Экстремум функции нескольких переменных

Содержание:

  1. Значение функции в точке максимума
  2. Условный экстремум

Экстремум функции нескольких переменных

Экстремум функции нескольких переменных

Экстремум функции нескольких переменных

Экстремум функции нескольких переменных

Экстремум функции нескольких переменных

Экстремум функции нескольких переменных

Экстремум функции нескольких переменных

Экстремум функции нескольких переменных

Экстремум функции нескольких переменных

Экстремум функции нескольких переменных

Экстремум функции нескольких переменных

Экстремум функции нескольких переменных

Экстремум функции нескольких переменных

Экстремум функции нескольких переменных

Экстремум функции нескольких переменных

 

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Решение задач по математике

 

функция z — /(х, у) определена в некоторой области D и пусть Мо(хо, Уо) — внутренняя точка этой области. Определение. Если существует такое число , что для всех , удовлетворяющих условиям , верно неравенство то точка Мо(хо, уо) называется точкой локального максимума функции /(х, у); если же для всех Дх, Ду, удовлетворяющих условиям | то точка Мо(хо,уо) называется тонкой локального минимума.

Иными словами, точка М0(х0, у0) есть точка максимума или минимума функции /(х, у), если существует 6-окрестность точки А/о(хо,уо) такая, что во всех точках М(х, у) этой окрестности приращение функции сохраняет знак. Примеры. 1. Для функции точка — точка минимума (рис. 17). 2. Для функции точка 0(0,0) является точкой максимума (рис.18). 3.

Для функции точка 0(0,0) является точкой локального максимума. 4 В самом деле, существует окрестность точки 0(0, 0), например, круг радиуса j (см. рис. 19), во всякой точке которого, отличной отточки 0(0,0), значение функции /(х,у) меньше 1 = Мы будем рассматривать только точки строгдго максимума и минимума функций, когда строгое неравенство или строгое неравенство выполняется для всех точек М(х} у) из некоторой проколотой 6-окрестности точки Mq.

Значение функции в точке максимума

Значение функции в точке максимума называется максимумом, а значение функции в точке минимума — минимумом этой функции. Точки максимума и точки минимума функции называются точками экстремума функции, а сами максимумы и минимумы функции — ее экстремумами. Теорема 11 (необходимое условие экстремума). Если функция Экстремум функции нескольких переменных Понятие экстремума функции нескольких переменных.

Необходимые и достаточные условия экстремума Условный экстремум Наибольшее и наименьшее значения непрерывных функций имеет экстремум в точке то в этой точке каждая частная производная и щ либо обращается в нуль, либо не существует. Пусть в точке М0(х0, уо) Функция z = f(x} у) имеет экстремум. Дадим переменной у значение уо. Тогда функция z = /(х, у) будет функцией одной переменной х\ Так как при х = хо она имеет экстремум (максимум или минимум, рис. 20), то ее производная по при х = «о, | (*о,л>)' Равна нулю, либо не существует.

Аналогично убеждаемся в том, что ) или равна нулю, или не существует. Точки, в которых = 0 и щ = 0 либо не существуют, называются критическими точками функции z = Дх, у). Точки, в которых $£ = щ = 0, называются также стационарными точками функции. Теорема 11 выражает лишь необходимые условия экстремума, не являющиеся достаточными. Пример. Функция Рис. 18 Рис.20 иммт производные которые обращаются а нуль при . Но эта функция а тонка на имват «страмума.

Действительно, функция равна нулю в точке 0(0,0) и принимает в точках М(х,у), как угодно близких к точке 0(0,0), квк положительные, так и отрицательные значения. Для нее так что в точках в точках (0, у) при сколь угодно малых Точку 0(0,0) указанного типа называют точкой мини-макса (рис. 21). Достаточные условия экстремума функции двух переменных выражаются следующей теоремой. Теореме 12 (достаточные условии экстремума фужцим д§ух переменных).

Пустьточка Мо(хо» Уо) является стационарной точкой функции f(x, у), и в некоторой окрестности точки / включая саму точку Мо, функция /(г, у) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно.

Тогда'. 1) в точке Mq(xq, Уо) функция /(ж, у) имеет максимум, если в этой точке определитель 2) в точке Мо(я0, Уо) функция /(ж, у) имеет минимум, если в точке Мо(го, Уо) функция /(ж, у) не имеет экстремума, если • D(xо, уо) < 0. Если же то в точке Мо(жо> Уо) экстремум функции f(x, у) ложет быть, о может и не быть. В этом случае требуется дальнейшее исследование. м Ограничимся доказательством утверждений 1) и 2) теоремы. Напишем формулу Тейлора второго порядка для функции /(я, у): где .

По условию откуда видно, что знак приращения Д/ определяется знаком трехчлена в правой части (1), т. е. знаком второго^дифференциала d2f. Обозначим для краткости . Тогда равенство (l) можно записать так: Пусть в точке MQ(so, Уо) имеем .. Так как по условию частные производные второго порядка от функции /(s, у) непрерывны, то неравенство (3) будет иметь место и в некоторой окрестности точки M0(s0,yo). Если выполнено условие ( в точке Л/0, и в силу непрерывности производная /,z(s,y) будет сохранять знак в некоторой окрестности точки Af0.

В области,где А Ф 0, имеем Отсюда видно, что если ЛС - В2 > 0 в некоторой окрестности точки М0(х0) у0), то знак трехчлена ААх2 -I- 2ВАхАу + СДу2 совпадает со знаком А в точке (so, Уо) (а также и со знаком С, поскольку при АС - В2 > 0 А и С не могут иметь разные знаки). Так как знак суммы AAs2 + 2ВАхАу + САу2 в точке (s0 + $ Ах, уо + 0 Ду) определяет знак разности то мы приходим к следующему выводу: если для функции /(s,y) в стационарной точке (s0, Уо) выполнено условие , то для достаточно малых || будет выполняться неравенство .

Тем самым, в точке (sq, Уо) функция /(s, у) имеет максимум. Если же в стационарной точке (s0, уо) выполнено условие ),то для всех достаточно малых |Дг| и |Ду| верно неравенство , значит, в точке (so,yo) функция /(s, у) имеет минимум. Примеры. 1. Исследовать на экстремум функцию 4 Пользуясь необходимыми условиями экстремума, разыскиваем стационарные точки функции. Для этого находим частные производные , щ и приравниваем их нулю.

 

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Устойчивость стержней
Асимптотическое поведение функций. Сравнение бесконечно малых функций
Комбинаторные тождества
Уравнения гидролиза солей

 

Получаем систему уравнений откуда — стационарная точка. Воспользуемся теперь теоремой 12. Имеем Значит, в точке Мл экстремум есть. Поскольку , то это — минимум. Если преобразовать функцию г к виду то нетрудно заметить, что правая часть («) будет минимальной, когда — абсолютный минимум данной функции. 2. Исследовать на экстремум функцию Находим стационарные точки функции, для чего составляем систему уравнений Отсюда так что точке — стационарная. Так как и в силу теоремы 12 в точке М экстремума нет. * 3. Исследовать на экстремум функцию • Находим стационарные точки функции.

Из системы уравнений получаем, что , так что стационарной является точка . Далее имеем так что и теорема 12 не дает ответа на вопрос о наличии или отсутствии экстремума. Поступим поэтому так. Для функции о всех точках , отличных отточки так что, по определению, а точке Л/о(0,0) функция г имеет абсолютный минимум. Аналогичными раосухдениями устанавливаем, что функция имеет в точке ) максимум, а функция в точке экстремума не имеет.

Пусть функция п независимых переменных дифференцируема в точке Точка Мо называется стационарной точкой функции если Теорема 13 (достеточнме услоам я экстремума). Пусть функция определена и имеет непрерывные частные производные второго порядка в некоторой окрестности тонки Мц{хи ..., которая является стационарной тонкой функции , если квадратинная форма (второй дифференциал функции f в тонке является положительно определенной {отрицательно определенной), тоточкойминимума (соответственно, тонкой максимума) функции f является тонка.

