Кривые линии в начертательой геометрия

Содержание:

  1. Кривые высших порядков 
  2. Тригонометрические кривые
  3. Циклоидальные кривые
  4. Спиральные кривые
  5. Трансцендентные кривые 
  6. Фигуры Лиссажу
  7. Сопряжения
  8. Винтовые линии

Кривая линия - это множество точек пространства, координаты которых являются функциями одной переменной. Термин «кривая» в разных разделах математики. определяется по-разному. В начертательной геометрии кривую рассматривают как траекторию, описанную движущей точкой, как проекцию другой кривой, как линию пересечения двух поверхностей, как множество точек.

Любую кривую линию можно рассматривать с помощью двух  подходов:

а) геометрический подход – линия является упорядоченной совокупностью точек (рис. 3.1 а);

б) кинематический подход (от греческого κινεµα – движение) – линия является траекторией точки (рис. 3.1 б).

Кривые линии в начертательой геометрия

 

Кривые линии в начертательой геометрияСпособы задания кривых линий

Бесконечную совокупность кривых можно разделить на такие виды:

а) по математической форме записи:

1) алгебраические – кривые, которые задаются алгебраическими уравнениями в данной системе координат. Например, Кривые линии в начертательой геометрия

2) неалгебраические – кривые, которые задаются системой параметрических уравнений (см. п. 3.1.1.2 –3.1.1.6, 3.1.2). Например: Кривые линии в начертательой геометрия (t – переменный параметр);

б) по размещению в пространстве

1) плоские– кривые, все точки которых принадлежат плоскости;

2) пространственные – кривые, точки которых не принадлежат одной плоскости (см. п. 3.1.2).

Алгебраические кривые, в зависимости от степени уравнения, которым они описаны, подразделяются на кривые второго порядка и кривые высших порядков (см. п. 3.1.1.1.2). Алгебраические кривые удобно задавать геометрическим способом.

К плоским алгебраическим кривым второго порядка относятся линии, которые описываются таким алгебраическим уравнением:

Кривые линии в начертательой геометрия

Форма кривой зависит от соотношений коэффициентов a, b, c, d этого уравнения.

Все плоские кривые второго порядка являются контурами конических сечений – плоских сечений прямого кругового конуса (см. п. 4.2.1, табл. 4.1, рис. 4.13). Конические сечения (рис. 3.2) были известны в часы Древней Греции. Наиболее полным произведением , посвящённым этим кривым, является произведение Аполлония Пергского «Конические сечения».

Кривые линии в начертательой геометрия

Кривые линии в начертательой геометрияКонические сечения

Существуют три основных вида конических  сечений: эллипс, гипербола, парабола. Кроме того, существуют их отдельные и вырожденные формы: окружность, как отдельный случай эллипса; две прямые, как крайний случай гиперболы; прямая, как крайний случай параболы; точка, как крайний случай окружности.

Эллипс (от греческого έλλειψις – недостаток) – геометрическое место точек М плоскости, сумма расстояний от которых до двух заданных точек F1, F2 (фокусов) является постоянной(рис. 3.3 а). Эллипс является контуром сечения конуса плоскостью, не параллельной его оси и образующей линии ,а также, не перпендикулярной его оси (рис. 3.2).

Кривые линии в начертательой геометрия

Кривые линии в начертательой геометрияПлоские алгебраические кривые второго порядка

Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии, которые пересекаются в его центре О. В случае, когда большая и меньшая полуоси а, b Эллипса одинаковы ,эллипс вырождается в  окружность. Эллипсом является прямоугольная, косоугольная, аксонометрическая проекции окружности, которая принадлежит плоскости общего положения (см. рис. 4.14; пп. 6.2 – 6.3, рис. 6.5 а – в, рис. 6.9 а – в).

Кривые линии в начертательой геометрия Кривые линии в начертательой геометрия

Аполлоний Пергский (‘Aπολλώνιος ό Περγαϊος) – математик Древней Греции, один из трёх (наряду с Эвклидом и Архимедом) великих геометров античности. В произведении «Конические сечения» ввёл понятия «эллипс», «гипербола», «парабола». Один из исследователей неравномерного движения планет.

Гипербола (от греческого ύπερβολή – избыток) – геометрическое место точек М плоскости, разность расстояний от которых до двух заданных фокусов F1, F2  постоянно (рис. 3.3 б). Гипербола имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии х, у, которые пересекаются в точке, равноудаленной от его фокусов F1, F2. Гипербола имеет две ветви, сбоку каждой из которых есть фокус. Гипербола является контуром сечения конуса плоскостью параллельной его оси.

Парабола (от греческого παραβολή – дополнение) – геометрическое место точек М, равноудаленных от его фокуса F и прямой dдиректрисы (рис. 3.3 в). Парабола имеет одну ось симметрии, которая проходит через фокус F перпендикулярно директрисе d. Парабола является контуром сечения конуса плоскостью, параллельной его образующей линии (см. п. 4.2.1, рис. 4.15).

С кинематической точки зрения плоские кривые второго порядка являются возможными  траекториями космических тел. Например, по первому закону Кеплера все планеты Солнечной системы движутся по эллипсам, одним из фокусов которых является Солнце.

Плоские алгебраические кривые строят как лекальные кривые – линии, построенные с помощью специального чертёжного инструмента – лекала.

Кривые линии в начертательой геометрия

Для построения эллипса строятся две концентрические окружности с радиусами, которые равны полуосям a, b эллипса. Деление окружностей на равное количество N частей (как правило, N = 12) позволяет определить вспомогательные точки Кривые линии в начертательой геометрия Искомые точки 1, 2, …, N эллипса являются точками пересечения вспомогательных горизонтальных и вертикальных линий, проведенных из соответствующих вспомогательных точек (рис. 3.4 а).

Кривые линии в начертательой геометрия

Кривые линии в начертательой геометрияПостроение эллипса (а) и гиперболы (б)

Кривые линии в начертательой геометрияКривые линии в начертательой геометрия

Иоганн Кеплер (Johannes Kepler) – немецкий математик, астроном, оптик. Один из основоположников современной астрономии. Открыл законы движения планет, базируясь на многочисленных наблюдениях датского ученого астронома Тихо Браге.

