Кривизна в трехмерном пространстве
Кривизна в трехмерном пространстве

Мы живем в трехмерном пространстве и собираемся рассмотреть идею об искривленности нашего пространства. Вы скажете: «Но как можно представить, что оно искривлено в каком-ни-будь направлении?» Да, мы не можем этого представить из-за ограниченности нашего воображения. (Возможно, это и к лучшему, что мы не можем дать чрезмерную волю воображению, так как благодаря этому мы не слишком отрываемся от реального мира.) Но мы все-таки можем определить кривизну, не выходя за пределы нашего трехмерного мира. Все, что мы говорили о двух измерениях, было просто упражнением для того, чтобы показать, как получить определение кривизны, не предполагая взгляда со стороны.

Мы можем определить, является наш мир искривленным или нет, тем же способом, который использовали джентльмены, обитающие на сфере и на горячей тарелке. Мы не можем различить эти два случая, но мы определенно можем обнаружить отличие этих случаев от плоского пространства, от простой плоскости. Как? Довольно просто. Мы строим треугольник и измеряем его углы. Или же строим большую окружность и измеряем ее длину и радиус. Или пытаемся построить точный квадрат либо куб. В каждом случае мы проверяем, работают ли законы геометрии. Если они не работают, мы говорим, что наше пространство искривлено. Если мы построили большой треугольник и сумма его углов превосходит 180 градусов, мы можем утверждать, что наше пространство искривлено. Или же, если измеренный радиус окружности не равен ее длине, деленной на 2я, мы можем также говорить, что наше пространство искривлено.

Заметим, что в трехмерном пространстве ситуация может оказаться значительно сложнее, чем в двумерном. В любой точке двумерного пространства существует определенное значение кривизны. Но при трех измерениях кривизна может иметь несколько компонент. Если мы построим треугольник в некоторой плоскости, то можем получить иной ответ по сравнению

Большим преимуществом в данном случае является то, что результат не зависит от ориентации, как в случае треугольника или окружности.

Избыток радиуса сферы обладает и некоторым неудобством; он не полностью характеризует пространство. Он дает некоторую среднюю кривизну трехмерного мира, поскольку усредняет значение различных искривлений. Однако поскольку эта величина — средняя, она не полностью решает задачу определения геометрии. Если вам известно только это число, вы не можете предсказать все свойства геометрии пространства, поскольку невозможно сказать, что произойдет с окружностями в различных ориентациях. Полное определение требует знания шести «параметров кривизны» в каждой точке. Конечно, математики знают, как получить все эти числа. Вы можете когда-нибудь прочесть в одной из математических книг, как записать их в точной и изящной форме, но сначала неплохо составить хотя бы грубое представление о предмете. Для большинства наших целей вполне достаточно средней кривизны.