Контрольная работа по матанализу

Если у вас нету времени на контрошу по матанализу вы всегда можете попросить меня, вам нужно написать мне, и я вам помогу онлайн или в срок 1-3 дня всё зависит что там у вас за работа, вдруг она огромная!

Чуть ниже размещён теоретический и практический материал, который вам поможет сделать работу если у вас много свободного времени и желания!

 

Кстати по этой ссылке вы сможете узнать как я помогаю с контрольными работами:

Помощь с контрольными работами

 

Примеры с решениями по теме функция:

Найти область определения функций:

Контрольная работа по матанализу

Найти множество Y, на которое данная функция отображает множество X:

Контрольная работа по матанализу - функция, возрастающая на всей области определения

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу - функция убывает до x = 0 , затем возрастает, поэтому считаем значение в трех точках

Контрольная работа по матанализу - функция, возрастающая на всей области определения

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу - функция, убывающая на всей области определения

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу функция убывает на заданной области

Контрольная работа по матанализу

Определить, является функция четной, нечетной или функцией общего вида:

Контрольная работа по матанализу - Четная

Контрольная работа по матанализу- Общего вида

Контрольная работа по матанализу - Нечетная

Построить графики следующих элементарных функций:

1. y= - x - 3 - линейная функция

Контрольная работа по матанализу

2. y= (x - 2)2 - 1 квадратичная функция, графиком является парабола

Контрольная работа по матанализу

3. Контрольная работа по матанализу - дробно-линейная функция, графиком является гипербола

Контрольная работа по матанализу

4. Контрольная работа по матанализу Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

5. Контрольная работа по матанализу - показательная функция

Контрольная работа по матанализу

 

По этой ссылке вы сможете научиться оформлять контрольную работу:

Теоретическая контрольная работа примеры оформления

 

Примеры для практических занятий:

1) Найти область определения функции:

Контрольная работа по матанализу

2) Найти множество Y, на которое данная функция отображает множество X:

Контрольная работа по матанализу

3) Определить, является функция четной, нечетной или функцией общего вида:

Контрольная работа по матанализу

4) Построить графики следующих функций:

Контрольная работа по матанализу

Ответы:

Контрольная работа по матанализу

3) 1. Четная; 2. Нечетная; 3. Четная; 4. Общего вида.

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Примеры для самостоятельного решения:

1) Найти область определения функции:

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

2) Найти множество Y, на которое данная функция отображает множество X:

Контрольная работа по матанализу

3) Определить, является функция четной, нечетной или функцией общего вида:

Контрольная работа по матанализу

4) Построить графики следующих функций:

Контрольная работа по матанализу

 

По этой ссылке вы сможете заказать контрольную работу:

Заказать контрольную работу

 

Ответы:

Контрольная работа по матанализу

3) 1. Четная; 2. Нечетная; 3. Четная; 4. Функция общего вида.

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

 

 

 

Примеры с решениями по теме множества:

1) Заданы два множества Контрольная работа по матанализу

Найти Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

2) Заданы два множества Контрольная работа по матанализу

Изобразить на плоскости Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

3) Заданы два множества Контрольная работа по матанализу

Изобразить на плоскости B\ A

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

4) Заданы три множества Контрольная работа по матанализу и

Контрольная работа по матанализу Изобразить на плоскости Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

5) Заданы три множества Контрольная работа по матанализу и

Контрольная работа по матанализу Изобразить на плоскости Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

6) Заданы три множества Контрольная работа по матанализу и

Контрольная работа по матанализу Изобразить на плоскости Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

 

Возможно вам пригодятся эти страницы:

Контрольная работа по микробиологии заказать
Контрольная работа по генетике заказать
Контрольная работа по правоведению заказать
Контрольная работа по риторике заказать

 

7) Заданы три множества Контрольная работа по матанализу и

Контрольная работа по матанализу Изобразить на плоскостиКонтрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Примеры для практических занятий:

Контрольная работа по матанализу

Изобразить на плоскости:

Контрольная работа по матанализу

Ответы:

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Примеры для самостоятельного решения:

Изобразить на плоскости:

Контрольная работа по матанализу

Ответы:

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

 

 

 

Примеры с решениями по теме предел функции:

1. Неопределенность типа Контрольная работа по матанализу решаем разбиением на множители

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

или домножением на сопряженное

Контрольная работа по матанализу

2. При следующем типе неопределенности Контрольная работа по матанализу возможны два способа решения. Первый способ (выносим за скобку наиболее быстро растущую степень):

Контрольная работа по матанализу

Второй способ (оставляем наибольшую степень):

Контрольная работа по матанализу

3. При неопределенности типа Контрольная работа по матанализу приводим к общему знаменателю

Контрольная работа по матанализу

или домножаем на сопряженное

Контрольная работа по матанализу

Примеры для практических занятий:

Контрольная работа по матанализу

Ответы:

Контрольная работа по матанализу

Примеры для самостоятельного решения:

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Ответы:

Контрольная работа по матанализу

 

 

 

Примеры с решениями по теме эквиваленты и первый и второй замечательные пределы:

В этих пределах необходимо применять таблицу эквивалентных:

Контрольная работа по матанализу

При следующем типе неопределенности возможны два способа решения.

