Формулы теоретической механики

Содержание:

  1. Система сходящихся сил
  2. Произвольная плоская система сил
  3. Центр тяжести
  4. Кинематика точки
  5. Поступательное и вращательное движения тела
  6. Плоское (плоскопараллельное) движение тела
  7. Сложное движение точки
  8. Динамика точки
  9. Колебательное движение материальной точки. Свободные колебания
  10. Затухающие колебания
  11. Вынужденные колебания
  12. Теорема об изменении количества движения материальной точки.
  13. Теорема об изменении момента количества движения матер, точки
  14. Работа силы. Мощность
  15. Теорема об изменении кинетической энергии точки.
  16. Динамика материальной системы. Теорема о движении центра масс системы
  17. Геометрия масс
  18. Теорема об изменении количества движения системы
  19. Теорема об изменении момента количеств движения системы
  20. Теорема об изменении кинетической энергии системы
  21. Динамика твердого тела
  22. Принцип Даламбера (метод кинетостатики)
  23. Основы аналитической механики. Принцип возможных перемещений. Общее уравнение динамики. Уравнение Лагранжа 2-го рода

Система сходящихся сил

Формулы теоретической механики

Формулы теоретической механики - отношение прОТИВОлежашего катета к гипотенузе.

Формулы теоретической механики - отношение прИлежащего катета к гипотенузе,

Формулы теоретической механики - отношение прОТИВОлежащего катета к прИлежащему катету.

Сила - мера механического взаимодействия гел.

Сила векторная величина Формулы теоретической механики или Формулы теоретической механики модуль силы - число Формулы теоретической механики

Сходящимися называются силы, линии действия которых пересекаются в одной точке.

Условия равновесия системы сходящихся сил: геометрическое: Формулы теоретической механики

аналитические: Формулы теоретической механики

Проекции силы на оси координат:

Формулы теоретической механики

проекция Формулы теоретической механики если направление составляющей силы совпадает с направлением оси.

Формулы теоретической механики

Модуль силы для плоской системы: Формулы теоретической механики

Модуль силы для пространственной системы:

Формулы теоретической механики

направляющие косинусы: Формулы теоретической механики

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретической механике:

Предмет теоретическая механика: формулы и лекции и примеры заданий с решением

Произвольная плоская система сил

Основные типы связей:

  • а) опора на гладкую поверхность - реакция направлена по нормали к ней, т.е. перпендикулярно касательной - нормальная реакция;
  • б) одна из соприкасающихся поверхностей является точкой (угол), реакция направлена по нормали к другой поверхности;
  • в) нить - реакция направлена вдоль нити;
  • г) неподвижный шарнир - при решении задач заменяется двумя взаимно перпендикулярными составляющими ;
  • д) подвижный шарнир (шарнир на катках) - реакция направлена перпендикулярно опорной плоскости;
  • е) сферический шарнир (в пространстве) - при решении задач заменяется тремя взаимно перпендикулярными составляющими;
  • ж) невесомый стержень - реакция направлена вдоль стержня;
  • з) "глухая" заделка (консольная балка) - возникает произвольно направленная реакция (раскладывается на две составляющие) и реактивный момент.

Плоская система сил - система сил, расположенных в одной плоскости. Условия равновесия плоской системы сил: векторное: Формулы теоретической механики

аналитическое Формулы теоретической механики

или Формулы теоретической механики где Формулы теоретической механики - точки, не лежащие на одной прямой,

или Формулы теоретической механики ось Формулы теоретической механики не перпендикулярна отрезку Формулы теоретической механики

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Скорость точки по теоретической механике

Теоретическая механика движение точки

Твердое тело теоретическая механика

Силы в теоретической механике

Момент силы относительно точки - равен произведению модуля силы на плечо.

Формулы теоретической механики

Плечо Формулы теоретической механики - кратчайшее расстояние от точки, относительно которой берется момент, до линии действия силы. Момент считается положительным, если сила стремится повернуться плечо против хода часовой стрелки.

Пространственная система сил Условия равновесия пространственной системы сил:

Формулы теоретической механики - шесть уравнений: три суммы проекций сил на оси координат и три суммы моментов относительно ОСЕЙ координат.

Формулы теоретической механики

Момент силы относительно оси - скалярная величина, равная моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, взятому относительно точки пересечения оси с плоскостью.

Формулы теоретической механики

Момент Формулы теоретической механики если смотря навстречу оси, мы видим поворот, который стремится совершить сила направленный против часовой стрелки (на рис. Формулы теоретической механики). Момент силы относительно оси равен Формулы теоретической механики

  • 1) если сила параллельна оси (в этом случае Формулы теоретической механики),
  • 2) если линия действия силы пересекает ось (в этом случае Формулы теоретической механики);

т.е. момент силы относительно оси равен нулю, если ось и сила лежат в одной плоскости.

