Контрольная работа по теме матрицы

Если у вас нет времени на выполнение контрольной работы по матрицам, вы всегда можете попросить меня, пришлите задания мне в Контрольная работа по теме матрицыwhatsapp, и я вам помогу онлайн или в срок от 1 до 3 дней.

Контрольная работа по теме матрицы

Контрольная работа по теме матрицыОтветы на вопросы по заказу контрольной работы по матрицам:

Контрольная работа по теме матрицы

Контрольная работа по теме матрицыСколько стоит помощь с контрольной работой?

  • Цена зависит от объёма, сложности и срочности. Присылайте любые задания по любым предметам - я изучу и оценю.

Контрольная работа по теме матрицыКакой срок выполнения контрольной работы?

  • Мне и моей команде под силу выполнить как срочный заказ, так и сложный заказ. Стандартный срок выполнения – от 1 до 3 дней. Мы всегда стараемся выполнять любые работы и задания раньше срока.

Контрольная работа по теме матрицыЕсли требуется доработка, это бесплатно?

  • Доработка бесплатна. Срок выполнения от 1 до 2 дней.

Контрольная работа по теме матрицыМогу ли я не платить, если меня не устроит стоимость?

  • Оценка стоимости бесплатна.

Контрольная работа по теме матрицыКаким способом можно оплатить?

  • Можно оплатить любым способом: картой Visa / MasterCard, с баланса мобильного, google pay, apple pay, qiwi и т.д.

Контрольная работа по теме матрицыКакие у вас гарантии?

  • Если работу не зачли, и мы не смогли её исправить – верну полную стоимость заказа.

Контрольная работа по теме матрицыВ какое время я вам могу написать и прислать задание на выполнение?

  • Присылайте в любое время! Я стараюсь быть всегда онлайн.

Контрольная работа по теме матрицы

Контрольная работа по теме матрицыНиже размещён теоретический и практический материал, который вам поможет разобраться в выполнении контрольной работы по предмету "матрицы", если у вас есть желание и много свободного времени!

Контрольная работа по теме матрицы

Содержание:

  1. Ответы на вопросы по заказу контрольной работы по матрицам:
  2. Матрицы. Основные понятия
  3. Действия над матрицами
  4. Сложение матриц
  5. Умноженне матриц
  6. Возведенне матрицы в степень
  7. Транспонирование матриц

Матрицы. Основные понятия

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел

Контрольная работа по теме матрицы

состоящая из Контрольная работа по теме матрицы строк и Контрольная работа по теме матрицы столбцов, или сокращенно Контрольная работа по теме матрицыКонтрольная работа по теме матрицы

Числа Контрольная работа по теме матрицы называются элементами матрицы. Первый индекс Контрольная работа по теме матрицы указывает номер строки, второй индекс Контрольная работа по теме матрицы - номер столбца, на пересечении которых находится данный элемент. Таким образом, элемент Контрольная работа по теме матрицы стоит на пересечении 2-й строки и 1-го столбца. Отметим частные случаи прямоугольных матриц.

По этой ссылке вы сможете узнать как я помогаю с контрольными работами:

Помощь с контрольными работами

Если Контрольная работа по теме матрицы — любое, мы имеем однострочную матрицу, которую называют матрицей-строкой.

Если Контрольная работа по теме матрицы — любое, мы имеем одностолбцовую матрицу, которую называют матрицей-столбцом.

Матрица, состоящая из одного числа Контрольная работа по теме матрицы отождествляется с этим же числом.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нульматрицей и обозначается

Контрольная работа по теме матрицы

Если число строк равно числу столбцов Контрольная работа по теме матрицы то такую матрицу называют квадратной, причем число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. Элементы квадратной матрицы с одинаковыми индексами, т.е. Контрольная работа по теме матрицы образуют главную диагональ, а элементы Контрольная работа по теме матрицы побочную.

Матрица вида Контрольная работа по теме матрицы называется диагональной.

Особую роль в матричном исчислении играет единичная матрица. Это квадратная матрица следующего вида:

Контрольная работа по теме матрицы

Элементы главной диагонали равны единице, а все остальные -нулевые.

Позднее мы увидим, что единичная матрица Контрольная работа по теме матрицы и нулевая Контрольная работа по теме матрицы играют в матричном исчислении такую же роль, как числа 1 и 0 в операциях над числами.

