Двухопорная балка

Двухопорная балка по сопромату задачи с примерами и решениями

Исходные данные: Двухопорная балка

Заданная расчетная схема:
Двухопорная балка

Пример решения задачи

1. Определяем опорные реакции (рис.2.1).
Двухопорная балка

Рассматриваемая двухопорная балка является статически определимой. Это означает, что для определения неизвестных опорных реакций Двухопорная балка и Двухопорная балка в наложенным внешних связях (двухсвязный шарнир Двухопорная балка и односвязный шарнир Двухопорная балка достаточно только уравнений равновесия (независимыми уравнениями для плоской системы являются Двухопорная балка

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по сопротивлению материалов:

Предмет сопротивление материалов (сопромат): формулы и лекции и примеры заданий с решением

Наиболее рациональной является следующая схема определения опорных реакций в двухопорных балках. Из уравнения Двухопорная балка определяется горизонтальная реакция Двухопорная балка Как правило, в балках она равна нулю (при отсутствии продольной внешней нагрузки, которая не является характерной нагрузкой при изгибе).

  • Вертикальные опорные реакции Двухопорная балка на каждой опоре определяются из суммы моментов всей внешней нагрузки относительно противоположной опоры (соответственно Двухопорная балка

Поскольку в этих уравнениях реакции Двухопорная балка будут единственными неизвестными, при таком подходе каждая из этих реакций может быть получена в виде дроби, в знаменателе которой будет расстояние между опорами, а в числителе - сумма моментов всей внешней активной нагрузки относительно противоположной опоры, взятых со знаками, противоположными знаку выбранного

направления искомой реакции. Уравнения Двухопорная балка являются зависимыми, то есть являются по сути одним и тем же уравнением. Поэтому всегда необходимо проверять правильность определения опорных реакций, используя для этого оставшееся независимое уравнение равновесия Двухопорная балка

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Метод мора примеры решения задач по сопромату

Задачи на устойчивость по сопромату примеры и решения

Решение статически неопределимых задач

Метод сечений решение задач по сопромату

Таким образом, рациональный алгоритм определения опорных реакций в двухопорных балках имеет следующий вид:

Двухопорная балка


1.1. Определяем опорную реакцию Двухопорная балка

Двухопорная балка

1.2. Определяем опорную реакцию Двухопорная балка

Двухопорная балка

1.3. Проверяем правильность определения опорных реакций:

Двухопорная балка

Знак «-» у полученных опорных реакций показывает, что они направлены в сторону, противоположную выбранной (не вверх, а вниз).

Составляем уравнения изменения поперечных сил и изгибающих моментов для каждого участка балки.

Поперечная сила и изгибающий момент являются внутренними усилиями (внутренними силовыми факторами) и, как и при других видах напряженного состояния, определяются при помощи метода сечений. Суть метода заключается в том, что балка мысленно рассекается в заданном сечении на две части, отбрасывается одна из частей (как правило, большая), для восстановления равновесия действие отброшенной части на оставшуюся заменяется (компенсируется) внутренними усилиями, которые определяются из уравнений равновесия оставшейся (рассматриваемой) части балки.

  • Однако, в таком общем виде внутренние усилия при изгибе обычно не определяются. Как правило, для составления уравнений достаточно математических определений поперечной силы и изгибающего момента и правила знаков для учета внешней нагрузки.

Математические определений внутренних усилий при изгибе:

Поперечная сила Двухопорная балка в заданном поперечном сечении балки равна сумме проекций всей внешней нагрузки, действующей с одной стороны от сечения (или в рассматриваемой части балки), на вертикальную ось Двухопорная балка

Изгибающий момент Двухопорная балка в заданном поперечном сечении равен сумме моментов относительно оси Двухопорная балка от всей внешней нагрузки, действующей с одной стороны от сечения (или в рассматриваемой части балки).

Правило знаков необходимо использовать для учета направлений действия внешней нагрузки в математических определениях внутренних усилий. На рис.2.2 показано правило знаков для поперечных сил и изгибающих моментов при изгибе балок. На схемах указаны направления действия внешней нагрузки, вызывающей положительные значения внутренних усилий в указанном поперечном сечении рассматриваемой левой (правило знаков слева) или правой (правило знаков справа) части балки.

Систематизируя правило знаков слева и справа, можно сформулировать следующие общие определения правила знаков при изгибе:

  • Правило знаков для поперечной силы - если внешняя нагрузка стремится повернуть рассматриваемую часть балки по ходу часовой стрелки, то она вызывает в заданном поперечном сечении положительную поперечную силу.
  • Правило знаков для изгибающего момента - если внешняя нагрузка стремится поднять рассматриваемую часть балки вверх, то она вызывает в заданном поперечном сечении положительный изгибающийся момент.

Составление уравнений изменения внутренних усилий при изгибе для каждого участка сопровождается такими обязательными комментариями:

  • а) необходимо обязательно указывать номер участка на расчетной схеме, во всех уравнениях и при вычислении значений внутренних усилий в характерных точках участка;
  • б) так как при изгибе поперечное сечение проводится в произвольной, но фиксированной точке участка, необходимо показывать привязку этой точки к выбранному началу координат (как правило, в крайней левой или крайней правой точке балки) при помощи переменной координаты Двухопорная балка
  • в) необходимо указывать интервал изменения переменной Двухопорная балка в пределах каждого участка и указывать, какое правило знаков (слева или справа) используется при составлении уравнений.

Конечной целью определения внутренних усилий является построение эпюр. Для этого необходимо знать значение внутренних усилий в характерных точках участков. Такими точками являются поперечные сечения в начале и конце участка, а также сечения с возможными экстремальными значениями внутренних усилий. Экстремальные (отличные от соседних) значения могут возникать в случае, если уравнение изменения внутренних усилий имеет форму полинома второго и выше порядка.

Двухопорная балка

Для заданной балки уравнения изменения внутренних усилий и их значения в характерных точках для трех участков имеют вид (рис.2.3):

Двухопорная балка

Уравнение изменения изгибающего момента Двухопорная балка для первого участка имеет форму полинома второй степени и, следовательно, изгибающий момент в пределах первого участка может иметь экстремум. Координату экстремума можно определить, приравняв первую производную функции Двухопорная балка к нулю. Для этого удобно использовать первую теорему Журавского (2.1). Определяем координату экстремума

Двухопорная балка

Определяем значение экстремального изгибающего момента

Двухопорная балка

Двухопорная балка

Уравнение изменения изгибающего момента Двухопорная балка для второго участка также имеет форму полинома второй степени. Однако, поперечная сила в пределах участка не меняет свой знак, и, следовательно, ввиду линейности функции Двухопорная балка в пределах участка не может быть равной нулю. Поэтому экстремального значения изгибающего момента на втором участке не будет.

Двухопорная балка

Уравнение изменения изгибающего момента Двухопорная балка для третьего участка имеет форму полинома второй степени, а поперечная сила Двухопорная балка пределах участка меняет свой знак. Следовательно, нужно определять положение экстремума

Двухопорная балка

Определяем значение экстремального изгибающего момента

Двухопорная балка

3. Строим эпюры поперечных сил Двухопорная балка и изгибающих моментов Двухопорная балка

Эпюрой в сопротивлении материалов называется график, отражающий характер изменения какого-либо параметра вдоль оси одноосного элемента. Эпюры строятся для каждого участка в отдельности. В пределах участка все расчетные параметры изменяются по определенному закону в виде неразрывной функции. Для построения эпюры на каждом участке необходимо знать характер изменения заданного параметра в пределах участка (его математическое выражение) и значения в нескольких характерных точках (как правило, в начале и конце участка и, если необходимо, в точках экстремальных значений параметра).

Согласно полученных ранее уравнений, графиком эпюры поперечных сил на всех участках будет прямая наклонная линия, а графиком эпюры изгибающих моментов - квадратная парабола.

При построении эпюр необходимо соблюдать следующие правила:

а) название эпюры обычно приводится справа или сверху от нее, при этом, если все значения на эпюре поперечных сил приведены в Двухопорная балка а на эпюре изгибающих моментов - в Двухопорная балка то размерность не указывается;

б) построение эпюры не требует точного соблюдения масштаба, однако примерная видимая пропорциональность между значениями параметров должна соблюдаться;

в) знаки параметров указываются или в «теле эпюры», или слева от нее;

г) «тело эпюры» заштриховывается поперечной (перпендикулярной по отношению к продольной оси одноосного элемента) штриховкой, при этом величина каждого штриха характеризует значение расчетного параметра в соответствующем сечении.

Под «телом эпюры» понимаются плоские фигуры, ограниченные продольной осью одноосного элемента и графиком уравнений изменения расчетных параметров.

Эпюра поперечных сил Двухопорная балка для заданной двухопорной балки приведена на рис.2.3г, изгибающих моментов Двухопорная балка - на рис.2.3г).

