Контрольная работа по теории управления заказать
Ответы на вопросы по заказу контрольной работы по теории управления:
Сколько стоит помощь с контрольной работой?
- Цена зависит от объёма, сложности и срочности. Присылайте любые задания по любым предметам - я изучу и оценю.
Какой срок выполнения контрольной работы?
- Мне и моей команде под силу выполнить как срочный заказ, так и сложный заказ. Стандартный срок выполнения – от 1 до 3 дней. Мы всегда стараемся выполнять любые работы и задания раньше срока.
Если требуется доработка, это бесплатно?
- Доработка бесплатна. Срок выполнения от 1 до 2 дней.
Могу ли я не платить, если меня не устроит стоимость?
- Оценка стоимости бесплатна.
Каким способом можно оплатить?
- Можно оплатить любым способом: картой Visa / MasterCard, с баланса мобильного, google pay, apple pay, qiwi и т.д.
Какие у вас гарантии?
- Если работу не зачли, и мы не смогли её исправить – верну полную стоимость заказа.
В какое время я вам могу написать и прислать задание на выполнение?
- Присылайте в любое время! Я стараюсь быть всегда онлайн.
Содержание:
- Ответы на вопросы по заказу контрольной работы по теории управления:
- Теория управления
- Системы прямого и не прямого действия.
- Статические системы регулирования.
- Астатические системы регулирования.
- Принципы построения систем автоматического регулирования
- Принцип разомкнутого управления.
- Основные элементы систем автоматического регулирования. Классификация САР.
- Требования, предъявляемые к САР.
- Линейные законы регулирования.
- Уравнения элементов систем автоматического регулирования.
- Линеаризация нелинейных уравнений элементов систем.
- Формы записи дифференциальных уравнений элементов САР.
- Временные и частотные характеристики динамических звеньев.
- Временные характеристики звеньев.
- Статические характеристики звеньев.
- Частотные характеристики звеньев.
- Типовые динамические звенья.
- Дифференцирующее звено.
- Интегрирующее звено.
- Звено «чистого» запаздывания.
- Логарифмические частотные характеристики.
- Апериодическое звено 1 порядка.
- Апериодическое звено 2 порядка.
- Интегрирующее звено.
- Дифференцирующее звено.
- Построение ЛАХ для сложных передаточных функций.
- Уравнения систем автоматического регулирования.
- Передаточные функции системы.
- Получение уравнений системы с помощью передаточной функции системы.
Теория управления
Все рабочие процессы, выполняемые человеком для получения продукции, представляют собой направленную совокупность действий - операций, которые условно можно разделить на два вида: рабочие операции и операции управления. К рабочим операциям относятся действия непосредственно необходимые для выполнения рабочего процесса. Замена труда человека в рабочих операциях работой механизмов называется механизацией.
В механизированном производственном процессе человек продолжает принимать участие. Это участие сводится к выполнению операций управления. К операциям управления относятся действия, посредством которых обеспечивается в нужные моменты времени начало, порядок следования и прекращение рабочих операций, а также назначаются необходимые скорости и ускорения рабочим инструментам. С помощью операций управления выделяются энергетические ресурсы, необходимые для выполнения рабочего процесса. Замена труда человека в операциях управления работой технических устройств называется автоматизацией. Технические устройства, выполняющие операции управления называются автоматическим и устройствами. Совокупность технических устройств (машин, орудий труда, средств механизации), выполняющих рабочий процесс, с точки зрения управления является объектом управления.
Совокупность автоматических устройств и объекта управления образует систему управления.
Совокупность автоматических устройств и объекта управления образует систему управления. Система, в которой все управляющие операции выполняются автоматическими устройствами (без участия человека) называется автоматической системой управления (САУ). Если задачей САУ является только поддержание некоторого параметра (регулируемой величины) на заданном постоянном уровне или изменение его по заданному закону, то такая автоматическая система называется системой автоматического регулирования (САР).
Система, в которой автоматизирована только часть операций управления, а другая часть операций (как правило, наиболее ответственная) выполняется человеком, называется автоматизированной системой управления. Теория автоматического управления является теоретическим обоснованием автоматизации. Отрасль науки и техники, занимающаяся разработкой систем автоматического управления, называется автоматикой.
Первым в мире автоматическим устройством стал автоматический регулятор, изобретенный в 1765г. русским механиком Ползуновым И.И.. Этот регулятор по составу элементов и принципу работы фактически стал первой в мире системой автоматического регулирования. Система предназначалась для регулирования уровня воды в котле паровой машины Ползунова.
По этой ссылке вы сможете узнать как я помогаю с контрольными работами:
Принципиальная и структурная схемы системы представлены на рис. 1.1 и 1.2. В системе объектом управления ОУ является котел с водой, регулируемой величиной - высота уровня Н. Заданная величина уровня НЗАД устанавливается регулировкой длины стержня, соединяющего двуплечий рычаг с поплавком. Поплавок в системе является чувствительным элементом ЧЭ. Чувствительный элемент измеряет текущее значение уровня -Н и определяет величину отклонения уровня воды в котле Н = НЗАД - Н. Функцию регулирующего органа РО выполняет установленная на рычаге заслонка, которая прикрывает доступ воды в котел через патрубок при нежелательном повышении уровня и открывает доступ воды в противном случае. Внешним возмущающим воздействием f, приводящим к снижению уровня в котле, является потребление пара из котла. Обратная связь в регуляторе образована связью между текущим положением уровня жидкости в котле и положением чувствительного элемента. В настоящее время принцип построения систем автоматического регулирования, основанный на измерении отклонения регулируемой величины, называется принципом Ползунова.
Рис. 1.1
Рис. 1.2
Системы прямого и не прямого действия.
Все системы автоматического регулирования САР разделяются на системы прямого и непрямого действия. Системой автоматического регулирования прямого действия называется такая система, в которой воздействие чувствительного элемента на регулирующий орган осуществляется без привлечения дополнительного источника энергии. Только что рассмотренная система регулирования уровня является системой регулирования прямого действия, так как в системе для регулирования используется только энергия чувствительного элемента -поплавка, который при изменении уровня перемещается вверх или в низ. Системой регулирования прямого действия является также и система (рис. 1.3) автоматического регулирования скорости вращения вала тепловой машины 1. Основу этой системы составляет центробежный регулятор Д.Уатта.
Регулирующим органом регулятора является задвижка 6, которая получает перемещение от чувствительного элемента представляющего собой центробежный механизм, состоящий из вращающихся подвижных грузов 2, соединенных шарнирными тягами 3 с подвижной втулкой 4. На подвижную втулку сверху в направлении оси У действует сила предварительного сжатия пружины - Fпp. В противоположном направлении действует центробежная сила - Fцб, обусловленная вращением подвижных грузов. Регулируемой величиной является скорость (частота) вращения вала тепловой машины . Заданная величина зад регуляторе устанавливается предварительным поджатием пружины 5. В результате влияния возмущений f(t) регулируемая величина может отличаться от заданной. В этих случаях под действием разности сил F = Fпp - Fцб подвижная втулка 4 переместится в сторону, соответствующую знаку разности и задвижка 3 также изменит свое положение. В результате изменится количество топлива, питающего двигатель.
Рис. 1.3
Из материала следует, что регулирующий орган в этой системе, как и в предыдущей системе, приводится в действие энергией чувствительного элемента. Очевидно, что для регулирования чувствительный элемент должен быть достаточно мощным устройством. Если мощности у чувствительного элемента недостаточно, то уменьшается точность регулирования. Например, точность регулирования в рассмотренной системе достигается лишь в том случае, когда чувствительный элемент способен создавать усилия, достаточные для перемещения заслонки 3 и преодоления сил трения, возникающих в подвижных соединениях. Однако во многих случаях мощности чувствительного элемента оказывается недостаточно. В таких случаях между чувствительным элементом и регулирующим органом встраивается усилитель, в результате чего получается система непрямого регулирования.
По этой ссылке вы сможете научиться оформлять контрольную работу:
Системой автоматического регулирования непрямого действия называется такая система, в которой чувствительный элемент воздействует на регулирующий орган не непосредственно, а через специальные усиливающие и преобразующие элементы, питаемые добавочным источником питания.
Примером такой системы может служить система регулирования скорости тепловой машины. На рис. 1.4 изображена схема усилительного устройства. В состав устройства входят: гидравлический цилиндр с поршнем 1; управляющий золотник 2; подвижный шток золотника 3.
Рис. 1.4
В качестве дополнительного источника энергии используется гидравлическая насосная станция с давлением рабочей жидкости Рн. Перемещения штока золотника У осуществляются в результате движения подвижной втулки 4 (рис. 1.3). Вследствие малых размеров управляющего золотника, требуются небольшие усилия для перемещения подвижного штока золотника. Сила же давления штока гидравлического усилителя на рычаг заслонки 4 (например, при его движении в низ) определяется величиной рабочего давления Рн и площадью поршня 1 и поэтому может быть достаточной для работы системы.
На рис. 1.5 изображена структурная схема рассматриваемой САР. Видно, что в отличие от структурной схемы на рис.2 в данную схему системы между чувствительным элементом и регулирующим органом введен дополнительный элемент - усилитель (рис. 1.5а).
Рис. 1.5
На рис. 1.5б изображена структурная схема той же системы регулирования. Отличие состоит в том, что на схеме чувствительный элемент представлен двумя элементами: сравнивающим устройством и преобразователем (Пр.). Сравнивающее устройство выполняет функцию вычитания , а преобразователь (Пр.) преобразует отклонение в перемещение штока золотника . Обратная связь в системе образована функциональной связью чувствительного элемента, измеряющего текущее значение скорости с положением подвижной втулки 4, взаимодействующей с пружиной 5. Чувствительным элементом в регуляторе Д.Уатта являются вращающиеся грузы 2 (рис. 1.3).
Статические системы регулирования.
Система автоматического регулирования называется статической по отношению к возмущающему воздействию f, если при воздействии, стремящемся с течением времени к некоторому постоянному значению, отклонение регулируемой величины также стремится к постоянному значению, зависящему от величины возмущения. На рис. 1.6,а изображена кривая 1, показывающая изменение отклонения регулируемой величины, после приложения к системе в момент времени t = 0 возмущения f = f1 На этом же рисунке изображена кривая 2, соответствующая случаю, когда f =f2. Видно, что величина статической ошибки хст зависит от действующего возмущения, хст1> хст2.
По этой ссылке вы сможете заказать контрольную работу:
На рис. 1.6,б приведен пример простейшей системы автоматического регулирования уровня жидкости в емкости. Объектом регулирования в системе является резервуар с жидкостью. Устройство регулирования (регулятор)состоит из поплавка, рычага и задвижки. Через трубу T1 жидкость вливается в емкость, через трубу Т2 жидкость выливается из емкости. Расход жидкости через трубу Т2 зависит от потребителя. При равенстве расходов жидкости через трубы T1 и Т2 уровень жидкости в емкости (Н) остается постоянным, что соответствует установившемуся состоянию системы.
Рис. 1.6
В качестве возмущающего и регулирующего воздействий можно рассматривать соответственно расходы жидкости через трубы Т2 и Т1 При увеличении расхода жидкости через трубу Т2 (появилось возмущение) уровень жидкости в емкости понижается, поплавок опускается и переставляет задвижку, увеличивая степень ее открытия. Количество жидкости, поступающей через трубу T1 увеличивается и уровень жидкости повышается. Установившееся состояние наступит при равенстве расходов жидкости через обе трубы - Т1 и Т2. Однако, этому установившемуся состоянию будет соответствовать другой, пониженный уровень жидкости в емкости - Н0. Чем больше расход жидкости через трубы Т1 и Т2, тем больше открыта задвижка и, следовательно, тем ниже в установившемся состоянии будет уровень жидкости в емкости. Таким образом, в подобных системах установившееся состояние наступает при различных значениях регулируемой величины, зависящих от действующих возмущений.
Астатические системы регулирования.
Система автоматического регулирования называется астатической по отношению к возмущающему воздействию, если при воздействии, стремящемся с течением времени к некоторому постоянному значению, отклонение регулируемой величины стремится к нулю вне зависимости от величины воздействия. На рис. 1.7,а изображена кривая, показывающая изменение отклонения регулируемой величины после приложения к системе в момент времени t = 0 возмущения f = f1. Видно, что с течением времени величина отклонения стремится к нулю. На рис. 1.7,6 изображена схема астатической системы регулирования уровня жидкости в емкости. При увеличении или уменьшении расхода жидкости поплавок опускается или поднимается относительно регулируемого уровня - H. Но в отличие от предыдущей системы рычаг, связанный с поплавком воздействует не на заслонку, а замыкает верхний -1 или нижний -2 контакт обмоток возбуждения (ОВ). При этом двигатель (Дв) начинает вращаться в таком направлении, чтобы выполнить необходимое перемещение задвижки.
Рис. 1.7
Очевидно, что в этой схеме установившееся состояние в системе при любой величине возмущения (изменении расхода через трубу Т2) может иметь место только при одном определенном значении регулируемой величины, соответствующей нейтральному положению среднего контакта, расположенного на левом конце рычага. При достаточно малом расстоянии между контактами 1 и 2 статическая ошибка в системе будет близка к нулю.
Принципы построения систем автоматического регулирования
Существует три основных принципа построения САР, обеспечивающих выполнение требуемого закона изменения регулируемой величины: по разомкнутому циклу, замкнутому циклу и управление по возмущению.
Принцип разомкнутого управления.
Принцип состоит в том, что алгоритм управления строится только на основе заданного алгоритма функционирования объекта и не контролируется по фактическому значению управляемой величины. Примером реализации данного принципа может служить система, обеспечивающая управление частотой вращения вала двигателя постоянного тока независимого возбуждения (рис. 1.8). При перемещении движка 2 потенциометра 1 изменяется величина напряжения (Un) на входе в усилитель 3. В результате изменяется напряжение в обмотке возбуждения 4 генератора 5, величины тока в якорной обмотке двигателя iя и частоты вращения вала двигателя . Частота вращения ротора двигателя измеряется с помощью тахогенератора и показывающего прибора 8.
Рис. 1.8
Управляющей величиной в данной системе является перемещение движка потенциометра . Регулируемой величиной является частота вращения вала двигателя. Из схемы следует, что в системе нет замкнутых путей, по которым бы проходил управляющий сигнал. Поэтому система является разомкнутой.
Для нормального функционирования систем построенных по принципу разомкнутого цикла необходимо, чтобы они были тщательно отградуированы. Сохранение градуировки обеспечивается жесткостью характеристик элементов, образующих систему. Однако известно, что с течением времени элементы системы изнашиваются, характеристики элементов меняются, и в итоге нарушается градуировка системы. В результате не достигается необходимая точность функционирования объекта и поэтому следует применять другие принципы управления.
Принцип управления по замкнутому циклу (принцип обратной связи). Принцип основан на измерении отклонения регулируемой величины от предписанного управлением значения с помощью применения обратной связи и элемента сравнения. Образующийся в результате сравнения сигнал отклонения (ошибки регулирования) используется для управления. За счет этого обеспечивается в замкнутых системах требуемый закон изменения регулируемой величины. Примером реализации данного принципа управления может служить система регулирования скорости вращения вала двигателя, изображенная на рис. 1.9. Данная система отличается от предыдущей ( рис. 1.8) тем, что в ней напряжение, вырабатываемое тахогенератором 7 не направляется на показывающий прибор 8 (рис. 1.8), а по обратной связи подается на вход системы (рис. 1.9), где сравнивается с напряжением потенциометра Un. В результате сравнения определяется отклонение регулируемой величины u = Un - Uтг.
Рис. 1.9
Далее сигнал ошибки регулирования u используется для формирования управления. На рис. 1.10 представлена структурная схема системы.
Рис. 1.10
В схему вошли: измеритель И1 усилитель (У); исполнительный элемент (ИЭ), в составе генератора с обмоткой возбуждения; объект управления (ОУ) - это двигатель и измеритель (И2). Кроме указанных элементов в схему вошли устройство сравнения сигналов Un и Uтг и обратная связь. Измеритель И1 измеряет величину управляющего воздействия (величину перемещения движка потенциометра) и преобразует его в сигнал напряжения Un (управляющая величина). Измеритель И2, измеряет скорость вращения вала двигателя (регулируемую величину) и преобразует результат измерения также в сигнал напряжения Uтг.
Создание систем управления с разомкнутым принципом работы представляет собой обычно более легкую задачу, чем создание систем с замкнутым циклом работы. Однако, последние обладают рядом несомненных преимуществ. Благодаря своему принципу действия, основанному на измерении ошибки регулирования, системы с замкнутым циклом не требуют точной градуировки и в значительной мере сохраняют свою точность даже и в том случае, когда параметры элементов испытывают существенные изменения во время их работы.
Возможно вам пригодятся эти страницы:
Контрольная работа по страхованию заказать |
Контрольная работа по таможенному делу заказать |
Контрольная работа по товароведению заказать |
Контрольная работа по торговому делу заказать |
В настоящее время оба принципа управления достаточно широко применяются. Однако, в дальнейшем будет рассматриваться лишь системы , работающие по замкнутому циклу. Такие системы обычно называют системами автоматического регулирования и им можно дать следующее определение:
Системой автоматического регулирования называется система, обладающая свойством сохранять требуемую функциональную связь между управляющими и регулируемыми величинами при помощи их сравнении и использования получающихся при этом разностей для управления.
В случае схемы системы, изображенной на рис. 1.9 величинами между которыми необходимо сохранять требуемую функциональную связь являются сигналы Un и Uтг. Изменения регулируемых величин вызываются не только управляющими , но и возмущающими воздействиями, приложенными к системе автоматического регулирования Возмущающим называется всякое воздействие, которое стремится нарушить требуемую функциональную связь между управляющим воздействием и регулируемой переменной.
В случае рассмотренной системы регулирования возмущающим воздействием может быть изменение момента нагрузки, приложенного к валу двигателя или нарушение температурного режима работы обмоток двигателя и др. Очевидно, что система регулирования по-разному должна вести себя в отношении к указанным двум типам воздействий. Управляющие воздействия должны определять изменения регулируемых переменных, возмущающие же воздействия ,наоборот, должны оказывать как можно меньшее влияние на изменения регулируемых переменных.
Указанные воздействия отличаются также и местами их приложения к системе. Если управляющее воздействие может быть приложено к системе только через ее вход (через измеритель), то возмущающее воздействие может быть приложено к любой точке системы.
Управление по возмущению (принцип компенсации). Так как отклонение регулируемой величины X зависит не только от управления, но и от возмущающего воздействия f (рис. 1.11), то закон управления целесообразно строить так, чтобы в установившемся режиме отклонение X = 0.
Функциональная схема системы регулирования по возмущению представлена на рис. 1.11, где: УУ - управляющее устройство, формирует составляющую управления ; РВ - регулятор по возмущению, формирует составляющую управления ; РО - регулирующий орган; ОУ - объект управления. Для работы регулятора по возмущению необходимо иметь возможность для измерения возмущений, что не всегда оказывается возможным, так как
Рис. 1.11
в настоящее время практически отсутствуют такие измерители. Применение вычислительных устройств расширяет возможности для применения регуляторов и выводит этот принцип управления в число перспективных.
Основные элементы систем автоматического регулирования. Классификация САР.
Любая САР состоит из объекта регулирования и регулятора. Автоматические регуляторы являются достаточно сложными устройствами. Однако, при всей их сложности, регуляторы всегда можно представить устройствами, состоящими из следующих основных элементов, рис. 1.12:
Рис. 1.12
- измерительный элемент, предназначен для измерения и преобразования управляющего воздействия в управляющую величину;
- устройство сравнения, установленное на входе системы выполняет операцию вычитания из входного сигнала, сигнала обратной связи с целью определения сигнала, соответствующего ошибке регулирования;
- последовательно включенный корректирующий элемент, служит для преобразования сигнала ошибки регулирования с целью придания системе требуемых динамических свойств;
- усилительный элемент, усиливает сигнал управления;
- исполнительный механизм, вырабатывает регулирующее воздействие, прикладываемое к объекту управления. Механизм содержит исполнительный элемент ( как правило, двигатель), промежуточное устройство (редуктор или др. преобразователь) и регулирующий орган непосредственно воздействующий на объект управления;
- параллельно включенный корректирующий элемент - для придания системе требуемых динамических свойств;
- объект управления;
- измерительный элемент, предназначен для измерения и преобразования регулируемой величины в сигнал главной обратной связи, совпадающий по виду энергии с входным сигналом;
- дополнительная обратная связь. Может быть гибкой, если корректирующий элемент 6 дифференцирует входной сигнал и жесткой в других случаях;
- главная (основная) обратная связь, для организации управления по замкнутому циклу.
При изучении теории управления принято использовать упрощенные структурные схемы. Например, на схемах можно не изображать измерительные элементы, если рассматриваемый материал не относится к этим элементам. Более того, на схемах часто регулятор представляется в виде одного прямоугольника, если рассматриваемый материал не требует его поэлементного рассмотрения. После таких упрощений структурная схема системы регулирования принимает следующий вид
Рис. 1.13
Приведенные на схеме обозначения сигналов (рис. 1.13) в дальнейшем изменяться не будут: - управляющее воздействие;
х - отклонение регулируемой величины (ошибка регулирования), определяется с помощью уравнения замыкания х = - у, которое одновременно является уравнением сравнивающего устройства; y - регулируемая величина; u - сигнал управления от регулятора; f - возмущающее воздействие; u1 - сигнал управления, u1=f - у. Следует указать, что все приведенные сигналы в общем случае являются функциями времени. В совокупности эти сигналы могут также называться переменными или координатами системы.
Если из схемы системы исключить сигнал управляющего воздействия , то ее назначение сведется только к парированию вредного влияния действующего возмущения . Подобного рода системы принято называть системами автоматической стабилизации, отрабатывающими сигнал возмущения. Если управляющее воздействие постоянно , то такие системы называют системами автоматического регулирования (САР). Если управляющее воздействие непрерывно изменяется, то системы относят к программным (если закон изменения воздействия соответствует некоторой известной программе) или к следящим системам, если этот закон является произвольным.
Требования, предъявляемые к САР.
При определении САР указывалось, что эти системы должны иметь свойство сохранять требуемую функциональную зависимость между управляющим воздействием и регулируемой величиной. Однако, чем точнее поддерживается функциональная связь, тем дороже система. Поэтому очень важно правильно сформулировать требования к САР, которые отличают реальную систему от идеальной системы. Если на вход системы автоматического регулирования подать управляющий сигнал (рис. 1.14,а) и принять f(t) = 0, то на выходе системы возможны следующие виды процессов изменения регулируемой величины y(t):
- Не колебательный процесс (рис. 14,6). Кривая y(t) ограничена по величине и соответствует форме сигнала управляющего воздействия (рис. 14,а) после прохождения некоторого отрезка времени, называемого временем переходного процесса. Такого типа процессы соответствуют устойчивым системам;
- Колебательный процесс (рис.14,в). Кривая y(t) ограничена по величине, и после завершения колебаний соответствует форме сигнала управляющего воздействия. Процесс также соответствует устойчивой системе;
- Не колебательный процесс (рис.1.14,г). Кривая y(t) не ограничена по величине и не стремится к форме сигнала управляющего воздействия. Процесс соответствует неустойчивой системе. Такие системы не работоспособны;
- Колебательный процесс (рис. 1.14,д). Кривая не ограничена по величине и не стремится к форме сигнала управляющего воздействия, Поэтому данный процесс также соответствует неустойчивой и неработоспособной системе.
- Из представленного материала следует, что только устойчивые системы автоматического регулирования работоспособны. Неустойчивость систем обусловлена несовершенством регулятора.
Следствием этого является нарушение энергетического баланса в системе. В результате этого по обратной связи на вход системы возвращается слишком много энергии, которая и раскачивает систему. Таким образом, главным требованием, предъявляемым к системам должно быть требование устойчивости САР.
Рис. 1.14
Устойчивые системы обладают свойством, при котором отклонение регулируемой величины от требуемого закона изменения с течением времени стремится к нулю, т.е. (при ). Свойство устойчивости САР обеспечивается подбором значений параметров элементов регулятора (моменты инерции вращающихся тел, постоянные времени корректирующих устройств, и т.д.). В процессе работы с течением времени значения параметров могут изменяться. Система же при этом не должна терять свойства устойчивости. Следовательно, САР должна обладать еще и некоторым запасом устойчивости. Чем он выше, тем больше гарантии устойчивой работы системы.
Не менее важными являются требования, предъявляемые к поведению системы в переходном процессе. Переходный процесс в системе возникает всегда после приложения к ней внешнего воздействия. При исследовании систем в качестве такого внешнего воздействия применяется типовое воздействие - единичная ступенчатая функция (единичный скачок). Обозначается: . Графически единичный скачок изображается так же, как и на рис. 1.14,а, только величина воздействия g0 должна быть равна 1(t).
На рис. 1.15 изображена кривая изменения регулируемой величины y(t), после приложения к системе типового воздействия. Часть кривой в интервале времени [0,tn] является переходным процессом. За переходным процессом располагается часть кривой, соответствующей установившемуся режиму в системе. Из рисунка следует, что на установившемся режиме кривая y(t) продолжает изменяться. Однако считается, что этими изменениями можно пренебречь.
Рис. 1.15
Переходный процесс характеризуется следующими показателями качества регулирования:
- Максимальное отклонение регулируемой величины умах. Допустимое значение этого показателя устанавливается заказчиком ;
- Перерегулирование - , где -установившееся значение регулируемой величины (при ). Максимальная величина перерегулирования не должна превышать 30%;
- Время переходного процесса tn, т.е. время, прошедшее от момента приложения воздействия (t=0) до момента входа кривой y(t) в трубку переходного процесса размером . Допустимая величина времени t„ устанавливается заказчиком системы;
- Количество колебаний регулируемой величины за время переходного процесса. Форма переходного процесса задается - с колебаниями или без них. Если переходный процесс предполагается иметь с колебаниями, то количество колебаний должно быть не больше трех.
Считается, что система автоматического регулирования имеет удовлетворительные (или хорошие) динамические свойства, если ее переходный процесс отвечает перечисленным выше требованиям.
Употребив выражение ‘динамические свойства’ уместно определить термин ‘динамика’. В обучении, динамика — это раздел механики, занимающийся изучением движения тел под действием приложенных к ним сил .В управлении, слово ‘динамика’ можно понимать как движение переменных (координат) системы под влиянием приложенных к ней внешних воздействий, а сочетание слов ‘динамические свойства’ - как инструмент обобщенной оценки качества этого движения. Динамические свойства могут быть удовлетворительными и неудовлетворительными.
Другими важными требованиями к САР являются:
- требование к величине ошибок систем автоматической стабилизации при нахождении их в установившемся состоянии (статическая точность) ;
- требование к динамической точности, применяется для следящих систем и систем с программным управлением Xдин(t) = (t) - у(t). Уже известно, что в этих системах управляющее воздействие изменяется непрерывно в процессе всей работы. Поэтому статические ошибки для этих систем не характерны.
Количественные характеристики требований зависят от типа разрабатываемых систем и указываются в технических заданиях
Линейные законы регулирования.
Законом регулирования называется зависимость между регулирующим воздействием и отклонением регулируемой величины от заданного значения. Математически закон регулирования определяется уравнением автоматического регулятора. Для систем автоматического регулирования закон регулирования в простейшем случае записывается в виде В общем случае закон регулирования включает в описание не только ошибку регулирования, но и ее производные и интегралы На практике используются следующие законы регулирования:
1. Пропорциональный закон регулирования (1.1) kp - параметр настройки регулятора. Регулятор в этом случае называется П - регулятор. Исследуем особенности этого закона регулирования. После дифференцирования получим (1.2)
Рис. 1.16
Выясним, характерна ли системе с рассматриваемым законом регулирования статическая ошибка. Уже известно, что статическая ошибка хст характеризует точность системы автоматической стабилизации в установившемся режиме. Отметим, что на установившемся режиме сигнал управления от регулятора и (рис. 1.16) не изменяется, следовательно, . Из этого делаем вывод, что в выражении (1.2) скорость также равна нулю.
Однако при этом ошибка регулирования может быть отличной от нуля. Это означает, что системе с П - законом регулирования характерна статическая ошибка. Это является недостатком. Преимуществом закона регулирования является то, что сигнал управления от регулятора возникает одновременно с появлением ошибки регулирования. При этом величина сигнала пропорциональна ошибке. Это способствует уменьшению времени регулирования.
2. Интегральный закон регулирования (1.3) Ки - параметр настройки регулятора. Регулятор в этом случае называется И - регулятор. Выполним дифференцирование выражения (1.3). В результате получим (1.4) На установившемся режиме . Из выражения (1.4) следует, что в этом случае и ошибка регулирования x(t) = 0. Следовательно, системе регулирования с И - законом регулирования не характерна статическая ошибка. Это свойство повышает точность регулирования и является преимуществом закона регулирования. Однако из выражения (1.3) следует,
u(t) = kиx(t)t. (1.5)
Из выражения (1.5) следует, что в самом начале регулирования при и , хотя величина ошибки при этом может быть значительной. Это приводит к тому, что процесс регулирования в начальной фазе оказывает несущественное влияние на объект регулирования. При увеличении времени влияние на объект усиливается. Получается, что процесс регулирование как -бы отстает от процесса появления и изменения ошибки. В результате регулирование оказывается растянутым по времени. Процессу регулирования характерны колебания регулируемой величины.
3. Пропорционально - интегральный закон регулирования
(1.6)
- параметры настройки регулятора.
Регулятор в этом случае называется ПИ - регулятор. Применение данного закона регулирования позволяет устранить недостатки и использовать преимущества рассмотренных первых двух законов. В результате получается не длительное регулирование и без статической ошибки на установившемся режиме.
4. Пропорционально - дифференциальный закон регулирования
(1.7) - параметр настройки регулятора. Регулятор в этом случае называется HD - регулятор. Наличие производной в законе позволяет ввести в процесс регулирования эффект опережения, в результате чего регулятор вступает в работу уже в тот момент времени, когда ошибка регулирования еще равна нулю, т. е. при регулировании улавливается скорость изменения ошибки. Использование этого эффекта позволяет уменьшить время регулирования. Это является преимуществом данного закона регулирования.
5. Пропорционально - интегрально- дифференциальный закон регулирования
(1.8) Наличие в законе трех составляющих позволяет добиться высокого качества, как в переходных процессах, так и на установившихся режимах регулирования.
Уравнения элементов систем автоматического регулирования.
Общие сведения.
Для получения описаний уравнений элементов используются физические законы, определяющие их поведение в системе. Обычно такими законами являются:
- второй закон Ньютона в виде - для описания прямолинейного движения (т - масса, F - движущая сила, v - линейная скорость движения ) и в виде - для описания вращательного движения (- момент инерции dt вращающейся массы, М - вращающий момент, w - угловая скорость);
- закон сохранения энергии в виде - для описания изменения dt температуры тела Т с массой т и удельной теплоемкостью с под действием приложенного теплового потока ;
- уравнение состояние газа PV =mRT - для установления математической связи давления газа Р, его температуры Т и объема V физически однородной системы в состоянии термодинамического равновесия (R - газовая постоянная, т - масса газа).
Кроме указанных применяются и другие законы физики, например, устанавливающие связь между электрическими переменными и параметрами различных электромеханических устройств, применяемых в системах управления и т. д.
Математическое выражение физического закона, который описывает процесс, протекающий в данном элементе, является исходным уравнением. Это уравнение может быть дополнено другими зависимостями, определяющими его функциональную связь с другими элементами системы. Эти зависимости в отдельных случаях могут быть нелинейными. Поэтому в общем случае получаемое уравнение элемента также может быть нелинейным. В ряде случаев нелинейные описания могут быть линеаризованы, т. е. представлены приближенными линейными уравнениями. Если нелинейности мало отличаются от их линеаризованных представлений, то погрешности от линеаризации для практики оказываются несущественными.
Рис. 1.17
Рассмотрим пример. Пусть требуется получить уравнение для емкости с газом, рис. 1.17. При этом емкость будем рассматривать как объект, в котором требуется регулировать давление газа.
Обозначим через Рг, Тг и Vг соответственно давление, температуру и объем газа в емкости, через Рн давление окружающей среды. Массовые расходы газа в емкость и из емкости обозначим соответственно символами Gп и GB.
Исходным уравнением, отражающим термодинамическое равновесное состояние газа в емкости, служит уравнение состояния (1.9) Дополняющими уравнениями являются зависимости, определяющие расходные характеристики : где параметр определяет режим работы компрессора, подающего газ в емкость, а параметр регулирует количество газа, выходящего из емкости.
Можно упростить, считая, что и . В этом варианте можем записать, что : (1.10) Расходные характеристики часто задаются экспериментальными характеристиками. В данном случае эти характеристики являются нелинейными и имеют вид кривых, представленных на рис.8.
Рис. 1.18
составления уравнения емкости запишем уравнение состояния в виде
Далее можно записать . Представленное выражение также соответствует записи . Приравнивая правые части последних dt двух равенств , получим искомое уравнение v dP (1.11) Так как зависимости и нелинейные (рис. 1.18), то и полученное уравнение является нелинейным. Уравнение (1.11) можно записать в символическом виде (1.12) Видно, что в данном уравнении две переменные: и .Так как емкость рассматривается как объект регулирования, то можно утверждать, что давление газа в емкости является регулируемой величиной, а перемещение заслонки - регулирующим воздействием.
Линеаризация нелинейных уравнений элементов систем.
Линеаризацией называется операция замены действительного нелинейного уравнения элемента приближенным линейным. Линеаризация оказывается возможной, если выполняется исходная предпосылка. Содержание предпосылки: в процессе функционирования элемента, уравнение которого линеаризуется, принадлежащие ему переменные должны изменяться так, чтобы их отклонения от значений, соответствующих установившемуся режиму оставались все время достаточно малыми. Например, в нелинейном уравнении (8) переменными являются и . На установившемся режиме: и . В соответствии с предпосылкой в окрестности установившегося режима отклонение должно быть мало. Также должно быть мало и отклонение , ( - положение заслонки в установившемся режиме). Рассмотрим общий случай. Пусть нелинейное уравнение элемента имеет вид (1.13) где и - входная и выходная переменные элемента (рис. 1.19), - возмущение.
Рис. 1.19
Для линеаризации уравнение (1.13) представляется разложением в усеченный ряд Тейлора:
(1.14)
В разложении индекс ‘0’ при частных производных означает, что после взятия частных производных в их выражения необходимо подставить численные значения переменных, соответствующих установившемуся режиму. Далее можно подсчитать численные значения частных производных и таким образом определить коэффициенты при переменных и т.д. Первый член разложения соответствует значению функции (1.13) на установившемся режиме. Для определения этого значения необходимо в выражение (1.13) подставить нулевые значения для производных и установившиеся значения для всех переменных. В состав членов высшего порядка малости (Ч В П М) входят произведения высших и перекрестных частных производных на степени и произведения отклонений [1]. Степени и произведения отклонений являются малыми высшего порядка по сравнению с самими отклонениями, которые являются малыми первого порядка. В связи с этим и произведения степеней и произведений отклонений на постоянные коэффициенты являются малыми высшего порядка в сравнении с первыми членами разложения, вид которых приведен в разложении (1.14). Поэтому принимается допущение, что сумма этих членов равна нулю. Для получения линеаризованного описания уравнения необходимо из выражения (1.14) вычесть первый член разложения, Этот член разложения имеет постоянную величину и не должен учитываться при составлении описания. С учетом принятого допущения и вычитания первого члена разложения линеаризованное описание нелинейного уравнения (1.13) представляется в виде:
(1.15)
Выражение (1.15) является линеаризованным дифференциальным уравнением элемента, динамические свойства которого описываются исходным нелинейным уравнением (1.13). Выражение (1.15) называется еще дифференциальным уравнением элемента в отклонениях. Отклонениями являются и т.д. Отклонения также называют и вариациями переменных. Необходимо отметить отличия данного уравнения от исходного нелинейного уравнения: 1. Уравнение является приближенным, так как в процессе его получения были отброшены малые высокого порядка; 2. Переменными функциями времени в этом уравнении являются не полные величины и , а их отклонения и от установившихся значений и . 3. Уравнение является линейным относительно отклонений с постоянными коэффициентами. Приведем геометрическую интерпретацию выполненной линеаризации. Для этого изобразим графически зависимость функции при постоянных значениях всех остальных переменных: и т.д. Пусть эта зависимость имеет вид кривой, изображенной на рис. 1.20. Отметим значение и проведем в точке ‘С’ касательную. Тогда частная производная где - угол наклона касательной к оси в точке ‘С’.
Рис. 1.20
Из рис. 1.20 видно, что
(1.16)
Из формулы (1.16) следует, что линеаризация уравнения геометрически может трактоваться как замена участка кривой ’СД’ на отрезке на касательную к ней прямую, имеющую угол наклона . Величина характеризует ошибку, возникающую в результате указанной замены. Видно, что точность линеаризации увеличивается при уменьшении отклонения .
Формы записи дифференциальных уравнений элементов САР.
В теории автоматического управления применяются две стандартные формы записи дифференциальных уравнений элементов. Первая форма записи. Дифференциальное уравнение (1.15) записывается так, чтобы выходная величина (рис. 1.19) и ее производные находились в левой части уравнения, а входная величина и все остальные члены - в правой части. Кроме этого принято, чтобы сама выходная величина входила в уравнение с коэффициентом, равным единице. Приведем уравнение (1.15) к такому виду. Разделим члены выражения (1.15) на коэффициент при отклонении и одновременно перенесем вправо члены с отклонениями и . В результате получим :
Далее, необходимо обозначить коэффициенты: при отклонении символом , при отклонении символом , при отклонении символом , при отклонении символом и при отклонении символом . В результате получим первую форму записи (1.17) Уравнение (1.17) удобнее записывать в символической форме с помощью алгебраизированного оператора дифференцирования Примем также, в dt уравнении (1.17) В этом случае уравнение принимает вид (1.18) Рассмотренные выше уравнения записаны в отклонениях. В дальнейшем будут рассматриваться эти же уравнения, но в их записях будут опущены символы . Случаи, когда в записи уравнений должны применяться не отклонения будут всегда указываться. С учетом этого замечания рассматриваемая форма записи уравнения принимает окончательный вид (1.19)
В уравнении коэффициенты и называют коэффициентами передачи, а коэффициенты и постоянными времени. В случае элементов, у которых переменные и имеют одинаковые размерности для коэффициентов и используются и другие названия: коэффициент усиления - для усилителей сигналов; передаточное число - для редукторов, делителей напряжения и др. Постоянные времени и имеют размерность времени. Размерности коэффициентов передачи связаны с размерностями переменных и могут быть определены из уравнения (1.19). Оператор дифференцирования имеет размерность . Вторая форма записи. В теории автоматического регулирования широко применяется понятие передаточной функции. Передаточной функцией системы автоматического регулирования называется отношение преобразований Лапласа выходного и входного сигналов.
(1.20)
где - некоторая комплексная величина, - оригиналы функций, - изображение оригиналов функций по Лапласу.
Если передаточная функция определяется при нулевых начальных условиях (это означает, что система до момента приложения воздействия находилась в состоянии покоя), то выражение для нее может быть получено без представления сигналов и в виде преобразований Лапласа. Рассмотрим такую возможность на примере уравнения (1.19). В операторной форме это уравнение будет иметь вид где (1.21) Записанные выражения называются операторами левой и правой частей дифференциального уравнения. В теории автоматического регулирования при нулевых начальных условиях передаточная функция является отношением операторов левой и правой частей дифференциального уравнения. Применительно к уравнению (1.21) передаточная функция запишется в виде:
(1.22)
Так как при нулевых начальных условиях справедливы равенства , ( - символ преобразования по Лапласу), то можно считать, что формулы (1.20) и (1.22) совпадают. Следовательно, выражение (1.20) является передаточной функцией для рассматриваемого элемента. Передаточные функции являются второй формой записи линеаризованных дифференциальных уравнений элементов САР.
Временные и частотные характеристики динамических звеньев.
Понятие о динамическом звене. В автоматике все элементы автоматических систем подразделяются на динамические звенья. Под динамическим звеном понимают устройство любого физического вида и конструктивного оформления, но описываемое одним дифференциальным уравнением. В соответствии с этим определением звенья разделяются по виду дифференциального уравнения на различные группы. Каждой группе могут соответствовать разнообразные устройства (механические, гидравлические, электрические и т.д.). На схемах динамические звенья представляются в виде прямоугольников с входными и выходными сигналами (координатами), рис. 1.21. Свойства звеньев проявляются через временные (динамические) и статические характеристики. Структурная схема любой автоматической системы может быть представлена через динамические звенья.
Рис. 1.21
Для разделения автоматических систем на звенья применяется свойство однонаправленности действия. Это свойство состоит в том, что группа элементов (или один элемент) обладающих этим свойством, находясь под воздействием предыдущих элементов, сами не оказывают на них обратного влияния.
Рассмотрим пример разбиения системы на звенья.
На рис. 1.22 представлена система регулирования частоты вращения двигателя постоянного тока. Принцип работы системы автоматического регулирования состоит в следующем. Частота вращения двигателя измеряется тахогенератором. Тахогенератор - это электрическая машина, которая вырабатывает напряжение, величина которого пропорциональна скорости вращения своего вала.
В системе напряжение подается на обмотку возбуждения электромашинного усилителя ЭМУ. На вход усилителя кроме сигнала подается еще и управляющее воздействие - сигнал , величина управляющего сигнала соответствует заданной частоте вращения двигателя. Обмотка возбуждения и обмотка управления намотаны так, что их сигналы вычитаются. Поэтому на вход усилителя поступает разность . Очевидно, что величина разности пропорциональна ошибке регулирования. Далее сигнал усиливается и подается на вход двигателя в виде напряжения . В результате изменяется частота вращения двигателя в направлении уменьшения ошибки регулирования.
Рис. 1.22
Пользуясь свойством однонаправленности действия, разобьем эту систему на звенья. Электрический двигатель находится под влиянием усилителя, сам же воздействия на усилитель не производит. Следовательно, усилитель и двигатель два различных звена. Тахогенератор находится под влиянием двигателя, сам же на двигатель воздействия не оказывает. Следовательно, опять два различных звена. Далее, тахогенератор оказывает воздействие на усилитель, обратного же воздействия со стороны усилителя нет. Следовательно, и здесь два звена. В итоге с учетом функциональных связей между звеньями получаем следующую структурную схему САР, рис. 1.23.
Рис. 1.23
Временные характеристики звеньев.
Временными характеристиками звена являются переходная характеристика (функция) и функция веса. С помощью этих характеристик определяются динамические свойства звеньев. Переходной характеристикой звена называется кривая переходного процесса на выходе звена, возникающего при подаче на его вход скачкообразного единичного воздействия .
Рис. 1.24
От формы переходной характеристики происходят названия некоторых типов звеньев. Для снятия переходной характеристики звено должно быть отключено от системы и на его вход подано единичное скачкообразное входное воздействие, рис. 1.24,а. К выходу звена подключается регистрирующая аппаратура. Регистрирующая аппаратура позволяет зафиксировать на экране или на бумаге реакцию звена на это воздействие, т.е. переходную функцию , рис. 1.24,б. Поясним физический смысл скачкообразного входного воздействия. Скачок входного сигнала по величине может соответствовать любым значениям. Важным здесь является то, что время нарастания сигнала от нуля до максимальной величины равно нулю. Это означает, что производная от входного сигнала . Точных эталонов таких сигналов практике нет. Их можно моделировать с некоторой условностью работой электрических, пневматических и др. выключателей, быстрыми изменениями нагрузки и т. д. За единицу скачкообразного воздействия обычно принимается 1 вольт, 1 паскаль, 1нм и т.д. Однако могут применяться и другие уровни сигналов: N вольт, N нм и т.д. В этих случаях переходная функция . В теоретических исследованиях скачкообразное воздействие (скачок) может моделироваться точно. Функция веса - реакция звена на единичную импульсную функцию, поданную на его вход.
Рис. 1.25
Единичная импульсная функция, или дельта - функция, представляет собой производную от единичной ступенчатой функции , рис. 1.25,а. Дельта функция равна нулю везде кроме точки t = 0, где она стремится к бесконечности. Основное свойство дельта - функции заключается в том, что т.е. она имеет единичную площадь. Функция веса при асимптотически стремится к нулю, рис. 1.25,б. Существует связь между переходной функцией и функцией веса \ 1 \ Функция веса также связана с передаточной функцией звена преобразованием Лапласа
Статические характеристики звеньев.
Статической характеристикой звена называется зависимость, определяющая изменения выходной координаты в зависимости от изменения входной координаты на установившемся режиме. Если имеется описание звена, например, в виде уравнения , то для получения статической характеристики необходимо это уравнение записать для установившегося режима. В результате выражение для статической характеристики получается следующим График статической характеристики изображен на рис. 1.26.
Рис. 1.26
Если описание звена отсутствует, то статическая характеристика звена может быть определена экспериментально. Для этого звено должно быть отключено от системы. Далее на вход системы необходимо последовательно подавать дискретные сигналы, а на выходе системы регистрирующей аппаратурой фиксировать значения выходных сигналов на установившихся режимах, соответствующих каждому дискретному входному сигналу.
Частотные характеристики звеньев.
Частотные характеристики определяют реакцию звена на входной гармонический сигнал на установившемся режиме. Для изучения этого явления рассмотрим динамическое звено рис. 1.21 в случае, когда на входе имеется гармоническое воздействие Рассмотрим динамическое звено с передаточной функцией (1.23) Запишем уравнение звена
(1.24) Зададим на входе звена гармоническое воздействие
(1.25) где амплитуда, а - угловая частота. Определим, каким будет сигнал на выходе звена на установившемся режиме? Для ответа на этот вопрос необходимо решить уравнение (1.24) с учетом воздействия (1.25). Рассмотрим это решение. Гармоническое воздействие (1.25) может быть разложено на две составляющие. Для этого необходимо воспользоваться известной формулой Эйлера \ \ (1.26) С учетом (1.26) воздействие (1.25) можно представить в виде (1.27) Если обозначить и то можем записать
(1.28) Известный принцип суперпозиции позволяет сложить решения от составляющих и и таким способом получить полное решения. Поэтому воспользуемся этим принципом и найдем в начале решение уравнения (1.24) при входном воздействии (1.29) Решение уравнения будем искать в виде (1.30)
В решении (1.30) неизвестной является выражение для . Найдем это выражение. Для этого подставим (1.29) и (1.30) в уравнение (1.24). Предварительно найдем значения производных : Теперь выполним указанную подстановку
Далее находим (1.31) Функция называется частотной передаточной функцией (ЧПФ) данного звена. Сравнивая выражения (1.23) и (1.31), можно установить, что выражение для ЧПФ звена может быть получено из выражения для передаточной функции звена при подстановке в нее вместо оператора произведения . Можно отметить, что сделанное замечание справедливо не только для получения ЧПФ звена, но и во всех других случаях. Из выражения (1.31) следует, что ЧПФ комплексное число,
(1.32) где - действительная часть комплексного числа (ЧПФ); - мнимая часть комплексного числа; - модуль частотной передаточной функции (комплексного числа); - аргумент частотной передаточной функции. Видно, что аргумент и модуль частотной передаточной функции являются функциями частоты. С учетом (1.32) решение (1.30) принимает вид (1 33) Далее необходимо выполнить второе решение от составляющей В этом случае решение уравнения (21) будем искать в виде (134) Дальнейший порядок получения решения не отличается от предыдущего, поэтому целесообразно сразу записать результат решения (1.35) Для получения полного решения, отмеченный ранее принцип суперпозиции позволяет сложить полученные два решения (1.33) и (1.35) Далее, если опять применить формулу Эйлера, то нетрудно получить окончательный результат решения
(1.36)
Сравнивая выражения, соответствующие входному (1.25) и выходному (1.36) сигналам можем отметить, что звено изменило входной сигнал. Действительно амплитуда выходного сигнала отличается от амплитуды входного сигнала множителем . Величина зависит от частоты входного сигнала . Кроме этого выходной сигнал в сравнении с входным сигналом смещен по фазе на угол . Величина этого угла также как и величина зависит от частоты входного сигнала. Зависимость - амплитуды вынужденных колебаний выходного сигнала от частоты колебаний входного сигнала называется амплитудной частотной характеристикой (АЧХ) звена. Амплитудная частотная характеристика показывает, как пропускает звено сигнал различной частоты. Оценка делается по отношению амплитуд выходного и входного сигналов. Зависимость - смещения по фазе вынужденных колебаний выходного сигнала от частоты входного сигнала со называется фазовой частотной характеристикой (ФЧХ) звена. Фазовая частотная характеристика показывает фазовые сдвиги, вносимые звеном на различных частотах. Выше указывалось, что частотная передаточная функция является комплексным числом (1.31). Следовательно, можем записать (1.37) Модуль этого комплексного числа может быть найден как отношение модулей числителя и знаменателя ЧПФ
(1.38)
а аргумент - как разность обратных тригонометрических функций (1.39) Для рассматриваемой частотной передаточной функции (1.31): выражение для АЧХ имеет вид выражение для ФЧХ имеет вид
Амплитудно - фазовая частотная характеристика (АФЧХ) устанавливает математическую связь между двумя уже рассмотренными характеристиками АЧХ и ФЧХ. Характеристика строится на комплексной плоскости и представляет собой геометрическое место концов векторов (годограф), соответствующий частотной передаточной функции при изменении частоты от .
Рис. 1.27
По оси абсцисс откладывается вещественная часть и по оси ординат - мнимая часть . Для каждой частоты на комплексной плоскости наносится точка, рис. 1.27. Полученные точки соединяются плавной линией. Около нанесенных точек можно написать соответствующие им частоты Построение АФЧХ можно выполнить и другим способом, используя для этого полярные координаты - модуль и смещение по фазе . Зная модуль и смещение по фазе (или просто фазу) легко построить точку на комплексной плоскости. Данные о модуле и фазе для различных частот из диапазона можно получать расчетом, используя для этого формулы (1.38) и (1.39) или использовать ранее построенные графики частотных характеристик и .
Типовые динамические звенья.
Линейные динамические звенья условно делят по виду их дифференциальных уравнений на следующие основные группы:
- Апериодическое звено первого порядка;
- Колебательное звено;
- Дифференцирующие и интегрирующие звенья;
- Трансцендентные звенья.
Для изучения свойств звеньев, в последующем материале установим следующий порядок рассмотрения их характеристик: переходная характеристика, анализ; частотные характеристики, анализ.
Апериодическое звено 1 порядка. К этому типу звеньев относятся устройства, описываемые уравнением (1.40)
Передаточная функция звена Переходная характеристика звена получается, в результате решения уравнения (1.41) Решение состоит из суммы частного и общего решений. Общее решение получается из решения однородного уравнения Это решение имеет вид , где - корень уравнения . Частное решение в соответствии с уравнением (1.41) имеет вид . После сложения найденных решений получается полное решение . На рис. 1.28 изображено скачкообразное входное воздействие (рис. 1.28,а) и переходная функция (рис. 1.28,б). Видно, что при изменении входной координаты (сигнала) на единицу выходная координата на новом установившемся режиме будет отличаться от исходного значения на величину коэффициента передачи звена . Изменения выходной координаты отстают от изменений входной координаты. При этом не изменяется скачком, а плавно приближается к новому установившемуся положению по экспоненте (на рисунке экспонента выполнена с погрешностью). При этом, чем больше постоянная времени , тем медленнее координата приближается к установившемуся значению.
Рис. 1.28
Постоянная времени Т характеризует инерционное запаздывание апериодического звена. Практически принимается, что для апериодического звена время переходного процесса . Величина постоянной времени определяется с помощью касательной, проведенной к экспоненте в точке «А».
Частотные характеристики звена могут быть получены из выражения для частотной передаточной функции В соответствии с (35) и (36) можно записать выражения для АЧХ и ФЧХ:
Рис. 1.29
На рис. 1.29 изображены графики характеристик и . Из графиков видно, что на малых частотах входной сигнал звеном пропускается с амплитудным усилением. Коэффициент усиления равен . Колебания на больших частотах происходят с большим ослаблением. Диапазон частот соответствует уменьшению усиления амплитуды до величины и называется полосой пропускания частот данного звена. Физически уменьшение амплитуды с ростом частоты обусловлено инерционностью звена. С увеличением частоты увеличивается отставание колебаний выходного сигнала звена от колебаний входного сигнала. На частоте это отставание равно , а на больших частотах увеличивается до значения . Отставание выходных колебаний называется смещением по фазе и оно также обусловлено инерционностью звена. На рис. 1.29,с изображена амплитудно - фазовая частотная характеристика звена. Форма АФЧХ - полуокружность. При построении АФЧХ частота колебаний изменялась в интервале . Для каждой частоты из указанного интервала определялись значения и . Полученные данные наносились на график. Используя координаты точек графика АФЧХ, можно рассчитать соответствующие им значения и . Например, для точки легко определяются и , а также и частота, соответствующая этой точки.
Колебательное звено. К этому типу звеньев относятся устройства, описываемые уравнением (1.42) Передаточная функция звена (1.42) Уравнение (1.42) удобно представить в виде (1.43) где - параметр затухания колебаний, Переходная характеристика звена получается в результате решения уравнения Решение этого уравнения также как и уравнения апериодического звена состоит из частного и общего решений
(1.44) Частное решение , общее решение имеет вид , (1.45) где и вещественная и мнимая составляющие комплексных корней характеристического уравнения Выражения для корней данного уравнения имеют вид (1.46) Так как , то выражение под корнем является мнимым. Следовательно корни комплексные, т.е. , где Не выполняя дальнейших преобразований, запишем выражения для амплитуды А и фазы В: Далее уже можно получить вид зависимости для переходной характеристики (функции). Для этого используются формулы (1.44),( 1.45) и выражения для характеристик , А и В (1.47) Видно, что переходная функция представляет собой затухающий колебательный процесс, рис 1.30. Колебательность и скорость затухания процесса зависит от величины параметра затухания. На установившемся режиме ( при ) .
Рис. 1.30
На рисунке пунктирной линией показана кривая, огибающая с одной стороны переходную характеристику. Эта кривая соответствует апериодическому процессу \ 1 \ с постоянной времени Период колебаний переходной функции . Если применить формулу для расчета частоты , то формула для расчета периода колебаний принимает вид Из приведенных формул следует, что с уменьшением параметра частота колебаний увеличивается, а период колебаний уменьшается. Время переходного процесса . Если принять , то окажется, что и . В этом варианте колебательное звено превращается в консервативное. Уравнение консервативного звена имеет вид
Выражение для переходной функции получается из формулы (1.47) Видно, что переходной функции соответствуют незатухающие колебания с постоянной амплитудой. Частота колебании . Если принять , то колебательное звено становится апериодическим второго порядка. Очевидно, что уравнение звена по внешнему виду совпадает с уравнениями для колебательного звена (1.42) и (1.43). Однако, при характеристическое уравнение звена имеет два вещественных корня (1.46). Поэтому передаточную функцию апериодического звена второго порядка оказывается возможным представить в виде двух последовательно соединенных передаточных функций, рис. 1.31.
Рис. 1.31
Коэффициенты Выражение для переходной функции имеет вид
(1.48)
Рис. 1.32
На рис. 1.32 показан типовой вид переходной функции, соответствующий выражению (1.48). Видно, что колебания отсутствуют. Форма кривой переходного процесса в завершающей части похожа на форму переходной функции для апериодического звена первого порядка. Однако в начальной части форма кривой существенно отличается. В этой части кривая имеет точку перегиба, разделяющую части кривых, имеющих выпуклость и вогнутость.
Частотные характеристики колебательного звена также получаются из выражения частотной передаточной функции
В соответствии с (1.38) и (1.39) выражения для АЧХ и ФЧХ имеют вид:
Рис. 1.33
На рис. 1.33,а представлены графики АЧХ, построенные для различных значений параметра затухания . В случае, когда выражение для АЧХ принимает вид При резонансной частоте функция имеет разрыв, в котором . Если , функция становится непрерывной. Причем, при функция на резонансной частоте имеет максимум, а при этот максимум отсутствует. Наличие максимума свидетельствует об усилении амплитуды в районе резонансных частот. На частотах происходит ослабление амплитуды. На рис. 1.33,6 представлены графики . Видно, что с увеличением частоты отставание изменения выходного сигнала от изменений входного сигнала увеличивается. При это отставание . Формы кривых при и при отличаются друг от друга, однако эти отличия не принципиальные. На рис.1.34,а изображен график АФЧХ колебательного звена. Примером колебательного звена может служить уравнение демпфера с пружиной, рис. 1.34
Рис. 1.34
На рисунке представлена схема устройства. Схема содержит гидравлический цилиндр с поршнем. В поршне выполнено профилирующее отверстие для создания эффекта скоростного демпфирования, при движении поршня в цилиндре с вязкой жидкостью. Движение поршня вызывается действием силы в направлении оси . При составлении уравнения за выходную величину (рис. 1.34,а) примем перемещение точки А. Входной величиной является сила F. Пользуясь схемой можно составить уравнение равновесия сил, действующих в системе: где: сила скоростного трения ( - коэффициент скоростного трения), возникающая в результате перетекания вязкой жидкости через калиброванное отверстие при перемещении поршня под действием силы F; сила упругости пружины (с - коэффициент жесткости пружины); инерционная сила (т - масса подвижных частей, приведенных к точке А). После несложных преобразований можем записать где Далее несложно получить выражение для параметра затухания (1.49)
Из выражения (46) следует, что величина параметра затухания при заданной массе подвижных частей зависит от соотношения коэффициентов жесткости и скоростного трения. Если в рассматриваемом устройстве коэффициент скоростного трения , то будут иметь место незатухающие колебания, так как при этом параметр затухания . Однако в механизмах скоростное трение всегда присутствует и поэтому на практике консервативные звенья не встречаются.
Дифференцирующее звено.
К этому типу звеньев относятся устройства описываемые уравнением
Передаточная функция имеет вид Переходная характеристика получается в результате решения уравнения Данное решение имеет вид: . График изменения переходной функции представлен на рис. 1.35. Видно, что с течением времени кривая , убывая по экспоненте стремится к нулю. При переходная функция .
Рис. 1.35
Частотные характеристики звена получаются из выражения частотной передаточной функции В соответствии с (1.38) и (1.39) выражения для АЧХ и ФЧХ получаются следующими: Графики характеристик представлены на рис. 1.36.
Рис. 1.36
На рис. 1.36,а изображены амплитудно-частотные характеристики для идеального звена (Т = 0) и для инерционного (Т > 0). Видно, что идеальное звено усиливает амплитуду входного гармонического сигнала пропорционально увеличению частоты. Инерционное звено также усиливает амплитуду входного сигнала, но только до значения . Фазовая частотная характеристика изображена на рис. 1.36,б. Видно, что выходной сигнал всегда опережает сигнал на входе. Однако, с увеличением частоты это опережение у инерционного звена непрерывно уменьшается. Идеальное же звено имеет постоянный угол опережения равный .
Можно заметить, что для инерционного звена есть участок относительно малых частот, где характеристики звена практически совпадают с характеристиками идеального звена. В связи с этим при относительно медленно меняющихся сигналах инерционное дифференцирующее звено можно рассматривать как идеальное. Такая замена упрощает исследование.
Представителем дифференцирующего звена является тахогенератор (маломощный генератор) постоянного тока с возбуждением от постоянных магнитов, рис. 1.27.
Рис. 1.27
Применяется в системах регулирования в качестве корректирующего устройства. Для получения уравнения тахогенератора необходимо записать уравнение баланса напряжений в цепи якоря (1.50) В соответствие с уравнением (1.50), электродвижущая сила , вырабатываемая генератором, расходуется на падение напряжений на активном и индуктивном сопротивлениях цепи якоря генератора. Напряжение на зажимах генератора . Дифференцируя левую и правую части этого уравнения , можно записать (1.51) С учетом (1.51) уравнение (1.50) можно записать в виде где с - постоянный коэффициент, зависит от конструкции ротора; Ф - плотность магнитного потока возбуждения; п - угловая скорость вращения ротора. Вводя, оператор дифференцирования получим (1.52)
где
Так как угол поворота ротора и его угловая скорость связаны соотношением то уравнение (49) можно записать окончательном виде (1.53) Уравнение (1.53) применяется в случае, когда тахогенератор используется в САР в качестве корректирующего элемента. В этом случае тахогенератор является дифференцирующим звеном. Уравнение (1.52) относится к апериодическому звену и применяется, когда тахогенератор используется в качестве датчика скорости вращения ротора.
Интегрирующее звено.
К этому типу звеньев относятся устройства описываемые уравнением Передаточная функция имеет вид Переходная характеристика звена получается в результате решения уравнения Не приводя последовательности решения, сразу запишем результат
Рис. 1.28
График переходной функции представлен на рис. 1.28,а. Видно, что после завершения переходного процесса координата изменяется с постоянной скоростью, несмотря на то, что на вход звена подан постоянный сигнал . Время переходного процесса зависит от величины постоянной времени Т. Если постоянная времени равна нулю, то переходный процесс в переходной функции отсутствует и соответствует идеальному звену. Видно, что изменения координаты инерционного звена отстают от изменений координаты идеального звена. В переходном процессе отставание изменяется от 0 до кТ. Частотные характеристики звена получаются из выражения для частотной передаточной функции (1.54) В соответствии с (1.38) формула для расчета АЧХ получается следующей (1.55) Для получения выражения ФЧХ преобразуем формулу (1.54). Умножим числитель и знаменатель на . В результате получим Далее применяя формулу (1.39) получаем выражение ФЧХ (1.56) Графики АЧХ представлены на рис. 1.28,б. На рисунке изображены два графика. Один из них соответствует идеальному звену (Т = 0), другой -инерционному (Т > 0). Видно, что графики похожи друг на друга. Отличие состоит лишь в том, что график, соответствующая инерционному звену располагается левее графика, соответствующего идеальному звену. Фазовая частотная характеристика изображена на рис. 1.28,в. Видно, что в инерционном звене сдвиг по фазе превышает угол . Причем это превышение увеличивается с ростом частоты. Из графика ФЧХ также видно, что при малых частотах характеристика инерционного звена приближается к характеристике идеального звена. Это означает, что при уменьшении частоты управляющего сигнала влияние постоянной времени Т может быть уменьшено. На рис. 1.28,в изображен график АФЧХ. Для построения характеристики применены формулы для расчета мнимой и вещественной частей ЧПФ:
Видно, что при вещественная часть , а , а сдвиг по фазе Представителями интегрирующих звеньев является большинство типов двигателей, применяющихся в автоматике. Получим передаточную функцию двигателя постоянного тока независимого возбуждения.
Рис. 1.29
На рис. 1.29 изображена схема якорной цепи двигателя. Определяя передаточную функцию двигателя, запишем дифференциальные уравнения, описывающие поведение двигателя в переходных процессах. Напряжение, приложенное к якорю двигателя, уравновешивается падением напряжения на активном и индуктивном сопротивлениях якорной цепи и обратной электродвижущей силой (э.д.с.), возникающей при вращении якоря: (1.57) где U - напряжение, приложенное к цепи якоря двигателя; - ток в цепи якоря; — - напряжение обратной э.д.с.; - индуктивность цепи якоря; - конструктивный коэффициент ; - активное сопротивление цепи якоря. Дифференциальное уравнение движения якоря двигателя имеет вид
(1.58) где - вращающий момент двигателя; - коэффициент крутящего момента двигателя, ; - момент инерции нагрузки; - статический момент нагрузки. Передаточная функция двигателя получается в результате совместного решения уравнений (1.57) и (1.58). Если при решении уравнений принять и перейти к операторной форме записи , то выражение dt передаточной функции получается следующим (1.59) где коэффициент передачи двигателя;
- электромеханическая постоянная времени; - электромагнитная постоянная времени. Величина электромеханической постоянной для двигателей постоянного тока с независимым возбуждением находится в пределах 0.04 - 0.2 с. Величина электромагнитной постоянной в несколько раз меньше электромеханической постоянной времени. В случаях, когда выражение (1.59) можно применять в виде (1.60) Выражение (1.59), как и выражение (1.60) является описанием интегрирующего звена. Отличие лишь в том, что в первом случае - интегрирующее звено второго порядка, а во втором случае - с интегрирующее звено первого порядка. Если за выходную величину принять не угол поворота вала двигателя , а угловую скорость , то вместо выражений передаточных функций для интегрирующих звеньев (1.59) и (1.60) получатся выражения передаточных функций для апериодических звеньев первого и второго порядков:
Звено «чистого» запаздывания.
Уравнение для этого звена имеет вид
(1.61)
где - сигнал на входе звена, - сигнал на выходе звена, - величина «чистого» запаздывания, рис. 1.30. Рисунок отражает принцип работы звена. Видно, что после подачи сигнала на вход звена, сигнал на его выходе возникает только в момент времени .
Рис. 1.30
Правую часть уравнения (1.61) можно разложить в ряд Тейлора: Далее можно получить выражение для передаточной функции звена: (1.62)
Выражение для переходной функции получается из (1.61), если на вход звена подать сигнал : Графически переходная функция показана на рис.1.30,а. Для определения частотных характеристик необходимо в выражении (1.62) выполнить замену на произведение . После замены получим . Далее можно записать выражения для мнимой и вещественной частей частотной передаточной функции: (1.63) Из выражений (1.63) нетрудно найти амплитудную и фазовую частотные характеристики:
Рис. 1.31
На рис.31. изображены амплитудная фазовая и амплитудно-фазовая частотные характеристики звена «чистого» запаздывания. Примеры звеньев «чистого» запаздывания: 1. Электрическая линия без потерь, имеющая сопротивление при индуктивности и емкости на единицу длинны, рис. 1.32,а. 2. Транспортер сыпучих материалов, рис. 1.32,б.
Рис. 1.32
Логарифмические частотные характеристики.
Существует два вида характеристик: логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАХ) и логарифмическая фазовая частотная характеристика(ЛФХ). Для построения ЛАХ находится выражение
Значения для выражаются в децибелах. Бел представляет собой логарифмическую единицу, соответствующую десятикратному увеличению мощности. Два бела соответствует увеличению мощности в 100 раз, три бела - в 1 000 раз и т. д. Децибел равен одной десятой части бела. Для построения ЛАХ используется система координат, рис. 1.32 . По оси абсцисс откладывается угловая частота (размерность ) в логарифмическом масштабе. Для этой цели может использоваться специальная логарифмическая бумага или логарифмическая шкала.
Логарифмическая шкала неравномерная. Строится так: на осях прямоугольной системы координат откладываются десятичные логарифмы чисел и . Через точки деления, имеющие числовые пометки и проводятся прямые параллельные осям и .
По оси ординат откладывается в децибелах . Ось абсцисс должна проходить через точку 0 дб., что соответствует значению . Иногда по оси абсцисс откладывается не сама частота (рис. 1.33,а), а ее десятичный логарифм, (рис. 1.33,б ). Единицей приращения частоты при построении ЛАХ является одна декада. В результате, значение для каждой последующей точки на оси абсцисс (рис. 1.33,а) численно равно значению предыдущей точки, умноженному на 10, а на оси абсцисс (рис. 1.33,6) - значению предыдущей точки, увеличенному на единицу. Ось ординат может пересекать ось абсцисс в произвольном месте. На рис. 1.32 ось ординат пересекает ось абсцисс в точке . Необходимо помнить, что точка расположена на оси частот слева в бесконечности, так как .
Главным достоинством логарифмических амплитудных частотных характеристик является возможность их построения во многих случаях без объемной вычислительной работы. Это относится в основном к случаям, когда частотная передаточная функция может быть представлена в виде произведения сомножителей
Рис. 1.32
Рис. 1.33
Рассмотрим примеры построения простейших ЛАХ. 1. Пусть тогда и логарифмическая характеристика представляет собой прямую параллельную оси абсцисс (см. прямая 1 на рис. 1.32.) 2. Рассмотрим случай, когда тогда Нетрудно видеть, что - прямая линия. Если , то . Если , то . Далее нетрудно построить прямую 2 (рис. 1.32) с координатами и . Видно, что с увеличением частоты на одну декаду (дк) уменьшается на 20 , т.е. асимптота имеет отрицательный наклон равный 20дб/дк. Этот факт на графике отмечен цифрой «-20». Отметим, что частота, при которой (при этом ) называется частотой среза и обозначается .
3. Далее рассмотрим случай, когда С опорой на предыдущий случай можем записать Видно, что в данном случае ЛАХ представляет собой прямую линию с отрицательным наклоном равным ( прямая 3 на рис. 1.32 ).
4. Теперь пусть . Тогда Опять, если то . Нетрудно увидеть, что - это прямая линия, проходящая через точку с координатами и , и имеющая положительный наклон, равный , рис. 1.32.
Аналогичным образом можно показать, что в случае, когда ЛАХ представляет собой прямую линию с положительным наклоном 20 n. Эта прямая также строится по одной точке, имеющей координаты и . Рассмотрим логарифмические амплитудные частотные характеристики некоторых динамических звеньев:
Апериодическое звено 1 порядка.
Выражение для амплитудно-частотной характеристики имеет вид (1.64) При построении ЛАХ используется следующий прием. Рассматриваются выражения для АЧХ при частотах и . Если , то , если , то . Частота называется сопрягающей и обозначается . В первом случае , во втором случае .
Рис. 1.34
На рис. 1.34 представлены два варианта ЛАХ для рассматриваемого звена. Цифрой 1 обозначен вариант, соответствующий данным . Цифрой 2 - вариант, соответствующий данным Видно, что постоянная времени Т не оказывает влияния на наклон ЛАХ. Изменяется лишь значение для сопрягающей частоты. При , при . Выполненное построение ЛАХ является приближенным. График ЛАХ составляется из прямых отрезков, называемых асимптотами. Приближенными являются соединения асимптот в окрестности сопрягающих частот. Например, в точке (рассматривается вариант, когда ). При точном построении точка d располагается ниже на . Это замечание следует из следующего.
Вычислим значение в точке d. Для этого используем значение частоты и формулу (1.64). В результате можем записать: Ошибка в этой точке составляет . На всем остальном протяжении влево и вправо от сопрягающей частоты точная ЛАХ будет отличаться от приближенной (асимптотической) менее чем на Поэтому в расчетах практически всегда применяются асимптотические ЛАХ.
Апериодическое звено 2 порядка.
Выражение для амплитудно-частотной характеристики имеет вид (1.65) Примем, что и и найдем сопрягающие частоты и Расчет показывает, что . Далее рассматриваются три случая
Рис. 1.35
1. Если (рис. 1.35 ), то принимается, что в выражении (1.65) и В этом случае формула (1.65) приобретает следующий упрощенный вид . Следовательно, на участке изменения частоты ЛАХ может быть построена по выражению . ЛАХ на этом участке представляет собой прямую параллельную оси абсцисс , рис. 1.35;
2. Если , то принимается, что . В этом случае формула ( 1.65) может быть представлена уже в другом упрощенном виде Выражение для построения ЛАХ получается следующим Этому выражению соответствует асимптота с отрицательным наклоном 20дб/дек.;
3. Если то принимается, что . В этом случае формула (1.65) может быть представлена также в упрощенном виде . Выражение для построения ЛАХ получается следующим . Этому выражению соответствует асимптота с отрицательным углом наклона 40дб/дек.
Интегрирующее звено.
Выражение для амплитудно-частотной характеристики имеет вид (1.66) Как и ранее построение ЛАХ необходимо начинать с определения сопрягающих частот. Из выражения (1.66) видно, что сопрягающая частота здесь одна Далее определяются упрощенные выражения для построения ЛАХ. Если , то принимается, что Если , то и Для частот для частот
Рис. 1.35
На рис. 1.35 изображена ЛАХ для интегрирующего звена. Видно, что характеристика содержит две асимптоты с отрицательными углами наклона 20дб/дек и 40дб/дек. Для построения первой асимптоты (на интервале частот ) необходимо задать и вычислить . Далее через точку с координатами до сопрягающей частоты проводится асимптота с наклоном -20дб/дек. Вторая асимптота (на интервале частота проводится с отрицательным углом наклона 40дб/дек .
Дифференцирующее звено.
Выражение для амплитудно-частотной характеристики имеет вид (1.67) Сопрягающая частота Если , то принимается, и Если , то На рис. 1.36 изображена ЛАХ для дифференцирующего звена.
Рис. 1.36
Для построения первой асимптоты (на интервале частот ) вычисляют значение при . Далее через эту точку проводится асимптота с положительным углом наклона равным 20дб/дек. Вторая асимптота (на интервале частота ) проходит параллельно оси частот.
Построение ЛАХ для сложных передаточных функций.
Из предыдущего материала следует, что при построении ЛАХ для различных передаточных функций выполняются одни и те же операции. Опыт построения ЛАХ для сложных передаточных функций позволяет сделать такой же вывод. Поэтому оказалось возможным составить общий порядок построения ЛАХ для передаточных функций вида (1.68) 1. Определение сопрягающих частот 2. Нанесение низкочастотной асимптоты ЛАХ (1.69) Это уравнение прямой с отрицательным углом наклоном , где порядок астатизма в системе определяется числом интегрирующих звеньев в регуляторе. Продолжительность прямой - до первой сопрягающей частоты
Прямая при частоте должна иметь ординату , где коэффициент передачи. После каждой из сопрягающих частот изменяется наклон характеристики по сравнению с наклоном, который она имела до рассматриваемой сопрягающей частоты. Наклон изменяется на - 20 дб/дек в случае апериодического звена, на - 40 дб/дек - в случае колебательного звена, +20 дб/дек - в случае дифференцирующего звена 1 порядка, +40 дб/дек в случае дифференцирующего звена второго порядка. Пример. Передаточная функция системы имеет вид (1.70) где Требуется построить ЛАХ.
Рис. 1.37
В соответствии с приведенным выше порядком построение ЛАХ необходимо начинать с определения сопрягающих частот. Данные сопрягающих частот наносятся на график , рис. 1.37. Далее на график наносится низкочастотная асимптота . Передаточная функция (1.70) относится к системе с астатизмом нулевого порядка. Это означает, что в уравнении (1.69) множитель поэтому низкочастотная асимптота представляет собой прямую параллельную оси частот. Асимптота заканчивается в точке Сопрягающая частота принадлежит апериодическому звену. Следовательно, следующая асимптота будет иметь отрицательный угол наклона равный -20 дб/дек. Асимптота заканчивается в точке Сопрягающая частота также принадлежит апериодическому звену. Поэтому следующая асимптота будет иметь отрицательный угол наклона равный уже -40 дб/дек. Этот угол является результатом суммирования углов наклона предыдущей и рассматриваемой асимптот. Асимптота заканчивается в точке . Сопрягающая частота тоже принадлежит апериодическому звену. Поэтому следующая асимптота будет иметь угол наклона - 60 дб/дек. Асимптота заканчивается в точке Сопрягающая частота принадлежит дифференцирующему звену, поэтому угол наклона очередной и последней асимптоты увеличится на 20 дб/дек и составит - 40 дб/дек.
Для построения логарифмической фазовой частотной характеристики (ЛФХ) используется та же ось частот, что и для построения ЛАХ. По оси ординат откладывается смещение по фазе в градусах. Однако, принято точку «0» дб. совместить с точкой, где смещение по фазе равно - 180°. При этом отрицательный сдвиг по фазе откладывается по оси ординат вверх, а положительный вниз, рис. 1.38.
Рис. 1.38
Рассмотрим пример. Пусть требуется построить ЛФХ для системы с передаточной функцией (1.70). Выражение для фазовой частотной характеристики имеет вид (1.71) В таблице 1 представлены результаты расчета слагаемых выражения (1.71) и характеристики в целом на некоторых частотах. Данные таблицы перенесены на график (рис. 1.38). Обычно логарифмические амплитудную и фазовую характеристики изображают на одном графике, так как по их взаимному расположению можно определять устойчивость системы. Подробнее эта возможность будет рассмотрена в материале об устойчивости САР.
Уравнения систем автоматического регулирования.
При изучении динамических свойств систем автоматического регулирования обычно используются два уравнения: уравнение движения и уравнение ошибки. Первое уравнение описывает движение регулируемой величины , а второе - ошибки регулирования в переходных режимах. Для получения уравнений рассмотрим два способа. Первый способ предполагает использование передаточных функции системы, второй способ основан на преобразовании структурных схем.
Передаточные функции системы.
Рассмотрим рис. 1.39, на котором изображена система автоматического регулирования
Рис. 1.39
Обозначим передаточную функцию регулятора , передаточную функцию объекта управления . Предположим, что обратная связь в системе разомкнута. Для этого случая можем записать: и . Далее можно передаточную функцию разомкнутой системы
(1.72)
где
(1.73)
Теперь замкнем систему и запишем уравнение замыкания (или уравнение сравнивающего устройства) (1.74) Решая совместно уравнения (1.73) и (1.74) получим передаточную функцию замкнутой системы: (1.75) Если уравнение (1.74) записать относительно регулируемой величины тогда совместное решение этого уравнения и уравнения (1.73) позволяет получить передаточную функцию системы по ошибке (1.76) Теперь можно получить уравнения системы. Для упрощения задачи зададимся передаточными функциями регулятора и объекта управления: (1.77) Передаточную функцию разомкнутой системы получим с помощью уравнений (1.73) и (1.77): Можно также записать (1.78) где (1.79)
Получение уравнений системы с помощью передаточной функции системы.
Для получения уравнения движения подставим в выражение (1.75) отношение полиномов (1.78). В результате получим или (1.80) Далее необходимо в уравнении (1.80) вместо обозначений полиномов записать их содержание (1.79). В результате получится уравнение движения (1.81) Для получения уравнения ошибки в выражении (1.76) также используем отношения полиномов (1.78). В результате получим или (1.82)
Подставив вместо полиномов их выражения, получим уравнение ошибки
(1.83)
Сравнивая уравнения движения и ошибки, замечаем, что они имеют одинаковые левые и разные правые части уравнений.
Уравнение называется характеристическим. Это уравнение отражает собственные свойства системы. Полином называется характеристическим. Приравнивание нулю характеристического полинома дает характеристическое уравнение системы: (1.84)
Полученные уравнения движения и ошибки составлены для некоторого частного случая. В этих уравнениях характеристический полином имеет старшую производную третьего порядка. Поэтому эти уравнения условно называют уравнениями третьей степени. В работоспособных системах старшая производная правой части уравнений не должна быть больше старшей производной характеристического уравнения.
В теории управления для обозначения коэффициентов уравнений обычно применяются прописные буквы a, b, с, d и др. Уравнение движения (1.81) в этом случае запишется так (1.85) В общем случае уравнение движения имеет вид (1.86) Иногда в уравнениях системы применяют один символ для обозначения степени старшей производной в левой и правой части уравнения. Так было принято при написании уравнения (1.85). В левой части этого уравнения старшая производная соответствует . В правой части уравнения также принят символ для обозначения старшей производной. Однако старшая производная в правой части равна единице и поэтому в составе правой части отсутствуют коэффициенты .