Контрольная работа по теме производная функции
Ответы на вопросы по заказу контрольной работы по производной функции:
Сколько стоит помощь с контрольной работой?
- Цена зависит от объёма, сложности и срочности. Присылайте любые задания по любым предметам - я изучу и оценю.
Какой срок выполнения контрольной работы?
- Мне и моей команде под силу выполнить как срочный заказ, так и сложный заказ. Стандартный срок выполнения – от 1 до 3 дней. Мы всегда стараемся выполнять любые работы и задания раньше срока.
Если требуется доработка, это бесплатно?
- Доработка бесплатна. Срок выполнения от 1 до 2 дней.
Могу ли я не платить, если меня не устроит стоимость?
- Оценка стоимости бесплатна.
Каким способом можно оплатить?
- Можно оплатить любым способом: картой Visa / MasterCard, с баланса мобильного, google pay, apple pay, qiwi и т.д.
Какие у вас гарантии?
- Если работу не зачли, и мы не смогли её исправить – верну полную стоимость заказа.
В какое время я вам могу написать и прислать задание на выполнение?
- Присылайте в любое время! Я стараюсь быть всегда онлайн.
Содержание:
- Ответы на вопросы по заказу контрольной работы по производной функции:
- Производные функций. Производные высших порядков
- Производная высших порядков от сложных функций
- Производные высших порядков от обратных функций
- Механический смысл второй производной
- Параметрически заданные функции
- Дифференцирование функций, заданных параметрически
- Дифференцирование неявно заданных функций
Производные функций. Производные высших порядков
Пусть функция определена на интервале (a,b) и для функция , тогда на интервале (a,b) существует производная .
Определение 1. Если функция f(x) имеет производную в точке называется второй производной в точке x0 , если существует эта производная.
Обозначение:
Определение 2. Производная n-го порядка функции в точке называется производная от производной порядка.
Обозначение:
Условимся, что
По этой ссылке вы сможете узнать как я помогаю с контрольными работами:
Определение 2’ Пусть ф-я . Полагаем для тех , для которых ф-я f (x) диф-ма; и, вообще (если функция определена в некоторой окрестности полагаем точек в некоторых функциядифференцируема.
Замечание 1. Для того чтобы n-я производная
производная должна в некоторой окрестности U(x0) точки 0 и должна быть диф-мой в (.) x0. При этом функция дxолжна быть дифмой в окр-ти U(x0) (где производная
Замечание 2. Совокупность всех внутренних (…) множества E называется внутренностью E и обозначается
Пример:
Определение 3. Функция y = f (x) называется "n"-раз непрерывно дифференцируемой на интервале (a,b), если существует непрерывная на интервале (a,b) функция .
Обозначение:
Справедливо следующее утверждение: если функция
Замечание. Если ф-я ff (x) диф-ма «n» раз В некотором промежутке то это значит, что конечная производная в каждой (.) данного промежутка. Тогда производная дxиф-ма, а следовательно, и непрерывна в промежутке (a,b) Итак из конечной "n"-й производной в каждой (.) пром-ка диф-ть (и стало быть непрерывность) во всем промежутке любой производной более низкого порядка, чем "n",и сама функция. Пусть f(x) определена на . Скажем, что f(x) n -раз непрерывно диф-ма на (a,b). (Запись:
По этой ссылке вы сможете научиться оформлять контрольную работу:
Теорема 1 (правило вычисления производных n-го порядка): пусть непрерывны на . Тогда справедливы следующие правила (утверждения):
Эта формула позволяет вычислять n-ую производную произведения двух функций. Она называется формулой Лейбница. Следует иметь ввиду, что
Тогда по определению
Доказательство: (математическая индукция)
База:
Индукция: пусть формула справедлива для n. Тогда докажем, что она справедлива для (n +1) .
По этой ссылке вы сможете заказать контрольную работу:
Примеры:
Частный случай: если
Частный случай:
Закономерность, по которой составлена каждая з этих производных:
- все производные содержат множителем число (-1) степени, которая на единицу меньше порядка производной.
- Числитель дроби есть произведение натуральных чисел, начиная с единицы и кончая числом на единицу меньшем порядка производной.
- 1 x в степени равной порядку производной. Считаем, что эта закономерность сохраняется для производной любого порядка, получаем:
Выпишем следующие формулы:
Производная высших порядков от сложных функций
Теорема: Если функция при соблюдении условий теоремы о производной сложной функции имеют конечные производные второго порядка, то сложная функция также имеет производную второго порядка и эта производная имеет вид:
Доказательство: имеем
Рассмотрим первый множитель
Поэтому по теореме о сложной функции. Тогда, по теореме о сложной функции,
Рассмотрим второй множитель
По предположению , тогда мы можем получить, что
Замечание: предполагая, что, если функция сложная функция также трижды дифференцируема в точке и еѐ производная будет иметь вид:
Путѐм последовательного дифференцирования можно вывести формулы для любого порядка от сложной функции. В предположении, что функции имеют соответствующие производные.
Производные высших порядков от обратных функций
Теорема: если функция y = f (x)в некотором промежутке (a,b) (строго монотонна) имеет конечную производную, то обратная функция в соответствующем промежутке имеет обратную производную:
Доказательство: В силу теоремы о производной сложной функции . Поэтому производная будет вычисляться по следующему правилу:
! Если функция , то аналогично получим производную
Механический смысл второй производной
Рассмотрим движение точки по какой-нибудь траектории. При этом будем считать, что t – время, S – пройденный путь за это время, V – скорость точки, a ускорение.
, т.е. механическим смыслом второй производной является какое-нибудь ускорение в момент времени t.
Дифференциалы n-го порядка.
Пусть дана функция
Для
Тогда . Если фиксировать, то dy будет являться функцией только независимой переменной . Тогда:
Определение 1. Вторым дифференциалом функции в точке x = x0 называется дифференциал от первого дифференциала, если он существует. При этом:
- Приращение независимой переменной считается постоянным
- Новые приращения независимой переменной, которые даются при вычислении второго дифференциала, считаются равными старому.
По определению 1:
2 Т.о. мы получили дифференциал второго порядка от дифференциала первого порядка при выполнении всех условий теоремы, наложенных на
Определение 2. Дифференциалом n -го порядка в точке по определению будет
Тогда
Т.о. в случае х – независимая переменная и y = f (x) , то имеем, что
Замечание: дифференциалы высшего порядка не обладают инвариантностью формы при замене переменной.
Доказательство:
Дана функция
Тогда
y = f (x)x независимая переменная.
Из определения дифференциалов второго порядка:
Найдѐм дифференциал третьего порядка:
Параметрически заданные функции
Их дифференцирование. Рассмотрим функцию заданную в некотором промежутке
Параметрически, посредством системы непрерывных функций
где , определѐнных в соответствующем промежутке строго монотонная. Предположим, что t имеет обратную функцию При этих условиях каждому значению х соответствует некоторое t, а значению t соответствует значение у, тогда у будет представлять собой функцию
Таким образом, система (1) определяет функцию у как функцию х. А, с законом соответствия:
Областью определения функции есть множество значений функции
Задание функции посредством уравнения (1), на некотором множестве есть параметрическое задание этой функции, где t – параметр.
Примеры:
1) Параметрическое уравнение окружности:
t – центральный угол
2) Эллипс
3) Циклоида
Рассмотрим три функции . Если каждому значению t в рассмотренной области определения этих функций отнести точку с координатами , то совокупность этих точек будет некоторая пространственная кривая:
Пример:
Дифференцирование функций, заданных параметрически
Рассмотрим функцию , заданную на некотором промежутке. Тогда параметрически, посредством системы непрерывных функций:
определѐнных на I1, и функция строго монотонна (т.е. возрастает или убывает), причѐм
Теорема: если функции
Доказательство: взаимно обратные функции взаимно однозначны и непрерывно отображают другие промежутки:
Представим отношение:
По теореме о сложной функции, предел левой части в точке х равен пределу правой части в точке t, но последний предел равен отношению производных.
В обозначениях Лейбница:
Возможно вам пригодятся эти страницы:
Контрольная работа по комбинаторике заказать |
Контрольная работа по психологии заказать |
Контрольная работа по двоичному счислению заказать |
Контрольная работа по теме матрицы заказать |
Замечания:
Если функция удовлетворяет условию теоремы о существовании обратной функции:
На основании этой теоремы и теоремы о существовании обратной функции согласно инвариантности дифференциала первого порядка, на основании равенства:
При соблюдении условия теоремы:
Найдѐм производные высших порядков.
Теорема: если при соблюдении условий теоремы о производной функции заданной параметрически функция f(x) имеет производные более высоких порядков.
Доказательство:
По такому же принципу вычисляются производные третьего порядка.
Замечание: если функции tимеют производные четвѐртого порядка и т.д., то путѐм последовательного дифференцирования можно получить соответствующие выражения через параметр для производной четвѐртого порядка.
Пример 1: Астроида
Пример 2.
Найти
Циклоида представляет собой траекторию некоторой фиксированной (.) окружности, катящейся без скольжения по прямой линии.
Пример 3. Кривая – декартов лист
Дифференцирование неявно заданных функций
Пример: