Контрольная работа по математике на заказ

Ответы на вопросы по заказу заданий по математике:

Сколько стоит помощь?

• Цена зависит от объёма, сложности и срочности. Присылайте любые задания по любым предметам - я изучу и оценю.

Какой срок выполнения?

• Мне и моей команде под силу выполнить как срочный заказ, так и сложный заказ. Стандартный срок выполнения – от 1 до 3 дней. Мы всегда стараемся выполнять любые работы и задания раньше срока.

Если требуется доработка, это бесплатно?

• Доработка бесплатна. Срок выполнения от 1 до 2 дней.

Могу ли я не платить, если меня не устроит стоимость?

• Оценка стоимости бесплатна.

Каким способом можно оплатить?

• Можно оплатить любым способом: картой Visa / MasterCard, с баланса мобильного, google pay, apple pay, qiwi и т.д.

Какие у вас гарантии?

• Если работу не зачли, и мы не смогли её исправить – верну полную стоимость заказа.

В какое время я вам могу написать и прислать задание на выполнение?

• Присылайте в любое время! Я стараюсь быть всегда онлайн.

Содержание:

1. Ответы на вопросы по заказу заданий по математике:
2. Задачи, приводящие к понятию производной
3. Контрольная работа 1 (о скорости движения)
4. Контрольная работа 2 (о касательной к графику функции)
5. Замечание
6. Подведем итоги
7. Определение производной
8. Геометрический смысл производной состоит в следующем
9. Алгоритм отыскания производной
10. Контрольная работа 1
11. Решение:
12. Контрольная работа 2
13. Решение:
14. Контрольная работа №357
15. Решение:
16. Контрольная работа №358
17. Решение:
18. Контрольная работа №359
19. Решение:
20. Контрольная работа №360
21. Решение:

Задачи, приводящие к понятию производной

Часто бывает так, что, решая задачи, очень далекие друг от друга по содержанию, мы приходим к одной и той же математической модели. Сила математики состоит в том, что она разрабатывает способы оперирования с той или иной математической моделью, которыми потом пользуются в других областях знаний. Вы умеете работать со многими математическими моделями — уравнениями, неравенствами, системами уравнений, системами неравенств и др. В этом параграфе речь пойдет о принципиально новой для вас математической модели. Сначала рассмотрим две различные задачи, физическую и геометрическую, процесс решения которых как раз и приводит к возникновению новой математической модели.

Контрольная работа 1 (о скорости движения)

По прямой, на которой заданы начало отсчета, единица измерения (метр) и направление, движется некоторое тело (материальная точка). Закон движения задан формулой , где t — время (в секундах), s (t) — положение тела на прямой (координата движущейся материальной точки) в момент времени t по отношению к началу отсчета (в метрах). Найти скорость движения тела в момент времени t (в м/с).

Решение. Предположим, что в момент времени t тело находилось в точке M(рис. 114), пройдя путь от начала движения Дадим аргументу t приращение и рассмотрим момент

времени . Координата материальной точки стала другой, тело в этот момент будет находиться в точке

Значит, за секунд тело переместилось из точки М в точку Р, т.е. прошло путь МР. Имеем:

Полученную разность мы назвали в § 31 приращением функции:

Путь тело прошло за секунд. Нетрудно найти среднюю скорость движения тела за промежуток времени :

А что такое скорость в момент времени t (ее называют иногда мгновенной скоростью)? Можно сказать так: это средняя скорость движения за промежуток времени при условии, что выбирается все меньше и меньше; иными словами, при условии, что Это значит, что

Подводя итог решению задачи 1, получаем:

Прежде чем сформулировать вторую задачу и приступить к ее решению, обсудим вопрос, что следует понимать под касательной к плоской кривой. Термином «касательная» мы уже пользовались (на интуитивном уровне) в курсе алгебры 7—9-го классов.

Например, мы

говорили, что парабола касается оси х в точке х = 0 или, что то же самое, ось х является касательной к параболе вточкех = 0(рис. 115). И дело не в том, что ось х и парабола имеют одну общую точку. Ведь ось у тоже имеет с параболой одну общую точку, однако у вас не возникнет желания назвать ось у касательной к параболе. Обычно касательную определяют следующим образом.

Дана кривая L (рис. 116), на ней выбрана точка М. Возьмем еще одну точку на кривой, причем достаточно близкую к М, — точку Р. Проведем секущую МР. Далее будем приближать точку Р по кривой L к точке М. Секущая МР будет изменять свое положение, она как бы поворачивается вокруг точки М. Часто бывает

так, что можно обнаружить в этом процессе прямую, представляющую собой некое предельное положен иесекущей; эту прямую — предельное положение секущей — называют касательной к кривой L в точке М.

