Дивергенция векторного поля. Соленоидальные (трубчатые) поля

Дивергенция векторного поля. Соленоидальные (трубчатые) поля

Дивергенция векторного поля. Соленоидальные (трубчатые) поля

Дивергенция векторного поля. Соленоидальные (трубчатые) поля

Дивергенция векторного поля. Соленоидальные (трубчатые) поля

Дивергенция векторного поля. Соленоидальные (трубчатые) поля

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Решение задач по математике

Пусть S — замкнутая поверхность. Рассмотрим поле скоростей v течения жидкости и вычислим поток жидкости через поверхность 5. Если он положителен, то это означает, что из той части пространства, которая ограничена поверхностью 5, вытекает больше жидкости, чем втекает в нее. В этом случае говорят, что внутри 5 имеются источники (выделяющие жидкость).

Напротив, если поток отрицателен, то внутрь 5 втекает больше жидкости, чем вытекает из нее. В этом случае говорят, что внутри S имеюгся стоки (поглощающие жидкость). Тем самым, величина s позволяет судить о природе части векторного поля, заключенного внутри поверхности S, а именно, о наличии источников или стоков внутри нее и их производительности (мощности).

Понятие о потоке вектора через замкнутую поверхность приводит к понятию дивергенции, или расходимости поля, которое дает некоторую количественную характеристику поля в каждой его точке. Пусть М — изучаемая точка поля. Окружим ее поверхностью S произвольной формы, например, сферой достаточно малого радиуса. Область, ограниченную поверхностью 5, обозначим через (V), а ее объем через V.

Вычислим поток вектора а через поверхность 5. Имеем S Составим отношение этого патока П к величине объема V, Так как числитель представляет собой производительность источников (стоков) внутри области (К),тоотношение (1) даетсреднюю производительность единицы объема. Определение. Если отношение (1) имеет конечный предел, когда область( V) стягивается в точку М, то этот предел называют дивергенцией векторного поля (дивергенцией вектора а) в точке М и обозначают div а(М).

То есть по определению Дивергенция векторного поля Соленоидальные (трубчатые) поля Правила вычисления дивергенции Дивергенция векторного поля есть скалярная величина (числитель и знаменатель дроби (2) суть скалярные величины). Если , то в точке М расположен источник, если , то в точке М — сток. Формула (2) позволяет сделать следующее заключение: дивергенция поля а в точке М есть объемная плотность потока вектора а в этой точке.

Эта формула дает инвариантное определение дивергенции, не связанное с выбором систем координат — все величины, входящие в формулу (2), определяются непосредственно самим полем и от координатной системы не зависят.

Покажем, как вычисляется дивергенция в декартовых координатах при условии, что координаты вектора непрерывны и имеют непрерывные частные производные , в окрестности точки М. Тогда к потоку вектора а через любую замкнутую поверхность 5, расположенную в окрестности точки М, можно применить формулу Гаусса—Остроградского Пользуясь теоремой о среднем для тройного интеграла, получим.

Подставляя это выражение в формулу (2), определяющую дивергенцию, найдем Когда область (7) стягивается в точку М, то и точка Мф стремится к точке М и, в силу предположенной непрерывности частных производных, получаем или, короче, (все величины в формуле (3) вычисляются в одной и той же точке). Формула (3) дает выражение дивергенции в декартовых координатах. Попутно доказано само существование дивергенции вектора а при условии, что производные 31» ЯГ непрерывны.

Используя формулу (3) для дивергенции, запишем формулу Гаусса—Остроградского в векторной форме. Имеем (4) — поток вектора а через замкнугую поверхность S равен тройному интегралу от дивергенции вектора а по области (К), ограниченной поверхностью S. 7.1. Правила вычисления дивергенции 1. Дивергенция обладает свойством линейности где постоянные числа. Пусть — постоянное число. Тогда Если Дивергенция векторного поля Соленоидальные (трубчатые) поля Правила вычисления дивергенции 2.

Дивергенция постоянного вектора с равна нулю 3. Дивергенция произведения скалярной функции и(М) на вектор а(М) вычисляется по формуле В самом деле, Приир 1. Найти дивергенцию вектора где расстояние от начала координат до переменной точки М(х,у,г). По формуле (7) имеем Так как поэтому Итак, 7.2. Трубчатое (соленоидальное) поле Если во всех точках некоторой области G дивергенция векторного поля, заданного в этой области, равна нулю , то говорят, что в этой области поле сагеноидальное (или трубчатое).

Из формулы Гаусса—Остроградского вытекает, что в трубчатом поле поток вектора через любую замкнутую поверхность 5, лежащую в этом иоле, равен нулю 7.3. Свойства трубчатого поля Рассмотрим в области, где задано поле вектора а, какую-нибудь плошадку £ (рис.27). Назовем векторной трубкой совокупность векторных линий, проходящих через границу 7 = дЕ этой площадки. Пусть Е] — некоторое сечение векторной трубки.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Нормальный элемент Вестона
Некоторые свойства функций. Периодические функции
Законы химии
Деформации при растяжении (сжатии)

Выберем вектор нормали П| ксе-чению Е| так, чтобы он был направлен в ту же сторону,что и вектор а поля. Рис. 27 (9) Теорема 5. В трубчатом поле поток вектора а через любое сечение векторной трубки один и тот же. Пусть Е| и Е2 —непересекающиесясечения одной и той же векторной трубки. Надо доказать, что Обозначим через Ез часть поверхности век-торнойтрубки, заключенную между сечениями Е| и Е2. Поверхности Е|, Ег, Ез вместе образуют замкнутую поверхность Е (рис. 28).

Так как по условию ноле вектора

а — трубчатое, то В силу аддитивности потока соотношение (10) можно переписать так: В точках поверхности Ез, составленной из векторных линий, имеем n° ± а, так что (а, п?) = 0 на Ез, и значит, последний интеграл в левой части (11) равен нулю. Таким образом, из (11) находим Пусть поверхность E имеет ориентированный замкнутый контур L своей границей. Будем говорить, что поверхность Е натянута на контур L.

Вектор нормали п к поверхности Е будем ориентировать так, чтобы из конца нормали обход контура L был виден против часовой стрелки (рис. 29). Теорема б. В трубчатом поле поток вектора а через любую поверхность, натянутую на данный контур, один и тот же: Дивергенция векторного поля Соленоидальные (трубчатые) поля Правила вычисления дивергенции Замечание. В трубчатом поле векторные линии могут быть лнбо замжугами кривыми, либо иметь кониы на граниие области, где поле задано. Пример 2. Рассмотрим силовое поле, создаваемое точечным зарядом q, помещенным в начале координат. Вычислим дивергенцию вектора Е напряженности