развёртывание поверхностей
24. Проекционное черчение
25. Проецирование
26. Проецирование точки
27. Проецирование отрезка прямой линии
28. Проецирование плоских фигур
29. Способы преобразования проекций
30. Аксонометрическое проецирование
31. Проекции геометрических тел
32. Сечение геометрических тел плоскостями и развертки их поверхностей
33. Взаимное пересечение поверхностей тел
34. Сечение полых моделей
35. Разрезы
36. Требования к чертежам деталей
37. Допуски и посадки
38. Шероховатость поверхностей и обозначение покрытий
39. Разъемные и неразъемные соединения деталей
40. Передачи и их элементы