Центр тяжести

Центр тяжести твердого тела - точка, неизменно связанная с этим телом, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести частиц тела при любом положении тела в пространстве. Координаты центра тяжести Формулы теоретической механики

Формулы теоретической механики

где Формулы теоретической механики - координаты точек приложения сил тяжести Формулы теоретической механики Центр тяжести -может лежать и вне пределов тела (например, у кольца).

Центр тяжести плоской фигуры:Формулы теоретической механики - элементарная площадка, Формулы теоретической механики - площадь фигуры.

Если площадь нельзя разбить на несколько конечных частей, то Формулы теоретической механики

Центр тяжести: дуги окружности с центральным углом Формулы теоретической механики Формулы теоретической механики

Цен тр тяжести кругового сектора: Формулы теоретической механики

Цен тр тяжести треугольника: в точке пересечения медиан - на Формулы теоретической механики высоты от основания или Формулы теоретической механики высоты от вершины.

Определяя положение центра тяжести плоской фигуры с вырезанной из нее частью, можно считать площадь этой части отрицательной и тогда: Формулы теоретической механики

способ отрицательных площадей (объемов).

Статический момент площади плоской фигуры - сумма произведений элементарных площадей, входящих в состав площади фигуры, на алгебраические значения расстояний до оси: Формулы теоретической механики

Кинематика точки

Способы задания движения точки: 1) естественный, 2) координатный, 3) векторный.

Векторный способ - положение точки определяется ее радиус-вектором Формулы теоретической механики

Формулы теоретической механики

Естественный способ - указывается траектория точки, закон ее движения по этой траектории, начало и направление отсчета дуговой координаты: Формулы теоретической механики - закон движения точки.

Координатный способ — положение точки в пространстве определяется координатами, закон движения точки: Формулы теоретической механики Исключив из уравнений параметр Формулы теоретической механики получаем уравнение траектории: Формулы теоретической механики (для плоскости).

Скорость точки. Вектор скорости: Формулы теоретической механики - первая производная от радиус-вектора по времени (точка обозначает производную по времени).

Проекции скорости: Формулы теоретической механики

Модуль скорости: Формулы теоретической механики

направляющие косинусы: Формулы теоретической механики и т.д.

Если модуль скорости не изменяется с течением времени, то движение называется равномерным.

При естественном способе модуль скорости Формулы теоретической механики

Скорость всегда направлена по касательной к траектории.

Ускорение точки, Формулы теоретической механики

Проекции ускорения: Формулы теоретической механики и т.д.

Модуль ускорения: Формулы теоретической механики

направляющие косинусы: Формулы теоретической механики и т.д.

При естественным способе задания движения полное ускорение раскладывают на нормальное и касательное (тангенциальное) ускорения: Формулы теоретической механики

Формулы теоретической механики

Модуль нормального ускорения: Формулы теоретической механики где Формулы теоретической механики - радиус кривизны траектории, нормальное ускорение направлено по нормали к траектории (Формулы теоретической механики к касательной) всегда к центру кривизны, т.е. в сторону вогнутости. Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению.

Модуль касательного ускорения Формулы теоретической механики касательное ускорение направлено по касательной к траектории. Касательное ускорение характеризует изменение скорости по величине.

При ускоренном движении направление касательного ускорения и скорости совпадают, при замедленном - противоположно. Т.к. Формулы теоретической механики Частные случаи движения точки:

1) Прямолинейное: радиус кривизны Формулы теоретической механики (бесконечно большой) Формулы теоретической механики

2) Равномерное криволинейное движение: Формулы теоретической механики Ускорение появляется только за счет изменения направления скорости.

Закон движения: Формулы теоретической механики при Формулы теоретической механики

3) Равномерное прямолинейное движение: Формулы теоретической механики

4) Равнопеременное криволинейное движение: Формулы теоретической механики

Формулы теоретической механики

При равноускоренном движении знаки у Формулы теоретической механики и Формулы теоретической механики одинаковы, при равнозамедленном - разные.

Поступательное и вращательное движения тела

Поступательное движение тела - такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельное самой себе. При поступательном движении все точки тела описывают одинаковые траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения. Используются формулы из кинематики точки.

Вращательное движение тела - такое движение твердого тела, при котором все точки, принадлежащие некоторой прямой, неизменно связанной с телом, остаются неподвижными. Эта прямая называется осью вращения тела.

Уравнение (закон) вращательного движения: Формулы теоретической механики - угол поворота тела в радианах Формулы теоретической механики

Угловая скорость: Формулы теоретической механики вектор угловой скорости тела направлен вдоль оси вращения так, что если смотреть ему навстречу вращение будет против часовой стрелки, Формулы теоретической механики - число оборотов в мин. [об/мин], Формулы теоретической механики

Угловое ускорение: Формулы теоретической механики вектор углового ускорения

также направлен вдоль оси вращения. Частные случаи вращения тела:

I) Равномерное вращение: Формулы теоретической механики

2) Равнопеременное вращение: Формулы теоретической механики

Формулы теоретической механики

Скорости и ускорения точек вращающегося тела. Формулы теоретической механики Модуль векторного произведения: Формулы теоретической механики Формулы теоретической механики - расстояние от точки Формулы теоретической механики до оси вращения. Направлен вектор скорости по касательной к окружности, по которой перемещается точка Формулы теоретической механики, в сторону вращения.

Ускорение: Формулы теоретической механики

Вращательное ускорение: Формулы теоретической механики

модуль вращательного ускорения Формулы теоретической механики ускорение направлено по касательной к траектории точки, т.е. параллельно скорости.

Центростремительное (осестремительное) ускорение Формулы теоретической механики модуль центростремительного ускорения: Формулы теоретической механики ускорение направлено по радиусу к оси вращения.

Модуль полного ускорения: Формулы теоретической механики

Угол, между векторами полного и центростремительного ускорений: Формулы теоретической механики

Плоское (плоскопараллельное) движение тела

Плоским (плоскопараллельным) называется такое движение, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой неподвижной плоскости.

Уравнения плоского движения: Формулы теоретической механики точка Формулы теоретической механики называется полюсом.

Формулы теоретической механики

Скорости точек тела при плоском движении: Формулы теоретической механики или Формулы теоретической механики т.е. скорость какой-либо точки Формулы теоретической механики плоской фигуры равна геометрической сумме скорости полюса Формулы теоретической механики и скорости точки Формулы теоретической механики при вращении плоской фигуры вокруг полюса Формулы теоретической механики. Мгновенный центр скоростей - точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент равна нулю - Формулы теоретической механики

Формулы теоретической механики - скорость любой точки плоской фигуры имеет модуль, равный произведению угловой скорости фигуры на длину отрезка, соединяющего точку с м.ц.с., и направлена по этому отрезку в сторону вращения фигуры. При поступательном движении м.ц.с. находится в Формулы теоретической механики

Формулы теоретической механики

Формулы теоретической механики

Выполняются соотношения: Формулы теоретической механики — скорости точек тела пропорциональны их расстояниям до м.ц.с., Формулы теоретической механики угловая скорость тела равна отношению скорости какой-нибудь точки к ее расстоянию до м.ц.с. Определение положения м.ц.с.:

1) м.ц.с. - точка пересечения перпендикуляров, восстановленных к скоростям точек (напр. в точке Формулы теоретической механики и точке Формулы теоретической механики);

2) если скорости точек Формулы теоретической механики и Формулы теоретической механики параллельны между собой и перпендикулярны Формулы теоретической механики то для определения м.ц.с. должны быть известны модули и направления скоростей (см. Формулы теоретической механики и Формулы теоретической механики);

3) если они при этом равны между собой, то м.ц.с. находится в ос, а угловая скорость Формулы теоретической механики

4) если известно, что скорости двух точек Формулы теоретической механики и Формулы теоретической механики

равны, параллельны и не перпендикулярны Формулы теоретической механики то м.ц.с. в Формулы теоретической механики и угловая скорость Формулы теоретической механики если это имеет место только к некоторый момент времени, то имеем мгновенное поступательное движение;

5) если плоская фигура катится без скольжения по неподвижной поверхности, то м.ц.с. плоской фигуры будет в точке соприкасания.

Формулы теоретической механики

Ускорения точек:

Формулы теоретической механики Формулы теоретической механики - ускорение любой точки Формулы теоретической механики фигуры геометрически складывается из ускорения полюса Формулы теоретической механики центростремительного и вращательного ускорений во вращательном движении тела относительно полюса.

Формулы теоретической механики

Мгновенный центр ускорений - точка Формулы теоретической механики плоской фигуры, ускорение которой в данный момент времени равно нулю.

Формулы теоретической механики

Для его построения из точки Формулы теоретической механики откладываем под углом Формулы теоретической механики при этом угол откладывает корению Формулы теоретической механики отрезок Формулы теоретической механики при этом угол откладывается от ускорения в сторону, направления углового ускорения Формулы теоретической механики Модули ускорений точек плоской фигуры пропорциональны расстояниям от этих точек до мгн.ц. ускорений, а векторы ускорений составляют с отрезками, соединяющими эти точки и м.ц.у один и тот же угол Формулы теоретической механики

Мгновенный центр скоростей Формулы теоретической механики и мгновенный центр ускорений Формулы теоретической механики являются различными точками плоской фигуры.

Сложное движение точки

Сложное движение точки - такое движение, при котором точка одновременно участвует в нескольких движениях (напр. пассажир, перемещающийся по движущемуся вагону). В этом случае вводится подвижная система координат (например, вагон), которая совершает заданное движение относительно неподвижной (основной) системы координат (например, Земля). Абсолютным движением точки называется движение по отношению к неподвижной системе координат.

Относительное движение -движение по отношению к подвижной системе координат (движение по вагону). Переносное движение - движение подвижной системы координат относительно неподвижной (движение вагона).

