Каноническое уравнение параболы

Содержание:

1. Определение параболы. Ее каноническое уравнение
2. Исследование формы параболы
3. Примеры с решением

Определение параболы. Ее каноническое уравнение

Определение. Параболой называется линия, представляющая геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой. Если директриса параболы (рис. 60) есть а фокус парабола состоит из таких точек для которых

Чтобы найти уравнение параболы, надо выбрать прежде всего какую-либо систему координат. Мы проведем ось через фокус перпендикулярно директрисе (направив ее от директрисы к фокусу).

Начало координат поместим на равных расстояниях от директрисы и фокуса. Этим определится и положение оси (рис- 51). Пусть —точка пересечения оси и директрисы и пусть

Тогда фокус будет иметь координаты . [Возьмем произвольную точку Ясно, что

С другой стороны, из рисунка видно, что

Точка лежит на параболе тогда и только тогда, когда т. е. когда

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением

Это равенство и представляет собой уравнение параболы. Оно несколько громоздко. Для упрощения возведем это уравнение в квадрат. Раскрывая скобки, получим

или

Это простейшее (или каноническое) уравнение параболы. Ясно, что в нем

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Метод множителей Лагранжа

Функция Лагранжа

Условный экстремум

Экстремумы функции наибольшее и наименьшее значения

Исследование формы параболы

Исследуем форму параболы, используя только ее уравнение

в котором

Уравнение (1) содержит только в квадрате. Значит, наша парабола симметрична относительно оси и чтобы установить вид всей параболы, достаточно установить вид той ее части, которая расположена выше оси Для точек этой части будет и потому, находя из (1), [надо перед радикалом брать знак + Стало быть,

Отсюда видно, что

1) не может быть отрицательным, ибо иначе оказался бы мнимым, что нелепо. Значит, на параболе нет точек, лежащих слева от оси

2) Если то и

3) Если же увеличивается, то увеличивается и причем безграничное увеличение вызывает безграничное же увеличение однако не столь быстрое (например, при увеличении в 4 раза увеличится только вдвое).

Таким образом, часть параболы, расположенная выше оси имеет вид, изображенный на рис. 52, а вся парабола выглядит так, как показано на рис. 53.

Парабола оказалась бесконечной незамкнутой кривой, у которой ось служит осью симметрии, начало координат вершиной а ось — касательной (в вершине).

Замечание. Нетрудно понять, что каждому из уравнений

соответствует парабола, по форме тождественная с параболой (1), но только иначе расположенная. На рис. 54, 55, 56 изображены эти параболы.

Примеры с решением

Пример 1:

Найти директрису и фокус параболы Здесь Стало быть, и фокусом служит

а директрисой прямая

Пример 2:

Аналогично у параболы директриса есть а фокус

Пример 3:

Парабола

Теорема. Уравнению

где соответствует парабола. Она имеет вершину в на-чале координат и симметрична относительно оси При парабола (2) лежит выше оси абсцисс, а при ниже ее.

Доказательство. Уравнение (2) можно записать в виде

а это уравнение вида или (причем смотря по тому, будет ли или

Последним же уравнениям соответствуют параболы, изо-браженные в первом случае на рис 54, а во втором на рис. 56, что и требовалось доказать.

Чтобы отдать себе отчет в том, как влияет на форму параболы (2) модуль коэффициента а, изобразим на одном чертеже (рис. 57) параболы

построив для той и другой точки с абсциссами

Этот чертеж показывает, что чем больше абсолютная величина тем ближе к оси лежат стороны параболы. Можно сказать что нем больше тем круче подымается парабола.

Парабола имеет много применений в механике. Например, камень, брошенный под углом к горизонту, будет описывать параболу)