Для построения гиперболы выбираются две точки О, А (рис. 3.4 б). Из точки А проводятся два взаимно перпендикулярных луча l, m под углом 45° к горизонту. Из точки О строятся лучи k1, k2, … и определяются точки Кривые линии в начертательой геометрия их пересечения с лучами l, m. Из полученных точек проводятся линии, параллельные l, m, до пересечения. Точки пересечения 1, 2, … принадлежать гиперболе. Они симметрично отображаются относительно горизонтальной оси. Искомая гипербола проходит через точки …, 2, 1, А, 1, 2,

Для построения параболы (рис. 3.5) посередине между заданным фокусом F и директрисой d строится точка О пересечения параболы. Строится множество концентрических окружностей (с центром в фокусе F, радиусами Кривые линии в начертательой геометрия …) и множество параллельных директрисе d прямых, удаленных от неё на расстояния Кривые линии в начертательой геометрия … Точки 1, 2, … параболы являются точками пересечения построенных параллельных прямых с соответствующими концентрическими окружностями. Парабола строится по точкам …, 2, 1, О, 1, 2, …

Существуют и другие  способы построения эллипса, гиперболы и параболы. Способами компьютерной техники плоские кривые строятся с помощью процедур интерполяции, в том числе с помощью кривой Бернштейна-Безье, числовых  интерполяций и т.д. 

Кривые линии в начертательой геометрия

Кривые линии в начертательой геометрияПостроение параболы

Кривые высших порядков 

К плоским алгебраическим кривым высших порядков принадлежат линии, которые описываются алгебраическими уравнениями третьего и высшего порядков. Существует бесконечное количество таких кривых. Однако, для их изучения достаточно рассмотреть только основные виды.

Кубическая парабола – плоская кривая третьего порядка, которая описывается уравнением Кривые линии в начертательой геометрия (рис. 3.6 а).

Парабола Нейла – плоская кривая третьего порядка, которая описывается уравнением Кривые линии в начертательой геометрия (рис. 3.6 б). Она является траекторией точки, которая за равные промежутки времени опускается на одинаковые вертикальные отрезки. Эту кривую исследовал Вильям Нейл (1637 – 1670) – английский математик, астроном, член Королевского общества. Он решил задачу по определению длины дуги этой кривой.

Кривые линии в начертательой геометрия

Кривые линии в начертательой геометрияКубическая парабола (а) и парабола Нейла (б)

Лист Декарта – плоская кривая третьего порядка, для которой сумма объёмов кубов, построенных на координатах х, у, равна объёму прямоугольного параллелепипеда со сторонами х, у, а (рис. 3.7) Кривые линии в начертательой геометрия. Эта кривая названа в честь Рене Декарта, который отправил письмо  Пьеру Ферма со сформулированной задачей на объёмы обозначенных тел.

Локон Аньези – плоская кривая третьего порядка, которая строится таким способом (рис. 3.8). Строится окружность диаметром ОС. Из точки О проводятся отрезки Кривые линии в начертательой геометрия, …, концы которых находятся на линии а, перпендикулярной  диаметру ОС. Находятся точки В1, В2, … пересечения отрезков Кривые линии в начертательой геометрия … с окружностью. Точки 1, 2, … кривой являются точками пересечения горизонтальных и вертикальных линий, проведенных из точек А1, А2, …, В1, В2,

Кривые линии в начертательой геометрия

 Кривые линии в начертательой геометрияЛист Декарта Кривые линии в начертательой геометрияЛокон Аньези

Циссоида Диокла (от греческого χισσος – плющ) – плоская кривая третьего порядка, которая строится таким способом (рис. 3.9). Из точки О окружности диаметром ОС проводятся отрезки ОА1, ОА2, …, концы которых находятся на линии а, перпендикулярной  ОС. Находятся точки В1, В2, … пересечения этих отрезков с окружностью. Из точек А1, А2, … откладываются отрезки Кривые линии в начертательой геометрия …, длины которых равны длинам отрезков ОВ1, ОВ2, … По точкам …, 2, 1, О, 1, 2, … строится искомая линия.

Впервые циссоида была исследована Диоклом (246 до н. э –180 до н. э.) – математиком Древней Греции часов Аполлония Пергского. В его произведении «О зажигательных зеркалах» с помощью этой кривой решены задачи по удвоению объёма куба и по построению пропорциональных отрезков.

Кривые линии в начертательой геометрия

Кривые линии в начертательой геометрияЦиссоида Диокла

Строфоида (от греческого στροφή – оборот) – плоская кривая третьего порядка, которая строится таким способом (рис. 3.10). Из точки С оси у проводятся лучи СА1, СА2, … Точки А1, А2, … принадлежат оси х. На построенных лучах по обе стороны от точек А1, А2, …откладываются отрезки Кривые линии в начертательой геометрия … и  Кривые линии в начертательой геометрия , … с длинами, равными длинам Кривые линии в начертательой геометрия, … Искомая линия проходит через точки Кривые линии в начертательой геометрия

Исследованиями строфоиды занимался Ж. Роберваль в 1645 г. Первым названием строфоиды была птероида (от греческого πτερος – крыло). Линия получила нынешнее название в 1849 г.

Кривые линии в начертательой геометрия

Кривые линии в начертательой геометрия Строфоида

Кривые линии в начертательой геометрияКривые линии в начертательой геометрия

Рене Декарт (René Descartes) – французский философ, физик, математик, физиолог. Создал аналитическую геометрию и ввёл современную алгебраическую символику. Автор философского метода радикального сомнения. Основатель механицизма в  физике. Основал рефлексологию.

Кривые линии в начертательой геометрия

Мария Гаэтана Аньези (Maria Gaetana Agnesi) – итальянский математик, профессор Болонского университета. Автор трудов по дифференциальному исчислению и аналитической геометрии. Автор работы «Основы анализа для итальянского юношества ».

Овал Кассини – геометрическое место точек М плоскости, произведение а расстояний от которых до двух заданных фокусов F1, F2 является постоянным (рис. 3.11).

