Элементарные функции комплексного переменного. Дробно-рациональные функции

Содержание:

  1. Дробно-линейная функция
  2. Тригонометрические и гиперболические функции

Элементарные функции комплексного переменного. Дробно-рациональные функции

Элементарные функции комплексного переменного. Дробно-рациональные функции

Элементарные функции комплексного переменного. Дробно-рациональные функции

Элементарные функции комплексного переменного. Дробно-рациональные функции

Элементарные функции комплексного переменного. Дробно-рациональные функции

Элементарные функции комплексного переменного. Дробно-рациональные функции

Элементарные функции комплексного переменного. Дробно-рациональные функции

 

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Решение задач по математике

 

Линейной функцией комплексного переменного z называется функция вида где а и 6 — заданные комплексные числа, причем а Ф 0. Линейная функция определена для всех значений независимого переменного г, однозначна и, т. к. обратная функция также однозначна, однолистна во всей плоскости z. Линейная функция аналитична во всей комплексной плоскости, и ее производная поэтому осуществляемое ей отображение конформно во всей плоскости.

Дробно-линейная функция

Дробно-линейной функцией называется функция вида — заданные комплексные числа, причем Дробно-линейная функция определена для всех значений независимого переменного zy кроме z = -|, однозначна и, т. к. обратная функция Элементарные функции комплексного переменного Дробно-рациональные функции Степенная функция Показательная функция Логарифмическая функция Тригонометрические и гиперболические функции однозначна, однолистна во всей комплексной плоскости, исключая точку z = —

В этой области функция (3)аналитична и ее производная поэтому осуществляемое ею отображение конформно. Доопределим функцию (3) в точке z = — \, положив £) = оо, а бесконечно удаленной точке w = оо поставим в соответствие точку z(oo) = Тогда дробно-линейная функция будет однолистна в расширенной комплексной плоскости z. Пример 1. Рассмотрим дробно-линейную функцию Из равенства вытекает, что модули комплексных чисел г и и» свяеаны соотношением а сами эти числа располагаются на лучах, выходящих из точки О и симметричных относительно действительной оси.

В частности, точки единичной окружности |z| = 1 переходят в точки единичной окружности Ы = 1. При этом комплексному числу ставится в соответствие сопряженное число (рис. 11). Заметим также, что функция го = -g отображает бесконечно удаленную точку г - оо в нулевую го - 0. 2.2. Степенная функция Степенная функция где п — натуральное число, аналитична во всей комплексной плоскости; ее производная = nzn~] при п > 1 отлична от нуля во всех точках, кроме z = 0.

Записывая в формуле (4) w и z в показательной форме получаем, что Из формулы (5) видно, что комплексные числа Z\ и z2 такие, что где k — целое, переходят в одну точку w. Значит, при n > 1 отображение (4) не является однолистным на плоскости z. Простейшим примером области, в которой отображение ги = zn однолистно, является сектор где а — любое вещественное число. В области (7) отображение (4) конформно. — многозначна, т. к. для каждого комплексного числа z = ге1в Ф 0 можно указать п различных комплексных чисел , таких, что их n-я степень равна z: Отметим, что Многочленом степени п комплексного переменного z называется функция где заданные комплексные числа, причем ао Ф 0.

Многочлен любой степени является аналитической функцией на всей комплексной плоскости.

2.3. Дробно-рациональная функция Дробно-рациональной функцией называется функция вида где ) — многочлены комплексного переменного z. Дробно-рациональная функция аналитична во всей плоскости, кроме тех точек, в которых знаменатель Q(z) обращается в нуль. Пример 3. Функция Жуковского__ аналитична во всей плоскости г, исключая точку г = 0. Выясним условия на область комплексной плоскости, при которых функция Жуковсхого, рассматриваемая в этой области, будет однолистна. М Пусть точки Z) и zj функция (8) переводит в одну точку.

Тогда при мы получаем, что Значит, для однолистности функции Жуковского необходимо и достаточно выполнение условия Примером области, удовлетворяющей условию однолистности (9), является внешность круга |z| > 1. Так как производная функции Жуковского Элементарные функции комплексного переменного Дробно-рациональные функции Степенная функция Показательная функция Логарифмическая функция Тригонометрические и гиперболические функции отлична от нуля всюду, кроме точек , то отображение области осуществляемое этой функцией, будет конформным (рис. 13).

 

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Метод максимального правдоподобия
Поток вектора через незамкнутую поверхность. Теорема Гаусса—Остроградского
Обратимость химических реакций
Сколько колебаний совершает математический маятник

 

Заметим, что внутренность единичного круга |I также является областью однолистности функции Жуковского. Рис. 13 2.4. Показательная функция Показательную функцию ez определим для любого комплексного числа z = х + гу следующим соотношением: При х = 0 получаем формулу Эйлера: Опишем основные свойства показательной функции: 1. Для действительных z данное определение совпадает с обычным. В этом можно убедиться непосредственно, положив в формуле (10) у = 0. 2.

Функция ez аналитична на всей комплексной плоскости, и для нее сохраняется обычная формула дифференцирования 3. Для функции ег сохраняется теорема сложения. Положим 4. Функция ez — периодическая с мнимым основным периодом 2xi. В самом деле, для любого целого к С другой стороны, если то из определения (10) вытекает, что Откуда следует, что , или где п — целое. ► Полоса не содержит ни одной пары точек, связанных соотношением (12), поэтому из проведенного исследования вытекает, что отображение w = е' одно л истно в полосе (рис. 14). Атак как производная , то это отображение конформно.

Замечз нив. Функция г.г однолистна

в любой полосе 2.5. Логарифмическая функция Из уравнения где задано, неизвестное, получаем Отсюда Тем самым функция, обратная функции определена для любого и предсташтяется формулой где Эта многозначная функция называется логарифмической и обозначается следующим образом Величину arg z называют главным значением логарифма и обозначают через Тогда для Ln z получается формула 2.6.

Тригонометрические и гиперболические функции

Из формулы Эйлера (11) для действительных у получаем Откуда Определим тригонометрические функции sin z и cos z для любого комплексного числа z посредством следующих формул: Синус и косинус комплексного аргумента обладают интересными свойствами. Перечислим основные из них. Функции sinz и cos z: 1) для действительных z —х совпадают с обычными синусами и косинусами;

2) аналитичны на всей комплексной плоскости; 3) подчиняются обычным формулам дифференцирования: 4) периодичны с периодом 2тг; 5) sin z — нечетная функция, a cos z — четная; 6) сохраняются обычные тригонометрические соотношения. Все перечисленные свойства без труда получаются из формул (15). Функции tgz и ctgz в комплексной области определяются формулами а гиперболические функции — формулами ' Гиперболические функции тесно связаны с тригонометрическими функциями.

Эта связь выражается следующими равенствами: Синус и косинус комплексного аргумента обладают еще одним важным свойством: на комплексной плоскости |\ принимают сколь угодно большие положительные значения. Покажем это. Пользуясь свойствами 6 и формулами (18) получаем, что Элементарные функции комплексного переменного Дробно-рациональные функции Степенная функция Показательная функция Логарифмическая функция Тригонометрические и гиперболические функции Откуда Полагая , имеем Пример 4. Нетрудно проверить, что -4 В самом деле,