Интеграл Дюамеля

Интеграл Дюамеля. Метод переменных состояния

Зная реакцию цепи на единичное возмущающее воздействие, т.е. функцию переходной проводимости Интеграл Дюамеля или (и) переходную функцию по напряжению Интеграл Дюамеля, можно найти реакцию цепи на воздействие произвольной формы. В основе метода - метода расчета с помощью интеграла Дюамеля - лежит принцип наложения.

При использовании интеграла Дюамеля для разделения переменной, по которой производится интегрирование, и переменной, определяющей момент времени, в который определяется ток в цепи, первую принято обозначать как Интеграл Дюамеля , а вторую - как t.

Интеграл Дюамеля
Пусть в момент времени Интеграл Дюамеля к цепи с нулевыми начальными условиями (пассивному двухполюснику ПД на рис. 1) подключается источник с напряжением Интеграл Дюамеля произвольной формы. Для нахождения тока Интеграл Дюамеля в цепи заменим исходную кривую ступенчатой (см. рис. 2), после чего с учетом, что цепь линейна, просуммируем токи от начального скачка напряжения Интеграл Дюамеля и всех ступенек напряжения до момента t, вступающих в действие с запаздыванием по времени.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретическим основам электротехники (ТОЭ):

Основы электротехники: формулы и лекции и примеры заданий с решением

В момент времени t составляющая общего тока, определяемая начальным скачком напряжения Интеграл Дюамеля, равна Интеграл Дюамеля

В момент времени Интеграл Дюамеля имеет место скачок напряжения Интеграл Дюамеля, который с учетом временного интервала от начала скачка до интересующего момента времени (обусловит составляющую тока Интеграл Дюамеля.

Полный ток Интеграл Дюамеля в момент времени t равен, очевидно, сумме всех составляющих тока от отдельных скачков напряжения с учетом Интеграл Дюамеля , т.е.

Интеграл Дюамеля
Заменяя конечный интервал приращения времени Интеграл Дюамеля на бесконечно малый, т.е. переходя от суммы к интегралу, запишем

Интеграл Дюамеля
Соотношение (1) называется интегралом Дюамеля.

Следует отметить, что с использованием интеграла Дюамеля можно определять также напряжение. При этом в (1) вместо переходной проводимости Интеграл Дюамеля будет входить переходная функция по напряжению.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Операторный метод расчета переходных процессов

Последовательность расчета переходных процессов операторным методом. Формулы включения. Переходные проводимость и функция по напряжению

Нелинейные цепи постоянного тока. Графические методы расчета

Расчет нелинейных цепей методом эквивалентного генератора. Аналитические и итерационные методы расчета цепей постоянного тока

Последовательность расчета с использованием интеграла Дюамеля

1. Определение функции Интеграл Дюамеля (или Интеграл Дюамеля) для исследуемой цепи.

2. Запись выражения Интеграл Дюамеля (или Интеграл Дюамеля) путем формальной замены t на Интеграл Дюамеля.

3. Определение производной Интеграл Дюамеля.

4. Подстановка найденных функций в (1) и интегрирование определенного интеграла.

В качестве примера использования интеграла Дюамеля определим ток в цепи рис. 3, рассчитанный в предыдущей лекции с использованием формулы включения.

Интеграл Дюамеля
Исходные данные для расчета: Интеграл Дюамеля.

1. Переходная проводимость

Интеграл Дюамеля

2. Интеграл Дюамеля

3. Интеграл Дюамеля

4. Интеграл Дюамеля

Интеграл Дюамеля
Полученный результат аналогичен выражению тока, определенному в предыдущей лекции на основе формулы включения.

Метод переменных состояния

Уравнения элекромагнитного состояния - это система уравнений, определяющих режим работы (состояние) электрической цепи.

Метод переменных состояния основывается на упорядоченном составлении и решении системы дифференциальных уравнений первого порядка, которые разрешены относительно производных, т.е. записаны в виде, наиболее удобном для применения численных методов интегрирования, реализуемых средствами вычислительной техники.

Количество переменных состояния, а следовательно, число уравнений состояния равно числу независимых накопителей энергии.

К уравнениям состояния выдвигаются два основных требования:

-независимость уравнений;

-возможность восстановления на основе переменных состояния (переменных, относительно которых записаны уравнения состояния) любых других переменных.

Первое требование удовлетворяется специальной методикой составления уравнений состояния, которая будет рассмотрена далее.

Для выполнения второго требования в качестве переменных состояния следует принять потокосцепления (токи в ветвях с индуктивными элементами) и заряды (напряжения) на конденсаторах. Действительно, если вы знаете во времени законы изменения этих переменных, вы всегда можете заменить их на ЭДС и источники тока с известными параметрами. Поскольку остальная цепь является резистивной, она всегда рассчитывается с использованием известных параметров источника. Кроме того, начальные значения этих переменных относятся к независимым, т.е. в общем случае рассчитываются проще других.

