Исследовать ряд на условную сходимость

Содержание:

1. Абсолютная и условная сходимости
2. Теорема Римана

Абсолютная и условная сходимости

Определение 1. Числовой ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

Теорема 1. Всякий абсолютно сходящийся ряд сходится, причём имеет место неравенство а

Теорема 2. Ряд, получающийся при произвольной перестановке членов абсолютно сходящегося ряда, абсолютно сходится и имеет ту же сумму.

Определение 2. Сходящийся, но не абсолютно сходящийся числовой ряд называется условно сходящимся.

Теорема Римана

Из всякого условно сходящегося ряда надлежащей перестановкой его членов можно получить как ряд, сходящийся к любой наперёд заданной сумме, так и расходящийся ряд.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением

Пример с решением

Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость.

Решение:

Так как ряд знакопеременный, убывает и стремится к нулю, то ряд сходится по теореме Лейбница. Но ряд

Расходится по теореме сравнения

поэтому исходный ряд сходится условно.

2. (Ответ: ряд сходится абсолютно).

3. (Ответ: ряд сходится абсолютно).

4. (Ответ: ряд сходится абсолютно).

5. (Ответ: ряд сходится условно).

6. (Ответ: ряд сходится абсолютно).

7. (Ответ: ряд расходится).

8. (Ответ: ряд сходится абсолютно).

9. Полагая, что сумма ряда Лейбница равна найт

сумму ряда, полученного из ряда Лейбница перестановкой членов, начинг с третьего так, чтобы за каждым положительным членом следовало два ог рицательных, но при этом не нарушалось взаимное расположение членов одного знака, то есть ряда

Мы снова возвращаемся к рассмотрению числовых рядов общего вида.

Определение 1. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

Ясно, что всякий сходящийся ряд с неотрицательными членами абсолютно сходится. В то же время легко построить сходящийся ряд, который не является абсолютно сходящимся.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Решение систем уравнений

Исследовать ряд на абсолютную сходимость

Построить ряд по степеням

Вычислить с точностью до 0.001

В качестве примера можно привести следующий ряд:

Его сумма равна нулю, и в то же время ряд, составленный из модулей его членов, расходится в силу расходимости гармонического ряда.

Определение 2. Сходящийся ряд называется условно сходящимся, если ряд расходится.

• Согласно этому определению, рассмотренный выше ряд является условно сходящимся. Заметим, что про абсолютно (или условно) сходящийся ряд говорят еще, что ряд сходится абсолютно (или условно). Целесообразность введенных понятий подкрепляется следующей теоремой.

Теорема 1. Если ряд абсолютно сходится, то он

является сходящимся.

Доказательство. По критерию Коши из сходимости ряда следует, что при любом найдется номер такой, что при всех имеем

откуда

Но это означает выполнение критерия Коши. Теорема 1 доказана.

Определение 3. Числовой ряд называется знакочередующимся, если все его соседние члены имеют разные знаки.

Определение 4. Знакочередующийся ряд вида называется рядом Лейбница, если модуль его общего члена монотонно стремится к нулю.

Теорема 2. Всякий ряд Лейбница сходится.

Доказательство. Покажем сначала, что всякий отрезок этого ряда мажорируется модулем его первого члена. Пусть — некоторый отрезок ряда. Мы хотим доказать неравенство вида

Положим при всех Тогда

Кроме того, при всех имеют один и тот же знак. Следовательно, при четном имеем

Если же нечетное, то

Таким образом, в обоих случаях действительно

Но теперь, так как , мы при любом наперед заданном и достаточно большом n имеем

откуда в силу произвольности р, исходя из критерия Коши, заключаем, что ряд сходится. Теорема 2 доказана.

Теорема З (оценка остатка ряда Лейбница). Для остатка ряда Лейбница справедлива оценка

Доказательство. Согласно теореме 2 ряд сходится, поэтому

Заметим, что при доказательстве теоремы 2 для любого натурального р нами получена оценка

Устремляя получаем требуемое неравенство. Теорема 3 доказана.