Корректность постановки задачи. Пример Адамара некорректно поставленной задачи

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

связи с изучением физически детерминированных явлений вводится понятие корректности задачи. Определение. Говорят, что математическая задача поставлена корректно, если 1) решение задачи существует в каком-то классе М\ функций; 2) решение задачи единственно в некотором классе М2 функций; 3) решениезадачи непрерывно зависит от данных задачи (начальных и граничных условий, коэффициентов уравнения и т.д.).

Множество М| П функций называется классом корректности рассматриваемой математической задачи. В теории обыкновенных дифференциальных уравнений доказывается, что задача Коши Корректность постановки задачи Пример Адамара некорректно поставленной задачи поставлена корректно, если функция /(х, у) непрерывна по совокупности аргументов и имеет ограниченную производную в некоторой области, содержащей точку Рассмотрим задачу Коши для неограниченной струны.

Выше м ы установили, что решение задачи (1)-(2) 1) существует и 2) единственно. Покажем, что при непрерывном изменении начальных условий это решение изменяется непрерывно. Теорема 1. Каков бы ни был отрезок [0, *о) изменения времени t и каково бы ни было е > О, найдется такое 6 = 6(е, *о) > что для любых двух решений и «(х, t) уравнения (1), отвечающих начальным условиям для , выполняется неравенство если только (малое изменение начальных условий влечет за собой малое изменение решений).

Функции u(Xjt) и u(x,t) связаны со своими начальными условиями формулой Даламбера, так что откуда или, используя соотношения (3), Если положить 6 = , то из последнего неравенства получаем Таким образом, для волнового уравнения задача Коши поставлена корректно. Пример Адамара некорректно поставленной задачи Рассмотрим задачу Коши: найти решение уравнения Лапласа удовлетворяющее при t = 0 условиям Корректность постановки задачи Пример Адамара некорректно поставленной задачи (п — натуральное число).

Легко проверить, что решением этой задачи будет функция Так как то при достаточно большом п абсолютная величина ttt(x, 0) как угодно мала при любом х.

Вместе с тем, как показывает формула (7), решение и(х> t) рассматриваемой задачи будет принимать как угодно большие по абсолютной величине значения при произвольно малом t > 0, если п достаточно велико. Допустим, что мы нашли решение 0 задачи Коши для уравнения (4) при некоторых начальных условиях Тогда для начальных условий решением задачи Коши будет функция Отсюда видно, что малое изменение начальных условий может повлечь за собой как угодно большие изменения решения задачи Коши и притом в любой близости от линии начальных значений.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Следовательно, задача Коши для уравнения Лапласа является некорректно поставленной. Рассмотрим теперь гиперболическое уравнение и поставим следующую задачу: найти решение u(z, у) уравнения (8) в прямоугольнике Q со сторонами, параллельными координатным осям (рис. 6), принимающее на границе Г этого прямоугольника заданные граничные значения.

говоря, не имеет решения. В самом деле, обратимся к общему решению уравнения (8) (здесь fug — произвольные дифференцируемые функции). Так как производная иу = 9 (у) должна принимать одинаковые значения в соответствующих противолежащих точках сторон х = const прямоугольника Q, а производная их = f'(x) — в соответствующих противолежащих точках сторон у = const, то мы не можем произвольно задавать граничные значения.

Значения функции u(z, у) можно задавать произвольно только на двух смежных сторонах прямоугольника (например, на О А и на ОБ), а не на всей его границе Г, так что для гиперболического уравнения поставленная граничная задача оказывается переопределенной. Замечание 1. Подчеркнем, что волновое уравнение и уравнение Лапласа являютс я уравнениями разных типов: волновое уравнение имеет гиперболический тип, а уравнение Лапласа — эллиптический.

Замечание 2. Некорректно постам енные зада чн часто ветре чаются в приложениях. К их числу относятся многие хорошо известные математические задачи, в частности, приведенная вышезадача Коши для уравнения Лапласа связана с обратной задачей гравиметрии об определении формы тела по создаваемой им аномалии силы тяжести.