Если же квадратинная форма (4) является знакопеременной, то в тонке ЛГ0 экстремума нет. Для того что бы установить, будет ли квадратичная форма (4) положггельноили отрицательно определенной, можно воспользоваться, например, критерием Сильвестра положительной (отрицательной) определенности квадратичной формы. 15.2.

Условный экстремум

До сих пор мы занимались отысканием локальных экстремумов функции во всей области ее определения, когда аргументы функции не связаны никакими дополнитель ными условиями. Такие экстремумы называются безусловными. Однако часто встречаются задачи на отыскание так называемых условных экстремумов. Пусть функция z = /(х, у) определена в области D. Допустим, что в этой области задана кривая L, и нужно найти экстремумы функции f(x> у) только среди тех ее значений, которые соответствуют точкам кривой L. Таже экстремумы называют условными экстремумами функции z = f{x} у) на кривой L.

Определение Говорят, что в точке , лежащей на кривой L, функция /(ж, у) имеет условный максимум (минимум), если неравенство соответственно выполняется вовсехточкахМ (s, у) кривой L, принадлежащих некоторой окрестности точки М0(х0, Уо) и отличных от точки М0 ( Если кривая L задана уравнением то задача о нахождении условного экстремума функции г — f{x,y) на кривой! может быть сформулирована так: найти экстремумы функции х = /(я, у) в области D при условии, что.

Таким образом, при нахождении условных экстремумов функции z = у) аргументы гну уже нельзя рассматривать как независимые переменные: они связаны между собой соотношением у) = 0, которое называют уравнением связи. Чтобы пояснить различив м«*Д у безусловным и условным экстремумом, рвссмотрим твкой пример, безусловный максимум функции (рис.23) рвеен единице и достигается в точке (0,0). Ему соответствует точив М — вершине пврвбо-лоида, Присоединим уравнение связи у = j.

Тогда условный максимум будет, очевидно, рввен Он достигается а точке (о,|), и ему отввчвет вершине Afj пврвболы, являющейся линией пересечения пврвболоида с плоскостью у = j . В случае безусловного мвксимумв мы имеем мвксимвльную аппликату среди всех вппликвт поверхности * = 1 — л;2 ~ у1; • слумвв условного — только среди вллликвт точек пвраболоидв, отввчвющих точке* прямой у = j не плоскости хОу. Один из методов отыскания условного экстремума функции при наличи и связи состоит в следующем.

Пусть уравнение связи у)- О определяет у как однозначную дифференцируемую функцию аргумента х: Подставляя в функцию вместо у функцию , получаем функцию одного аргумента в которой условие связи уже учтено. Экстремум (безусловный) функции является искомым условным экстремумом. Пример. Найти экстремум функции при условии Экстремум функции нескольких переменных Понятие экстремума функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума Условный экстремум Наибольшее и наименьшее значения непрерывных функций А Из уравнения связи (2') находим у = 1-х.

Подставляя это значение у в (V), получим функцию одного аргумента х: Исследуем ее на экстремум: откуда х = 1 — критическая точка; , так что доставляет условный минимум функции г {рис.24). Укажем другой способ решения задачи об условном экстремуме, называемый методом множитмей Лагран-жа. Пусть есть точка условного экстремума функции при наличии связи Допустим, что уравнение связи определяет единственную непрерывно дифференцируемую функцию в некоторой окрестности точки хй.

Считая, что получаем, что производная по ж от функции / (г, ip(x)) в точке xq должна быть равна нулю или, что равносильно этому, должен быть равен нулю дифференциал от f(x, у) в точке Мо' О) Из уравнения связи имеем (5) Умножая последнее равенство на неопределенный пока числовой множитель А и складывая почленно с равенством (4), будем иметь (считаем, что ). Тогда в силу произвольности dx получим Равенства (6) и (7) выражают необходимые условия безусловного экстремума в точке функции которая называется функцией Лагранжа. Таким образом, точка условного экстремума функции /(х, у), если, есть обязательно стационарная точка функции Лагранжа где А — некоторый числовой коэффициент.

Отсюда получаем правило дЛя отыскания условных экстремумов: чтобы найти точки, которые могут быть точками усювного экстремума функции при наличии связи 1) составляем функцию Лагранжа , 2) приравнивая нулю производные и Щ этой функции и присоединяя к полученным уравнениям уравнение связи, получаем систему из трех уравнений из которой находим значения А и координаты х, у возможных точек экстремума.

Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается на основании изучения знака второго дифференциала функции Лагранжа для рассматриваемойсистемы значений x0, Уо, А, полученной из (8) при условии, что Если , то в точке (х0, Уо) функция /(х,у) имеет условный максимум; если d2F > 0 — то условный минимум. В частности, если в стационарной точке (хо, J/o) определитель D для функции F(x, у) положителен, то в точке (®о, Уо) имеется условный максимум функции /(х, у), если , и условный минимум функции /(ж, у), если Пример. Вновь обратимся к условиям предыдущего примера: найти экстремум функции при условии, что х + у = 1.

Будем решать задачу методом множителей Лагранжа. Функция Лагранжа в данном случае имеет вид Для отыскания стационарных точек составляем систему Из первых двух уравнений системы получаем, что х = у. Затем из третьего уравнения системы (уравнения связи) находим, что х — у = j — координаты точки возможного экстремума. При этом (указывается, что А = -1.

Таким образом, фунщия Лагранжа . есть точка условного минимума функции * = х2 + у2 при условии Отсутствие безусловного экстремума для функции Л агранжа.Р(х, у) еще не означает отсутствия условного экстремумадля функции /(ж, у) при наличии связи Пример. Найти экстремум функции при условии у 4 Составляем функцию Лагранжа и выписываем систему для определения А и координат возможных точек экстремума: Из первых двух уравнений получаем х + у = 0 и приходим к системе откуда х = у = А = 0.

Таким образом, соответствующая функция Лагранжа имеет вид В точке (0,0) функция F(x, у; 0) не имеет безуслов ного экстремума, однако условный экстремум функции г = ху. когда у = х, имеется. Действительно, в этом случае г = х2. Отсюда видно, что в точке (0,0) есть условный минимум. » Метод множителей Лагранжа переносится на случай функций любого числа аргументов/ Пусть ищется экстремум функции при наличии уравнений связи Состааляе м функцию Лагранжа где А|, Аз,..., А„, — неопределенные постоянные множители.

Приравнивая нулю все частные производные первого порядка от функции F и присоединяя к полученным уравнениям уравнения связи (9), получим систему n + m уравнений, из которых определяем Аь А3|..., Ат и координаты х\} х2) •. •»хп возможных точек условного экстремума. Вопрос о том, являются ли найденные по методу Лагранжа точки действительно точками условного экстремума зачастую может быть решен на основании соображений физического или геометрического характера. 15.3.

Наибольшее и наименьшее значения непрерывных функций Пусть требуется найти наибольшее (наименьшее) значение функции z = /(х, у), непрерывной в некоторой замннугой ограниченной области D. По теореме 3 в этой области найдется точка (хо, Уо), в которой функция принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если точка (хо, у0) лежит внутри области D, то в ней функция / имеет максимум (минимум), так что в этом случае интересующая нас точка содержится среди критических точек функции /(х, у).

Однако своего наибольшего (наименьшего) значения функция /(х, у) может достигать и на границе области. Поэтому, чтобы найти наибольшее (наименьшее) значение, принимаемое функцией z = /(х, у) в ограниченной замкнутой области 2), нужно найти все максимумы (минимумы) функции, достигаемые внутри этой области, а также наибольшее (наименьшее) значение функции на границе этой области. Наибольшее (наименьшее) из всех этих чисел и будет искомым наибольшим (наименьшим) значением функции z = /(х,у) в области 27. Покажем, как это делается в случае дифференцируемой функции.