Первый способ (применение второго замечательно предела):

Контрольная работа по матанализу

Второй способ (логарифмирование - Контрольная работа по матанализу):

Контрольная работа по матанализу

Примеры для практических занятий:

Контрольная работа по матанализу

Ответы:

Контрольная работа по матанализу

Примеры для самостоятельного решения:

Контрольная работа по матанализу

Ответы:

Контрольная работа по матанализу

 

 

 

Примеры с решениями по теме непрерывность функции:

1) При каком значении параметра а, функция будет непрерывной:

Контрольная работа по матанализу

чтобы функция была непрерывной, необходимо совпадение значений в точке x=1

Контрольная работа по матанализу или Контрольная работа по матанализу, тогда

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу - любое число;

Контрольная работа по матанализу

теперь два неизвестных параметра у функции, но и две точки 0 и 2 для расчета параметров

Контрольная работа по матанализу или Контрольная работа по матанализу, то есть В=0

Контрольная работа по матанализу или Контрольная работа по матанализу

2) Найти точки разрыва и исследовать их характер:

Контрольная работа по матанализу - функция не определена в точках x = 0 и x = 1.

Вычислим односторонние пределы:

Контрольная работа по матанализу - оба предела бесконечны, следовательно, в точке 0 разрыв второго рода;

Контрольная работа по матанализу - оба предела бесконечны, следовательно, в точке 1 разрыв второго рода.

Контрольная работа по матанализу

точка x = 0 ;

Контрольная работа по матанализу - пределы существуют, но не равны, следовательно, функция имеет в точке 0 разрыв первого рода.

Контрольная работа по матанализу

точка x = 0 ;

Контрольная работа по матанализу - пределы существуют, но не равны, следовательно, функция имеет в точке 0 разрыв первого рода.

Контрольная работа по матанализу

на Контрольная работа по матанализу - функция непрерывна, на Контрольная работа по матанализу - функция разрывна в точке Контрольная работа по матанализу .

Контрольная работа по матанализу - разрыв второго рода;

Контрольная работа по матанализу - разрыв второго рода;

Контрольная работа по матанализу -разрыв второго рода.

Примеры для практических занятий:

Контрольная работа по матанализу

Ответы:

1) 4. а=3; 5. А=В=1.

2) 5. X=3 – разрыв первого рода; 6. X=2 – разрыв первого рода; 7. X=0 – разрыв второго рода ; 8. x=0 – разрыв первого рода; 9. Контрольная работа по матанализу - разрыв первого рода.

Примеры для самостоятельного решения:

Контрольная работа по матанализу

Ответы:

1) 6. А=1/2,В=-1; 7. А=1/2,В=0,С=1/4,D=-1/2.

2) 10. X=4 – разрыв первого рода; 11. X=3 – разрыв второго рода; 12. X=0 и x=2 – разрыв первого рода; 13. X=0 – разрыв первого рода.

 

 

 

Примеры с решениями по теме производные:

Найти производные функции:

Контрольная работа по матанализу

Найти производные сложной функции:

6) Контрольная работа по матанализу- это сложная функция, которую можно представить в виде «цепочки» простых функций:

Контрольная работа по матанализу тогда Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Примеры для практических занятий:

Контрольная работа по матанализу

Ответы:

Контрольная работа по матанализу

Примеры для самостоятельного решения:

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Ответы:

Контрольная работа по матанализу

 

 

Примеры с решениями по теме дифференцирование функций:

Найти производную Контрольная работа по матанализу функций, заданных параметрически:

Контрольная работа по матанализу

Находим

Контрольная работа по матанализу

Тогда Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Находим

Контрольная работа по матанализу

Тогда Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу в точке М(0,0).

Сначала определяем значение t в точке М(0,0):

Контрольная работа по матанализу

откуда следует, что производная в этой точке должна иметь два значения (кривая пересекается сама с собой).

Находим Контрольная работа по матанализу

Для данной точки имеем Контрольная работа по матанализу

Продифференцировать данные функции, используя правило логарифмического дифференцирования:

Контрольная работа по матанализу

Находим Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

для нахождения производной Контрольная работа по матанализу обозначим

Контрольная работа по матанализу

Окончательно Контрольная работа по матанализу

Найти дифференциалы функций:

Контрольная работа по матанализу

8. Найти производные и дифференциалы трех первых порядков функции Контрольная работа по матанализу

Находим Контрольная работа по матанализу

Следовательно Контрольная работа по матанализу

Примеры для практических занятий:

Найти производную Контрольная работа по матанализуфункций, заданных параметрически:

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу при Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу в точке Контрольная работа по матанализу

Продифференцировать функцию, используя правило логарифмического дифференцирования:

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Найти дифференциалы функций:

Контрольная работа по матанализу

Найти дифференциалы третьего порядка функций:

Контрольная работа по матанализу

Ответы:

Контрольная работа по матанализу

Примеры для самостоятельного решения:

Найти производную Контрольная работа по матанализу функций, заданных параметрически:

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу в точке Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Продифференцировать функции, используя правило логарифмического дифференцирования:

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Найти дифференциалы функций:

Контрольная работа по матанализу

Найти дифференциалы второго порядка функций:

Контрольная работа по матанализу

Ответы:

Контрольная работа по матанализу

 

 

 

 

Примеры с решениями по теме правило Лопиталя:

Найти указанные пределы по правилу Лопиталя:

Контрольная работа по матанализу

Обозначим Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Тогда Контрольная работа по матанализу

6. Составить уравнения касательной и нормали к гиперболе Контрольная работа по матанализу в точке с абсциссой Контрольная работа по матанализу

Решение:

Находим Контрольная работа по матанализу

Определяем угловой коэффициент касательной Контрольная работа по матанализу

Уравнение касательной:

Контрольная работа по матанализу

Уравнение нормали:

Контрольная работа по матанализу

Примеры для практических занятий:

Вычислить указанные пределы по правилу Лопиталя:

Контрольная работа по матанализу

Составить уравнения касательной и нормали к кривым в указанных точках.

Контрольная работа по матанализу в точке А(-2,5);

26. Контрольная работа по матанализу в точках пересечения с прямой y=1.

Ответы:

Контрольная работа по матанализу

Примеры для самостоятельного решения:

Вычислить указанные пределы по правилу Лопиталя:

Контрольная работа по матанализу

Написать уравнения касательной и нормали к графику функций Контрольная работа по матанализу в заданной точке:

Контрольная работа по матанализу

43. На линии Контрольная работа по матанализу найти точку М, в которой касательная параллельна прямой y = 2 x.

Ответы:

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу при t = 1.

 

 

 

Примеры с решениями по теме монотонность и экстремумы функций:

1. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции Контрольная работа по матанализу .

Решение: Эта функция определена только при Контрольная работа по матанализу

Находим точки, «подозрительные» на экстремум:

Контрольная работа по матанализу

но экстремума в точках Контрольная работа по матанализу быть не может, так как они являются концами области определения, а экстремум возможен только во внутренних точках области определения функции.

Находим промежутки монотонности и экстремумы:

Контрольная работа по матанализу

Функция убывает при Контрольная работа по матанализу

Функция возрастает при Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Замечание 1. Так как Контрольная работа по матанализу являются стационарными, то исследование на экстремум можно провести с помощью второй производной.

Находим

Контрольная работа по матанализу

Замечание 2. Так как функция непрерывна на замкнутом промежутке Контрольная работа по матанализу можно найти наименьшее и наибольшее значения функции в этом промежутке. Для этого вычисляем ее значения в точках, подозрительных на экстремум Контрольная работа по матанализу а также на концах промежутка Контрольная работа по матанализу и находим yнаим Контрольная работа по матанализу

Примеры для практических занятий:

Найти промежутки монотонности и экстремумы функций:

Контрольная работа по матанализу

Найти наибольшее М и наименьшее m значения функций на замкнутом промежутке:

Контрольная работа по матанализу

Ответы:

2. возрастает при Контрольная работа по матанализу, убывает при Контрольная работа по матанализу

3. возрастает при Контрольная работа по матанализу, убывает при Контрольная работа по матанализу

4. возрастает при Контрольная работа по матанализу , убывает при Контрольная работа по матанализу;

5. возрастает при Контрольная работа по матанализу , убывает при Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Примеры для самостоятельного решения:

Найти промежутки монотонности и экстремумы функций:

Контрольная работа по матанализу

Найти наибольшее М и наименьшее m значения функции на замкнутом промежутке:

Контрольная работа по матанализу

Ответы:

10.убывает при Контрольная работа по матанализу, возрастает при

Контрольная работа по матанализу

11. убывает при Контрольная работа по матанализу, возрастает при Контрольная работа по матанализу;

12. убывает при Контрольная работа по матанализу, возрастает при Контрольная работа по матанализу;

13. убывает при Контрольная работа по матанализу возрастает при Контрольная работа по матанализу

14. убывает при Контрольная работа по матанализу возрастает при Контрольная работа по матанализу

15. убывает при Контрольная работа по матанализу, возрастает при Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

 

 

Примеры с решениями по теме выпуклость и вогнутость кривой:

1. Определить точки перегиба и характер вогнутости кривой Контрольная работа по матанализу

Решение: Контрольная работа по матанализу

Находим

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу - критические точки на перегиб.

Контрольная работа по матанализу

Ответ:

Контрольная работа по матанализу - точки перегиба;

при Контрольная работа по матанализу - вогнутость вниз,

при Контрольная работа по матанализу - вогнутость вверх.

2. Определить асимптоты кривой Контрольная работа по матанализу

Решение:

x = - 1 - вертикальная асимптота, так как Контрольная работа по матанализу

Находим наклонную асимптоту:

Контрольная работа по матанализу

y = x - 3 - наклонная асимптота.

3. Провести полное исследование функции Контрольная работа по матанализу и построить эскиз графика.

Решение:

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу - критические точки на экстремум.

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу - критическая точка на перегиб

Контрольная работа по матанализу

О(0,0) – точка перегиба.

Определяем асимптоты кривой:

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу - наклонная асимптота.

x = -1 - вертикальная асимптота, так как Контрольная работа по матанализу

Строим эскиз графика кривой:

Контрольная работа по матанализу

Примеры для практических занятий:

Определить точки перегиба и характер вогнутости (выпуклости) кривых:

Контрольная работа по матанализу

Определить асимптоты кривых:

Контрольная работа по матанализу

Провести полное исследование и построить эскизы графиков функций:

Контрольная работа по матанализу

Ответы:

4. Контрольная работа по матанализу - кривая выпукла, Контрольная работа по матанализу - кривая вогнута, точек перегиба нет;

5. Контрольная работа по матанализу - промежутки вогнутости,

Контрольная работа по матанализу - промежутки выпуклости,

Контрольная работа по матанализу - точки перегиба;

6. Контрольная работа по матанализу - промежуток выпуклости, Контрольная работа по матанализу - промежуток вогнутости, Контрольная работа по матанализу точка перегиба;

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу - точка перегиба; Контрольная работа по матанализу - асимптоты;

Контрольная работа по матанализу - точка перегиба; x = 1, y = x - асимптоты;

Контрольная работа по матанализу - точка перегиба; x = 1, y = x - асимптоты;

Примеры для самостоятельного решения:

Провести полное исследование функций и построить эскизы графиков:

Контрольная работа по матанализу

Ответы:

Контрольная работа по матанализу - точки перегиба, y = 0 - асимптота.

Контрольная работа по матанализу - абсциссы точек перегиба, x = - 1, y = 0 - асимптоты.

Контрольная работа по матанализу - точка перегиба,

Контрольная работа по матанализу - асимптоты.

Контрольная работа по матанализу - абсцисса точки перегиба,

Контрольная работа по матанализу - асимптоты.

 

 

 

 

Примеры с решениями по теме непосредственное интегрирование:

Найти интегралы:

Контрольная работа по матанализу

Примеры для практических занятий:

Найти интегралы:

Контрольная работа по матанализу

Ответы:

Контрольная работа по матанализу

Примеры для самостоятельного решения:

Найти интегралы:

Контрольная работа по матанализу

Ответы:

Контрольная работа по матанализу

 

 

 

 

Примеры с решениями по теме метод замены переменной (подстановки):

Контрольная работа по матанализу

Примеры для практических занятий:

Используя подходящую подстановку, найти следующие интегралы:

Контрольная работа по матанализу

Ответы:

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Примеры для самостоятельного решения:

Найти интегралы:

Контрольная работа по матанализу

Ответы:

Контрольная работа по матанализу

 

 

 

Примеры с решениями по теме интегрирование по частям:

Найти интегралы:

Контрольная работа по матанализу

Примеры для практических занятий:

Найти интегралы:

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Ответы:

Контрольная работа по матанализу

Примеры для самостоятельного решения.

Найти интегралы:

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

 

 

 

Примеры с решениями по теме интегрирование рациональных функций:

Найти интегралы:

Контрольная работа по матанализу

Подынтегральная функция – неправильная дробь. Выделим целую часть в правильной дроби. Разложим знаменатель на множители:

Контрольная работа по матанализу

Разложим на простейшие правильную дробь:

Контрольная работа по матанализу

Освободимся от знаменателей, умножив обе части на Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Коэффициенты A, B, C найдем методом частных значений, давая x значения, равные корням знаменателя:

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Подынтегральная функция – правильная рациональная дробь. Корни знаменателя вещественные: x=2 – простой; x= -1 кратности

3. Разложение на простейшие принимает вид:

Контрольная работа по матанализу

Освобождаемся от знаменателей:

Контрольная работа по матанализу

Коэффициенты разложения определяем методом частных значений, придавая x любые значения, в
том числе х = -1 и х = 2 (корни знаменателя):

Контрольная работа по матанализу

Последняя система принимает вид:

Контрольная работа по матанализу

Итак, Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Подынтегральная функция – правильная рациональная дробь. Знаменатель представляет произведение простых квадратичных множителей (вещественных корней нет). Разложение дроби принимает вид:

Контрольная работа по матанализу

Освобождаясь от знаменателей, получаем

Контрольная работа по матанализу

Коэффициенты находим методом неопределенных коэффициентов, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х :

Контрольная работа по матанализу

Итак, Контрольная работа по матанализу

Примеры для практических занятий:

Найти интегралы:

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Ответы:

Контрольная работа по матанализу

Примеры для самостоятельного решения:

Найти интегралы:

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Ответы:

Контрольная работа по матанализу

 

 

 

Примеры с решениями по теме интегрирование тригонометрических функций, рациональных относительно синуса и косинуса:

1) Найти Контрольная работа по матанализу

Так как подынтегральная функция рациональна относительно Контрольная работа по матанализу и Контрольная работа по матанализу , то воспользуемся универсальной подстановкой.

Контрольная работа по матанализу

2) Найти Контрольная работа по матанализу

Подынтегральная функция нечетна относительно Контрольная работа по матанализу. Применим подстановку Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

3) Найти Контрольная работа по матанализу

Подынтегральная функция нечетна относительно Контрольная работа по матанализу , поэтому подстановка Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

4) Найти Контрольная работа по матанализу

Подынтегральная функция четна относительно Контрольная работа по матанализу поэтому подстановка

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

5) Найти Контрольная работа по матанализу

Подынтегральная функция четна относительно Контрольная работа по матанализу , поэтому можно использовать подстановку t=tgx. Однако удобнее воспользоваться известными формулами понижения степени

Контрольная работа по матанализу

Тогда

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

6) Найти Контрольная работа по матанализу

Воспользуемся формулами преобразования произведения тригонометрических функций в сумму или разность:

Контрольная работа по матанализу

Примеры для практических занятий:

Найти интегралы:

Контрольная работа по матанализу

Ответы:

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Примеры для самостоятельного решения:

Контрольная работа по матанализу

Ответы:

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

 

 

Примеры с решениями по теме определенный интеграл:

1. найти производные по х от следующих функций:

Контрольная работа по матанализу

Решение:

a) Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции и теоремой о производной интеграла с переменным верхним пределом,

получим:

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

c) Представим заданный интеграл в виде:

Контрольная работа по матанализу

где С – произвольная постоянная.

Тогда:

Контрольная работа по матанализу

2. Применяя формулу Ньютона – Лейбница, вычислить интегралы:

Контрольная работа по матанализу

3. Применяя подходящую подстановку, вычислить интегралы:

Контрольная работа по матанализу

Примеры для практических занятий:

Вычислить интегралы:

Контрольная работа по матанализу

Ответы:

Контрольная работа по матанализу

Примеры для самостоятельного решения.

19) Найти производные следующих функций:

Контрольная работа по матанализу

Вычислить интегралы:

Контрольная работа по матанализу

Ответы:

Контрольная работа по матанализу

 

 

Примеры с решениями:

Вычислить интегралы:

Контрольная работа по матанализу

Преобразуем подынтегральную функцию:

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

т.к. во втором интеграле подынтегральная функция нечетная.

5) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями Контрольная работа по матанализу и у = 3Х

Выполним чертеж. Для нахождения площади S заштрихованной области определяем пределы интегрирования:

Контрольная работа по матанализу

Примеры для практических занятий.

Вычислить интегралы:

Контрольная работа по матанализу

15) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

Контрольная работа по матанализу

Ответы:

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Примеры для самостоятельного решения:

Вычислить интегралы:

Контрольная работа по матанализу

26) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Ответы:

Контрольная работа по матанализу

 

 

 

Примеры с решениями по теме несобственные интегралы:

Вычислить следующие несобственные интегралы с бесконечными пределами или установить их расходимость:

Контрольная работа по матанализу данный интеграл расходится.

Контрольная работа по матанализу данный интеграл расходится.

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализуданный интеграл сходится.

Примеры для практических занятий:

Вычислить следующие несобственные интегралы с бесконечными пределами или установить их расходимость:

Контрольная работа по матанализу

11) Найти площадь фигуры, ограниченной следующими линиями:

Контрольная работа по матанализу

Ответы:

Контрольная работа по матанализу

Примеры для самостоятельного решения:

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу22) Вычислить площадь бесконечной полосы, заключенной между кривой Контрольная работа по матанализу и осью абсцисс.

Ответы:

Контрольная работа по матанализу

 

 

 

Примеры с решениями по теме положительные ряды:

Для практического применения признаков сравнения необходимо иметь некоторый набор уже изученных рядов, с которыми будет сравниваться исследуемый ряд. Приведем известные нам ряды:

  1. Ряд Контрольная работа по матанализу (геометрический) сходится при Контрольная работа по матанализу и всяком a.
  2. Ряд Контрольная работа по матанализу сходится.
  3. Ряд Контрольная работа по матанализу (гармонический) расходится.
  4. Ряд Контрольная работа по матанализу (обобщенный гармонический или ряд Дирихле) сходится при p > 1 и расходится при p ≤ 1.

Исследовать по признакам сравнения сходимость данных рядов:

Контрольная работа по матанализу

Сравним данный ряд со сходящимся рядом Контрольная работа по матанализу Так как Контрольная работа по матанализу то данный ряд сходится.

Контрольная работа по матанализу

Сравним с геометрическим рядом Контрольная работа по матанализу , который сходится Контрольная работа по матанализу. Так как Контрольная работа по матанализу (n=3,4,..), то данный ряд сходится. Заметим, что первые члены рядов не подчиняются данной оценке, но согласно свойствам рядов это на факт сходимости не влияет.

Контрольная работа по матанализу

Сравним с расходящимся гармоническим рядом Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Следовательно, данный ряд расходится.

Исследовать по признаку Даламбера сходимость данных рядов:

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализуРяд сходится.

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу Ряд сходится.

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу Ряд расходится.

Заметим, что здесь Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу Ряд расходится, т.к. не выполняется необходимое условие сходимости (Для раскрытия неопределенности применяем правило Лопиталя).

Примеры для практических занятий:

Исследовать сходимость рядов, применяя признаки сравнения:

Контрольная работа по матанализу

Исследовать сходимость рядов, применяя признак Даламбера:

Контрольная работа по матанализу

Ответы:

7) расходится; 8) сходится; 9) сходится; 10) расходится; 11) расходится; 12) расходится; 13) сходится; 14) расходится; 15) расходится; 16) сходится; 17) сходится;18) расходится; 19) сходится; 20) расходится; 21) сходится; 22) расходится.

Примеры для самостоятельного решения:

Исследовать сходимость рядов, применяя признаки сравнения:

Контрольная работа по матанализу

Исследовать сходимость рядов, применяя признак Даламбера:

Контрольная работа по матанализу

Ответы:

23) расходится; 24) сходится; 25) расходится; 26) сходится; 27) сходится; 28) сходится; 29) сходится; 30) расходится; 31) сходится; 32) сходится; 33) расходится; 34) сходится; 35) расходится; 36) сходится; 37) сходится; 38) сходится; 39) сходится.

 

 

 

Примеры с решениями по теме знакочередующиеся ряды. Знакопеременные ряды:

Исследовать характер сходимости следующих рядов:

Контрольная работа по матанализу – ряд:

а) знакочередующийся;

Контрольная работа по матанализу ... абсолютные величины членов ряда монотонно убывают;

Контрольная работа по матанализу

Выполнены все условия признака Лейбница, следовательно, ряд сходится.

Для выяснения характера сходимости рассмотрим ряд из модулей членов данного ряда Контрольная работа по матанализу расходится (гармонический ряд). Следовательно, данный ряд сходится условно.

Контрольная работа по матанализу – ряд:

а) знакочередующийся;

б) Контрольная работа по матанализу ... абсолютные величины членов ряда монотонно убывают;

в) Контрольная работа по матанализу

Ряд сходится по признаку Лейбница.

Ряд из модулей

Контрольная работа по матанализу

сходится как обобщенный гармонический (p=4/3>1). Поэтому данный ряд сходится абсолютно.

3) Контрольная работа по матанализу - ряд:

а) знакочередующийся;

б) Контрольная работа по матанализу … абсолютные величины членов ряда возрастают, т.е. не выполняется второе условие признака Лейбница, а значит, этот признак не применим. Рассмотрим ряд из модулей Контрольная работа по матанализу и применим признак Даламбера:

Контрольная работа по матанализу ряд сходится.

Поэтому данный ряд сходится абсолютно.

4) Контрольная работа по матанализу – ряд:

а) знакочередующийся;

б) Контрольная работа по матанализу ... абсолютные величины членов ряда монотонно убывают;

в) Контрольная работа по матанализу

не выполняется третье условие признака Лейбница, т.е. не выполняется необходимое условие Контрольная работа по матанализу сходящегося ряда, поэтому данный ряд расходится.

Примеры для практических занятий:

Исследовать характер сходимости следующих рядов:

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Ответы:

5) сходится условно; 6) сходится абсолютно; 7) сходится абсолютно; 8) сходится абсолютно; 9) сходится абсолютно; 10) сходится условно; 11) сходится абсолютно; 12) расходится; 13) сходится условно; 14) расходится; 15) сходится абсолютно ; 16) расходится; 17) сходится абсолютно; 18) сходится абсолютно; 19) сходится абсолютно.

Примеры для самостоятельного решения:

Контрольная работа по матанализу

Ответы:

20) сходится абсолютно; 21) сходится условно; 22) расходится; 23) сходится условно; 24) расходится; 25) сходится условно; 26) расходится; 27) сходится абсолютно; 28) расходится; 29) сходится абсолютно; 30) сходится абсолютно; 31) сходится абсолютно.

 

 

 

Примеры с решениями по теме степенные ряды:

Найти области сходимости степенных рядов:

Контрольная работа по матанализу

Промежуток сходимости Контрольная работа по матанализу

Исследуем поведение ряда на концах промежутка:

Контрольная работа по матанализу сходится по признаку Лейбница (условно).

Контрольная работа по матанализу расходится (гармоничный ряд).

Итак, область сходимости [-3,3).

Контрольная работа по матанализу

Промежуток сходимости Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Промежуток сходимости (-е,е).

Контрольная работа по матанализу

т. к. Контрольная работа по матанализу при любых конечных значениях n.

Отсюда Контрольная работа по матанализу, т. е. члены полученного числового ряда растут с ростом n, следовательно, не выполняется необходимый признак сходимости Контрольная работа по матанализу и ряд расходится.

Контрольная работа по матанализу - ряд знакочередующийся, который расходится по той же причине.

Область сходимости (-е,е).

Контрольная работа по матанализу

Для рядов по четным или нечетным степеням x формула для радиуса сходимости имеет вид

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

следовательно, Контрольная работа по матанализуи промежуток сходимости Контрольная работа по матанализу.

Контрольная работа по матанализу

Оба ряда знакочередующиеся и сходятся по признаку Лейбница.

Область сходимости Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу− ряд по четным степеням Контрольная работа по матанализу.

Радиус сходимости можно определить по формуле примера 4). А можно вопрос о сходимости решить применением признака Даламбера для ряда из модулей членов данного ряда:

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Промежуток сходимости (2,4).

Контрольная работа по матанализу - сходится (ряд Дирихле при р=2>1)

X=4 : получаем аналогичный ряд.

Область сходимости Контрольная работа по матанализу

Примеры для практических занятий:

Найти области сходимости рядов:

Контрольная работа по матанализу

Ответы:

Контрольная работа по матанализу

Примеры для самостоятельного решения:

Найти области сходимости рядов:

Контрольная работа по матанализу

Ответы:

Контрольная работа по матанализу

 

 

 

Примеры с решениями по теме ряды Тейлора и Маклорена:

Будем рассматривать два основных приема разложения функций в степенные ряды Тейлора и Маклорена.

1. Непосредственное разложение, т.е. по указанному выше плану.

2. Применение простейших разложений и действий над степенными рядами.

