Эквивалентные бесконечно малые функции. Условие эквивалентности символы Ландау

Определение:

Две бесконечно малые при х — хо функции а(х) и (3{х) называются эквивалентными, если предел их отношения в точке х0 равен единице: Эквивалентные б. м.ф. представляют частный случай б.м. одного порядка. Эквивалентность б. м. ф. а(х) и Р(х) обозначается так: Про эквивалентные б. м. ф. а(х) и /3(х) говорят также, что они равны асимптотически при х —► Хо.

Замечание. Пусть а(х), 0(х) и ~i(x) — б. м.ф. при х — хо- Нетрудно видеть, что Эквивалентные бесконечно малые функции условие эквивалентности символы Ландау так что отношение эквивалентности обладает свойством рефлексивности, симметричности и транзитивности. Приведем примеры эквивалентных бесконечно малых функций. В свое время мы установили, что Нетрудно показать, что Докажем, что Положим . Отсюда Ясно, что у Следовательно, Поэтому В частности, при получаем 0 при Докажем, что Положим .

Тогда , откуда Ясно, что Используя равенство (1), пологим Переходя к пределу при х 0 (у 0), найдем Итак, Таблица эквивалентных бесконечно малых функций (асимптотических равенств) Определение. Если для функции /(х) можно подобрать числа anm,a^0,mG N, такие, что f(x) ~ ахт, х 0, то говорят, что функция ахт есть главный степенной член функции f{x) при х 0. Правые части написанных выше асимптотических равенств есть главные степенные члены левых частей. Теорема (замена б.м.ф. эквивалентными).

Пусть а) — бесконечно малые при функции, причем . Если в точке хо отно- шение имеет конечный или бесконечный предел, то он не изменится при замене а(х) на Представим отношение в виде По условию Если отношение в точке имеет предел Л, то, воспользовавшись теоремой о пределе произведения, из (3) будем иметь Если же — бесконечно большая функция при то вся правая часть равенства (3) и, значит, также будет пример.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Вычислить м Пользуясь теоремой о замене б. м. ф. им эквивалентными и таблицей (2), получаем Эквивалентные бесконечно малые функции условие эквивалентности символы Ландау Теорема 25 (условие эквивалентности).

Для того, чтобы две бесконечно малые при х -* хо функции а{х) и р{х) были эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы их разность при х -* xq была бы б. м. ф. более высокого порядка, чем они сами. Необходимость. Пусть — эквивалентные б. м. ф. при х -* хо- Докажем, что их разность (б. м. ф. при х -» х0) является б. м. более высокого порядка, чем р(х), а, следовательно, и а(х). Действительно, по условию , и значит Отсюда Это означает, что при х -» х0 б. м. ф. i(x) есть б. м. более высокого порядка, чем Р(х) •

Достаточность:

Пусть разность 7(з) = а(з) - Р(х) функций а(х) и р(х), б. м. при х х0, есть б. м. ф. более высокого порядка, чем р(х) (или а(х)). Докажем, что а(х) ~ р(х), х -* х0. По условию Отсюда что означает эквивалентность при х х0. Пример. Функции есть б. м. ф. при х 0. Их разность -у(х) = 2х3 при х — 0 является б. м. более высокого порядка, чем а(х) и /3(х). Следовательно, а(х) ~ /?(х), х —

в некоторой окрестности П точки х0, кроме, быть может, самой точки х0, и пусть в некоторой окрестности По точки х0, х Ф- х0, р(х) Ф 0 (здесь точка х0 может быть конечной и бесконечной). Говорят, что /(х) есть о-малое от у?(х) и пишут если Соотношение , означает таким образом, что функция /(х) есть бесконечно малая по сравнению с ^(х) при х — х0. В частности, соотношение /(х) = о(1), х хо, означает, что /(х) — бесконечно малая функция при х хо. Примеры.

Говорят, что /(х) есть О-большое от прихи пишут если существует число и окрестность П0 точки х0 такие, что Соотношение , означает, что /(х) ограничена в окрестности точки Хо- Примеры. Эквивалентные бесконечно малые функции условие эквивалентности символы Ландау Использование знака равенства в рассматриваемой ситуации является чисто условным, так как некоторые свойства знака равенства не сохраняются.

Например, из «равенства» Напомним, что если то функции называют эквивалентными или асимптотически равными при и пишут Пользуясь таблицей (2) эквивалентных б. м. ф. и теоремой 25, получаем асимптотические формулы Всю группу соотношений , называют асимптотическими формулами или асимптотическими оценками. Упражнения Найдите пределы: Пользуясь эквивалентными б. м. ф., найдите пределы: