Краевые задачи

Краевые задачи

Краевые задачи

Краевые задачи

Краевые задачи

Краевые задачи

Краевые задачи

Краевые задачи

Краевые задачи

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Решение задач по математике

предыдущих параграфах для уравнения п-го порядка рассматривалась задача с начальными условиями, в конторой все п условий задаются при одном и том же значении t = tQ. В краевой задаче задаются условия при двух (или более) значениях t. Такие условия называются краевыми. Здесь будут рассматриваться только линейные краевые задачи, в которых дифференциальное уравнение и краевые условия линейны. Левые части краевых условий — линейные комбинации значений искомой функции и ее производных в заданных точках ti9 а правые части — заданные постоянные числа.

Примеры линейных краевых условий: возможны и другие виды условий Если постоянная в правой части краевого условия равна нулю, то условие называется однородным, если не равна нулю — неоднородным. Для уравнения п-го порядка задаются п условий. В разных точках t{ условия могут быть одного типа или разных типов. Краевая задача называется однородной, если дифференциальное уравнение и краевые условия линейны и однородны.

В отличие от задачи с начальными условиями краевая задача может иметь одно или много решений, а может и не иметь решений. Например, задача имеет единственное решение у = a sin*, а задача случае Ьф 0 не имеет решений (так как все решения уравнения, для которых у(0) = 0, имеют вид у = с sin t и при t = х они равны нулю), а в случае b = 0 имеет бесконечно много решений у = с sin t, с — любое. Теорема 13 (об альтернативе).

Рассмотрим уравнение Краевые задачи. (все a-(t) и f(t) непрерывны, aQ(t) Ф 0) с п линейными краевыми условиями. Возможны только два случая: или 1) задача имеет единственное решение при любых правых частях в уравнении и краевых условиях, или 2) однородная задача (левые части те же, а правые заменяются нулями) имеет бесконечно много решений, а неоднородная задача при некоторых правых частях имеет бесконечно много решений, а при всех других — не имеет решений.

Доказательство. Общее решение уравнения (58) имеет вид где у{,..., уп — линейно независимые решения однородного уравнения, v — частное решение уравнения (58), ср...,сп — произвольные постоянные. Подставляя (59) в краевые условия и перенося v в правую часть, получаем систему п линейных алгебраических уравнений относительно Ср... ,ся. Коэффициенты системы зависят только от значений у, j/,... в заданных точках t и не зависят от правых частей уравнения и краевых условий.

Если данная задача однородна, то правые части алгебраических уравнений равны нулю. Возможны только два следующих случая. 1) Если детерминант системы не равен нулю, то система имеет единственное решение cp...,cn при любых правых частях. Подставляя эти ср...,сп в (59), получаем единственное решение краевой задачи. 2) Если детерминант системы равен нулю, то однородная система (т. е. при правых частях, равных нулю) имеет бесконечно много решений относительно ср...,сп, а неоднородная система имеет решение не при любых правых частях.

Если она имеет решение, то она имеет бесконечно много решений, так как к этому решению можно прибавить любое решение однородной системы, умноженное на любую постоянную. Для любого набора постоянных ср..., сп, удовлетворяющего системе, формула (59) дает решение краевой задачи. Для разных наборов сх,...,сп эти решения различны, так как функции у{9..., уп линейно независимы. Из 1) и 2) следует утверждение теоремы. Пример 17.

Найти наименьшее из таких чисел Ь > О, что задача не имеет решений.

Решение примера. По теореме 13 задача (60) не имеет решений тогда, когда однородная задача у" + Ь2у = 0, у(0) = 0, у(1) = О имеет ненулевое решение. Функции, для которых у" + Ь2у = О, у(0) = 0, имеют вид у = с sin bt. Чтобы при с Ф 0 было у(1) = О, надо sin Ь — 0, то есть Ь = тг, 2х, Зх,.... При этих b имеем 2-й случай альтернативы, значит, при этих b задача (60) или не имеет решений, или имеет бесконечно много решений. Какая из этих возможностей осуществится, надо проверить.

При b = т общее решение уравнения есть у = с, cos rt + Cj, sinx*. Значит, y(0) = cv y(l) = -cr При c{ = 5 и любом Cj функция y(t) — решение задачи (60). Но требуется, чтобы решение не существовало. При Ъ = 2* общее решение у = с{ cos 2х*+ Cj sin 2**. Тогда у(0) = с,, у(1) = Cj и удовлетворить обоим условиям у(0) = 5, у(1) = -5 невозможно. Значит, решений нет. Ответ: Задачи для упражнений: Далее рассматривается краевая задача на отрезке где . Частными случаями таких краевых условий являются условия вида y(t-) = 0 и jf(t-) = 0. Функцией Грина этой задачи называется такая функция G(t,s)9te[ti9t2l *€(*р*2),то> 1°

Для каждого 8 = const функция y(t) = G(t, s) при t Ф s удовлетворяет уравнению Ly = 0. 2° При t = tx и t = t2 функция y(t) = G(t, 5) удовлетворяет краевым условиям из (61). 3° При t = 8 она непрерывна по ty а ее производная по t имеет скачок, равный 1 /а0(*), то есть Краевые задачи. Следующая теорема устанавливает условия существования функции Грина и дает способ ее построения.

Теорема 14. Если на отрезке [t{9t2] функции а0,а{9а2 непрерывны, а0 ф 0, и если при f(t) = 0 краевая задача (61) имеет только нулевое решение, то функция Грина существует и имеет вид где у{ иу2 — ненулевые решения уравнения Ly = 0, удовлетворяющие соответственно первому и второму краевым условиям из (61), множители а и Ь зависят от 8 и определяются из требования, чтобы функция (63) удовлетворяла условиям (62), то есть Доказательство.

Пусть у{,у2 — решения уравнения Ly = О, для которых Они удовлетворяют соответственно первому и второму краевым условиям в (61). Если бы у, и у2 были линейно зависимы, то У((*) = cy2(t), и решение у2($) (у2 £ 0, так как |7| + \6\ Ф 0) удовлетворяло бы обоим краевым условиям в (61), что противоречит условию теоремы. Значит, у{ и у2 линейно независимы, и любое решение уравнения Ly = 0 имеет вид у = с{у{ + с2у2.

Так как первому из краевых условий в (61) удовлетворяет только ур а второму — только у2, то из требований Г и 2° вытекает, что функция G должна иметь вид (63). Из требования 3° вытекают уравнения (64). Система (64) разрешима относительно а и Ь, так как ее детерминант равен (решения у,, у2 линейно независимы). Итак, при выполнении условий теоремы найдутся а и Ь, удовлетворяющие (64), а тогда функция (63) удовлетворяет требованиям Замечание.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Построение эпюры крутящего момента
Цикл Карно
Технические названия некоторых веществ таблица
Проекция вектора на заданное направление. Скалярное произведение векторов

При выполнении условий теоремы функция Грина определяется однозначно. Хотя решения у{ и у2 можно заменить решениями су{ и dy2, но с учетом (64) это не изменит произведений ау, и Ъу2 в (63). Теорема 15. Если выполнены условия теоремы 14 и f(t) не-прерывна при tx , то решение краевой задачи (61) выражается формулой Доказательство. Разбиваем интеграл на части . Учитывая (63), имеем (образующиеся при дифференцировании члены взаимно уничтожаются в силу (64)).

Подставляем выражения для y(t) и j/(£) в краевые условия. Так как ^ удовлетворяет первому, а у2 — второму краевому условию, то y(t) удовлетворяет обоим условиям. Дифференцируя (66) еще раз, получаем Сумма внеинтефальных членов в силу . Умножая полученные выражения для и складывая, находим, что равно Так как Итак y(J) — решение задачи (61). i Пример 18.

Найти функцию Грина краевой задачи

Решение примера. Из однородного уравнения получаем Так как , то при задача (67) имеет только нулевое решение, то есть выполнена условие существования функции Грина. Функции cost удовлетворяют уравнению у+ уи условиям у. Поэтому согласно (63) Теперь из условия (62) или, что то же самое, (64) имеем Из этой системы находим а = - cos з, 6 = - sin з.

Теперь из (68) Задачи для упражнений: [12], § 13, № 764-771. |3«| Рассмотрим краевую задачу для уравнения с параметром А где Ly9a9p, 7, б те же, что в (61). Значения А, при которых задача (69) имеет ненулевое решение, называются собственными значениями этой задачи, а сами ненулевые решения — собственными функциями. При тех А, которые являются собственными значениями, имеет место второй случай альтернативы, а при остальных — первый. Пример 19.

Найти собственные значения и собственные функции задачи Решение примера. В силу теоремы 10 ненулевые решения этой задачи могут существовать только при А . Полагаем . Из уравнения и условия у(0) = 0 получаем у = с sin at. Из условия y(d) = 0 следует с sin a J = 0. Чтобы было у =2= 0, надо с.. Поэтому Числа Afc — собственные значения, а функции у = с sin ^ — собственные функции. Задачи для упражнений: [12], § 13, №782-785. Краевые задачи. | 4> | Для различных краевых задач исследовались условия, при которых задача имеет единственное решение.

Важное направление теории краевых задач — спектральная теория, изучающая свойства собственных значений и собственных функций. Выделен класс «самосопряженных» краевых задач, у которых собственные функции ортогональны в пространстве Ь2 на данном отрезке и доказано, что любую гладкую функцию на этом отрезке, удовлетворяющую краевым условиям этой задачи, можно разложить в сходящийся ряд по собственным функциям такой задачи, аналогичный ряду Фурье [30], гл. 7. Такие разложения используются, в частности, при решении различных задач для уравнений с частными производными методом разделения переменных