Абсолютная скорость точки равна геометрической сумме ее переносной Формулы теоретической механики и относительной Формулы теоретической механики скоростей Формулы теоретической механики модуль: Формулы теоретической механики Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса): Формулы теоретической механики где Формулы теоретической механики - ускорение

Кориолиса (кориолисово ускорение) - в случае непоступательного переносного движения абсолютное ускорение = геометрической сумме переносного, относительного и кориолисова ускорений. Кориолисово ускорение характеризует:

  • 1) изменение модуля и направления переносной скорости точки из-за ее относительного движения;
  • 2) изменение направления относительной скорости точки из-за вращательного переносного движения.

Модуль ускорения Кориолиса: Формулы теоретической механики направление вектора Формулы теоретической механики определяется по правилу векторного произведения, или по правилу Жуковского: проекцию относительной скорости на плоскость, перпендикулярную переносной угловой скорости, надо повернуть на Формулы теоретической механики в направлении вращения. Когда движение происходит в одной плоскости, то угол между Формулы теоретической механики и вектором Формулы теоретической механики равен Формулы теоретической механики

Формулы теоретической механики

Кориолисово ускорение равно нулю в трех случаях:

1) (Формулы теоретической механики т.е. в случае поступательного переносного движения или в момент обращения угловой скорости в нуль;

2) Формулы теоретической механики - нет относительного движения;

3) Формулы теоретической механики когда относительная скорость Формулы теоретической механики параллельна оси переносного вращения.

Динамика точки

Основные законы механики:

закон инерции: материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока действие других тел не изменит это состояние;

основной закон динамики: ускорение материальной точки пропорционально приложенной к ней силе и имеет одинаковое с ней направление Формулы теоретической механики

закон независимости сил: несколько одновременно действующих на материальную точку сил сообщают точке такое ускорение, какое сообщила бы ей одна сила, равная их геометрической сумме.

Масса движущегося тела принимается равной массе покоящегося тела, - мера инертности тела и его гравитационных свойств. Масса = весу тела, деленному на ускорение свободного падения. Формулы теоретической механики

Дифференциальные уравнения движения материальной точки: Формулы теоретической механики в проекции на декартовы оси координат: Формулы теоретической механики

на оси естественного трехгранника: Формулы теоретической механики

проекция ускорения на бинормаль), т.е.Формулы теоретической механики

(Формулы теоретической механики-радиус кривизны траектории в текущей точке).

Две основные задачи динамики:

первая задача динамики - зная закон движения точки, определить действующую на нее силу;

вторая задача динамики (основная) - зная действующие на точку силы, определить закон движения точки. Дифференциальное уравнение прямолинейного движения

Формулы теоретической механики

Дважды интегрируя уравнение, находим общее решение Формулы теоретической механики

Постоянные интегрирования Формулы теоретической механики ищут из начальных условий: Формулы теоретической механики

Колебательное движение материальной точки. Свободные колебания

Восстанавливающая сила (сила упругости) Формулы теоретической механики сила стремится вернуть точку в равновесное положение, Формулы теоретической механики - коэффициент жесткости пружины = силе упругости при деформации, равной единице Формулы теоретической механики

Свободные колебания Формулы теоретической механики обозначив Формулы теоретической механики получаем Формулы теоретической механики - линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка, характеристическое уравнение: Формулы теоретической механики его корни мнимые, Формулы теоретической механики общее решение дифференциального уравнения будет Формулы теоретической механики - постоянные интегрирования. Для их определения находим уравнение скоростей: Формулы теоретической механики подставляем начальные условия в уравнения для Формулы теоретической механики и Формулы теоретической механики, откуда Формулы теоретической механики т.е. Формулы теоретической механики

Формулы теоретической механики

Можно обозначить Формулы теоретической механикиФормулы теоретической механики - уравнение гармониче-

ских колебаний. Формулы теоретической механики - амплитуда, Формулы теоретической механики Формулы теоретической механики - начальная фаза свободных колебаний; Формулы теоретической механики - циклическая частота (собственная частота) колебаний; период: Формулы теоретической механики Формулы теоретической механики и Формулы теоретической механики не зависят от начальных условий - изохронность колебаний. Амплитуда и начальная фаза зависят о начальных условий.

Под действием постоянной силы Формулы теоретической механики происходит смещение центра колебаний в сторону действия силы Формулы теоретической механики на величину статического отклонения Формулы теоретической механики Если Формулы теоретической механики - сила тяжести, то Формулы теоретической механики

Затухающие колебания

Формулы теоретической механики

Затухающие колебания при действии Формулы теоретической механики сила сопротивления, пропорциональная скорости (вязкое трение), Формулы теоретической механики обозначив Формулы теоретической механики получаем: Формулы теоретической механики характеристическое уравнение: Формулы теоретической механики его корни: Формулы теоретической механики

а) При Формулы теоретической механики корни мнимые Формулы теоретической механики общее решение дифференциального уравнения имеет вид: Формулы теоретической механики обозначив Формулы теоретической механики Формулы теоретической механики

Множитель Формулы теоретической механики показывает, что колебания затухающие. График заключен между двумя симметричными относительно оси Формулы теоретической механики кривыми Формулы теоретической механики

Из начальных условии: Формулы теоретической механики

частота затухающих колебаний: Формулы теоретической механики

период: Формулы теоретической механики период затухающих колебаний больше периода свободных колебаний (при небольших сопротивлениях Формулы теоретической механики). Амплитуды колебаний уменьшаются: Формулы теоретической механики - декремент колебаний;

Формулы теоретической механики логарифмический декремент; Формулы теоретической механики - коэффициент затухания.

