Исследование функций одной переменной

Содержание:

  1. Необходимость
  2. Исследование функций

Исследование функций одной переменной

Исследование функций одной переменной

Исследование функций одной переменной

Исследование функций одной переменной

Исследование функций одной переменной

Исследование функций одной переменной

Исследование функций одной переменной

Исследование функций одной переменной

 

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Решение задач по математике

 

Признаки возрастания и убывания функции Определение. Функция /(х), определенная на отрезке [а, 6], называется неубывающей на [а, 6], если для любых xj,x2 € [а, Ь] из условия х\ следует неравенство /(хi) ^ /(х2). Если из всегда следует /(х() , то функция f(x) называется возрастающей на [а, Ь\. Если на отрезке (а, 6] из условия х\ хг следует неравенство f(x\) ^ /(х2),ю функция f(x) называется невозрастающей на отрезке [а, Ь]. Если из условия х\ всегда следует f(x\) > /(х2), тофункция f{x) называется убывающей на [а, Ь).

Определение. Функция f(x) называется монотонной на [а, 6|, если она на [а, 6| только неубывающая (в частности, возрастающая) или только нсвозрастаюшая (п частности, убывающая). Возрастающие и убывающие функции часто называют также строго монотонными. Теорема 1. Пусть функция /(х) непрерывна на отрезке [а, 6] и имеет производную f'{x) по крайней мере в интервале (а, 6). Для того, чтобы функция f{x) на отрезке неубывающей, необходимо и достаточно выполнение условия f 0 для всех точек х из интервала (а, Ь).

Необходимость

Пусть функция f(x) на отрезке [а, 6] неубывающая (рис. 1). Докажем, что на интервале (л, 6) производная f'{x) ^ 0. Возьмем точки х и х + Дх в интервале (а, 6). Так как по условию /(х) неубывающая, то при любом Ах (положительном или отрицательном)знаку Дх и /(х + Дх)-/(х) один и тот же, и поэтому Учитывая, что по условию в каждой точке х интервала (а, Ь) существует произволная f'{x), из последнего неравенства получим ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Признаки возрастания и убывания функции Экстремум функции Необходимое условие экстремума Достаточные условия максимума и минимума Исследование функций на максимум и минимум при помощи второй производной Итак, в любой точке а:) имеем Достаточность. Пусть / на интервале (а, 6). Докажем, что функция f(x) неубывающая на отрезке [а, 6). Действительно, пусть — любые две точки отрезка [а, Ь\. По теореме Лагранжа . Так как по условию / в каждой точке х интервала .

Кроме того, . Поэтому Итак, из неравенства х следует неравенство/(х,) ^ f(x2), а этой означает, что на отрезке [а, 6] функция f{x) неубывающая. Аналогично доказывается Теорема 2. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, 6] и имеет производную f'{x) по крайней мере на интервале (а, 6). Для того, чтобы функция f(x) на отрезке [а, 6] была невозрас тающей, необходимо и достаточно выполнение условия /'(#) ^ 0 для всех точек х из интервала (а, Ь).

Таким образом, интервалы знакопостоянства производной f'{x) являются интервалами монотонности функции f{x). Справедливо следующее утверждение (достаточное условие возрастания функции): если f'{x) > 0 на интервале (а, Ь), то f(x) на отрезке [а, 6] возрастает. Однако если f(x) возрастает на [а, 6), то отсюда не следует, что f'{x) > 0 всюду на интервале (а, Ь). Пример. Функция /(х) = х5 возрастает на отрезке . однако ее производная /'(х) = Зх2 обращается в нуль в точке х = 0. Принято говорить также о возрастании или убывании функции в точке. Определение.

Функция f(x) называется возрастающей в точке х = хо, если существует такая окрестность точки х0, в которой для всех х имеем ),адля всех х0 верно f(/(хо) (рис.2). Функиия/(х) называется убывающей в точке х = х0, если п некоторой окрестности точки х0 для всех имеем /(хо), а для всех х > хо имеем /(х) Следующая теорема выражает достаточные условия возрастания и убывания функции в точке. Теорема 3. Пусть функция ) в точке х = хо имеет производную f (х0).

Если 0, то функция /(х) в точке х0 возрастает; если /'(х0) , то /(х) в точке х0 убывает.

Пусть. Это означает, что Но тогда существует такое , что для всех Ах, удовлетворяющих условию 5, верно неравенство Отсюда следует, что при величины Ах и f{xо + Ах) - /(хо) имеют один и тот же знак: если ); если же > /(х0). Согласно определению, это означает, что функция fix) в точке хо возрастает. Подобными рассуждениями можно доказать, что если , то функция ) в точке хо убывает. Замечание. Теорема дает достаточные усювия возрастания и убывания функции в точке.

Так. функция, график которой представлен на рис. 3, возрастает в точке х = 0, но в этой точке производная функции не существует. Функция /(х) = х5 (рис, 4) возрастает в точке х = 0, но ее производная /'(х) = Зхг в точке х = 0 обращается в нуль. §2. Экстремум функции Пусть функция fix) определена в некоторой окрестности точки хо, включая и саму точку хо. - Определение. Точка х0 называется точкой локального максимума функции fix), если существует такое «5 > 0, что для всех х из интервала верно неравенство (рис.5).

Если существует 6 > 0 такое, что для всех х из интервала верно неравенство то точка хо называется точкой локального минимума <\>ункини fix) (рис.6). Значение функции fix) в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума — локальным минимумом данной функции. Максимум и м инимум функции называются ее локальными экстремумами.

 

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Оператор Гамильтона. Оператор Лапласа. Понятие о криволинейных координатах
Ангидриды карбоновых кислот
Группы самосовмещений многоугольников и многогранников
Вынужденные колебания струны закрепленной на концах. Задача Штурма—Лиувилля

 

Эти определения означают, что /(хо) есть локальный максимум функции fix), если существует такой и нтервал , в котором /(х0) является наибольшим значением функции /(я), и /(х0) есть локальный минимум функции /(х), если существует и нтервал , в котором /(хо) является наименьшим значением функции /(х) на этом интервале. Термин локальный (относительный) экстремум обусловлен тем, что введенное понятие экстремума связано с окрестностью данной точки в области определения функции, а не со всей этой областью.

Так, для функции у = f(x), график которой представлен на рис. 7, точка х0 есть точка локального максимума, а точка х\ — локального минимума, но - В дальнейшем слово «локальный» будем для краткости опускать. Мы будем рассматривать лишь точки строгого максимума и минимума. Определение. Точка х0 называется точкой строгого максимума (минимума) функции /(х), если существует 6 > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих условию верно строгое неравенство (соответственно В приведенном определении локального экстремума мы не предполагаем непрерывности функции /(х) в точке хо- Пример.

Так, функция разрывна в точке х = 0, но имеет в этой точке максимум. В самом деле, существует б > 0 (например, 6 = 1) такое, что для всех х Ф 0 из интервала (-1,1) верно неравенство (рис. 8) Задача 1. Исходя из определения максимума и минимума, доказать, что функция I 0, х = 0 имеет в точке х = 0 минимум, а функция ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Признаки возрастания и убывания функции Экстремум функции Необходимое условие экстремума Достаточные условия максимума и минимума.

Исследование функций

Исследование функций на максимум и минимум при помощи второй производной не имеет в точке х = 0 экстремума. Задача 2. Исследовать на экстремум в точке хо функцию f(x) = (x-xo)nip(x), считая, что производная tp'(x) не существует, но функция непрерывна в точке xq и ф О, п — натуральное число. Необходимое условие экстремума Теорема 4.

Функция f(x) может иметь экстремум только в тех точках, в которых ее производная f'(x) либо равна нулю, либо не существует. м Пусть в точке хо функция f(x) имеет производную и f'(xо) ф 0. Для определенности пусть /'(х0) > 0. Тогда функция /(х) в точке хо будет возрастающей. Поэтому найдется такое 6 > 0, что для всех х из интервала верно неравенство , а для всех х из интервала (хо, хо + б) верно неравенство / (рис.9).