По этой ссылке вы сможете научиться оформлять контрольную работу:

Теоретическая контрольная работа примеры оформления

Действия над матрицами

Две матрицы Контрольная работа по теме матрицы называются равными Контрольная работа по теме матрицы если они имеют одинаковые размерности (то есть одинаковое число строк и одинаковое число столбцов) и их соответствующие элементы равны.

Так, если Контрольная работа по теме матрицы

то Контрольная работа по теме матрицы если Контрольная работа по теме матрицы

Сложение матриц

Суммой двух матриц Контрольная работа по теме матрицы одной и той же размерности Контрольная работа по теме матрицы называется матрица Контрольная работа по теме матрицы той же размерности, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц Контрольная работа по теме матрицы Так, если Контрольная работа по теме матрицы

Пример:

Контрольная работа по теме матрицы

Из определения операции сложения матриц вытекают следующие свойства:

Контрольная работа по теме матрицы

Контрольная работа по теме матрицы (размерность нулевой матрицы должна совпадать с размерностью матрицы Контрольная работа по теме матрицы

Умножение матрицы на число

Произведением матрицы Контрольная работа по теме матрицы на число Контрольная работа по теме матрицы называется новая матрица Контрольная работа по теме матрицы той же размерности, элементы которой равны произведению числа Контрольная работа по теме матрицы на соответствующие элементы матрицы Контрольная работа по теме матрицы

По определению полагаем, что Контрольная работа по теме матрицы

По этой ссылке вы сможете заказать контрольную работу:

Заказать контрольную работу

Пример: Контрольная работа по теме матрицы Из определения произведения матрицы на число вытекают следующие свойства Контрольная работа по теме матрицы числа; Контрольная работа по теме матрицы - матрицы):

Контрольная работа по теме матрицы

Замечание, разность двух матриц одинаковой размерности можно определить, используя операции сложения и умножения матрицы на число Контрольная работа по теме матрицы

Пример:

Пусть Контрольная работа по теме матрицы - некоторое число.

Тогда

Контрольная работа по теме матрицы

Умноженне матриц

Две матрицы можно умножить друг на друга только тогда, когда число столбцов матрицы, стоящей первым сомножителем, равно числу строк матрицы, стоящей вторым сомножителем. Таким образом, матрицу размерности Контрольная работа по теме матрицы можно умножить на матрицу размерности только Контрольная работа по теме матрицы

Пусть даны две матрицы Контрольная работа по теме матрицы Под произведением Контрольная работа по теме матрицы принимается по определению матрица Контрольная работа по теме матрицы

элементы Контрольная работа по теме матрицы которой определяются следующим образом:

Контрольная работа по теме матрицы

Как видим, элемент Контрольная работа по теме матрицы строки и Контрольная работа по теме матрицы столбца матрицы-произведения равен сумме произведений элементов Контрольная работа по теме матрицы строки первого сомножителя на соответствующие элементы Контрольная работа по теме матрицы столбца второго сомножителя. Матрица-произведение имеет столько строк, сколько их у первого множителя, и столько столбцов, сколько их у второго множителя.

Примеры: Контрольная работа по теме матрицы Произведение Контрольная работа по теме матрицы не имеет смысла, в произведение Контрольная работа по теме матрицы можно найти: Контрольная работа по теме матрицы

Контрольная работа по теме матрицы Для данных матриц возможны оба произведения:

Контрольная работа по теме матрицы

Матрицы Контрольная работа по теме матрицы не только не равны, но даже имеют разные размерности.

Перестановочный (коммутативный) закон при умножении матриц не выполняется, т. е. Контрольная работа по теме матрицы

В отдельных случаях умножение может быть коммутативно, тогда матрицы называются перестановочными.

Особую роль при умножении матриц играет единичная матрица Контрольная работа по теме матрицы она выполняет роль подобно числу 1 при умножении чисел. Легко проверить, что при умножении квадратной матрицы Контрольная работа по теме матрицы матрица Контрольная работа по теме матрицы не изменится, и что только матрица Контрольная работа по теме матрицы обладает этим свойством (единица одна!), причем Контрольная работа по теме матрицы Таким образом, единичная матрица Контрольная работа по теме матрицы перестановочна с любой квадратной матрицей той же размерности.