Формулы теоретической механики б) Апериодическое движение точки при Формулы теоретической механики или Формулы теоретической механики При Формулы теоретической механики корни характеристического уравнения вещественны, общее решение:

Формулы теоретической механики обозначая Формулы теоретической механикиФормулы теоретической механики (Формулы теоретической механики - гиперболические косинус и синус), если ввести Формулы теоретической механики) - это уравнение не колебательного движения (апериодического), т.к. гиперболический синус не является периодической функцией.

При Формулы теоретической механики корни характеристического уравнения вещественны, равны и отрицательны: Формулы теоретической механики общее решение: Формулы теоретической механики или Формулы теоретической механики движение также апериодическое.

Вынужденные колебания

Вынужденные колебания кроме восстанавливающей силы действует переменная возмущающая сила, обычно, по гармоническому закону: Формулы теоретической механики - частота возмущающей силы, Формулы теоретической механики — начальная фаза, Формулы теоретической механики Формулы теоретической механики - дифференциальное уравнение вынужденных колебаний (неоднородное линейное дифференциальное уравнение). Его общее решение равно сумме общего решения однородного уравнения Формулы теоретической механики и частного решения данного уравнения: Формулы теоретической механики

Общее решение однородного уравнения: Формулы теоретической механики

частное решение неоднородного уравнения: Формулы теоретической механики - частное решение ищется в виде подобном правой части уравнения.

Подставляя решение в уравнение, находим

Формулы теоретической механики

Величина статического отклонения: Формулы теоретической механики - коэффициент динамичности, показывает во сколько раз амплитуда колебаний превосходит статическое отклонение.

При Формулы теоретической механики возникает явление резонанса (частота возмущающей силы равна частоте собственных колебаний, при этом амплитуда неограниченно возрастает).

Формулы теоретической механики

При Формулы теоретической механики наступает явление, называемое биениями:

Формулы теоретической механики

Обозначая Формулы теоретической механики получаем Формулы теоретической механики происходит наложение дополнительных колебаний, вызванных возмущающей силой, на собственно вынужденные колебания - колебания частоты р, амплитуда которых является периодической функцией.

Явление резонанса возникает при совпадении частот вынежденных и свободных колебаний точки Формулы теоретической механики Дифференциальное уравнение: Формулы теоретической механики Частное уравнение: Формулы теоретической механики т.е. общее решение дифференциального уравнения Формулы теоретической механики

Формулы теоретической механики

Уравнение показывает, что амплитуда вынужденных колебаний при резонансе возрастает пропорционально времени.

Период Формулы теоретической механики фаза вынужденных колебаний отстает от фазы возмущающей силы на Формулы теоретической механики

Вынужденные колебания при наличии вязкого трения: Формулы теоретической механики Формулы теоретической механики общее решение в зависимости от величины Формулы теоретической механики и Формулы теоретической механики

  • 1)при Формулы теоретической механики
  • 2) при Формулы теоретической механики
  • 3) при Формулы теоретической механики

Теорема об изменении количества движения материальной точки.

Формулы теоретической механики - количество движения материальной точки, Формулы теоретической механики - элементарный импульс силы.

Формулы теоретической механики - элементарное изменение количества движения материальной точки равно элементарному импульсу силы, приложенной к этой точке (теорема в дифференциальной форме) или Формулы теоретической механики - производная по времени от количества движения материальной точки равна равнодействующей сил, приложенных к этой точке. Проинтегрируем: Формулы теоретической механики - изменение количества движения материальной точки за конечный промежуток времени равно элементарному импульсу силы, приложенной к этой точке, за тот же промежуток времени.

Формулы теоретической механики - импульс силы за промежуток времени Формулы теоретической механики

В проекциях на оси координат: Формулы теоретической механики и т.д.

Теорема об изменении момента количества движения матер, точки

Формулы теоретической механики - момент количества движения материальной точки относительно центра Формулы теоретической механики

Теорема: Формулы теоретической механики - производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно какого-либо центра равна моменту силы, приложенной к точке, относительно того же центра.

Проектируя векторное равенство на оси координат, получаем три скалярных уравнения: Формулы теоретической механики и т.д. - производная от момента количества движения материальной точки относительно какой-либо оси равна моменту силы, приложенной к точке, относительно той же оси.

При действии центральной силы, проходящей через Формулы теоретической механики следовательно

Формулы теоретической механики - секторная скорость.

Под действием центральной силы точка движется по плоской кривой с постоянной секторной скоростью, т.е. радиус-вектор точки описывает ("ометает") равные площади в любые равные промежутки времени (закон площадей) Этот закон имеет место при движении планет и спутников - один из законов Кеплера.

Работа силы. Мощность

Элементарная работа Формулы теоретической механики - проекция силы на касательную к траектории, направленная в сторону перемещения, или Формулы теоретической механики Если Формулы теоретической механики - острый, то Формулы теоретической механики тупой - Формулы теоретической механики

Работа силы на любом конечном перемещении Формулы теоретической механики

Если сила постоянна, то Формулы теоретической механики

Единицы работы: Формулы теоретической механики

Теорема о работе силы: Работа равнодействующей силы равна алгебраической сумме работ составляющих сил на том же перемещении Формулы теоретической механики Работа силы тяжести: Формулы теоретической механики если начальная точка выше конечной.

Работа силы упругости: Формулы теоретической механики работа силы упругости равна половине произведения коэффициента жесткости на разность квадратов начального и конечного удлинений (или сжатий) пружины. Работа силы трения: если сила трения const, то Формулы теоретической механики Работа сил трения всегда отрицательна, Формулы теоретической механики - коэффициент трения, Формулы теоретической механики - нормальная реакция поверхности.

Работа силы тяготения. Сила тяготения (притяжения): Формулы теоретической механики из Формулы теоретической механики находим коэффициент Формулы теоретической механики - не зависит от траектории.

Мощность - величина, определяющая работу в единицу времени, Формулы теоретической механики

Если изменение работы происходит равномерно, то мощность постоянна: Формулы теоретической механикиФормулы теоретической механикиФормулы теоретической механики

Теорема об изменении кинетической энергии точки.

Потенциальная энергия Теорема об изменении кинетической энергии точки в дифференциальной форме: Формулы теоретической механики - полный дифференциал кинетической энергии мат .точки =

элементарной работе всех действующих на точку сил.

Формулы теоретической механики- кинетическая энергия материальной точки.

Теорема об изменении кинетической энергии точки в конечном виде:

Формулы теоретической механики - изменение кинетическои энергии мат.точки, при переходе ее из начального в конечное (текущее) положение равно сумме работ на этом перемещении всех сил, приложенных к точке.

Потенциальная энергия Формулы теоретической механики равна сумме работ сил потенциального поля на перемещении системы из данного положения в нулевое. В нулевом положении Формулы теоретической механикиФормулы теоретической механики

Работа сил поля на перемещении системы из 1-го положения во 2-ое равна разности потенциальных энергий Формулы теоретической механики

Потенциальная энергия поля силы тяжести: Формулы теоретической механики

Потенциальная энергия поля гравитационной силы. Формулы теоретической механики

Формулы теоретической механики - постоянная тяготения.

Потенциальная энергия восстанавливающей силы пружин: Формулы теоретической механики - модуль приращения длины пружины.

Работа восстанавливающей силы пружины: Формулы теоретической механики Формулы теоретической механики и Формулы теоретической механики - деформации, соответствующие начальной и конечной точкам пути.

Динамика материальной системы. Теорема о движении центра масс системы

Материальная система - совокупность материальных точек, движение которых взаимосвязаны.

Центр масс (центр инерции) - геометрическая точка, радиус-вектор Формулы теоретической механики которой определяется равенством: Формулы теоретической механикигде Формулы теоретической механики - радиусы-векторы точек, образующих систему. Координаты центра масс: Формулы теоретической механики и т.д.

Внешние силы Формулы теоретической механики - силы, действующие на точки системы со стороны тел, не входящих в систему.

Внутренние силы Формулы теоретической механики - силы, вызванные взаимодействием точек, входящих в систему. Свойства внутренних сил: 1) Геометрическая сумма (главный вектор) всех внутренних сил = 0; 2) Геометрическая сумма моментов всех внутренних сил относительно произвольной точки = 0.

Дифференциальные уравнения движения системы материальных точек:

Формулы теоретической механики или в проекциях на оси координат: Формулы теоретической механики и т.д.

Теорема о движении центра масс системы.

Произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил Формулы теоретической механики дифференциальное уравнение движения центра масс.

В проекциях на оси координат: Формулы теоретической механики

Закон сохранения движения центра масс. Если главный вектор (векторная сумма) внешних сил остается все время равным нулю, то центр масс механической системы находится в покое или движется прямолинейно и равномерно. Аналогично в проекциях на оси, если Формулы теоретической механики, если при этом в начальный момент Формулы теоретической механики

Геометрия масс

Момент инерции материальной точки относительно некоторой оси называется произведение массы Формулы теоретической механики этой точки на квадрат ее расстояния Формулы теоретической механики до оси: Формулы теоретической механики

Момент инерции тела (системы) относительно оси Формулы теоретической механики

При непрерывном распределении масс (тело) сумма переходит в интеграл:

Формулы теоретической механики - относительно координатных осей;

Формулы теоретической механики - радиус инерции тела - расстояние от оси до точки в которой нужно сосредоточить всего тела, чтобы ее момент инерции равнялся моменту инерции тела.

