Кривизна плоской кривой. Радиус кривизны. Эволюта и эвольвента плоской кривой

Кривизна плоской кривой. Радиус кривизны. Эволюта и эвольвента плоской кривой

Кривизна плоской кривой. Радиус кривизны. Эволюта и эвольвента плоской кривой

Кривизна плоской кривой. Радиус кривизны. Эволюта и эвольвента плоской кривой

Кривизна плоской кривой. Радиус кривизны. Эволюта и эвольвента плоской кривой

Кривизна плоской кривой. Радиус кривизны. Эволюта и эвольвента плоской кривой

Кривизна плоской кривой. Радиус кривизны. Эволюта и эвольвента плоской кривой

Кривизна плоской кривой. Радиус кривизны. Эволюта и эвольвента плоской кривой

Кривизна плоской кривой. Радиус кривизны. Эволюта и эвольвента плоской кривой

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Решение задач по математике

Пусть 7 — регулярная кривая и Af0 — точка этой кривой. Определение. Кривизной к кривой 7 в точке М0 называется предел отношения при — наименьший угол между касательными к кривой 7 в точках — длина дуги ^М0М (рис. 16). Кривизна кривой характеризует скорость ее откл онения от касательной. Кривизна прямой равна нулю в каждой ее точке.

Кривизна окружности постоянна и равна j, где о — радиус окружности. 2-регулярная кривая имеет в каждой своей точке определенную кривизну. Если — естественная параметризация кривой 7, то ее кривизна может быть найдена по формуле 6 случае произвольной параметризации Кривизна плоской кривой. Радиус кривизны. Эволюта и эвольвента плоской кривой Наглядный способ образования эвольвенты Пространственные кривые. Способы задания При явном способе задания Пример 1.

Кривизна параболы у = г1 в ее вершине 0(0,0) равна 2. Кривизна плоской кривой по определению неотрицательна. Однако во многих ^y4a#v кривизне плоской кривой полезно отнести знак. Обычно выбор знака связы-ваютс папра °нием вращения касательной к кривой при перемещении вдоль кривой при возрастании параметра: «4-»: кривизна кривой положительна, если касательная вращается против часовой стрелки (в положительном направлении); «-»: кривизна кривой отрицательна, если касательная вращается по часовой стрелке (в отрицательном направлении) (рис. 17). шсдосрмвиэ на явно задан ной кривой ВЫЧИСЛЯЕТСЯ ПО' Прмир 2.

Кривизна синусоиАы у = sin г положи тельнв (равна 1)вточ*е J, -l) и отрицательна (равна -1) в точив l) (рис. 18). В точке о ириеиэна синуахд* рвана нулю. Если кривизна кривой в точке Мо(*о) отлична от нуля, то определен родное кривизны кривой в этой точке О Окружность радиуса R(to), проходящая через точку Afb(fo), имеющая в этой точке с кривой 7 об- рнс.18 шую касательную и лежащ ая поту же сторону от этой касательной, что и кривая 7, называете я соприкасающейся окружностью кривой 7 в точке Afo, или окружностью кривизны (рис. 19).

Ясно, что кривизны кривой и ее окружности кривизны в их общей точке совпадают. Центр соприкасаю-щейсяокружности называ ется центром кривизны кривой в точке Af0. Его координаты а и b вычисляются по формулам • Пример 3. Для параболы у = х2 в ее вершина 0(0,0) имеем Я» j, в =0. Поэтом у окружность кривизны параболы в точев О может быть задана уратежем (рис.20).

Эволютой регулярной плоской кривой называете я множество ее центро в крив нзны (рис. 21). Уравнения эволюты кривой 7, заданной параметрически, имеют следующий вид: Найти эволюту параболы Пример 5. Эволюта окружности состоит из одной точки — ее центра 0(0,0). Если кривизна регулярной кривой 7 отлична от нуля и производная к (s) сохрани ет знак вдоль кривой 7, то эволюта этой кривой состоит только из регулярных точек.

Если кривизна k(s) регулярной кривой 7 равна нулю в некоторой точке кривой, k(so) = 0, а ее производная сохраняет знак вдоль кривой 7, то эволюта этой кривой распадается на две регулярные кривые, являющиеся эволютами частей кривой 7 при s Каждая из этих ветвей уходит в бесконечность при s -> sq.

Пример в. Кривизна параболы у = х2 в ее вершине 0(0,0) отлична от нуля, а производная кривизны 2 не сохраняет знака вдоль параболы. Поэтому эволюта параболы и имеет особенность — точку возврата первого рода (см. рис. 22). Пример 7. Кривизна кубичной параболы у = х3 Кривизна плоской кривой. Радиус кривизны. Эволюта и эвольвента плоской кривой Наглядный способ образования эвольвенты Пространственные кривые.

Способы задания при х = Q обращается в нуль, а ее производная в окрестности точки 0(0,0) сохраняет знак. Поэтому эволюта кубической параболы распадается на две регулярные ветви (рис. 23). / Эвольвентой кривой 7 называется кривая, для которой данная кривая 7 является эволютой. Эвольвента кривой 7 совпадает с множеством концов отрезков касательных к кривой 7, отложенных от точек касания, длины которых убывают на величину, равную приращению дуги кривой 7. Наглядный способ образования эвольвенты Отложим на кривой 7 от ироизвольной точки Мо этой кривой дугу длины с.

Обозначим второй конец дуги через Af. Представим теперь, что на дугу ^mqm наложена гибкая нерастяжимая нить, один из концов которой закреплен в точке mq . При сматывании натянутой нити с кривой 7 (как с шаблона) второй ее конец М опишет эвольвенту кривой 7 (рис. 24). где с — произвольная постоянная. Тем самым, у любой регулярной кривой существует бесконечное число эвольвент. Пример 8. Эвольвенты окружности описываются уравнениями вида где с — параметр семейства эвольвент (рис. 25). § 3.

Пространственные кривые. Способы задания Onptделение. Параметрически заданной пространственной кривой называется множество 7 точек М, координаты х, у и г которых определяются соотношениями где — функции,непрерывные на отрезке [а, Ь), или в векторной форме г, где Наглядно параметрически заданную кривую можно представлять какслед движущейся точки М с координатами , Пример 1. ' уравнение дау» «итко*винтовой лимии (рис.27). : ТЪчки А и Л кривой 7, Отвечающие значениям t = а и t = 6 параметра соответственно, называются начальной и конечной точками кривой у. Кривая 7 называется зо-мкнутой, если эти точки совпадают.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пространственное строение молекул
Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов
Системы вычетов
Амиды карбоновых кислот

Понятия гладкой и регулярной пространственной кривой вводятся в полном соответствии с плоским случаем: кривая 7, заданная параметрическим векторным уравнением s называется п-регулярной, если 1) векторная функция г(() имеет на отрезке [а, Ь) непрерывные производные порядка п и 2) скорость кривой пайЬжительна в каж^бй^очке. Другим распространенным способом задания пространственной кривой является неявный способ задания кривой как множества точек М, координаты х,у и z которых являются решением системы уравнений где функции ) подчиняются определенным условиям. Укажем важный частный случай, наиболее часто встречающийся на практике:

z) являются гладкими функциями своих аргументов и в некоторой точке выполнены условия: Неявно заданная пространственная кривая, в каждой точке которо й выполняется условие (3), будет регулярной. Пример 2. Кримя, мдамша* уронвниями будет регулярной (рис.28). Эта кримя предсташлиет собой большую окружность — о>ч*нй» сферы плоскостью, препод*-щей *вр*э ее центр. Пусть 7 — регулярная кривая, заданная параметрически. Обозначим через Мо точку кривой 7, отвечающую значению to параметра, а через М — точку кривой, отвечающую значению t из некоторой окрестности *о»

Прямая MqT называется касательной к кривой 7 в точке Мо, если при М —» Мо наименьший из углов АО между этой прямой и переменной прямой М0М Рис. 2s стремится к нул ю. Регулярная кривая имееткасател ьиую в каждой своей точке. Вектор скорости кривой в точке М0 коллинеарен ее касательн ой в этой точке. Уравнения касательной к кривой 7 в точке Мо(®е» Уо, «о) имеют следующий вид Любая прямая, проходящая через точку Щ перпендикулярно касательной к кривой 7 в точке М0, называется нормалью кривой 7 в точке Мо.

Плоскость/ Проходящая через точку М0

кривой 7 перпендикулярно ее касательной MoT в этой точке, называется нормальной плоскостью кривой в точке Мо (рис. 29). Уравнение нормальной плоскости кривой, заданной параметрически, имеет следующий вид: Ясно, что все нормали кривой в точке Мо лежат в ее нормальной плоскости в этой точке. Пример 3. Касательная и нормальная плоскость винтовой линии в точке ^, (при t = j) описываются уравнениями соответственно. Регулярная пространственная кривая спрямляема.

Длина кривой, заданной векторным уравнением вычисляется по формуле В случае координатного задания кривой Кривизна плоской кривой. Радиус кривизны. Эволюта и эвольвента плоской кривой Наглядный способ образования эвольвенты Пространственные кривые. Способы задания имеем Значение функции равно длине дуги кривой 7, заключенной между точками А(а) и M(t) (рис. 30). Эта функция строго возрастает на отрезке [о, Ь), причем Тем самым, длину дуги можно взять за новый параметр на кривой.

Параметризация кривой, где в качестве параметра взята длина дуги з, называется естественной параметризацией. Кривая с естественной параметризацией имеет единичную скорость (Ьтносительно этой параметризации). Для того, чтобы параметризация кривой была естественной, необходимо и достаточно выполнение условия или, что то же самое, Пример 4. Для винтовой линии имеем Поэтому естественная параметризация винтовой линии может быть записана так