Произведение чисел может равняться 0 только в том случае, когда хотя бы одно из них равно 0, однако произведение матриц не наследует это свойство. Более того, возможно, что Контрольная работа по теме матрицы хотя Контрольная работа по теме матрицы не совпадает с Контрольная работа по теме матрицыматрицей. Например, если Контрольная работа по теме матрицы

Или ещё пример Контрольная работа по теме матрицы Легко проверить, что операция умножения матриц имеет следующие свойства Контрольная работа по теме матрицы - матрицы, Контрольная работа по теме матрицы - число.):

Контрольная работа по теме матрицы - ассоциативный закон умножения матриц;

Контрольная работа по теме матрицы

Контрольная работа по теме матрицы - дистрибутивный закон умножения матриц по отношению к сложению;

Контрольная работа по теме матрицы

С введением операции умножения матриц появилась возможность рассматривать возведение квадратной матрицы в степень.

Возведенне матрицы в степень

Пусть дана квадратная матрица Контрольная работа по теме матрицы Если Контрольная работа по теме матрицы - натуральное число, то под Контрольная работа по теме матрицы понимают произведение одинаковых сомножителей, каждый из которых равен Контрольная работа по теме матрицы т. е.

Контрольная работа по теме матрицы

Примеры:

Контрольная работа по теме матрицы

2. Найдем Контрольная работа по теме матрицы, если Контрольная работа по теме матрицы Имеем Контрольная работа по теме матрицы

Далее Контрольная работа по теме матрицы

Вообще, для данной матрицы Контрольная работа по теме матрицы Для степеней матрицы справедливы обычные правила:

1) полагают Контрольная работа по теме матрицы

Контрольная работа по теме матрицы

Транспонирование матриц

Пусть дана матрица Контрольная работа по теме матрицы размерности Контрольная работа по теме матрицы Поменяем в ней местами строки и столбцы: на место первой строки поставим первый столбец, на место второй строки поставим второй столбец и т. д.

Обозначим эту новую матрицу Контрольная работа по теме матрицы

Итак, Контрольная работа по теме матрицы Матрица Контрольная работа по теме матрицы называется транспонированной к матрице Контрольная работа по теме матрицы она имеет размерность Контрольная работа по теме матрицы Например, если Контрольная работа по теме матрицы Если Контрольная работа по теме матрицы - вектор-строка Контрольная работа по теме матрицы то Контрольная работа по теме матрицы вектор-столбец.

Для элементов транспонированной матрицы имеем Контрольная работа по теме матрицыКонтрольная работа по теме матрицы

Если Контрольная работа по теме матрицы - квадратная матрица, то Контрольная работа по теме матрицы - квадратная матрица того же порядка. Если квадратная матрица не изменилась после

транспонирования, т. е. Контрольная работа по теме матрицы то Контрольная работа по теме матрицы называется симметрической матрицей.

Например, матрица

Контрольная работа по теме матрицы является симметрической. У каждой такой матрицы элементы,

симметричные относительно главной диагонали, равны между собой.

Размерности матриц Контрольная работа по теме матрицы таковы, что произведения Контрольная работа по теме матрицы и Контрольная работа по теме матрицы определены.

Пример:

Контрольная работа по теме матрицы

Возможно вам пригодятся эти страницы:

Контрольная работа по теме производная функции заказать
Контрольная работа по двоичному счислению заказать
Контрольная работа по биохимии заказать
Контрольная работа по экономическим системам заказать

Определители и способы их вычисления

Для квадратной матрицы вводится понятие определителя (детерминанта) матрицы. Определитель квадратной матрицы - это число, которое ей сопоставляется и может быть вычислено по ее элементам в соответствии с определенными правилами. Определитель матрицы Контрольная работа по теме матрицы обозначается Контрольная работа по теме матрицы или, если нужно выписать элементы матрицы, - прямыми чертами по бокам этой матрицы

Контрольная работа по теме матрицы

Определителем матрицы 1-го порядка (т. е. матрицы, состоящей из одного элемента, одного числа) называется само число, составляющее заданную матрицу: Контрольная работа по теме матрицы

Определителем матрицы 2-го порядка называется число, вычисляемое по правилу

Контрольная работа по теме матрицы

т. е. из произведения элементов, стоящих на главной диагонали, вычитается произведение элементов, стоящих на побочной диагонали.

Пример:

Контрольная работа по теме матрицы

Определителем 3-го порядка, соответствующим матрице Контрольная работа по теме матрицы называется число, вычисляемое следующим образом:

Контрольная работа по теме матрицы

Контрольная работа по теме матрицы

Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства следует брать со знаком "плюс", а какие со знаком "минус", полезно следующее правило, называемое правилом треугольника:

Контрольная работа по теме матрицы

Пример:

Контрольная работа по теме матрицы

Контрольная работа по теме матрицы

Легко проверяются следующие свойства определителей.

Величина определителя:

  • не изменится, если матрицу Контрольная работа по теме матрицы транспонировать, т. е. Контрольная работа по теме матрицы
  • не изменится, если к элементам какой-либо его строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и тоже число;
  • меняет знак на противоположный, если поменять местами любые две его строки (или два столбца);
  • увеличится в Контрольная работа по теме матрицы раз, если элементы какой-либо его строки (или столбца) умножить на Контрольная работа по теме матрицы т. е. общий множитель, имеющийся в строке (или столбце), можно выносить за знак определителя;
  • равна нулю, если элементы какой-либо строки (или столбца) равны нулю;
  • равна нулю, если элементы каких-либо двух строк (или столбцов) соответственно равны.

Минором какого-либо элемента определителя называется определитель, полученный из данного вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых находится этот элемент. Например, минором элемента Контрольная работа по теме матрицы определителя 3-го порядка является определитель 2-го порядка Контрольная работа по теме матрицы Минор элемента Контрольная работа по теме матрицы обозначается через Контрольная работа по теме матрицы

Алгебраическим дополнением элемента Контрольная работа по теме матрицы называется его минор, взятый со знаком Контрольная работа по теме матрицы Алгебраическое дополнение элемента Контрольная работа по теме матрицы обозначается Контрольная работа по теме матрицы Следовательно, Контрольная работа по теме матрицы Например,

Контрольная работа по теме матрицы

Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Это свойство определителя называется разложением определителя по элементам строки (или столбца).

Для определителя 3-го порядка имеют место следующие разложения:

Контрольная работа по теме матрицы

Свойство разложения определителя по элементам строки (или столбца) допускает обобщение, которое может быть принято за определение определителя любого порядка.

Сумма произведений элементов какой-либо строки (или столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю. Например, Контрольная работа по теме матрицы

Если Контрольная работа по теме матрицы - квадратные матрицы одного и того же порядка с определителями Контрольная работа по теме матрицы то определитель матрицы Контрольная работа по теме матрицы равен произведению определителей перемножаемых матриц, т. е. Контрольная работа по теме матрицыКонтрольная работа по теме матрицы

В общем случае определителем Контрольная работа по теме матрицы порядкау соответствующим квадратной матрице Контрольная работа по теме матрицы порядка Контрольная работа по теме матрицы называется число, равное сумме парных произведений элементов какой-либо строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Пример:

Вычислить определитель

Контрольная работа по теме матрицы

при помощи разложения его по элементам первой строки. Решение.

Контрольная работа по теме матрицы

Если в определителе все элементы какой-либо строки (или столбца), кроме одного, равны нулю, то при вычислении определителя выгодно разложить его по элементам именно этой строки (столбца). Если же такой строки (столбца) нет, то, используя свойство 2 определителя, его можно преобразовать так, чтобы он имел такую строку (столбец).

Пример:

Контрольная работа по теме матрицы

Заметим, что определители любого порядка Контрольная работа по теме матрицы обладают вышеуказанными свойствами. Для вычисления определителей Контрольная работа по теме матрицы порядка иногда оказывается полезной формула, позволяющая свести определитель Контрольная работа по теме матрицы порядка к определителям Контрольная работа по теме матрицы порядка, элементы которого выражены как миноры второго порядка: Контрольная работа по теме матрицы Предполагается, что Контрольная работа по теме матрицы Если же Контрольная работа по теме матрицы то перестановкой строк и столбцов всегда можно из данного определителя получить такой, в котором Контрольная работа по теме матрицы