1) Разложить в ряд Маклорена функцию Контрольная работа по матанализу

1. Находим производные Контрольная работа по матанализу

2. Вычисляем Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

3. Составляем коэффициенты ряда

Контрольная работа по матанализу

4. Составляем (формально) ряд Маклорена

Контрольная работа по матанализу

5. Находим радиус сходимости

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Заметим, что указанное разложение можно получить, используя разложение

Контрольная работа по матанализу

и представление Контрольная работа по матанализу

Заменяя t на xln3, получаем

Контрольная работа по матанализу

Так как Контрольная работа по матанализу , то искомое разложение получим путем почленного суммирования рядов, представляющих функции

Контрольная работа по матанализу

3) разложить в ряд по степеням x функцию

Контрольная работа по матанализу

Разложим f(x) на простейшие дроби:

Контрольная работа по матанализу

Отсюда A=1, B=2. Следовательно

Контрольная работа по матанализу

Так как:

Контрольная работа по матанализу

4) Разложить в ряд Тейлора функцию f(x) = ln(x+2) в окресности точки a=1.

1. Находим производные

Контрольная работа по матанализу

2. Вычисляем:

Контрольная работа по матанализу

3. Составляем коэффициенты ряда:

Контрольная работа по матанализу

4. Составляем ряд Тейлора:

Контрольная работа по матанализу

5. Находим радиус сходимости R и интервал сходимости Контрольная работа по матанализу :

Контрольная работа по матанализу

6. Исследуем поведение ряда на границах интервала сходимости:

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу - расходится (гармонический).

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу - сходится по признаку Лейбница.

Контрольная работа по матанализу

Примеры для практических занятий:

Разложить в степенные ряды данные функции в окрестностях указанных точек и найти их области сходимости:

Контрольная работа по матанализу

Ответы:

Контрольная работа по матанализу

Примеры для самостоятельной работы:

Задание смотрите выше.

Контрольная работа по матанализу

Ответы:

Контрольная работа по матанализу

 

 

Примеры с решениями по теме ряды Фурье:

1) Разложить в ряд Фурье функцию

Контрольная работа по матанализу периода Контрольная работа по матанализу

Решение: эта функция удовлетворяет условиям Дирихле, ее график представлен на рисунке a); b).

Контрольная работа по матанализу

Вычисляем коэффициенты Фурье:

Контрольная работа по матанализу

Ряд Фурье:

Контрольная работа по матанализу

Сумма ряда S(x) отличается от f(x) в точках разрыва Контрольная работа по матанализу , в которых сумма ряда равнаКонтрольная работа по матанализу (рис. b)

2) Разложить в ряд Фурье функцию

Контрольная работа по матанализу

Решение: Контрольная работа по матанализу

Функция удовлетворяет условиям Дирихле.

Вычисляем коэффициенты Фурье:

Контрольная работа по матанализу

Ряд Фурье:

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Примеры для практических занятий:

Разложить в ряд Фурье в указанных промежутках функции:

Контрольная работа по матанализу

Ответы:

Контрольная работа по матанализу

Примеры для самостоятельного решения:

Разложить в ряд Фурье в указанных промежутках функции:

Контрольная работа по матанализу

Ответы:

Контрольная работа по матанализу

12) Контрольная работа по матанализу

 

 

 

Примеры с решениями:

1. Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=xІ при Контрольная работа по матанализу.

Решение: функция четная, удовлетворяет условия Дирихле,

Контрольная работа по матанализу

Ряд Фурье:

Контрольная работа по матанализу при Контрольная работа по матанализу

2. Разложить в ряд по синусам функцию Контрольная работа по матанализу

Решение: график f(х) и ее нечетное продолжение на симметричную часть промежутка [-π,0) представлены на рисунке, из которого видно, что f(х) на [-π,π] удовлетворяет условиям Дирихле и нечетная. Поэтому коэффициенты Фурье вычисляем по формулам а0=0 , аn=0 .

Контрольная работа по матанализу

Ряд Фурье:

Контрольная работа по матанализу

Примеры для практических занятий:

Разложить в ряд Фурье в указанных промежутках:

Контрольная работа по матанализу

6) Разложить в ряд Фурье по косинусам Контрольная работа по матанализу

7) Разложить в ряд Фурье по синусам Контрольная работа по матанализу

Ответы:

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Примеры для самостоятельного решения:

Разложить в ряд Фурье в указанных промежутках:

Контрольная работа по матанализу

10) Разложить в ряд Фурье по синусам Контрольная работа по матанализу

11) Разложить в ряд Фурье по косинусам Контрольная работа по матанализу

Ответы:

Контрольная работа по матанализу

 

 

 

 

Примеры с решениями по теме функции нескольких переменных:

Найти область определения функций:

Контрольная работа по матанализу

(вся плоскость xoy, за исключением начала координат);

Контрольная работа по матанализу

(внутренность круга радиуса R=1 с центром в начале координат); область ограниченная, незамкнутая;

3) Контрольная работа по матанализу (множество точек, лежащих выше параболы Контрольная работа по матанализу; область не ограниченная, незамкнутая;

Найти частные производные данных функций по каждой из независимых переменных

Контрольная работа по матанализу

Найти полные дифференциалы функций:

Контрольная работа по матанализу

Примеры для практических занятий:

Найти области определения функций:

Контрольная работа по матанализу

Найти частные производные данных функций:

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Найти полные дифференциалы функций:

Контрольная работа по матанализу

Ответы:

8) квадрат Контрольная работа по матанализу - область ограниченная, замкнутая;

9) Контрольная работа по матанализу- вся плоскость, кроме точек, лежащих на окружности Контрольная работа по матанализу

- неограниченная, незамкнутая область;

10) Контрольная работа по матанализуполуплоскость, расположенная над прямой Контрольная работа по матанализу

- неограниченная, незамкнутая область;

11) две полосы Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

При x=0 функция не определена;

Контрольная работа по матанализу

Примеры для самостоятельного решения:

Найти области определения функций:

Контрольная работа по матанализу

Найти частные производные данных функций по каждой из независимых переменных:

Контрольная работа по матанализу

Найти полные дифференциалы функций:

Контрольная работа по матанализу

Ответы:

21) первый и третий квадраты, за исключением прямых x=0, y=0;

22)вся плоскость, кроме начала координат;

23) Контрольная работа по матанализу

24) полуплоскость, расположенная под прямой Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

 

 

Примеры с решениями:

1) Найти частные производные и полный дифференциал второго порядка функции Контрольная работа по матанализу

Решение:

Находим

Контрольная работа по матанализу

2) Найти полную Контрольная работа по матанализу и частную Контрольная работа по матанализу производные функции Контрольная работа по матанализу где Контрольная работа по матанализу

Решение:

Контрольная работа по матанализу

3) Найти частные производные Контрольная работа по матанализу функции Контрольная работа по матанализу где Контрольная работа по матанализу .

Решение:

Контрольная работа по матанализу

Примеры для практических занятий:

Найти Контрольная работа по матанализу функций:

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Ответы:

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Примеры для самостоятельных занятий:

Контрольная работа по матанализу

Ответы:

Контрольная работа по матанализу

 

 

 

Примеры с решениями по теме скалярное поле:

1)Дано уравнение Контрольная работа по матанализу

Найти Контрольная работа по матанализу

Решение:

Неявная функция Контрольная работа по матанализу задана уравнением вида Контрольная работа по матанализу где Контрольная работа по матанализу

В этом случае Контрольная работа по матанализу при условии, что Контрольная работа по матанализу

2)Функция z переменных x и y задана уравнением Контрольная работа по матанализу.

Найти Контрольная работа по матанализу.

Решение:

Контрольная работа по матанализу

3) Найти поверхности уровня скалярного поля Контрольная работа по матанализу

Решение:

Поверхности уровня находятся из уравнения Контрольная работа по матанализу Отсюда Контрольная работа по матанализу это семейство круговых конусов с общей вершиной в начале координат (в начале координат поле неопределенно).

4)Найти линии уровня плоского поляКонтрольная работа по матанализу.

2 Решение:

Линии уровня находятся из уравнения Контрольная работа по матанализу. это семейство концентрических окружностей с центром в начале координат радиуса Контрольная работа по матанализу.

5)Найти производную по направлению от точки Контрольная работа по матанализу к точке Контрольная работа по матанализу плоского скалярного поля Контрольная работа по матанализу в точке A. Решение: Находим

Контрольная работа по матанализу

Направление Контрольная работа по матанализу определяется вектором Контрольная работа по матанализу его длина Контрольная работа по матанализу.

Направляющие косинусы Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Примеры для практических занятий:

6) Найти Контрольная работа по матанализу если y как неявная функция x задается уравнением:

Контрольная работа по матанализу

8)Найти поверхности уровня скалярных полей:

Контрольная работа по матанализу

9)Найти линии уровня плоских скалярных полей:

Контрольная работа по матанализу

10) Найти производную по направлению вектора Контрольная работа по матанализу скалярного поля Контрольная работа по матанализу в точке Контрольная работа по матанализу.

11)Найти производную функцииКонтрольная работа по матанализу в точке Контрольная работа по матанализу по направлению к точке Контрольная работа по матанализу

12)Найти производную функции Контрольная работа по матанализу в точке Контрольная работа по матанализу , окружности Контрольная работа по матанализу по дуге окружности (направление отсчета s по часовой стрелке).

Ответы:

Контрольная работа по матанализу

Примеры для самостоятельных занятий:

13) Найти Контрольная работа по матанализу если y как неявная функция x задается уравнением:

Контрольная работа по матанализу

14)Найти Контрольная работа по матанализу , если неявная функция z двух переменных задается уравнением:

Контрольная работа по матанализу

15)Найти поверхности (линии) уровня скалярных полей:

Контрольная работа по матанализу

Найти производные скалярных полей в указанных точках по заданным направлениям:

Контрольная работа по матанализу

Ответы:

Контрольная работа по матанализу

 

 

 

Примеры с решениями по теме градиент скалярного поля:

Контрольная работа по матанализу

Контрольная работа по матанализу

Вычислить площади плоских фигур, ограниченных линиями:

Контрольная работа по матанализу

Ответы:

Контрольная работа по матанализу

Примеры для самостоятельного решения:

Вычислить двойные интегралы по областям, ограниченным указанными линиями

Контрольная работа по матанализу

Вычислить площади плоских фигур, ограниченных линиями:

Контрольная работа по матанализу

Ответы:

Контрольная работа по матанализу