Дифференцирование суммы, произведения и частного

Содержание:

  1. Производная степенной функции
  2. Дифференцирование сложной функции

Дифференцирование суммы, произведения и частного

Дифференцирование суммы, произведения и частного

Дифференцирование суммы, произведения и частного

Дифференцирование суммы, произведения и частного

Дифференцирование суммы, произведения и частного

Дифференцирование суммы, произведения и частного

 

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Решение задач по математике

 

Если функции и(х) и v(x) имеют производную в точке х, то в этой точке имеют производную их сумма и(х) + v(x), разность и(х) - v(x), произведение и(х) • v(x) и частное (последнее при дополнительном условии v(x) Ф 0), причем м Докажем, например, правило дифференцирования частного. Из дифференцируемости функции v(x) в точке х следует непрерывность v(x) в этой точке, а из условия v(x) ^ 0 в силу устойчивости знака непрерывной функции вытекает, чтог;(х+Дх) ^ 0 для всех достаточно малых |Дх|.

Поэтому отношение определено для всех Дх, достаточно малых по абсолютной величине. Дадим х приращение Дх. Тогда функция у = JjjJ получит приращение откуда По условию существуют (х) ,такчто Дг>0 при Дх — 0. Что касается величин и и v, то они для данной точки х являются постоянными, причем v(x) Ф 0. Таким образом, правая часть равенства (I) имеет предел при Дх -» 0, равный -Следовательно, существует и предел левой части (1), т. е. существует lim = у'{х).

Переходя в равенстве (1) к пределу при Дх -» 0, получаем Пример. Найти производную функции у = . Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной Следствие 2. Если функции И|(х), иг(х), txn(x) (п — конечное) имеют производную в точке х, то в этой точке имеют производную их сумма и произведение, причем Задача 1. Что можно сказать о дифференцируемо суммы в точке х, если в этой точке функция f(x) дифференцируема, а функция ip(x) не дифференцируема? Задача 2.

Пусть функция /(х) дифференцируема в точке хо и f(x0) Ф 0. а функция не дифференцируема в этой точке. Доказать, что произведение является не дифференцируемым в точке хо. Задача 3. Пусть функции не имеют производной в точке х0. Следует ли отсюда, что в этой точнее не имеют производной функции; Рассмотреть примеры: Производная показательной функции Эта функция определена на всей числовой оси, и потому для всякого х и любого Дх имеем .

Отсюда при Итак, Дифференцирование суммы, произведения и частного Производные некоторых основных элементарных функций производная логарифмической функции Производная показательной функции производная степенной функции Производные тригонометрических функций любое действительное число Дифференцирование сложной функции Инвариантность формы дифференциала В частности, если 4,2. Производная логарифмической функции При любых , таких, что , имеем Отсюда Известно следующее равенство откуда Итак, 4.3.

Производная степенной функции

Производная степенной функции у = ха (a — любое действительное число) Эта функция определена во всяком случае для всех .

Имеем Отсюда Учитывая, что при Дх 0, получим 4.4. Производные тригонометрических функций Рассмотрим функцию . Во всякой точке х и для любого Дх Отсюда Учитывая, что !im = 1 и что = cos х в силу непрерывности функции у = cos х во всякой точке х, получаем Итак Аналогично получаем Пользуясь формулами и правилом дифференцирования частного, найдем производную от функции у Итак, Аналогично находим Теорема 3 (о дифференцировании сложной функции).

Если функция дифференцируема в точке xq, а функция дифференцируема в соответствующей точке uq = v>(xo), то сложная функция у = / [у>(х)] дифференцируема в точке хо, причем Дадим значению х = х0 приращение Дх. Тогда функция получит приращение Аи, а это в свою очередь при Аи Ф 0 вызовет приращение А у функции у = f(u).

 

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Готовое решение. Расчет усилительного каскада с ОЭ
Аминокислоты для чего нужны? Свойства!
Логические символы. Логические высказывания
Фундаментальная система циклов

 

По условию функция у = f{u) дифференцируема в точке и0, поэтому приращение Ау этой функции может быть представлено в виде Функция а(Аи) вообще не определена при Аи = 0. Доопределим ее, положив а(0) = 0. Тогда а{Аи) будет непрерывной при А и = 0. Разделив обе части равенства (2) на Дх Ф 0, получим По условию функция и = ip{x) дифференцируема в точке хо и, значит, непрерывна в этой точке. Поэтому при Ах -» 0 приращение , что вызывает стремление к нулю а(Аи). Кроме Того, из этого условия следует, что при Ах 0.

Следовательно, правая часть (3) имеет предел

при Ах — 0, равный . Поэтому существует и предел левой части равенства (3) при Дх 0, т.е. существует lim 3J , который есть производная по х сложной функции у = / Ых)1 в точке хо- Переходя в равенстве (3) к пределу при Дх —* 0, получим Здесь символ f'{uо) означает производную функции f{u) по ее аргументу и (а не х), вычисленную при значении этого аргумента.

Равенство (4) можно записать в виде Дифференцирование суммы, произведения и частного Производные некоторых основных элементарных функций производная логарифмической функции Производная показательной функции роизводная степенной функции Производные тригонометрических функций любое действительное число Дифференцирование сложной функции Инвариантность формы дифференциала Пример 1. Найти производную функции . Ч

Здесь у есть сложная функция аргумента . Поэтому Пример 2. Найти производную функции Эта функция определена на всей числовой оси, исключая точку х = 0; четная. Если г, так что Если Представим функцию у = ln(-z) как сложную функцию, положив у = In и, и = -х. По правилу дифференцирования сложной функции так что и для Таким образом, Замечание. Теорема может быть обобшена на случай любой конечной цепочки функции. Так, если , причем существуют производные Инвариантность формы дифференциала.

Если — дифференцируемая функция независимой переменной и, то где дифференциал независимой переменной равен ее произвольному приращению: Пусть теперь аргумент и дифференцируемой функции у = f(u) сам является дифференцируемой функцией и = независимой переменной х. В таком случае у можно рассматривать как сложную функцию у = аргумента х.

Поскольку аргумент х является независимой переменной, то для сложной функции дифференциал dy представляется в виде По правилу дифференцирования сложной функции Дифференцирование суммы, произведения и частного Производные некоторых основных элементарных функций производная логарифмической функции Производная показательной функции роизводная степенной функции Производные тригонометрических функций любое действительное число.

Дифференцирование сложной функции

Инвариантность формы дифференциала поэтому формула (7) примет вид совпадающее с (6). Таким образом, дифференциал функции выражается формулой одного и того же вида как в случае функции от независимой переменной, так и в случае функции от функции. Это свойство дифференциала называют инвариантностью формы дифференциала. Следует обратить внимание нато,чтоесли и — независимая переменная,то вфор-муле дифференциала dy = f'(u) du величина du равна Ди — произвольному приращению независимой переменной; когда же и = есть линейная часть приращения функции и = , в общем случае неравная Аи.