Поставьте эксперимент: возьмите параболу , проведите секущую ОР, где О — вершина параболы, Р — текущая точка. Возьмите точку Р поближе к О, проведите вторую секущую. Возьмите точку Р еще ближе к О, проведите третью секущую и т.д. Вы обнаружите, что предельным положением этих секущих будет ось х — это и есть касательная к параболе в ее вершине (что соответствует нягпим интуитивным представлениям).

Контрольная работа 2 (о касательной к графику функции)

Дан график функции На нем выбрана точка в этой точке к графику ZZZ функции проведена касательная (мы предполагаем, что она существует). Найти угловой коэффициент касательной.

Решение. Дадим аргументу приращение и рассмотрим на графике

(рис. 117) точку Р с абсциссой . Ордината точки Р равна . Угловой коэффициент секущей МР, т.е. тангенс угла между секущей и осью х, вычисляется по формуле

Если мы теперь устремим Дх к нулю, то точка Р начнет приближаться по кривой к точке М. Касательную мы охарактеризовали как предельное положение секущей при этом приближении. Значит, естественно считать, что угловой коэффициент касательной будет вычисляться по формуле

Используя приведенную выше формулу для получаем:

Замечание

В приведенном решении задачи 2 упущен случай, когда касательная перпендикулярна на оси абсцисс (см., например, рис. 118). Уравнение такой прямой имеет вид х = а, об угловом коэффициенте говоритьв этом случае некорректно, поскольку он не существует.

Подведем итоги

Две различные задачи привели в процессе решения к одной и той же математической модели — пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Многие задачи физики, химии, экономики и т.д. приводят в процессе решения к такой же модели. Значит, эту математическую модель надо специально изучить, т.е.:

• а) присвоить ей новый термин;
• б) ввести для нее обозначение;
• в) исследовать свойства новой модели.

Этим мы и займемся в следующем пункте.

Определение производной

Определение 1. Пусть функция у =Дх) определена в конкретной точке х и в некоторой ее окрестности. Дадим аргументу х приращение , такое, чтобы не выйти из указанной окрестности. Найдем соответствующее приращение функции и составим отношение Если существует предел этого отношения при условии то указанный предел называют производной функции у =f(x) в точке х и обозначают

Итак,

Для обозначения производной часто используют символ

Отметим, что ) — это новая функция, но, естественно, связанная с функцией у = /(х), определенная во всех таких точках х, в которых существует указанный выше предел. Эту функцию называют так: производная функции у =f(x).

В примере 6 мы доказали, что для линейной функции

справедливо равенство:

Это означает, что или, подробнее,

В частности,

В примере 7 § 31 мы доказали, что для функции справедливо равенство

А*-»0 ДХ

Это означает, что или, подробнее,

Рассмотренные в п. 1 задачи 1 и 2 позволяют истолковать производную с физической и геометрической точек зрения.

Физический (механический) смысл производной состоит в следующем. Если s (t) — закон прямолинейного движения тела, то производная

выражает мгновенную скорость в момент времени t:

На практике во многих отраслях науки используется обобщение полученного равенства: если некоторый процесс протекает по закону , производная выражает скоростъ протекания процесса в момент времени t.

Геометрический смысл производной состоит в следующем

Если к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой х=а можно провести касательную, непараллельную оси у, то выражает угловой коэффициент касательной (рис. 119):

Поскольку , то верно равенство (рис. 119).

А теперь истолкуем определение производной с точки зрения приближенных равенств. Пусть функция у= f(x) имеет производную в конкретной точке х:

Это означает, что в достаточно малой окрестности точки х выполняется приближенное равенство:

Содержательный смысл полученного приближенного равенства заключается в следующем: приращение функции «почти пропорционально» приращению аргумента, причем коэффициентом пропорциональности является значение производной (в заданной точке х). Например, для функции справедливо приближенное равенство

Если внимательно прочитать определение производной, то мы обнаружим, что в нем заложен алгоритм отыскания производной. Сформулируем его.

Алгоритм отыскания производной

(для функции у = /(х))

1. Зафиксировать значение х, найти f(х).

2. Дать аргументу х приращение , перейти в новую точку

3. Найти приращение функции:

4. Составить отношение

5. Вычислить предел

Этот предел и есть

Контрольная работа 1

Найти производную постоянной функции у=С.

Решение:

Воспользуемся алгоритмом отыскания производной.

1) Для фиксированного значения х имеем:

2) В точке

Контрольная работа 2

Найти производную функции

Решение:

Воспользуемся алгоритмом отыскания производной.

1) Для фиксированного значения х (разумеется, мы полагаем, что ) имеем:

2) В точке

3)

4)

5)

Ответ:

Если функция имеет производную в точке х, то ее называют дифференцируемой в точке х. Процедуру отыскания производной функции называют ; j дифференцированием функции . Эти термины имеют глубокий математический смысл но мы говорить о них не будем (нам не хватает теоретических знаний). Обсудим такой вопрос: как связаны между собой те два достаточно тонких свойства функций, которые мы обсудили в этом и в предыдущем параграфах, — непрерывность и дифференцируемость функции в точке.

Пусть функция дифференцируема в точке х. Тогда к графику функции в точке можно провести касательную, причем, напомним, угловой коэффициент касательной равен f'(x).

Но тогда график не может «разрываться» в точке М, т.е. функция обязана быть непрерывной в точке х.

Это были рассуждения «на пальцах». Приведем несколько более строгие рассуждения. Если функция y = f(x) дифференцируема в точке х, то выполняется приближенное равенство Если в этом равенстве устремить к нулю, то и будет стремиться к нулю, а это и есть условие непрерывности функции в точке (см. п. 3 в § 31).

Итак, если функция дифференцируема в точке х, то она и непрерывна в этой точке.

Обратное утверждение неверно. Смотрите: функция непрерывна везде, в частности, в точке х =0 (рис. 120), но касательной к графику функции в «точке стыка» (0; 0) не существует. Бели в некоторой точке к графику функции нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производной.

А вот еще один пример. На рис. 121 изображен график кусочной функции у - f(x), где

Функция непрерывна на всей числовой прямой, в том числе в точке х =0. И касательная к графику функции существует в любой точке, в том числе в точке х =0. Но в точке х =0 касательная совпадает с осью у, т.е. перпендикулярна оси абсцисс, ее уравнение имеет вид х = 0. Углового коэффициента у такой прямой нет, значит, не существует и f'(0).

Итак, мы познакомились с новым

свойством функции — дифференцируемостью. Формальные определения тех или иных свойств функции — дело, конечно, хорошее, но у нас всегда были приемы «считывания информации» о наличии того или иного свойства функции по ее графику. Например, если график был сплошным, мы говорили, что функция непрерывна. А как по графику сделать вывод о дифференцируемости функции?

Ответ фактически получен выше. Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема.

• Если в некоторой точке касательная к графику функции не существует или она перпендикулярна оси абсцисс, то в этой точке функция недифференцируема.

Так, по графику функции, изображенному на рис. 122, можно сделать вывод: функция непрерывна всюду, кроме точки х =а; функция дифференцируема всюду, кроме точек х=а,х=6 — здесь касательная не существует, х=с — здесь касательная параллельна оси у.

Решение. Как видно, точками возможного разрыва функции являются: , причём в точке - разрыв второго рода (бесконечный разрыв). Исследуем эти точки.

Рассмотрим точку - не существует,

Рассмотрим точку

Таким образом, - точка разрыва *-♦1-0 X-+1+0

первого рода (конечного разрыва).

Скачок функции в этой точке разрыва:

Построим график функции.

Контрольная работа №357

Найти производные данных функций:

Решение:

а) применяя правило дифференцирования суммы, степенной функции:

б) в подобных случаях удобнее освободиться от радикалов и записать а затем находить производную

в) применим правило дифференцирования произведения двух функций

г) применим правило дифференцирования частного двух функций

Контрольная работа №358

Применяя правило дифференцирования сложной функции, найти производную функции:

Решение:

а) функцию можно представить в виде Поэтому на основании 4 правила дифференцирования

б) данная функция является композицией трех имеющих производные функций , с учетом правила дифференцирования сложной функции получим:

в) функцию можно представить в виде получим:

г) прологарифмируем по основанию е обе части уравнения: продифференцируем обе части полученного равенства:

заменим у его выражением через х и определим :

Контрольная работа №359

Найти производную функции у, заданной уравнением ,и вычислить её значение в точке (2; 1).

Решение:

Дифференцируя обе части равенства и учитывая, что у есть функция от х, получим

Контрольная работа №360

Найти от следующих функций:

Решение:

Возможно, вас также заинтересует:

• Заказать работу по математике помощь в учёбе
• Решение задач по математике помощь с примерами онлайн
• Помощь по математике онлайн
• РГР по математике расчетно графическая работа