Из этого следует, что не существует окрестности точки хо, в которой величина /(х0) была бы наибольшим или наименьшим значением функции f{x), и поэтому точка хо не будет ни точкой максимума, ни точкой минимума функции /(х). Аналогичными рассуждениями придем к тому же выводу при Итак, если в точке хо существует производная /'(х0) Ф 0, то в точке хо не может быть ни максимума, ни минимума функции f(x).

Следовательно, экстремум функции /(х)

может быть только в такой точке, в которой производная /'(х) либо равна нулю, либо не существует. Геометрическую иллюстрацию теоремы даст рис. 10. Функция у = f(x), график которой представлен на этом рисунке, имеет экстрсму-м ы в точках Х|, Хг, хз, х.*; при этом в точках X/ и Х4 производная /'(х) не существует, а в точках Х2 и хз она равна нулю. Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для функции /(х), называются критическими точками этой функции.

Они определяются как корни уравнения и как точки, где f'{x) не существует (в частности, где /'(х) — бесконечно большая функция). Корни уравнения /'(х) = 0 называют стационарными точками функции f(x)\ скорость изменения /(х) в такой точке равна нулю. Теорема выражает лишь необходимое условие экстремума, и не в каждой своей критической точке функция /(х) обязательно имеет максимум или минимум. Пример. Так, например, для функции /(z) = ху имеем /'(0) = 0.

Поэтому точка х - 0 является критической для данной функции. Но функция f{x) = х5 в точке х = 0 экстремума не имеет, для х ) > 0 для х > 0, так что в точке х = 0 данная функция возрастает. ^ Достаточные условия максимума и минимума Теорема 5. Пусть х = хо есть критическая точка для функции f(x), т. е. либо f'(xо) = О, либо f'(xо) не существует, но сама функция f(x) непрерывна в точке х0. Пусть существует такое , что для всех х из интервала (хо - 6, производная 0,ад/1явсехх из интервала имеем е. при переходе х через точку хо производная f'{x) меняет знак с плюса на минус. Тогда в точке х0 функция /(х) имеет максимум.

4 Так как по условию / > 0 в интервале (, то на отрезке [] функиия /(х) возрастает; так как /' в интервале (х0, х0 + 6), то на отрезке |х0,х0 + б) функция /(х) убывает. Следовательно, /(х0) есть наибольшее значение функции /(х) в окрестности (хо - 6, х0 + 6) точки х0 (рис. 11), а это означает, что /(х0) есть локальный максимум функции / Аналогично доказывается Теорема б.

Пусть х = х0 есть критическая точка для функции /(х), т.е. либо /'(xq) = 0, либо /'(хо) не существует, но сама /(х) в точке хо непрерывна. Пусть существует такое 6 > 0, что для всех х из интервала (хо - 6, х0) имеем f, а для всех х из интервала ( (х) > 0. т.е. производная /'(х) при переходе х через точку х<> меняет знак с минуса на плюс. Тогда точка х0 есть точка минимума функции /(х). Если в некоторой окрестности (xq-6, х0 + 6) критической точки х0 и слева и справа отточки х0 знак производной /'(х) один и тот же, то в точке хо нет экстремума функции /(х).

Так, если /'(х) > 0 как для х € (), так и для х б (хо, х0 + 6), то /(х) будет возрастающей как слева, так и справа от точки хо. Поэтому каким бы малыминтервал (х0-6, х0-Ьб) нибыл, /(х0) небудетнинаибольшим,нинаименьшим значением /(х) вэтом интервале,т. с. вточке х0 небудетни максимума, ни минимума функции /(х). Условие непрерывности функции х) в самой точке х0 является существенным. Рассмотрим функцию (рис. 12). В точке х = 0 производная /'(х) не существует.

При переходе х через эту точку производная /'(х) меняет знак, но в точке х = 0 функция /(х) экстремума не имеет: не существует окрестности точки х = 0, в которой /(0) = 1 было бы наибольшим или наименьшим значением функции /(х). Здесь нарушено условие непрерывности функции /(х) вточке х = 0. Правило 1 (отыскания экстремумов функции). Чтобы найти точки максимума и минимума функции /(х),надо: найти производную /'(х), приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение /'(*) = 0; .