Если положительные значения изгибающих моментов на эпюре Двухопорная балка откладываются вверх, такая эпюра называется «эпюрой по сжатым волокнам». В такой эпюре «тело» эпюры располагается с той стороны балки (вверху или внизу), волокна которой сжаты. Такая эпюра характерна для машиностроителей. Если положительные значения откладываются вниз - эпюра называется «по растянутым волокнам». Она характерна для строителей.

а) скачки (резкие изменения значений параметра в одном и том же поперечном сечении) на эпюре поперечных сил должны соответствовать по координате, величине и знаку внешним сосредоточенным силам;

б) скачки на эпюре изгибающих моментов должны соответствовать по координате, величине и знаку внешним сосредоточенным моментам;

в) в соответствии с первой теоремой Журавского (2.1) в поперечных сечениях, в которых поперечная сила Двухопорная балка равна нулю, изгибающий момент Двухопорная балка принимает экстремальные значения;

г) в соответствии со второй теоремой Журавского (2.2) при Двухопорная балка графиком эпюры поперечных сил при движении слева направо будет восходящая прямая линия, справа налево - нисходящая.

д) в соответствии с (2.3) при Двухопорная балка в поперечных сечениях, в которых поперечная сила Двухопорная балка равна нулю, экстремумами на эпюре изгибающих моментов будут минимумы, а при Двухопорная балка - максимумы.

Для построенных эпюр (рис.2.3) все указанные признаки выполняются.

Подбираем поперечное сечение балки из условия прочности в форме двутавра, прямоугольника Двухопорная балка круга и из двух швеллеров

Для заданной балки максимальный изгибающий момент в опасном сечении равен Двухопорная балка (рис.2.3г)).

Согласно (2.6) минимально допустимый осевой момент сопротивления поперечного сечения балки определяется зависимостью

Двухопорная балка

Двутавровое поперечное сечение.

Двутавр является стандартным прокатным профилем, все геометрические характеристики которого приводятся в справочных таблицах. Согласно (2.8) минимальное значение момента сопротивления будет равно:

Двухопорная балка

Из справочных таблиц (ГОСТ 8239-86) выбираем двутавр с ближайшим большим значением момента сопротивления. Это двутавр № 36, для которого Двухопорная балка

Поперечное сечение в форме прямоугольника.

Прямоугольник является сечением простой геометрической формы, для которого все геометрические характеристики определяются по известным аналитическим зависимостям. Осевой момент сопротивления прямоугольного сечения с соотношением высоты и основания Двухопорная балка равен

Двухопорная балка

Тогда, согласно (2.6), минимальная ширина Двухопорная балка прямоугольного сечения балки будет определяется зависимостью
Двухопорная балка
При Двухопорная балка
Двухопорная балка

Для заданной балки Двухопорная балка

Площадь прямоугольника с основанием Двухопорная балка равна:

Двухопорная балка

Поперечное сечение в форме круга.
Для заданной балки
Круг также является сечением простой геометрической формы. Осевой момент сопротивления круга диаметром Двухопорная балка равен:
Двухопорная балка

Тогда, согласно (2.6) минимальный диаметр Двухопорная балка круглого поперечного сечения будет определяется зависимостью

Двухопорная балка

Для заданной балки Двухопорная балка
Площадь круга диаметром Двухопорная балка 18,7 см равна:

Двухопорная балка

Поперечное сечение из двух швеллеров.

Швеллер является стандартным прокатным профилем. Поскольку выбираемое сечение состоит из двух швеллеров, согласно (б) минимальное значение момента сопротивления одного швеллера будет равно

Двухопорная балка

Из справочных таблиц (ГОСТ 8239-86) выбираем швеллер №30, для которого Двухопорная балка

Площадь поперечного сечения из двух швеллеров будет равна

Двухопорная балка

Все выбранные поперечные сечения являются равнопрочными так как способны воспринимать без разрушения одинаковую внешнюю нагрузку.

6. Сравним выбранные поперечные сечения по металлоемкости.

Поскольку балка является одноосным элементом, ее металлоемкость зависит от площади поперечного сечения. Сведем в таблицу площади выбранных поперечных сечений различной формы и сравним их с площадью двутавра Двухопорная балка
Двухопорная балка

Сравнение площадей выбранных поперечных сечений показывает, что наиболее экономичным является двутавровое сечение. Площадь, Двухопорная балка следовательно, погонный вес и металлоемкость прямоугольного сечения в 3,103, круглого - в 4,431, а сечения из двух швеллеров - в 1,308 раза больше площади равнопрочного двутаврового сечения. Поэтому наиболее рациональной формой поперечного сечения при изгибе является двутавровое поперечное сечение.