Момент инерции относительно оси (осевой момент инерции) всегда Формулы теоретической механики

Полярный момент инерции Формулы теоретической механики Свойство: Формулы теоретической механики

Центробежным моментом инерции называются величины, определяемые равенствами: Формулы теоретической механики

Центробежные моменты инерции симметричны относительно своих индексов, т.е. Формулы теоретической механики и т.д. В отличие от осевых, центробежные моменты инерции могут иметь любой знак и обращаться в нуль.

Главной осью инерции тела называется ось, для которой оба центробежных момента инерции, содержащие индекс этой оси, равны нулю. Например, если Формулы теоретической механики то ось Формулы теоретической механики - главная ось инерции.

Размерность всех моментов инерции Формулы теоретической механики

Главной центральной осью инерции назыв. главная ось инерции, проходящая через центр масс тела.

1)Если тело имеет плоскость симметрии, то любая ось, перпендикулярная к этой плоскости, будет главной осью инерции тела для точки, в которой ось пересекает плоскость. 2)Ест тело имеет ось симметрии, то эта ось является главной осью инерции тела (ось динамической симметрии).

Формулы теоретической механики

Моменты инерции некоторых однородных тел: стержень массы Формулы теоретической механики и длины Формулы теоретической механики Формулы теоретической механики

Однородный сплошной диск с центром в точке Формулы теоретической механики радиуса Формулы теоретической механики и массы Формулы теоретической механики

Формулы теоретической механики

Полый цилиндр: Формулы теоретической механикицилиндр с массой распределенной по ободу (обруч): Формулы теоретической механики

Формулы теоретической механики

Теорема Гюйгенса-Штейнера момент инерции тела относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно оси ей параллельной и проходящей через центр масс тела плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями: Формулы теоретической механикиНаименьший момент инерции будет относительно той оси, которая проходит через центр масс.

Теорема об изменении количества движения системы

Теорема об изменении количества движения системы в дифференциальной форме:

Формулы теоретической механики - производная по времени от количества движения механической системы геометрически равна главному вектору внешних сил, действующих на эту систему. В проекциях на оси координат: Формулы теоретической механики и т.д.

Теорема об изменении количества движения системы в интегральной форме:

Формулы теоретической механики количество движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов действующих на систему внешних сил за тот же промежуток времени. Формулы теоретической механики импульсы внешних сил.

В проекциях на оси координат: Формулы теоретической механики и т.д.

Закон сохранения количества движения - если сумма всех внешних сил, действующих на систему, Формулы теоретической механики то вектор количества движения системы будет постоянен по модулю и направлению: Формулы теоретической механики аналогично в проекциях: Формулы теоретической механики

Из закона следует, что внутренние силы изменить суммарное количество движение системы не могут.

Теорема об изменении момента количеств движения системы

(теорема об изменении кинетического момента)

Главный момент количеств движения матер, системы (кинетический момент):

Формулы теоретической механики - величина, равная геометрической сумме моментов количеств движения всех точек системы относительно центра Формулы теоретической механики Формулы теоретической механики

Теорема об изменении момента количеств движения системы (теорема об изменении кинетического момента): Формулы теоретической механики — производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторого неподвижного центра геометрически равна главному моменту внешних сил, действующих на эту систему относительно того же центра.

Аналогичные равенства относительно осей координат: Формулы теоретической механики и т.д.

  • Закон сохранения кинетического момента: если Формулы теоретической механики то Формулы теоретической механики Главный момент количеств движения системы является характеристикой вращательного движения.

Кинетический момент вращающегося тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость тела: Формулы теоретической механики

Если Формулы теоретической механики то Формулы теоретической механики Формулы теоретической механики - момент инерции тела.

Теорема об изменении кинетической энергии системы

Кинетическая энергия системы - скалярная величина Формулы теоретической механики равная арифметической сумме кинетической энергии всех точек системы: Формулы теоретической механики

Если система состоит из нескольких тел, то Формулы теоретической механики

При поступательном движении: Формулы теоретической механики

При вращательном движении: Формулы теоретической механики Формулы теоретической механики - момент инерции относительно оси вращения.

При плоскопараллельном (плоском) движении: Формулы теоретической механики - скорость центра масс.

Работа силы: Формулы теоретической механики работа момента: Формулы теоретической механики

Теорема об изменении кинетической энергии системы: в дифференциальной форме: Формулы теоретической механики - элементарные работы, действующих на точку внешних и внутренних сил,

в конечной форме: Формулы теоретической механики

Для неизменяемой системы работа внутренних сил: Формулы теоретической механикиФормулы теоретической механики т.е. изменение кинетической энергии твердого тела на некотором перемещении равно сумме работ внешних сил, действующих на тело на этом перемещении. Закон сохранения полной механической энергии: Формулы теоретической механики Если система движется под действием потенциальных сил, то сумма кинетической и потенциальной энергий сохраняет постоянное значение. (Формулы теоретической механики — интеграл энергии). Потенциальные силы - силы, работа которых не зависит от вида траектории, по которой перемещается точка (пример: сила тяжести, сила упругости), пример не потенциальных сил - силы трения.