При расчете методом переменных состояния, кроме самих уравнений состояния, связывающих первые производные Интеграл Дюамеля с самими переменными Интеграл Дюамеля и источниками внешних воздействий - ЭДС и тока, необходимо составить систему алгебраических уравнений, связывающих искомые величины с переменными состояния и источниками внешних воздействий.

Таким образом, полная система уравнений в матричной форме записи имеет вид

Интеграл Дюамеля

Интеграл Дюамеля
Здесь Интеграл Дюамеля - столбцовые матрицы соответственно переменных состояния и их первых производных по времени; Интеграл Дюамеля - матрица-столбец источников внешних воздействий; Интеграл Дюамеля - столбцовая матрица выходных (искомых) величин; Интеграл Дюамеля - квадратная размерностью Интеграл Дюамеля (где n - число переменных состояния) матрица параметров, называемая матрицей Якоби; Интеграл Дюамеля - прямоугольная матрица связи между источниками и переменными состояния (количество строк равно п, а столбцов - числу источников m); Интеграл Дюамеля - прямоугольная матрица связи переменных состояния с искомыми величинами (количество строк равно числу искомых величин к, а столбцов - п); Интеграл Дюамеля - прямоугольная размерностью Интеграл Дюамеля матрица связи входа с выходом.

Начальные условия для уравнения (2) задаются вектором начальных значений Интеграл Дюамеля(0)-

В качестве примера составления уравнений состояния рассмотрим цепь на рис. 4,а, в которой требуется определить токи Интеграл Дюамеля

Интеграл Дюамеля
По законам Кирхгофа для данной цепи запишем

Интеграл Дюамеля

Интеграл Дюамеля

Интеграл Дюамеля
Поскольку Интеграл Дюамеля с учетом соотношения (б) перепишем уравнения (4) и (5) в виде

Интеграл Дюамеля

или в матричной форме записи

Интеграл Дюамеля
Матричное уравнение вида (3) вытекает из соотношений (4) и (б):

Интеграл Дюамеля
Вектор начальных значений Интеграл Дюамеля

Непосредственное использование законов Кирхгофа при составлении уравнений состояния для сложных цепей может оказаться затруднительным. В этой связи используют специальную методику упорядоченного составления уравнений состояния.

Что такое теоретические основы электротехники (ТОЭ) вы узнаете по этой ссылке:

Методика составления уравнений состояния

Эта методика включает в себя следующие основные этапы:

1. Составляется ориентированный граф схемы (см. рис. 4,6), на котором выделяется дерево, охватывающее все конденсаторы и источники напряжения (ЭДС). Резисторы включаются в дерево по необходимости: для охвата деревом всех узлов. В ветви связи включаются катушки индуктивности, источники тока и оставшиеся резисторы.

2. Осуществляется нумерация ветвей графа (и элементов в схеме), проводимая в следующей последовательности: первыми нумеруются участки графа (схемы) с конденсаторами, затем резисторами, включенными в дерево, следующими нумеруются ветви связи с резисторами и, наконец, ветви с индуктивными элементами (см. рис. 4,6).

3. Составляется таблица, описывающая соединение элементов в цепи. В первой строке таблицы (см. табл. 1) перечисляются емкостные и резистивные элементы дерева, а также источники напряжения (ЭДС). В первом столбце перечисляются резистивные и индуктивные элементы ветвей связи, а также источники тока.

Таблица 1. Таблица соединений

Интеграл Дюамеля
Процедура заполнения таблицы заключается в поочередном мысленном замыкании ветвей дерева с помощью ветвей связи до получения контура с последующим обходом последнего согласно ориентации соответствующей ветви связи. Со знаком «+» записываются ветви графа, ориентация которых совпадает с направлением обхода контура, и со знаком «-» ветви, имеющие противоположную ориентацию.

Осуществляется расписывание таблицы по столбцам и по строкам. В первом случае получаются уравнения по первому закону Кирхгофа, во втором - по второму.

В рассматриваемом случае (равенство Интеграл Дюамеля тривиально)

Интеграл Дюамеля

откуда в соответствии с нумерацией токов в исходной цепи

Интеграл Дюамеля
При расписывании таблицы соединений по строкам напряжения на пассивных элементах необходимо брать со знаками, противоположными табличным:

Интеграл Дюамеля
Эти уравнения совпадают соответственно с соотношениями (6) и (5).

Из (7) непосредственно вытекает

Интеграл Дюамеля
Таким образом, формализованным способом получены уравнения, аналогичные составленным выше с использованием законов Кирхгофа.