Контрольная работа по теме производная функции

Если у вас нету времени на контрошу по производной функции вы всегда можете попросить меня, вам нужно написать мне, и я вам помогу онлайн или в срок 1-3 дня всё зависит что там у вас за работа, вдруг она огромная!

Чуть ниже размещён теоретический и практический материал, который вам поможет сделать работу если у вас много свободного времени и желания!

 

Введение в производные функций

Производные высших порядков

Пусть функция Контрольная работа по теме производная функции определена на интервале (a,b) и для Контрольная работа по теме производная функции функция Контрольная работа по теме производная функции , тогда на интервале (a,b) существует производная Контрольная работа по теме производная функции.

Определение 1. Если функция f(x) имеет производную в точке Контрольная работа по теме производная функции называется второй производной в точке x0 , если существует эта производная.

Обозначение: Контрольная работа по теме производная функции

Определение 2. Производная n-го порядка функции Контрольная работа по теме производная функции в точке Контрольная работа по теме производная функции называется производная от производной Контрольная работа по теме производная функции порядка.

Обозначение: Контрольная работа по теме производная функции

Условимся, что Контрольная работа по теме производная функции

 

По этой ссылке вы сможете узнать как я помогаю с контрольными работами:

Помощь с контрольными работами

 

Определение 2’ Пусть ф-я Контрольная работа по теме производная функции . Полагаем для тех Контрольная работа по теме производная функции, для которых ф-я f (x) диф-ма; и, вообще Контрольная работа по теме производная функции(если функция Контрольная работа по теме производная функции определена в некоторой окрестности полагаем Контрольная работа по теме производная функцииточекКонтрольная работа по теме производная функции в некоторых функцияКонтрольная работа по теме производная функциидифференцируема.

Замечание 1. Для того чтобы n-я производная Контрольная работа по теме производная функции

производная Контрольная работа по теме производная функции должна Контрольная работа по теме производная функции в некоторой окрестности U(x0) точки 0Контрольная работа по теме производная функции и должна быть диф-мой в (.) x0. При этом функция Контрольная работа по теме производная функциидxолжна быть дифмой в окр-ти U(x0) (где Контрольная работа по теме производная функции производная Контрольная работа по теме производная функции

Замечание 2. Совокупность всех внутренних (…) множества E называется внутренностью E и обозначается Контрольная работа по теме производная функции

Пример:

Контрольная работа по теме производная функции

Определение 3. Функция y = f (x) называется "n"-раз непрерывно дифференцируемой на интервале (a,b), если существует непрерывная на интервале (a,b) функция Контрольная работа по теме производная функции.

Обозначение: Контрольная работа по теме производная функции

Справедливо следующее утверждение: если функция

Контрольная работа по теме производная функции

Замечание. Если ф-я ff (x) диф-ма «n» раз В некотором промежутке Контрольная работа по теме производная функциито это значит, что Контрольная работа по теме производная функции конечная производная Контрольная работа по теме производная функции в каждой (.) данного промежутка. Тогда производная Контрольная работа по теме производная функции дxиф-ма, а следовательно, и непрерывна в промежутке (a,b) Итак из Контрольная работа по теме производная функцииконечной "n"-й производной Контрольная работа по теме производная функции в каждой (.) пром-каКонтрольная работа по теме производная функции диф-ть (и стало быть непрерывность) во всем промежутке любой производной более низкого порядка, чем "n",и сама функция. Пусть f(x) определена на Контрольная работа по теме производная функции. Скажем, что f(x) n -раз непрерывно диф-ма на (a,b). (Запись: Контрольная работа по теме производная функции

 

По этой ссылке вы сможете научиться оформлять контрольную работу:

Теоретическая контрольная работа примеры оформления

 

Теорема 1 (правило вычисления производных n-го порядка): пустьКонтрольная работа по теме производная функции непрерывны на Контрольная работа по теме производная функции . Тогда справедливы следующие правила (утверждения):

Контрольная работа по теме производная функции

Эта формула позволяет вычислять n-ую производную произведения двух функций. Она называется формулой Лейбница. Следует иметь ввиду, что Контрольная работа по теме производная функции

Тогда по определению Контрольная работа по теме производная функции

Контрольная работа по теме производная функции

Доказательство: (математическая индукция)

База: Контрольная работа по теме производная функции

Индукция: пусть формула справедлива для n. Тогда докажем, что она справедлива для (n +1) .

Контрольная работа по теме производная функции

 

По этой ссылке вы сможете заказать контрольную работу:

Заказать контрольную работу

 

Примеры:

Контрольная работа по теме производная функции

Частный случай: если Контрольная работа по теме производная функции

Контрольная работа по теме производная функции

Контрольная работа по теме производная функции

Частный случай:

Контрольная работа по теме производная функции

Контрольная работа по теме производная функции

Закономерность, по которой составлена каждая з этих производных:

  1. все производные содержат множителем число (-1) степени, которая на единицу меньше порядка производной.
  2. Числитель дроби есть произведение натуральных чисел, начиная с единицы и кончая числом на единицу меньшем порядка производной.
  3. 1 x в степени равной порядку производной. Считаем, что эта закономерность сохраняется для производной любого порядка, получаем: Контрольная работа по теме производная функции

Контрольная работа по теме производная функции

Контрольная работа по теме производная функции

Контрольная работа по теме производная функции

Контрольная работа по теме производная функции

Выпишем следующие формулы:

Контрольная работа по теме производная функции

Контрольная работа по теме производная функции

 

Производная высших порядков от сложных функций

Теорема: Если функция Контрольная работа по теме производная функции при соблюдении условий теоремы о производной сложной функции имеют конечные производные второго порядка, то сложная функция Контрольная работа по теме производная функции также имеет производную второго порядка и эта производная имеет вид:

Контрольная работа по теме производная функции

Доказательство: имеем Контрольная работа по теме производная функции

Рассмотрим первый множитель Контрольная работа по теме производная функции

Контрольная работа по теме производная функции Поэтому Контрольная работа по теме производная функции по теореме о сложной функции. Тогда, по теореме о сложной функции, Контрольная работа по теме производная функции

Рассмотрим второй множитель Контрольная работа по теме производная функции

По предположению Контрольная работа по теме производная функции , тогда мы можем получить, что

Замечание: предполагая, что, если функция Контрольная работа по теме производная функциисложная функция Контрольная работа по теме производная функции также трижды дифференцируема в точке Контрольная работа по теме производная функциии еѐ производная будет иметь вид:

Контрольная работа по теме производная функции

Путѐм последовательного дифференцирования можно вывести формулы для любого порядка от сложной функции. В предположении, что функции Контрольная работа по теме производная функции имеют соответствующие производные.

 

Производные высших порядков от обратных функций

Теорема: если функция y = f (x)в некотором промежутке (a,b) (строго монотонна) имеет конечную производную, то обратная функция в соответствующем промежутке имеет обратную производную:

Контрольная работа по теме производная функции

Доказательство: Контрольная работа по теме производная функции В силу теоремы о производной сложной функции Контрольная работа по теме производная функции. Поэтому производная будет вычисляться по следующему правилу:

Контрольная работа по теме производная функции

! Если функция Контрольная работа по теме производная функции, то аналогично получим производнуюКонтрольная работа по теме производная функции

Контрольная работа по теме производная функции

 

Механический смысл второй производной

Рассмотрим движение точки по какой-нибудь траектории. При этом будем считать, что t – время, S – пройденный путь за это время, V – скорость точки, a ускорение.

Контрольная работа по теме производная функции , т.е. механическим смыслом второй производной является какое-нибудь ускорение в момент времени t.

Дифференциалы n-го порядка.

Пусть дана функцияКонтрольная работа по теме производная функции

Для Контрольная работа по теме производная функции

Тогда Контрольная работа по теме производная функции. Если Контрольная работа по теме производная функции фиксировать, то dy будет являться функцией только независимой переменной Контрольная работа по теме производная функции. Тогда:

Определение 1. Вторым дифференциалом функции Контрольная работа по теме производная функции в точке x = x0 называется дифференциал от первого дифференциала, если он существует. При этом:

  • Приращение независимой переменной считается постоянным
  • Новые приращения независимой переменной, которые даются при вычислении второго дифференциала, считаются равными старому.

По определению 1: Контрольная работа по теме производная функции

2 Т.о. мы получили дифференциал второго порядка от дифференциала первого порядка при выполнении всех условий теоремы, наложенных на Контрольная работа по теме производная функции

Определение 2. Дифференциалом n -го порядка в точке Контрольная работа по теме производная функциипо определению будет Контрольная работа по теме производная функции

Тогда Контрольная работа по теме производная функции

Т.о. в случае х – независимая переменная и y = f (x) , то имеем, что

Контрольная работа по теме производная функции

Замечание: дифференциалы высшего порядка не обладают инвариантностью формы при замене переменной.

Доказательство:

Дана функция Контрольная работа по теме производная функции

Тогда Контрольная работа по теме производная функции

Контрольная работа по теме производная функции

y = f (x)x независимая переменная.

Из определения дифференциалов второго порядка:

Контрольная работа по теме производная функции

Найдѐм дифференциал третьего порядка:

Контрольная работа по теме производная функции

 

Параметрически заданные функции

Их дифференцирование. Рассмотрим функцию Контрольная работа по теме производная функции заданную в некотором промежуткеКонтрольная работа по теме производная функции

Параметрически, посредством системы непрерывных функций

где Контрольная работа по теме производная функции , определѐнных в соответствующем промежутке Контрольная работа по теме производная функциистрого монотонная. Предположим, что t имеет обратную функцию Контрольная работа по теме производная функции При этих условиях каждому значению х соответствует некоторое t, а значению t соответствует значение у, тогда у будет представлять собой функцию Контрольная работа по теме производная функции

Таким образом, система (1) определяет функцию у как функцию х. А, с законом соответствия:

Контрольная работа по теме производная функции

Областью определения функции Контрольная работа по теме производная функции есть множество значений функции Контрольная работа по теме производная функции

Задание функции Контрольная работа по теме производная функции посредством уравнения (1), на некотором множестве есть параметрическое задание этой функции, где t – параметр.

Примеры:

1) Параметрическое уравнение окружности:

Контрольная работа по теме производная функции

t – центральный угол

Контрольная работа по теме производная функции

2) Эллипс

Контрольная работа по теме производная функции

Контрольная работа по теме производная функции

3) Циклоида

Контрольная работа по теме производная функции

Рассмотрим три функции Контрольная работа по теме производная функции. Если каждому значению t в рассмотренной области определения этих функций отнести точку с координатами Контрольная работа по теме производная функции, то совокупность этих точек будет некоторая пространственная кривая:

Контрольная работа по теме производная функции

Пример:

Контрольная работа по теме производная функции

 

Дифференцирование функций, заданных параметрически

Рассмотрим функцию Контрольная работа по теме производная функции, заданную на некотором промежуткеКонтрольная работа по теме производная функции. Тогда параметрически, посредством системы непрерывных функций: Контрольная работа по теме производная функции

определѐнных на I1, и функция Контрольная работа по теме производная функции строго монотонна (т.е. возрастает или убывает), причѐм Контрольная работа по теме производная функции

Теорема: если функции Контрольная работа по теме производная функции

Контрольная работа по теме производная функции

Доказательство: взаимно обратные функции Контрольная работа по теме производная функции взаимно однозначны и непрерывно отображают другие промежутки: Контрольная работа по теме производная функции

Представим отношение: Контрольная работа по теме производная функции

По теореме о сложной функции, предел левой части в точке х равен пределу правой части в точке t, но последний предел равен отношению производных.

Контрольная работа по теме производная функции

В обозначениях Лейбница:

Контрольная работа по теме производная функции

 

Возможно вам пригодятся эти страницы:

Контрольная работа по комбинаторике заказать
Контрольная работа по психологии заказать
Контрольная работа по двоичному счислению заказать
Контрольная работа по теме матрицы заказать

 

Замечания: Контрольная работа по теме производная функции

Если функция Контрольная работа по теме производная функции удовлетворяет условию теоремы о существовании обратной функции: Контрольная работа по теме производная функции

На основании этой теоремы и теоремы о существовании обратной функции согласно инвариантности дифференциала первого порядка, на основании равенства:

Контрольная работа по теме производная функции

При соблюдении условия теоремы:

Контрольная работа по теме производная функции

Найдѐм производные высших порядков.

Теорема: если при соблюдении условий теоремы о производной функции заданной параметрически Контрольная работа по теме производная функциифункция f(x) имеет производные более высоких порядков.

Доказательство:

Контрольная работа по теме производная функции

По такому же принципу вычисляются производные третьего порядка.

Замечание: если функции Контрольная работа по теме производная функции tимеют производные четвѐртого порядка и т.д., то путѐм последовательного дифференцирования можно получить соответствующие выражения через параметр для производной четвѐртого порядка.

Пример 1: Астроида

Контрольная работа по теме производная функции

Пример 2. Контрольная работа по теме производная функции

Найти Контрольная работа по теме производная функции

Циклоида представляет собой траекторию некоторой фиксированной (.) окружности, катящейся без скольжения по прямой линии.

Контрольная работа по теме производная функции

Пример 3. Контрольная работа по теме производная функции Кривая – декартов лист

Контрольная работа по теме производная функции

 

Дифференцирование неявно заданных функций

Контрольная работа по теме производная функции

Пример: Контрольная работа по теме производная функции

Контрольная работа по теме производная функции