Динамика твердого тела

Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела:

Формулы теоретической механики и т.д. Формулы теоретической механики - проекция внешней силы.

Все точки тела движутся так же, как и его центр масс Формулы теоретической механики Для осуществления поступательного движения необходимо, чтобы главный момент всех внешних сил

относительно центра масс был равен Формулы теоретической механики Формулы теоретической механики

Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси; Формулы теоретической механики - момент инерции тела относительно оси вращения Формулы теоретической механики Формулы теоретической механикимомент внешних сил относительно оси вращения (вращающий момент). Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси аналогично дифференциальному уравнению прямолинейного движения точки Формулы теоретической механики Частные случаи:

  • 1) если Формулы теоретической механики то Формулы теоретической механики - тело вращается равномерно;
  • 2) Формулы теоретической механики то Формулы теоретической механики - вращение равнопеременное (угловое ускорение постоянно).

Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела:

Формулы теоретической механики Формулы теоретической механики - центр масс тела, Формулы теоретической механики - момент инерции тела относительно оси, перпендикулярной плоскости движения тела и проходящей через его центр масс. При плоском движении положение тела определяется положением полюса и углом поворота тела вокруг полюса.

Принцип Даламбера (метод кинетостатики)

Принцип Даламбера для материальной точки Формулы теоретической механики каждый момент движения сумма активных сил, реакций связей и сил инерции равна нулю Формулы теоретической механики

Формулы теоретической механики - внешняя сила, Формулы теоретической механики - внутренняя сила, Формулы теоретической механики - сила инерции.

Сила инерции:Формулы теоретической механики знак Формулы теоретической механики показывает, что сила инерции направлена в противоположную сторону ускорению. Для системы добавляется уравнение моментов:

Формулы теоретической механики

Обозначают: Формулы теоретической механики - главный вектор сил инерции, Формулы теоретической механики главный момент сил инерции. Учитывая, что геометрическая сумма внутренних сил и сумма их моментов равна нулю Формулы теоретической механики получаем:

Формулы теоретической механики — уравнения кинетостатики.

Принцип Даламбера для системы - если в любой момент времени к каждой точке системы приложить, кроме реально действующих сил, соответствующие силы инерции, то полученная система сил будет находиться в равновесии и к ней можно применять уравнения статики. Это упрощает процесс решения задач.

Главный вектор сил инерции Формулы теоретической механики равен произведению

массы тела на ускорение его центра масс и направлен противоположно этому ускорению.

Главный момент сил инерции зависит от вида движения: при поступательном движении Формулы теоретической механики при плоском Формулы теоретической механики при вращении вокруг оси Формулы теоретической механики проходящей через центр масс тела, Формулы теоретической механики

Основы аналитической механики. Принцип возможных перемещений. Общее уравнение динамики. Уравнение Лагранжа 2-го рода

Принцип возможных перемещений: для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении была равна нулю. Формулы теоретической механики или в проекциях: Формулы теоретической механики

Общее уравнение динамики Формулы теоретической механики- при движении системы с идеальными связями в каждый данный момент времен сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы будет равна нулю. Уравнение использует принцип возможных перемещений и принцип Даламбера и позволяет составить дифференциальные уравнения движения любой механической системы.

Возможная (виртуальная) работа Формулы теоретической механики - элементарная работа которую, действующая на материальную точку сила могла бы совершить на возможном перемещении этой точки.

Возможные (виртуальные) перемещения системы Формулы теоретической механики - любая совокупность бесконечно малых перемещений точек системы, допускаемых в данный момент наложенными на систему связями.

Число независимых между собою возможных перемещений системы называется числом степеней свободы этой системы. Свободное твердое тело имеет 6 степеней свободы.

Уравнения Лагранжа 2-го рода: Формулы теоретической механики - дифференциальные уравнения второго порядка, Формулы теоретической механики - число степеней свободы системы (число независимых координат); Формулы теоретической механики - обобщенная координата (перемещение, угол, площадь и др.); Формулы теоретической механики - обобщенная скорость (линейная скорость, угловая, секторная и др.).

Формулы теоретической механики - кинетическая энергия системы, Формулы теоретической механики - обобщенная сила (сила, момент и др.), ее размерность зависит от размерности обобщенной координаты и размерности работы.

Если силы, действующие на систему, потенциальные (консервативные) (например, силы тяжести, силы упругости), то Формулы теоретической механики - потенциальная энергия.

Вводится функция Лагранжа: Формулы теоретической механики тогда Формулы теоретической механики - уравнения Лагранжа второго рода для консервативной системы.

При стационарных связях (связях, не зависящих от времени) Формулы теоретической механики не входит в выражение для кинетической энергии, тогда Формулы теоретической механикиквадратичная форма обобщенных скоростей, Формулы теоретической механики - коэффициенты инерции. Квадратичная форма всегда положительна.