Прммр. Найти наибольшее и наименьшее значения функции области 4 Находим критические точки функции внутри области D. Для этого составляем систему уравнений Отсюда получаем х = у « 0, так что точка 0(0,0) — критическая точка функции х. Так как Найдем теперь наибольшее и наименьшее значения функции на границе Г области D. На части границы имеем так что у = 0 — критическая точка, и так как = то в этой точке функция z = 1 + у2 имеет минимум, равный единице. На концах отрезка Г», в точках (, имеем . Пользуясь соображениями симметрии, те же результаты получаем для других частей границы .

Окончательно получаем: наименьшее значение функции z = х2+у2 в области "Б равно нулю и достигается оно во внутренней точке 0(0, 0) области, а наибольшее значение этой фунмции, равное двум, достигается в четырех точках границы (рис.25) Рис.25 Упражнения Найдите область определения функций: Постройте линии уровня функций: 9 Найдите поверхности уровня функций трех независимых переменных: Вычислите пределы функций: Найдите частные производные функций и их полные дифференциалы: Найдите производные сложных функций: 3 Найдите J. Экстремум функции нескольких переменных Понятие экстремума функции нескольких переменных.

Необходимые и достаточные условия экстремума Условный экстремум Наибольшее и наименьшее значения непрерывных функций 34. Используя формулу производной сложной функции двух переменных, найдите и функций: 35. Используя формулу производной сложной функции двух переменных, найдите |J и функций: Найдите jj функций, заданных неявно: 40. Найдите угловой коэффициент касательной кривой в точке пересечения ее с прямой х = 3. 41. Найдите точки, в которых касательная кривой х параллельна оси Ох. . В следующих задачах найдите и Ц: Напишите уравнения касательной плоскости и нормали поверхности: 49.

Составьте уравнения касательных плоскостей поверхности х2 + 2у2 + Зг2 = 21, параллельных плоскости х + 4у + 6z = 0. Найдите три-четыре первых члена разложения по формуле Тейлора: 50. у в окрестности точки (0, 0). Пользуясь определением экстремума функции, исследуйте на экстремум следующие функции: ). Используя достаточные условия экстремума функции двух переменных, исследуйте на экстремум функции: 84. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции z = х2 - у2 в замкнутом круге 85. Найдите наибольшееинаименьшеезначенияфункции* = х2у(4-х-у) в треугольнике, ограниченном прямыми х = 0, у = 0, х + у = б.

88. Определите размеры прямоугольного открытого бассейна, имеющего наименьшую поверхность, при условии, что его объем равен V. 87. Найдите размеры прямоугольного параллелепипеда, имеющего приданной полной поверхности 5 максимальный объем. Ответы 1. и | • Квадрат, образованный отрезками прямых х включая его стороны. 3. Семейство концентрических колец 2= 0,1,2,... .4. Вся плоскость за исключением точек прямых у . Часть плоскости, расположенная вуше параболы у = -х?.

8. Точки окружности х. Вся плоскость за исключением прямых х Подкоренное выражение неотрицательно в двух случаях j * ^ или j х ^ ^ что равносильно бесконечной серии неравенств соответственна Область определения — заштрихованные квадраты (рис.26); л что равносильно бесконечной серии Функция определена в точках . а) Прямые, параллельные прямой х б) концентрические окружности с центром в начале координат. 10. а) параболы у ) параболы у а) параболы б)гиперболы | .

Плоскости xc. 13.Прим —одно-полостные гиперболоиды вращения вокруг оси Oz; при и — двуполостные гиперболоиды вращения вокруг оси Oz, оба семейства поверхностей разделяет конус ; Предела не существует, б) 0. 18. Положим у = kxt тогда z lim z = -2, так что заданная функция в точке (0,0) предела не имеет. 19. а) Точка (0,0); б) точка (0,0). 20. а) Линия разрыва — окружность х2 + у2 = 1; б) линия разрыва — прямая у = х. 21. а) Линии разрыва — координатные оси Ох и Оу; б) 0 (пустое множество). 22. Все точки (т,п),гдет и п —целые числа