Координаты и компоненты вектора

Координаты и компоненты вектора

Координаты и компоненты вектора

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Решение задач по математике

Выберем в пространстве прямоугольную декартову систему координат. Обозначим через i, j, к единичные векторы (орты) положительных направлений осей Ох. Оу, Oz (рис. 19). Рассмотрим произвольный вектор а, начало которого лежит в начале координат О, а коней — в точке А. Проведем через точку А плоскости, перпендикулярные .осям Ох, Оу и Oz. Эти плоскости пересекут координатные оси в точках Ру Q и R соответственно.

Из рис. 20 видно, что Векторы OP, OQ и OR коллинеарны соответственно единичным векторам i, j, k. поэтому найдутся числа х, у, 2 такие, что и, следовательно, Координаты и компоненты вектора Формула (2) называется разложением вектора и по век/порам i, j, к. Указанным способом всякий вектор может быть разложен по векторам i, j, k. Векторы i, j, k попарно ортогональны, и их длины равны единице. Тройку i, j, k называют ортонормированным (координатным) базисом (ортобазисом).

Можно показать, что для каждого вектора а разложение (2) по базису i, j, к единственно, т. с. коэффициенты!, у, z в разложении вектора а по векторам i, j, к определены однозначно.

Эти коэффициенты называются координатами вектора а. Они совпадают с координатами х, у, z точки Л — конца вектора а. Мы пишем в этом случае Эта запись означает, что свободный вектор а однозначно задастся упорядоченной тройкой своих координат. Векторы х\, t/j, zk, сумма которых равна вектору а, называются компонентами вектора а.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Схема построения графика функции
Оптимальность по Парето. Множество. Метод идеальной точки
Сечение цилиндра плоскостью
Деформационные швы (разделяющий здание на отдельные отсеки)

Из вышеизложенного следует, что два вектора а = {x\,y\,z\} и Ь = {х2,у2,22} равны тогда и только тогда, когда соответственно равны их координаты, т. с. Пусть а = {яь yt, zj}, b = {яг, угУ zi} — коллинеарные векторы, причем b Ф 0. Тогда л = цЬ, т.е. Координаты и компоненты вектора Обратно, если выполняются соотношения (3), то п = цЬ, т. е. векторы а и b коллинеарны.

Таким образом, векторы

а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны. Пример. Найти координаты вектора M\Mi, начало которого находится в точке М\(х\, у\, z\). а конец — в точке Afi(«2> 22). Из рис. 22 видно, что М\Мг = Г2 - п, где р,, р2 — радиус-векторы точек М| и Мг соответственно. Поэтому — координаты вектора М\Мг равны разностям одноименных координат конечной М^ и начальной М\ точек этого вектора.