Элементы векторной алгебры. Понятия связанного и свободного векторов

Содержание:

1. Понятия связанного и свободного векторов
2. Линейные операции над векторами

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Рассмотрим две точки А и В. По соединяющему их отрезку можно перемешаться в любом из двух противоположных направлений. Если считать, например, точку А начальной, а точку В конечной, то тогда получаем направленный отрезок АВ, в другом случае — направленный отрезок В А. Направленные отрезки часто называют связанными или закрещенными векторами.

На чертеже заданное направление указывается стрелкой (рис. 1). Рис.3 Рис. 1 В случае, когда начальная и конечная точки совпадают, А = В, связанный вектор называется нулевым. Определение. Будем говорить, что связанные векторы АВ и CD равны, если середины отрезков AD и ВС совпадают (рис.2). Обозначение: А В = CD. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ.

Понятия связанного и свободного векторов

Линейные операции над векторами. Умножение вектора на число Заметим, что в случае, когда точки А, В, С и D не лежат на одной прямой, это равносильно тому, что четырехугольник ABCD — параллелограмм. Ясно, что равные связанные векторы имеют равные длины. Пример. Рассмотрим квадрат и выберем векторы, как указано на рис.3. Векторы АВ и DC равны, а векторы ВС и DA не равны, р Укажем некоторые свойства равных связанных векторов: 1.

Каждый связанный вектор равен самому себе: АВ = АВ. Если Пусть АВ — заданный связанный вектор и С — произвольная точка. Ясно, что, опираясь на определение, всегда можно построить точку D так, чтобы CD = АВ. Тем самым, от каждой точки можно отложить связанный вектор, равный исходному (рис.5). Мы будем рассматривать свободные векторы, т. е. такие векторы, начальную точку которых можно выбирать произвольно, или, что то же самое, которые можно произвольно переносить параллельно самим себе.

Ясно, что свободный вектор А В однозначно определяется заданием связанного вектора АВ. Если в качестве начальных выбирать лишь те точки, которые лежат на прямой, определяемой заданным (ненулевым) связанным вектором, то мы приходим к понятию скользящего вектора (рис. 6). Рис. 6 Рис. 4 Связанные и скользящие векторы широко используются п теоретической механике.

Для обозначения свободных векторов будем пользоваться полужирными строчными латинскими буквами — а, Ь, с,... ; нулевой вектор обозначается через 0.

Пусть заданы вектор а и точка А. Существует ровно одна точка В, для которой & АВ = а (рис.7). Операция построения связанного вектора АВ, для кото- РИС 7 рого выполняется это равенство, называется откладыванием свободного вектора а от точки А. Заметим, что связанные векторы, получаемые в результате описанной операции откладывания,равнымеждусобойи,значит,имеютодинаковуюдлину. Этопозволяет ввести длину свободного вектора а, которую мы будем обозначать символом |а|.

Длина нулевого вектора равна нулю. Если а = Ь, то |а| = |Ь|; обратное неверно. §2. Линейные операции над векторами 2.1. Сложение векторов Пусть заданы два вектора а и Ь. Возьмем какую-нибудь точку О и отложим от нее вектор a: OA = а. От полученной точки А отложим вектор I»: АВ = Ь. Полученный в результате вектор оЪ называется суммой векторов а и b и обозначается через а + Ь (рис. 8). Этот способ построения суммы векторов называется правилом треугольника.

Нетрудно заметить, что сложение векторов коммутативно, т. е. для любых векторов а и b справедливо равенство (рис.9). Если отложить векторы а и I» от обшей точки О и построить на них как на сторонах параллелограмм, то вектор ОЙ, идущий из общего начала О в противоположную вершину параллелограмма, будет их суммой а + Ь (или b + а) (рис. 10). Этот способ построения суммы векторов называется правилом параллелограмма. Рис.9 Рис. ю ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ.

Линейные операции над векторами

Умножение вектора на число Пусть заданы три вектора, например, a, b и с. Отложим от произвольной точки О вектор a: OA = а; от полученной точки А отложим вектор b: АВ = Ь; отточки В — вектор с: ВС = с (рис. 11). По определению суммы оЪ = а + b и ОС = (а + Ь) + с (рис. 12). С другой стороны, ЛС = b + с и, значит, О? = а + (Ь + с) (рис. 13). Тем самым, для любых векторов a, b и с выполняется равенство т. е. сложение векторов ассоциативно. Опуская скобки, можно говорить о сумме трех векторов и записывать ее так: Рис. 12

Аналогично определяется сумма любого числа векторов: это есть вектор, который замыкает ломаную, построенную из заданных векторов. На рис. 14 показан», как построить сумму семи векторов: Приведенный способ сложения произвольного числа векторов называется правилом замыкающего ломаную. Пример. Найти сумму векторов, идущих из центра правильного шестиугольника в его вершины. По правилу замыкающего ломаную получаем (рис. 15). Рис. 15 2.2.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Умножение вектора на число Определение. Свободные векторы а и Ь называются коллинеарными, если определяющие их связанные векторы лежат на параллельных или на совпадающих прямых (рис. 16). Обозначение: а |) Ь. Замечание. И э определения следует, чтоесли хотя бы один из векторов а и Ь нулевой, то они коллинсарны. Если отложить К9ллинеарн{>1е векторы а и Ь от обшей точки О, OA = a, OB - I), то точки О, A w В будут лежать на одной прямой.

А и Я располагаются на этой прямой: 1) по одну сторону от точки О, А 2) по разные стороны (рис. 17). В первом случае векторы а и b называются одинаково направленными, а во втором — противоположно направленными. Если векторы имеют равные длины и одинаково направлены, то они равны. Пусть а — вектор, Л — вещественное число.

Определение. Произведением вектора а на число А называется вектор 1> такой, что 2) векторы а и b одинаково (соответственно, противоположно) направлены, если А > 0 (соответственно, А 0). Обозначение: b = Аа. При Л = 0 положим Ла = О. Таким образом, векторы а и b = Аа коллинеарны по определению. Верной обратное: если векторы а (и Ф 0) и b коллинеарны, то можно найти число А такое, что 1х = Аа. Укажем основные свойства этой операции умножения вектора на число:

ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ. Понятия связанного и свободного векторов. Линейные операции над векторами. Умножение вектора на число (здесь А и ц — любые действительные числа, н и I) - произвольные векторы). Определение. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором, или ортом, и обозначается а0 (читается: а с нуликом), |а°| = 1. Если а Ф 0, то вектор есть единичный вектор (орт) направления вектора а (рис. 18).