Группы самосовмещений многоугольников и многогранников

Группы самосовмещений многоугольников и многогранников

Группы самосовмещений многоугольников и многогранников

Группы самосовмещений многоугольников и многогранников

Группы самосовмещений многоугольников и многогранников

Группы самосовмещений многоугольников и многогранников

Группы самосовмещений многоугольников и многогранников

Группы самосовмещений многоугольников и многогранников

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Решение задач по математике

Сведения, излагаемые в этом параграфе, будут использованы при решении задач с помощью теории Пойа. Пусть F — геометрическая фигура. Под самосовмещением фигуры F понимают такое перемещение (движение) F (в пространстве или на плоскости), которое переводит F в F. Тривиальным примером самосовмещения является тождественное преобразование с, при котором каждая точка переходит сама в себя. Рассмотрим множество G всех самосовмещен ий фигуры F.

Произведение дх -д2 двух самосовмещений д\ и дг определим как композицию движений pite) — это движение, возникающее в результате последовательного выполнения а затем д]. Легко проверить, что — группа. Чем «более симметричной» будет фигура F, тем «более богатой» будет ее группа самосовмещений. Например, для круга и шара соответствующие группы бесконечны. Группы самосовмещений многоугольников и многогранников Группа вращений правильного n-угольника.

Под вращением правильного п-уголь-ника будем понимать поворот в его плоскости, приводящий к его самосовмещению. Очевидно, что если поворот нетривиален (т.е. не является тождественным преобразованием), то его центром является центр правильного n-угольника. Поскольку при вращении всякая вершина должна перейти в вершину, угол поворота (с точностью до угла, кратного 2тт) равен кк = 0,1,..., п - 1. Группа снмметрнй правильного п-угольника.

Под симметрией правильного п-уголь-ника будем понимать его самосовмещение в пространстве. К перечисленным выше поворотам в плоскости добавляются «опрокидывания* многоугольника, т.е. повороты на 180° вокруг осей симметрии многоугольника8^. Их ровно п штук. Если п четно, то осями симметрии являются п/2 прямых, соед»жяющих пары противоположных вершин многоугольника, и п/2 прямых, соединяющих середины его противоположных сторон.

При нечетном п каждая из осей симметрии проходит через некоторую вершину n-угольника и середину противоположной стороны. Группы вращений многогранников. Под вращением многогранника будем понимать его самосовмещение. 1. Куб. Сначала покажем, что группа вращений куба содержит 24 элемента. Будем считать, что куб расположен таким образом, что о его гранях можно говорить: нижняя, верхняя, передняя и т.д.

Самосовмещение куба полностью определяется тем, 1) какая грань из шести станет нижней и 2) какая из смежных с ней граней будет передней. Согласно правилу произведения имеется всего 6 • 4 = 24 разных самосовмещения. Перечислим их: • тождественное преобразование; Группы самосовмещений многоугольников и многогранников • повороты на ±90\ 180° вокруг прямых, соединяющих центры противоположных граней (таких вращений 3-3 = 9);

Эти преобразования равносильны осевым симмстриям. • повороты на 180° вокруг прямых, соединяющих середины противоположных ребер куба (6); • повороты на ±120° вокруг диагоналей куба (8)9\ Легко проверить (рассмотрев, например, подстановки на множестве вершин, порождаемые вращениями), что все эти самосовмещения различны; так как всего их ровно 24, других самосовмещений нет. 2. Тетраэдр. Под тетраэдром будем понимать правильный тетраэдр.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Ангидриды карбоновых кислот
Исследование функций одной переменной
Вынужденные колебания струны закрепленной на концах. Задача Штурма—Лиувилля
Теорема о делении с остатком

\

Будем считать, что тетраэдр расположен в пространстве таким образом, что о его гранях можно говорить: нижняя, передняя, задние левая и правая. Самосовмещение тетраэдра полностью определяется тем, 1) какая грань из четырех становится нижней и 2) какая из оставшихся трех граней будет передней. Таким образом, всего данная группа содержит 4 • 3 = 12 элементов: • тождественное преобразование; • повороты на ±120° вокруг высот тетраэдра (всего 8 таких поворотов); • повороты на 180° вокруг прямых, соединяющих середины скрещивающихся ребер тетраэдра (таких поворотов 3).

Все названные самосовмешения различны, общее их число 12; поэтому они исчерпывают рассматриваемую группу.

3. Правильная n-угольная пирамида. Очевидно, что группа вращений правильной n-угольной пирамиды, отличной от правильного тетраэдра, изоморфна группе вращений правильного n-угольника, лежащего в ее основании. 4. Двойная пирамида (диэдр). Эта геометрическая фигура представляет собой объединение двух одинаковых правильных п-угольных пирамид, чьи основания совмещены, а вершины находятся по разные стороны от основания.

Если диэдр не является октаэдром, то его группа вращений изоморфна группе симметрий правильного п-угольника. Как известно, октаэдр — многогранник, двойственный кубу (центры граней октаэдра являются вершинами некоторого куба; центры граней куба являются вершинами некоторого октаэдра). Неудивительно поэтому, что группы вращений октаэдра и куба изоморфны. То же справедливо и для групп вращений двух оставшихся правильных многогранников10). 5.

Икосаэдр и додекаэдр. Рассуждая так же, как и в случае куба или тетраэдра, легко найти число элементов группы самосовмешений додекаэдра, зная, что он имеет 20 вершин и из каждой вершины исходит 3 ребра. 9) Рассмотрим, например, поворот куба ABCDA\B\C\D\ вокруг диагонали АС\. Высота треугольной пирамиды ABDA\ лежит на диагонали АС\; основанием этой пирамиды яа!яется правильный треугольник В А \ D (каждая его сторона — диагональ грани куба), который самосовмсшастся при поворотах на углы, кратные 120°. |0) Всего правильных многогранников — ровно пять: тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр. Упражнения 1.

Какими свойствами (рефлексивность, антирефлексивность,

симметричносгь, антисимметричность, транзитивность) обладают следующие бинарные отношения на множестве действительных чисел? 2. Какие из отношений предыдущей задачи являются отношениями эквивалентности? Для каждого из таких отношений выяснить, что представляют собой классы эквивалентности и сколько элементов они содержат.

3. На множестве учеников класса введем отношение «учится лучше». Будем говорить «Ученик А учится лучше ученика В», если по большинству контрольных работ А имел оценки выше, чем В. Обладает ли данное отношение свойством транзитивности? 4. На множестве А введено симметричное и транзитивное отношение К такое, что Доказать, что отношение Я рефлексивно. Соглашение. В задачах данного раздела е обозначает нейтральный элемент группы.

Пусть конечное множество, на котором определена бинарная операция Таблица из п строк и п столбцов, в которой на пересечении i-й строим и j-ro столбца стоит элемент множества А, равный а, * о^, называется таблицей умножения, или квадратом Кэаи. 5. На множестве } определим две бинарные операции: Группы самосовмещений многоугольников и многогранников 1) (наибольший общий делитель); 2) (наименьшее о§щее кратное). Составить для этих операций квадраты Кэли. 6.

Составим матрицу коэффициентов дробно-линейной функции Какая матрица будет соответствовать сложной функции На множестве функций выберем в качестве бинарной операции композицию функций (будем считать, что областью определения всех функций является множество R\{-1,0,1}). Составить квадрат Кэли для данной операции.

Доказать, что рассматриваемая алгебраическая структура является группой. 8. На множестве (Q \ 0) х Q введена операция Доказать, что данная алгебраическая структура является группой. 9. Доказать, что в квадрате Кэли конечной группы каждый элемент группы встречается в каждой строке (и каждом столбце) ровно один раз. 10. Составить квадрат Кэли для следующих групп: 1) вращений правильного треугольника; 2) вращений квадрата; 3) вращений правильного пятиугольника;

4) симметрий ромба, не являющегося квадратом; 5) симметрий правильного треугольника; 6) симметрии прямоугольника, не являющегося квадратом; 7) симметрий квадрата. 11. Доказать, что группа из задачи 7 изоморфна группе симметрии квадрата. 12. Какие из следующих числовых множеств образуют аддитивные группы? 3.

Какие из следующих числовых множеств образуют мультипликативные группы? 14. Доказать, что если в группе каждый элемент себе обратен , то группа — абелева. 15. Найти с точностью до изоморфизма все группы, состоящие не более чем из 4 элементов. 16. Пусть — сюръективное гомоморфное отображение абелевой группы G на группу Н. Доказать, что Я — абелева группа. 17. Пусть ( — группа, д 6 G. Доказать, что отображение , заданное правилом , является изоморфизмом. 1В.

Пусть — конечная группа. Доказать, что Наменьшее п > 0, при котором дя = е, называют порядком элемента д. 19. Порядком конечной группы называется количество ее членов. Доказать, что конечная группа четного порядка обязательно содержит элемент второго порядка. 20. Пусть группа обладает единственным элементом второго порядка. Доказать, что этот элемент перестановочен с каждым элементом группы. Ответы 1. См. табл. Нет. 5. НОД (табл. 4). НОК (табл. 5). См. табл. 6.

8. Указание. Нейтрааьный элемент , обратный 9. Возьмем строку, соответствующую элементу а. В ней встретится элемент Ь, если для некоторого элемента х выполняется равенство . Аналогично, в столбце, соответствующем элемент>' о. встретится элемент b, если для некоторого элемента у выполняется равенство Таким образом, задача сводится к доказательству существования и единственности решения каждого из уравнений (1) и (2).

Умножив равенство (1) слева на элемент а' (элемент, обратный к а), получим х — а' *Ь. Значит, если решение уравнения (1) существует, то оно единственно. С другой стороны, непосредственной подстановкой в (1) убеждаемся, что а' *Ь — решение. Аналогично, находим решение уравнения 15. Указание. Использовать результат упражнения 9. Приведем набросок решения для случая п = 4. Один из элементов гру ппы — нейтральный (е); пусть три других — a, b и с.

Рассмотрим два возможных случая. 1. Каждый элемент группы себе обратен . каждый элемент диагонали квадрата Кэли — е. Ясно, как выглядят строка и столбец, отвечающие е. Теперь нам предстоит заполнить пустые клетки в таблице На пересечении второй строки и третьего столбца может стоять только элемент с, так как во второй строке уже есть элементы а и е, а в третьем столбце — элемент b (напомним, что в каждой строке и каждом столбце квадрата Кэли по одному разу встречается каждый элемент группы). Аналогичные рассуждения позволяют однозначно заполнить оставшиеся клетки таблицы.

Операция, заданная полученной таблицей, удовлетворяет аксиомам (Gl), (G3) и (G4). Осталось проверить выполнение аксиомы (G2). Это можно сделать непосредственно либо привести пример группы, имеющей данный квадрат Кэли. 2. Не каждый элемент группы себе обратен. Пусть, например, а2 = Ь. Имеем таблицу Хотя в ней пустых клеток больше, чем в предьиушем случае, но и она заполняется однозначно. Здесь удобно начать с пересечения второй строки и четвертого столбца.

16. Указание. Воспользоваться тем, что у каждого элемента группы Я есть прообраз в G и тем, что в силу коммутативности G. 17. Указание. Заметить, Группы самосовмещений многоугольников и многогранников 18. Указание. В силу конечности группы в последовательности степеней есть одинаковые элементы. 19. Если а' — элемент, обратный к а, то о — элемент, обратный к о'. Стало быть, элементы порядка выше второго (для каждого такого элемента а имеем а Ф а) разбиваются на пары взаимно обратных.

Поэтому в группе (с четным числом элементов) содержится и четное число элементов порядка 1 и 2. Но порядок 1 имеет только нейтральный элемент. Значит, порядок 2 имеют нечетное число элементов. 20. Пусть — произвольный элемент группы. Докажите, что ада~{ — элемент второго порядка. Из условия задачи теперь следует: