Дифференцируемость решения по параметру и ее применения по начальным условиям

Дифференцируемость решения по параметру и ее применения по начальным условиям

Дифференцируемость решения по параметру и ее применения по начальным условиям

Дифференцируемость решения по параметру и ее применения по начальным условиям

Дифференцируемость решения по параметру и ее применения по начальным условиям

Дифференцируемость решения по параметру и ее применения по начальным условиям

Дифференцируемость решения по параметру и ее применения по начальным условиям

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Решение задач по математике

Рассматривается система уравнений с параметром ц При каждом /i система имеет решение. Оно зависит не только от ty но и от выбранного значения параметра поэтому обозначается x(t, р). Теорема 1. Пусть при — область в Rn+I, М — интервал в R1) все функции a'(fi) непрерывны. Пусть при всех ft € М на отрезке t2] Э t0 решение x(t,p) задачи (1) существует и проходит в области D. Тогда это решение имеет производные dxjdp, непрерывные по (;t, ц).

Функции V4 = Qxjdp. (i = 1,..., п) удовлетворяют системе уравнений в вариациях В (2) производные от /• зависят от аргументов J, «j /i),..., xn(t9fi)9fi9 где — координаты решения /*) при том значении при котором разыскивается дх/др. Если решение x(t, ц) известно хотя бы при одном значении д, то система^!), позволяет найти дх/дц при этом ft. Систему (2) можно не запоминать, она получается посредством дифференцирования обеих частей системы (1) по \l\ при этом считаем, что х = x(t, /х), и дх{/дц обозначаем и.. I Пример 1.

Найти дх/дц при \l — 0 от решения задачи Дифференцируемость решения по параметру и ее применения по начальным условиям. Решение примера. Условия теоремы 1 выполнены, так как функции / = х2 + 4fit р? и a(fi) = 2/i - 1 непрерывны и имеют непрерывные производные по х и ц. Дифференцируя (3) по ц и обозначая х^ = и, получаем Здесь \i = 0, а х — решение задачи (3) при ц = О, то есть задачи dx/dt = ж2, ж(1) = -1. Отсюда а: = -1 ft.

Теперь (4) принимает вид Решая это линейное уравнение (выкладки пропускаем), получаем и = t2 + d~2. Из начального условия находим с = 1. Итак, Доказательство теоремы. Зафиксируем /х € М. Имеем где — решение задачи (1), но с Д вместо ji, то есть Обозначим дробь в (5) через Д). Идея доказательства теоремы. Составляем дифференциальное уравнение для v(t9 Д) при Д Ф fi.

Его правая часть при Д /х стремится к правой части уравнения (2).

Поэтому и решение v(t9 Д) при Д /х, то есть дробь в (5), стремится к решению уравнения (2). Значит, предел в (5), то есть дх/дц9 существует и удовлетворяет уравнению (2). Из уравнений (6) и (1), вычитая и деля на Д - р, получаем Преобразуем первую дробь в (7). Положим Тогда Поэтому из (7) имеем Так как df/dx, df/Зц непрерывны по совокупности переменных, то подынтегральные функции непрерывны по , а интегралы непрерывно по t. Из (6) по теореме 7 §7 ж непрерывно по (;t, Д) — по совокупности переменных.

Поэтому последние два интеграла в (8) — непрерывные функции от Д), включая значение Д = Обозначая их #(*,Д) и Л(*,Д), получаем Функция v(t9 Ji) была определена при Д Ф ц. Доопределяем ее при Д = /м как решение уравнения (9) с начальным условием и(*0, ц) = a'(/i), полученным из начального условия (7) при . По теореме 7 §7 функция v(t9JT) непрерывна по Д, включая Д = /х.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Заказ №253440 готовое часть 2
Химия - наука о веществах, их свойствах, строении и взаимных превращениях
Движение идеальной жидкости. Несжимаемая жидкость. Уравнение неразрывности
Интегрирование заменой переменной по частям. Неопределенный интеграл

При Д = /х имеем х* = х = /*), /1* = ц9 подынтегральные выражения в (8) не зависят от 8. Тогда в (9) матрица Я и вектор h принимают значения Таким образом, для v(t9fi) уравнение (9) и начальное условие v(t0,n) = a'(fi) совпадают с (2), то есть v(t9fi) удовлетворяет (2). В силу непрерывности Д) существует lim v(t9 Д) = То есть в (5) существует производная дх/дц = и координаты tf. вектора v(t9 ц) удовлетво- ряют системе уравнений и начальным условиям (2). Теперь пусть ц меняется на интервале М.

Тогда правые части системы (2)

(и производные д/ди от них) непрерывны по (*,/*). По теореме 7 §7 решение системы (2), то есть производные тоже непрерывны по Дифференцнруемость решения по начальным условиям (следствие теоремы 1). Рассмотрим начальную задачу Пусть при (*,s) е D все функции Д и непрерывны, и на отрезке [t{912] Э t0 решение задачи (10) существует и проходит в области D. Тогда при существуют непрерывные производные решения £, по начальным условиям удовлетворяют системе Здесь решение задачи (10). Доказательство. Пусть xk0 = /х, а при t ^ fc ®f0 не зависит от Тогда система (10) удовлетворяет условиям теоремы 1.

Следовательно, производные дх{/дхк0 = dxjdp = существуют, непрерывны и удовлетворяют системе (2), которая в этом случае превращается в (И). I Задачи для упражнений: Дифференцируемость решения по параметру и ее применения по начальным условиям. Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1 и, кроме того, функции a.(/i), имеют непрерывные производные по , ... , Яд, до порядка т ^ 2 включительно, в том числе смешанные производные.

Тогда решение x(t, ц) имеет непрерывные по t, ц производные по ц до порядка т включительно. Доказательство производится с помощью индукции по т. Для т = 1 утверждение теоремы 2 следует из теоремы 1. Пусть утверждение верно для производных до порядка 771 - 1 ^ 1. Докажем, что оно верно и для производных порядка т. Так как а функции и. = dxjdpi (i = 1,..., 7i) удовлетворяют системе (2), то надо проверить, что правые части в (2) имеют непрерывные производные по щ, fi до порядка т - 1 включительно.

По условию, fi G Ст по х{9...,я?п,/х, значит, в (2) принадлежат по аргументам ..., хп9ц. Но каждое хк = xk(t9p) есть координата вектора x(t, /а), являющегося решением задачи (1), где f и a(/i) принадлежат С™, значит, принадлежат и С 1 по xv..., хп, По предположению индукции, все xk(t9ji) G Ст~1 по /i. Значйт, в (2) сложная функция принадлежит , аналогично dfjd^ также . По предположению индукции, примененному к системе (2), решение ир..., ип системы (2) принадлежит по р. Так как ий =, то xt(t9 fi) G .