Для лемнискаты Бернулли произведение а в четыре раза меньше квадрата расстояния F1F2 между фокусами.

Кривые линии в начертательой геометрия

Кривые линии в начертательой геометрияОвалы Кассини

Кривые линии в начертательой геометрия

Жиль Роберваль (Персонье) (Gilles Personne de Roberval) – выдающийся французский математик, физик, астроном, член Парижской академии наук. Занимался проблемами бесконечно малых величин. Изобрёл оригинальные способы определения объёмов тел. Автор кинематического способа построения касательной к кривой линии. Внёс значительный вклад в теорию тригонометрических функций.

Кривые линии в начертательой геометрия

Джованни Доменико Кассини (Giovanni Domenico Cassini) – итальянский и французский астроном, инженер. Автор теории атмосферной рефракции. Открыл четыре спутника Сатурна, Автор большой карты Луны. Определил расстояние от Земли до Марса. Ошибочно считал, что орбитами планет являются построенные им овалы.

Кривая Персея – плоская кривая четвертого порядка, которая является линией пересечения открытого тора (см. п. 4.2.1, табл. 4.1, рис. 4.13) плоскостью Σ, параллельной его оси (рис. 3.12). Эта линия названа в честь древнегреческого геометра Персея (ІІ ст. до н. э.), который провёл исследования разных способов задания кривых линий.

Кривые линии в начертательой геометрия

Кривые линии в начертательой геометрияПлоские алгебраические кривые четвёртого порядка

Частным случаем кривой Персея является лемниската Бута, названная в честь английского математика Джеймса Бута. Эта линия образуется, когда секущая плоскость Σ является касательной к внутренней образующей линии тора (см. п. 4.2.1, рис. 4.16).

Конхоида Никомеда (от греческого κωνχος – раковина, εϊδος – вид) – линия, которая образуется изменением (увеличением или уменьшением ) на постоянную величину а расстояний от начала отсчёта  О до каждой точки М прямой l (рис. 3.13).

Кривые линии в начертательой геометрия

Кривые линии в начертательой геометрияКонхоида Никомеда Кривые линии в начертательой геометрияУлитка Паскаля

Конхоида Никомеда является плоской кривой четвертого порядка и названа в честь древнегреческого математика, который жил в ІІІ ст. до н. э. и занимался проблемой квадратуры окружности и трисекции угла.

Кривые линии в начертательой геометрия

Якоб Бернулли (Jacob Bernoulli) – швейцарский математик, профессор Базельского университета. Внёс значительный вклад в развитие аналитической геометрии и зарождения вариационного исчисления. Значительных достижений добился в теории чисел и рядов, теории вероятностей. Автор термина «интеграл». Заложил основы изучения лемнискат.

Улитка Паскаля – линия, которая образуется изменением (увеличением или уменьшением) на постоянную величину а расстояние от начала отсчёта О до каждой точки М окружности.

Эта линия посвящена  Этьену Паскалю (1623 – 1662) – королевскому чиновнику, отцу выдающегося ученого Блэза Паскаля.

На рис. 3.14 построена улитка Паскаля для случая, когда начало отсчёта О удалено от окружности на величину радиуса. Значение а равно радиусу окружности.

Овал Декарта – геометрическое место точек плоскости, расстояния MF1, MF2 от каждой точки М которой до двух фокусов F1, F2 связаны линейным соотношением Кривые линии в начертательой геометрия = с (рис. 3.15), где a, b, c –постоянные параметры.

Овал Декарта не является овалом по определению (см. п. 3.1.1.7, рис. 3.38 а), а является кривой четвертого порядка. При определённых значениях а, b, с он вырождается в эллипс или окружность, гиперболу, параболу, улитку Паскаля.

Кривые линии в начертательой геометрия

Тригонометрические кривые

К тригонометрическим кривым относятся плоские кривые линии, которые описываются тригонометрическими уравнениями у = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx, или уравнениями на их основе. Поскольку все тригонометрические функции можно выразить через функцию, например, синуса, рассмотрим только синусоиду.

Синусоида – траектория точки М, которая равномерно движется по окружности радиусом а, которое скользит без качения по плоской поверхности.

Для построения синусоиды (рис. 3.16) строится окружность радиусом а. Последняя делится на равное количество N частей (как правило, N = 12). Из крайней правой точки 1 окружности строится горизонтальный отрезок Кривые линии в начертательой геометрия длина которого равна длине окружности  2πа. Отрезок Кривые линии в начертательой геометрия делится на N равных частей. Из точек 1, 2, …, N окружности и Кривые линии в начертательой геометрия отрезка Кривые линии в начертательой геометрия проводятся вертикальные и горизонтальные линии до их взаимного пересечения. Точки 1, 2, … пересечения этих линий является точками искомой синусоиды.

Кривые линии в начертательой геометрия

Кривые линии в начертательой геометрияСинусоида

Первые исследования синусоиды начались в Древней Индии. Сначала эта кривая называлась «арха-джива», что означает «полу тетива». Позже слово трансформировалось в «джайб» – «впадина». Европейский термин «sinus» был основан австрийским математиком Георгом фон Пойербахом (1423 – 1461), который составил  таблицу значений этой функции. Значительный вклад в развитие тригонометрических  функций внёс выдающийся французский математик Ж. Роберваль. Он впервые в 1634 г. построил синусоиду.

Циклоидальные кривые

К классу циклоидальных кривых принадлежат траектории точки окружности, которая движется по неподвижной поверхности без скольжения.

Циклоида (от греческого κυκλοειδής – круглый) – траектория точки окружности, которая катится по прямой без скольжения.

Для построения циклоиды (рис. 3.17) окружность заданного радиуса а делится на N равных частей (например, N = 12). Эта окружность равномерно дублируется N раз (с шагом 2πа/N) в направлении луча, который выходит из центра О окружности. Из точек Кривые линии в начертательой геометрия …  окружности проводятся горизонтальные лучи до пересечения с построенными окружностями. В результате по полученным точкам 1, 2, … строится циклоида.

Кривые линии в начертательой геометрия

 

Кривые линии в начертательой геометрияЦиклоида

Первым названием циклоиды была «рулета». Термин «циклоида» ввёл Галилео Галилей, современники которого изучали эту кривую. Доказательные исследования циклоиды принадлежат Я. Бернулли.

Перевернутая циклоида называется брахистохроной – кривой скорейшего спуска материальной точки.

Х. Гюйгенс открыл свойство точки сохранять период собственных колебаний во время движения по перевернутой циклоиде. Это свойство было использовано им при создании точных часов.

Кривые линии в начертательой геометрия

Галилео Галилей (Galileo Galilei) – итальянский физик, механик, астроном, философ, математик, который сделал значительный вклад в науку своего времени. Он впервые использовал телескоп для исследования небесных тел и совершил многочисленные астрономические открытия. Галилей является основателем экспериментальной физики. Своими экспериментами он «уничтожил» метафизику Аристотеля и заложил фундамент классической механики.

Кривые линии в начертательой геометрия Кривые линии в начертательой геометрия

Христиан Гюйгенс (Chrisiaan Huygens) – нидерландский физик, механик, математик, астроном, изобретатель, президент Парижской академии наук. Изобрёл маятниковый механизм, а также точные карманные часы. Открыл кольца Сатурна и один из его спутников. Открыл теорию эвольвент и эволют. Заложил основы теории вероятностей. Его «Книга мирозрения» является первой переведенной на Руси книгой, где изложена гелиоцентрическая теория Коперника.

Эпициклоида (от греческого έπί – над, κυκλος – окружность) – траектория точки окружности радиусом r, которая катится по внешней стороне окружности радиусом R без скольжения. Существует бесконечное количество эпициклоид, форма которых зависит от соотношения а = R/r радиусов окружностей. При а = 1 эпициклоида называется кардиоидой (от греческого καρδιοειδές – сердцеобразный). На рис. 3.18 а построена кардиоида. Окружность заданного радиуса катится по центральной окружности такого же  радиуса. Качение условно моделируется двенадцатью положениями окружности. С помощью вспомогательных точек Кривые линии в начертательой геометрия и дуг окружностей, которые выходят из этих точек, находятся точки 1, 2, …, 12 пересечения дуг с совокупностью построенных окружностей. По точкам 1, 2, …, 12 строится кардиоида.

Кривые линии в начертательой геометрия

Кривые линии в начертательой геометрияЭпициклоиды

Первые упоминания про кардиоиду встречаются в труде французского ученого Луи Карре (1705 р.). Название этой линии в 1741 г. дал итальянский ученый Джованни Кастиллоне. Кардиоида, кроме того, что принадлежит классу циклоидальных кривых, также является отдельным случаем улитки Паскаля (см. п. 3.1.1.1.2, рис. 3.14).

В случае, когда а = 2, эпициклоида называется нефроидой (от греческого νεφρόειδής – почкообразный). На рис. 3.18 б построена нефроида. Окружность заданного радиуса катиться по центральной окружности вдвое большего радиуса. Качение условно моделируется двенадцатью положениями меньшей окружности. С помощью вспомогательных точек Кривые линии в начертательой геометрия и дуг окружностей, которые выходят из этих точек, находятся точки 1, 2, …, 12 пересечения дуг с совокупностью построенных окружностей. По точкам 1, 2, …, 12 строится нефроида.

Гипоциклоида (от греческого γιπό – под, κυκλος – окружность) – траектория точки окружности радиусом r, которая катится по внутренней стороне окружности радиусом R без скольжения.

Среди бесконечного числа гипоциклоид, форма которых зависит от соотношения радиусов окружностей а = R/r, необходимо выделить такие. При а = 3 гипоциклоида называется кривой Штейнера, или дельтоидой (от греческого δελτοειδής – дельтообразный). На рис. 3.19 а построена дельтоида. Окружность заданного радиуса катится по внутренней стороне окружности втрое большего радиуса. Качение условно моделируется восемнадцатью положениями меньшей окружности. С помощью точек Кривые линии в начертательой геометрия и дуг окружностей, которые выходят из этих точек, находятся точки 1, 2, …, 18 пересечения дуг с совокупностью построенных окружностей. По точкам 1, 2, …, 18 строится кривая Штейнера (дельтоида). 

Кривые линии в начертательой геометрия

Кривые линии в начертательой геометрияГипоциклоиды

В случае, когда а = 4, гипоциклоида называется астроидой (от греческого αστέριειδής – звёздообразный). На рис. 3.19 б построена астроида. Окружность заданного радиуса катится по внутренней стороне окружности вчетверо большего радиуса. Качение условно моделируется двадцатью четырьмя положениями меньшей окружности. С помощью вспомогательных точек Кривые линии в начертательой геометрия и дуг окружностей, которые выходят из этих точек, находятся точки 1, 2, …, 24 пересечения дуг с совокупностью построенных окружностей. По точкам 1, 2, …, 24 строится астроида.

Линии класса циклоид являются одними из наиболее распространённых кривых в машиностроении, поскольку являются траекториями точек деталей механизмов и машин. Например, точки автомобильных колёс движутся по циклоидальным и трохоидальным траекториям; точки сцепления зубчатых колёс планетарных и дифференциальных передач движутся по эпи- и гипоциклическим траекториям.

Трохоида (от греческого τροχοειδής – колесообразный) – траектория непериферической точки окружности, которая катится по прямой без скольжения.

Для построения трохоиды (рис. 3.20) окружность заданного радиуса r делится на N равных частей (например, N = 12). Эта окружность вместе с окружностью радиусом R равномерно (с шагом 2πа/N) дублируется N раз в направлении луча, который выходит из центра О. Из точек Кривые линии в начертательой геометрия … окружности радиусом r проводятся лучи до пересечения с построенными окружностями. В результате по полученным точкам 1, 2, … строится трохоида

На практике трохоида используется в электровакуумных приборах для перемещения электронов. Трохоидальное сцепление используется в шестеренных гидромашинах.

Кривые линии в начертательой геометрия

Якоб Штейнер (Jacob Steiner) – швейцарский математик, член Берлинской академии наук. Основатель синтетической геометрии кривых линий и поверхностей.