2) найти точки, в которых производная /'(х) не существует. Эти точки и корни уравнения /'(х) — 0 будут критическими точками для функции /(х). 3) исследовать знак производной /'(х) слева и справа от каждой критической точки. Если при переходе х через критическую точку х0 производная /'(х) меняет свой знак с плюса на минус, то в точке х0 функция f{x) имеет максимум; если знак /'(х) меняется с минуса на плюс, то в точке х0 функция /(х) имеет минимум. Если при переходе х через критическую точку х0 знак /'(х) не меняется, то в точке хо функция /(х) не имеет ни максимума, ни минимума.

Примеры. 1. Исследовать на экстремум функцию 1) Находим производную: 2) Приравнивая у' нулю, находим критические точки функции 3) Исследуем знак производной слева и справа от каждой из критических точек: Таким образом, точка х = 0 есть точка минимума, точка х = 2 — точка максимума данной функции (рис. 13). 2. Исследовать на экстремум функцию 1) Находим производную: ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Признаки возрастания и убывания функции Экстремум функции Необходимое условие экстремума

Достаточные условия максимума и минимума Исследование функций на максимум и минимум при помощи второй производной 2) Производная нигде не обращается в нуль, но не существует в точке х = 0: 3) Исследуем знак у' слева и справа от точки х = 0: Таким образом, точка х = 0 есть точка минимума данной функции (рис. 14). » Исследовать на экстремум функцию 1) Находим производную: 2) Приравнивая у нулю, находим критические точки функции у 3) Исследуем знак производной у' слева и справа от точки х = 0:

Производная как слева, так и справа от точки х = 0. Следовательно, в точке х = 0 экстремума нет, функция возрастает в точке х = 0 Замечание. Если функция /(х) имеет в точке хо экстремум, например, минимум, то это еще не значит, что справа от точки г0 функция возрастает, а слева убывает. Это показывает следующий пример. Пусть функция /(х) задана равенством (рис. 1S). Нетрудно видеть, что в точке х = 0 данная функция непрерывна и имеет минимум.

Производная функции /'(х) = -f cos j в любой окрестности точ- ки х = 0, исключая саму точку х = 0, непрерывна и меняет знак бесконечно много раз. Л сама функция /(х) не моно-тоннани слева,ни справаотточки х = 0. 2.3. Исследование функций на максимум и минимум при помощи второй производной Следующая теорема опять выражает достаточные условия максимума и минимума функции. Теорема 7. Пусть в точке х0 функция /(х) имеет первую и вторую производные, причем 0. Тогда в точке х0 данная функция /(х) имеет максимум, если , и минимум, если М Прежде всего заметим, что точка х0 является критической точкой для данной функции

Пусть Из этого следует, что в точке х0 первая производная /'(х) убывает, т. е. существует такая окрестность (х0 - 6, х0 4- 6) точки х0, что для всех х из интервала (х0 - 6, х0) верно неравенство /'(х) > /'(х0) = 0, а для всех х из интервала (х0,х0 + б) верно Таким образом, при переходе х через критическую точку х0 производная /'(х) меняет свой знаке плюса на минус.

Следовательно, функция /(х) в точке х0 имеет максимум. Подобными же рассуждениями доказывается, что если » критической точке х0 вторая производная /"(х0) > О.тофункция /(х) в точке х0 имеет минимум. отсюда получаем второе правило отыскания точек экстремума функции. Правило 2 (отыскания экстремумов функции). Чтобы найти точки максимума и минимума функции /(х), надо найти критические точки /(х). Для этого поступаем так, как указано в правиле 1.

Затем ищем вторую производную /"(х). Если она в критической точке хо существует и меньше нуля: /, то в точке х0 функция /(х) имеет максимум, если же , то в точке хо функция /(х) имеет минимум. Если в критической точке хо вторая производная равна нулю или не существует, то такую точку хо можно исследовать с помощью первой производной. Пример. Исследовать на экстремум функцию 4 Имеем у, откуда х = 0 — критическая точка. Далее находим . Отсюда , так что точка — точка максимума функции (рис. 16).