Дифференцируемость функции. Дифференциал функции

Содержание:

  1. Теорема о связи
  2. Пример:

Дифференцируемость функции. Дифференциал функции

Дифференцируемость функции. Дифференциал функции

Дифференцируемость функции. Дифференциал функции

Дифференцируемость функции. Дифференциал функции

 

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Решение задач по математике

 

Пусть функция у = f{x) определена на интервале (а, 6). Возьмем некоторое значение х € {а, Ь). Дадим х приращение Дя любое, но такое, чтобы х + Дя € (а, 6). Тогда функция у = f(x) получит прирашение Определение. Функция у = f(x) называется дифференцируемой в точке х £ (а, 6), если прирашение функции отвечающее прирашению Ах аргумента, можно представить в виде где А — некоторое число, которое не зависит от Ах (но, вообше говоря, зависит Пример.

Рассмотрим функцию у = х2. Во всякой то»«е х и при любом Дх имеем Отсюда, в силу определения, функция у = х2 дифференцируема в любой точке х, причем Следующая теорема выражает необходимое и достаточное условие дифференци-руемости функции. Теорема 1. Для того чтобы функция у = fix) была дифференцируемой в точке х, необходимо и достаточно, чтобы fix) в этой точке имела конечную производную f\x). Необходимость. Пусть функция у = fix) дифференцируема в точке х.

Докажем, что в этой точке существует производная fix). Действительно, из дифференцируемости функции у = fix) в точке х следует, что приращение функции Ду, отвечающее приращению Дх аргумента, можно представить в виде Дифференцируемость функции. Дифференциал функции Непрерывность дифференцируемой функции Понятие дифференциала функции Геометрический смысл дифференциала где величина А для данной точки х постоянна (не зависит от .

Теорема о связи

По теореме о связи функции, имеющей предел, с ее пределом и бесконечно малой функцией, отсюда следует, что Существование производной доказано. Одновременно мы установили, что Достаточность. Пусть функция в точке х имеет конечную производную /'(х). Докажем, что fix) в этой точке дифференцируема. Действительно, существование производной /'(х) означает, что при Дх 0 существует предел отношения и что.

Отсюда, в силу теоремы о связи функции, имеющей предел, с ее пределом и бесконечно малой функцией, вытекает, что где , значит, Так как в правой части формулы (2) величина х) не зависит от , то равенство (2) доказывает, что функция у = /(х) дифференцируема в точке Теорема 1 устанавливает, что для функции /(х) дифференцируемостьв данной точке х и сушествованйе конечной производной в этой точке — понятия равносильные. Поэтому операцию нахождения производной функции называют также дифференцированием этой функции.

В дальнейшем, когда мы говорим, что функция /(х) имеет производную в данной точке, мы подразумеваем наличие конечной производной, если не оговорено противное.

2.1. Непрерывность дифференцируемой функции Теорема 2. Если функция дифференцируема в данной точке х, то она непрерывна в этой точке. Действительно, если функция у = /(х) дифференцируема в точке х, то приращение Ду этой функции, отвечающее приращению Дх аргумента, может быть представлено в виде где А — постоянная для данной точки х, а а 0 при Дх 0. Из равенства (3) следует, что Дифференцируемость функции. Дифференциал функции Непрерывность дифференцируемой функции.

 

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Односторонняя непрерывность. Точки разрыва
Примеры расчетов при растяжении (сжатии)
Гамма-функцией называется интеграл Бета-функция и ее свойства
Химия и охрана окружающей среды

 

Понятие дифференциала функции Геометрический смысл дифференциала что и означает, согласно определению, непрерывность функции у = /(х) в данной точке х. Обратное заключение неверно: из непрерывности функции /(х) в некоторой точке х не следует дифференцируемость функции в этой точке. Пример. Например, функция /(х) = |х| непрерывна в точке х = 0, но, как мы показали выше (, не имеет производной в точке х = 0 и потому не является дифференцируемой в этой точке.

Приведем еше пример.

Пример:

Функция непрерывна на интервале (-о#, +о#). Для всех х # 0 она имеет производную, но в точке х = 0 она не имеет ни правой, ни левой производной, потому что величина не имеет предела, как при В приведенных примерах производная отсутствует лишь в одной точке. Так и думали в XVIII и начале XIX в., когда считали, что непрерывная функция может не иметь производной самое большее в конечном числеточек.

Позжебыли построены (Больца-но, Вейерштрасс, Пеано, Ван дер Варден) примеры непрерывных на отрезке [а, Ь\ функций, не имеющих производной ни в одной точке отрезка. Понятие дифференциала функции Пусть функция у — /(х) дифференцируема в точке х, т.е. прирашение Ду этой функции, отвечающее приращению Дх аргумента, представимо в виде Определение. Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х, точасть приращения функции А Дх при Аф 0 называется дифференциаюм функции у = /(х) и обозначается символом dy или df{x):

В случае А Ф 0 дифференциал функции называют главной линейной частью приращения Ду функции, поскольку при Дх 0 величина а(Дх)Дх в равенстве (4) есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем А Дх. В случае, когда >1 = 0, считают, что дифференциал dy равен нулю. В силу теоремы I имеем А = /'(х), так что формула (5) для dy принимает вид . Наряду с понятием дифференциала функции вводят понятие дифференциала dx независимой переменной х, полагая по определению.

Тогда формулу для дифференциала функции у = /(х) можно записать в более симметричной форме Отсюда в свою очередь имеем: /'(х) = Это еще одно обозначение производной (iобозначение Лейбница), которую можно рассматривать как дробь — отношение дифференциала функции dy к дифференциалу аргумента dx. Введем еше одно понятие. Будем говорить, что функция у = /(х) дифференцируема на интервале (а, Ь), если она дифференцируема в каждой точке этого интервала.

Дифференцируемость функции. Дифференциал функции Непрерывность дифференцируемой функции Понятие дифференциала функции Геометрический смысл дифференциала Геометрический смысл дифференциала Пусть имеем кривую, заданную уравнением у = /(х),гдс /(х) — дифференцируемая в точке х € (а, 6).

Проведем касательную к этой кривой в точке М(х,у) и отметим на кривой еще точку М\ с абсциссой х -f dx. Как известно, /'(х) есть угловой коэффициент касательной, т.е. Рассмотрим треугольник MPQ (рис.8). Из рисунка видно, что Таким образом, дифференциал dy = f'(x)dx функции у = f(x) есть приращение ординаты касательной, проведенной к кривой у = f(x) в точке с абсциссой ж, при переходе от точки касания к точке с абсциссой х + dx.