Кривые линии в начертательой геометрия

Кривые линии в начертательой геометрияТрохоида

Эпитрохоида (от греческого έπί – над, τροχος – колесо) – траектория непериферической точки круга радиусом r, который катится по внешней стороне окружности радиусом R без скольжения.

На рис. 3.21 а показан простейший вид эпитрохоиды. Для её построения круг заданного радиуса катится по центральной окружности того же радиуса. Качение условно моделируется восемью положениями круга. Кругу принадлежит точка, которая находится на половине радиуса от его центра. С помощью вспомогательных точек Кривые линии в начертательой геометрия  …, 8 и дуг окружностей, которые выходят из этих точек, находятся точки 1, 2, …, 8 пересечения дуг с совокупностью построенных окружностей. По точкам 1, 2, …, 8 строится эпитрохоида.

Кривые линии в начертательой геометрия

Кривые линии в начертательой геометрияЭпи- и гипотрохоида

Построенная на рис. 3.21 а эпитрохоида является улиткой Паскаля (см. п. 3.1.1.1.2, рис. 3.14). Гипотрохоида – (от греческого γιπό – под, τροχος – колесо) – траектория непериферической точки круга радиусом r, который катится по внутренней стороне окружности радиусом R без проскальзывания.

На рис. 3.21 б показан простейший вид гипотрохоиды. Для её построения круг заданного радиуса катится по внутренней поверхности окружности вдвое большего радиуса. Качение условно моделируется восемью положениями круга. Кругу принадлежит точка, которая находится на половине радиуса от его центра. С помощью вспомогательных точек Кривые линии в начертательой геометрия , …, Кривые линии в начертательой геометрия и дуг окружностей, выходящих из этих точек, находятся точки 1, 2, …, 8 пересечения дуг с совокупностью построенных окружностей. По точкам 1, 2, …, 8 строится гипотрохоида.

Построенная на рис. 3.21 б гипотрохоида является эллипсом (см. п. 3.1.1.1.1, рис. 3.4 а).

Спиральные кривые

Любая спиральная кривая (от латинского spira – изгиб) является траекторией точки, движущейся  по прямой, которая вращается вокруг неподвижного центра. Среди большого количества спиральных кривых необходимо выделить такие.

Спираль Архимеда – траектория точки, равномерно движущейся по прямой,  равномерно вращающейся вокруг неподвижной точки.

Для построения спирали Архимеда (рис. 3.22) окружность заданного диаметра делится на N равных частей Кривые линии в начертательой геометрия … (как правило, N = 12). Из центра О окружности строятся N отрезков О-1, О-2, …, один из которых О-12 делится на N равных частей точками Кривые линии в начертательой геометрия , … С помощью дуг окружностей находятся точки 1, 2, … Спираль Архимеда строится по точкам О, 1, 2,

Кривые линии в начертательой геометрия

Кривые линии в начертательой геометрияСпираль Архимеда

Кривые линии в начертательой геометрия

Архимед из Сиракуз (Άρχιµήδης) – древнегреческий математик, физик, механик и инженер-изобретатель. Совершил множество открытий в геометрии. Заложил основы механики и гидростатики.

Изогональная спираль (от греческого ίσος – равный, γωνία – угол) – траектория точки М, неравномерно движущейся по прямой линии l, которая равномерно вращается вокруг неподвижной точки О, причём угол χ между касательной Кривые линии в начертательой геометрия (см. п. 3.3) и радиусом-вектором r (вектором, начало которого совпадает с началом отсчёта О, конец – с данной точкой М) не изменяется (рис. 3.23).

Кривые линии в начертательой геометрия

Кривые линии в начертательой геометрияЛогарифмическая спираль

Изогональная спираль является логарифмической, поскольку угол φ между радиусом-вектором r точки М и горизонтальной осью х пропорционален натуральному логарифму от модуля r: φ = ln(r). Исследованиями логарифмической спирали занимался швейцарский математик Я. Бернулли.

Логарифмическая кривая является линией, которой могут быть описаны строение Вселенной, природные явления,  живые существа и т.д. Например, на рис. 3.24 а показана галактика Водоворот; на рис. 3.24 б – зона низкого давления над Исландией; на рис. 3.24 в – раковина моллюска.

Кривые линии в начертательой геометрия

Кривые линии в начертательой геометрияПроявления логарифмических спиралей

Клотоида (от греческого κλωθοειδής – ниткообразный) – линия, радиус кривизны которой (см. п. 3.4.2) пропорционален длине дуги (рис. 3.25).

Кривые линии в начертательой геометрия

Кривые линии в начертательой геометрияСпираль Корню

Другое название клотоиды – спираль Корню – посвящено французскому физику, который использовал эту кривую в исследованиях дифракции света.

Клотоида используется как переходная дуга в дорожном строительстве. Форма дороги в форме клотоиды позволяет преодолевать  повороты без существенного снижения скорости и с равномерным вращением руля.

Для приблизительного построения клотоиды (рис. 3.26) из точек О, 1 проводятся две окружности заданного радиуса Кривые линии в начертательой геометрия. Проводится окружность радиусом, касательная  к отрезку О1 (в точке 1) с центром в точке Кривые линии в начертательой геометрия Из точки 1 строится окружность радиусом а до пересечения с окружностью радиусом . Проводится окружность радиусом , касательная  к отрезку 1 – 2 (в точке 2) с центром в точке Кривые линии в начертательой геометрия . Из точки 2 строится окружность радиусом а пересечения с окружностью радиусом … Приближённой клотоидой является линия, проходящая через точки 1, 2,

Кривые линии в начертательой геометрия

Кривые линии в начертательой геометрияПостроение клотоиды

Кривые линии в начертательой геометрия

 Мари Альфред Корню (Marie Alfred Cornu) – французский физик, президент Парижской академии наук. Измерял среднюю плотность Земли.. Усовершенствовал метод определения скорости света . Научные труды касаются оптики, кристаллофизики, спектроскопии.

Спираль Ферма – траектория точки М,  неравномерно движущейся по прямой l, вращающейся вокруг неподвижного центра O, причём угол φ между радиусом-вектором r и горизонтальной осью пропорционален квадрату длины r: φКривые линии в начертательой геометрия (рис. 3.27 а).

Спирали Ферма в природе встречаются как линии в узорах цветов , например, подсолнуха. (рис. 2.28 а).

Спираль Ферма -это разновидность параболической спирали, для которой угол φ между радиусом-вектором r и горизонтальной осью равен Кривые линии в начертательой геометрия , где а – заданное расстояние (рис. 3.27 б).

Кривые линии в начертательой геометрия

Кривые линии в начертательой геометрияСпираль Ферма (а) и параболическая спираль (б)

Кривые линии в начертательой геометрия

Пьер де Ферма (Pierre de Fermat) – французский математик, юрист, полиглот. Один из основателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел. Автор Большой теоремы Ферма. Советник Тулузского парламента.

Параболическая спираль часто встречается в природе (рис. 3.28 а) и технике (рис. 3.28 б), например, определяет профиль твердосплавных свёрл по бетону, кирпичу и керамике.

Кривые линии в начертательой геометрия

Кривые линии в начертательой геометрия – Проявления и применение спиральных кривых

Кроме выше обозначенных, существует также большое количество других видов спиралей:

а) гиперболическая: φ = 1/r (рис. 3.29 а);

б) спираль Галилея: Кривые линии в начертательой геометрия (рис. 3.29 б);

в) жезлКривые линии в начертательой геометрия (рис. 3.29 в) и т.д..

Кривые линии в начертательой геометрия

Кривые линии в начертательой геометрияСпиральные кривые

Трансцендентные кривые 

Плоской трансцендентной кривой (от латинского transcendo – переступать) является линия, которую невозможно описать уравнением, которое прямо связывает координаты х, у каждой точки М. Как правило, трансцендентные кривые задаются системой параметрических уравнений(см. с. 21).

Среди большого разнообразия трансцендентных кривых выделяют такие.

Квадратриса Динострата (от латинского quadro – площадь) – траектория точки М пересечения двух прямых h, r, первая из которых равномерно опускается по вертикали, вторая – равномерно вращается вокруг неподвижной точки О (рис. 3.30 а).

Кривые линии в начертательой геометрия

Кривые линии в начертательой геометрияКвадратриса Динострата

Для построения квадратрисы (рис. 3.30 б) четверть окружности а делится на N равных частей (например, N = 6) точками Кривые линии в начертательой геометрия … Из центра О окружности проводятся отрезки    Кривые линии в начертательой геометрия , … Радиус Кривые линии в начертательой геометрияделится на N равных частей точками Кривые линии в начертательой геометрия, … Точки 1, 2, … пересечения отрезков Кривые линии в начертательой геометрия … с горизонтальными лучами, проведенными из точек Кривые линии в начертательой геометрия , …, являются точками квадратрисы.

Трактриса (от латинского trahere – волочить) – плоская кривая, любая точка М которой удалена от оси х в направлении касательной Кривые линии в начертательой геометрия (см. п. 3.3) на одинаковое расстояние а (рис. 3.31 а).

Кривые линии в начертательой геометрия

Кривые линии в начертательой геометрияТрактриса

Первые упоминания о квадратрисе принадлежат Паппу Александрийскому и Ямвлоху и датируются концом ІІІ ст. Кривая открыта софистом Гиппием из Элиды в V ст. до н. э. и использована им для решения задачи про трисекцию угла – деление угла  на три равные части. Динострат в конце ІV ст. до н. э. с помощью квадратрисы решал задачу про квадратуру круга – построение квадрата, площадь которого равна площади данного круга.

Трактриса изобретена в 1670 г. К. Перро. Свойства трактрисы исследовали Исаак Ньютон, Христиан Гюйгенс, Готфрид Вильгельм фон Лейбниц.

П. Бугер решил задачу Леонардо да Винчи на определение формы верёвки, которой тащат предмет по горизонтальной поверхности, и установил, что эта линия является трактрисой.

Трактриса также является кривой погони – решением такой задачи. Пусть точка А движется равномерно прямолинейно. Необходимо найти линию, по которой должна двигаться точка М так, чтобы прямая АМ была к ней касательной (рис. 3.31 а).

Для приближённого построения трактрисы (рис. 3.31 б) на оси у откладывается отрезок Кривые линии в начертательой геометрия заданной длины а. Вдоль оси х последовательно откладываются одинаковые отрезки Кривые линии в начертательой геометрия …, длина которых значительно меньше величины а. Из точки Кривые линии в начертательой геометрия строится окружность радиусом а и определяется точка 1 её пересечения с осью у. Из точки Кривые линии в начертательой геометриястроится окружность радиусом а и определяется точка 2 её пересечения с отрезком Кривые линии в начертательой геометрия Из точки Кривые линии в начертательой геометрия строится окружность радиусом а и определяется точка 3 её пересечения с отрезком Кривые линии в начертательой геометрия … Трактриса приближённо строится по точкам О, 1, 2, …

Цепная линия – линия, форму которой приобретает цепь с закреплёнными концами (рис. 3.32 а).

Кривые линии в начертательой геометрия

Кривые линии в начертательой геометрияПрименение и проявления цепной линии 

Кривые линии в начертательой геометрия Кривые линии в начертательой геометрия

Клод Перро (Claude Perrault) – французский инженер, механик, архитектор, врач и математик. Брат известного сказочника Шарля Перро. Один из первых членов Французской академии наук. Автор Парижской обсерватории, Триумфальной арки, колоннады восточной части Лувра.

Кривые линии в начертательой геометрия

Пьер Бугер (Pierre Bouguér) – французский физик и астроном, основатель фотометрии. Известны его труды по теории кораблестроения, геодезии.

Имя Бугера внесено в  список семидесяти двух  величайших учёных Франции.

Фигуры Лиссажу

Фигуры Лиссажу – траектории точки, которая одновременно осуществляет два гармоничных колебания с разными частотами во взаимно перпендикулярных направлениях (рис. 3.33).

Кривые линии в начертательой геометрия

Кривые линии в начертательой геометрияФигуры Лиссажу

Впервые эти кривые были изучены Ж. Лиссажу. Фигуры Лиссажу строятся на мониторе электронного осциллографа (от латинского oscillo – колебаться – и греческого γραφω – писать) – устройства для исследования часовых и амплитудных параметров электрических сигналов, которые подаются на его входы (рис. 3.34).

Кривые линии в начертательой геометрия

Кривые линии в начертательой геометрияПроявления фигур Лиссажу

Кривые линии в начертательой геометрия

Жуль Антуан Лиссажу (Jules Antoine Lissajous) – французский математик, член-корреспондент Парижской академии наук. Его научный  посвящён вибрационной акустике решеток.

Одним из простейших видов фигур Лиссажу является лемниската Жероно – траектория точки,  которая одновременно осуществляет два гармоничных колебания во взаимно перпендикулярных направлениях с частотами, которые отличаются вдвое(рис. 3.35 а). Эта линия названа в честь Камиля-Кристофа Жероно (1799 – 1891) – французского математика, профессора Парижской политехнической школы. Его научная деятельность посвящена проблемам геометрии и Диофантова анализа. Он является  автором учебников по аналитической геометрии и тригонометрии и сооснователем научного журнала “Nouvelles Annales de Mathématiques”.

Кривые линии в начертательой геометрия

Кривые линии в начертательой геометрияПостроение фигур Лиссажу

Для построения лемнискаты Жероно (рис. 3.35 а) строятся две окружности (необязательно одинаковых диаметров) с разными центрами. Одна окружность делится на N одинаковых частей (например, на восемь) точками Кривые линии в начертательой геометрия … , другая– на 2N частей точками Кривые линии в начертательой геометрия … С помощью вертикальных и горизонтальных линий, проведенных из построенных одноименных точек, последовательно определяются точки 1, 2, … пересечения. По найденным точкам строится плоская кривая – лемниската Жероно.

На рис. 3.35 б построена фигура Лиссажу для точки, которая одновременно осуществляет два колебания , частоты которых отличаются в  полтора раза. Строятся две окружности (не обязательно одинаковых диаметров) с разными центрами. Одна окружность делится на N одинаковых частей (например, на восемь) точками Кривые линии в начертательой геометрия… , другая – на 1,5N частей точками Кривые линии в начертательой геометрия … С помощью вертикальных и горизонтальных линий, проведенных из построенных одноименных точек, определяются точки 1, 2, … пересечения. По найденным точкам строится фигура Лиссажу.

Сопряжения

Сопряжением называется плавный переход от одной линии l к другой m, выполненный с помощью дуги окружности (рис. 3.36).

Любое сопряжение характеризуется такими параметрами:

а) центр сопряжения– центр О окружности, с помощью дуги которого строится сопряжение;

б) точки сопряжения– точки А, В начала и конца дуги, которой выполняется сопряжение;

в) радиус сопряжения – радиус R дуги, которой выполняется сопряжение.

Кривые линии в начертательой геометрия

Кривые линии в начертательой геометрияСопряжение

Свойства элементов сопряжения:

а) центр О сопряжения равноудален от точек А, В сопряжения, причём расстояния ОА, ОВ равны радиусу R сопряжения;

б) прямые Кривые линии в начертательой геометрия перпендикулярные отрезкам ОА, ОВ, являются касательными (см. п. 3.3) к линиям l, m, которые сопрягаются ;

в) прямые ОА, ОВ проходят через центры Кривые линии в начертательой геометрия кривизны (см. п. 3.4.2) линий l, m соответственно.

Существуют десять классических типов сопряжений:

а) сопряжение двух окружностей (рис. 3.37 а – є);

б)  сопряжение двух прямых линий (рис. 3.37 ж);

в)  сопряжение окружности и прямой (рис. 3.37 з – к).

Кривые линии в начертательой геометрия

Кривые линии в начертательой геометрияВиды сопряжений

Для построения сопряжения двух окружностей (рис. 3.37 а – є) необходимо из центров этих окружностей провести дуги окружностей радиусами Кривые линии в начертательой геометрия до их пересечения. Полученная точка является центром сопряжения. Значения радиусов Кривые линии в начертательой геометрия в зависимости от типа сопряжения приведены в табл. 3.1. Из центра О сопряжения строится дуга окружности радиусом R и находятся точки А, В сопряжения.

Для построения сопряжения двух прямых (рис. 3.37 ж) проводятся линии, им параллельные и расположенные на расстоянии R. Точкой пересечения прямых является центр сопряжения, из которого проводится дуга окружности радиусом R, и определяются точки А, В сопряжения.

Для построения сопряжения окружности и прямой (рис. 3.37 з – к) из центра окружности проводится окружность радиусом Кривые линии в начертательой геометрия (табл. 3.1). Строится линия, параллельная заданной прямой, на расстоянии R. Из центра сопряжения, который является точкой пересечения построенных окружности и прямой, строится дуга окружности радиусом R и определяются точки А, В сопряжения.

Кривые линии в начертательой геометрия

К отдельному классу сопряжений относятся коробовые кривые – совокупности дуг окружностей (с кривизной одного направления),которые в точках перехода имеют общие касательные  (рис. 3.38).

Кривые линии в начертательой геометрия

Кривые линии в начертательой геометрияКоробовые кривые

К коробовым кривым относятся такие линии:

а) овал (от французского ovalе – яйцо) – замкнутая линия, полученная одинаковыми по радиусам сопряжениями двух одинаковых эксцентрических окружностей (рис. 3.38 а);

б) овоид (от латинского ovum – яйцо, греческого εϊδος – вид) – замкнутая линия, полученная одинаковыми по радиусам сопряжениями двух разных эксцентрических окружностей (рис. 3.38 б);

в) завиток – кривая, которая выполняется с помощью сопряжения двух окружностей разных диаметров, одна из которых полностью находится в середине другой (рис. 3.38 в).

Для построения овала (рис. 3.38 а) необходимо из центров двух окружностей провести дуги радиусами R – r до их пересечения. Полученные точки Кривые линии в начертательой геометрия являются центрами сопряжений. Из центров Кривые линии в начертательой геометрия строятся дуги окружностей радиусом R и находятся точки Кривые линии в начертательой геометрия сопряжений.

Для построения овоида (рис. 3.38 б) необходимо из центров двух окружностей провести дуги радиусами Кривые линии в начертательой геометрия до их пересечения. Полученные точки Кривые линии в начертательой геометрия являются центрами сопряжений. Из центров Кривые линии в начертательой геометрия строятся дуги окружностей радиусом R и находятся точки Кривые линии в начертательой геометрия сопряжений.

Для построения завитка (рис. 3.38 в) необходимо из центров двух окружностей провести дуги радиусами Кривые линии в начертательой геометрия до их пересечения. Полученная точка О  является центром сопряжения. Из центра О строится дуга окружности радиусом R и находятся точки А, В сопряжения.

Коробовые кривые распространены в природе. Форму овала и овоида имеют магматические породы, известковые зерна, заготовительные изделия насекомых (рис. 3.39 а – б); в форме завитка встречаются соцветия растений, раковины улиток (рис. 3.39 в) и т.д..

Кривые линии в начертательой геометрия

Кривые линии в начертательой геометрияПроявления коробовых кривых

Коробовыми кривыми условно можно заменить плоские кривые линии. Например,, эллипс упрощённо строится в форме овала (рис. 3.40 а), спираль Архимеда – в форме завитка (рис. 3.40 б) и т.д

Кривые линии в начертательой геометрия.

Кривые линии в начертательой геометрияСравнение коробовых кривых с плоскими кривыми линиями

С развитием современных способов компьютерного моделирования сопряжение может быть выполнено не только с помощью дуги окружности, а и другой кривой, например, эллипсом (рис. 3.41).

Кривые линии в начертательой геометрия

Кривые линии в начертательой геометрияСопряжение произвольной плоской кривой

Винтовые линии

Винтовая линия– траектория конца М отрезка ОМ, который удлиняется или укорачивается и движется вдоль  перпендикулярной ему оси і, равномерно вращаясь при этом вокруг этой оси (рис. 3.42).

Горизонтальная проекция винтовой линии (рис. 3.42 а) в общем случае является спиральной кривой, фронтальная – тригонометрической кривой.

Кривые линии в начертательой геометрия

Кривые линии в начертательой геометрияВинтовые линии

Простейшими случаями винтовых линий являются цилиндрическая и коническая винтовые линии.

Цилиндрическая винтовая линия – траектория конца М отрезка ОМ, который равномерно движется вдоль его перпендикулярной оси і, равномерно вращаясь при этом вокруг этой оси (рис. 3.42 б).

Горизонтальная проекция цилиндрической винтовой линии является окружностью, фронтальная – синусоидой.

Коническая винтовая линия – траектория конца М отрезка ОМ, который равномерно удлиняется или укорачивается и равномерно движется вдоль  перпендикулярной ему оси і, равномерно вращаясь при этом вокруг этой оси (рис. 3.42 в).

Горизонтальная проекция конической винтовой линии - это спираль Архимеда, фронтальная – тригонометрическая кривая.

Винтовые линии распространены в природе. Например, форму винтовых линий имеют молекула ДНК (рис. 3.43 а), ус растения (рис. 3.43 б).

Кривые линии в начертательой геометрия

Кривые линии в начертательой геометрияПроявления и применение винтовых линий

Винтовые  линии нашли своё применение в технике. В форме винтовых линий изготовляют сверлильный инструмент (рис. 3.43 в), пружины (рис. 3.43 г), шнеки мясорубок (рис. 3.43 д). Винт Архимеда, изобретённый ок. 250 р. до н. э., используется и сейчас как рабочий орган машины для осушения затопленных низин сельскохозяйственных угодий  (рис. 3.43 е).  Винтовые  линии можно также строить по их развёрткам (см. п. 5.3). Например, цилиндрическая винтовая линия имеет развёртку в форме прямой линии (рис. 3.44).

Кривые линии в начертательой геометрия

Кривые линии в начертательой геометрияПостроение равномерной винтовой линии по развёртке

На рис. 3.45 по заданной горизонтальной проекции неравномерной цилиндрической винтовой линии и её развёртке в форме произвольной кривой построена фронтальная проекция винтовой линии.

Кривые линии в начертательой геометрия

Кривые линии в начертательой геометрияПостроение неравномерной винтовой линии по её развёртке

Примеры и образцы решения задач:

Услуги по выполнению чертежей:

  1. Заказать чертежи
  2. Помощь с чертежами
  3. Заказать чертеж в компасе
  4. Заказать чертеж в автокаде
  5. Заказать чертежи по инженерной графике
  6. Заказать чертежи по начертательной геометрии
  7. Заказать черчение

Учебные лекции:

  1. Инженерная графика
  2. Начертательная геометрия
  3. Оформление чертежей
  4. Чертеж общего вида и сборочный чертеж
  5. Техническое рисование
  6. Машиностроительные чертежи
  7. Геометрические построения
  8. Деление окружности на равные части
  9. Сопряжение линий
  10. Коробовые кривые линии
  11. Построение уклона и конусности
  12. Лекальные кривые
  13. Параллельность и перпендикулярность
  14. Методы преобразования ортогональных проекций
  15. Поверхности
  16. Способы проецирования
  17. Метрические задачи
  18. Способы преобразования чертежа
  19. Кривые поверхности
  20. Трёхгранник Френе
  21. Проецирование многогранников
  22. Проецирование тел вращения
  23. Развёртывание поверхностей
  24. Проекционное черчение
  25. Проецирование
  26. Проецирование точки
  27. Проецирование отрезка прямой линии
  28. Проецирование плоских фигур
  29. Способы преобразования проекций
  30. Аксонометрическое проецирование
  31. Проекции геометрических тел
  32. Сечение геометрических тел плоскостями и развертки их поверхностей
  33. Взаимное пересечение поверхностей тел
  34. Сечение полых моделей
  35. Разрезы
  36. Требования к чертежам деталей
  37. Допуски и посадки
  38. Шероховатость поверхностей и обозначение покрытий
  39. Разъемные и неразъемные соединения деталей
  40. Передачи и их элементы