Пространственно-временные интервалы
Пространственно-временные интервалы

Хотя геометрия пространства-времени не является геометрией Евклида в обычном смысле, эта геометрия очень похожа на нее, но имеет некоторые особенности. Если это представление о геометрии верно, то должны существовать такие функции координат и времени, которые не зависят от системы координат. Например, при обычном вращении, если мы возьмем две точки, одну для простоты в начале координат обеих систем, а другую где-то еще, то обе системы будут иметь одно и то же начало, и расстояние от одной точки до другой будет одинаковым в обеих системах. Это первое свойство точек, не зависящее от того, как мы производим измерение. Квадрат расстояния, не меняется при поворотах. А в случае пространства-времени? Нетрудно показать, что здесь мы также имеем нечто, не зависящее от способа измерения, а именно комбинация одинакова до и после преобразования:



Эта величина, подобно расстоянию, «реальна» в некотором смысле; она называется интервалом между двумя точками пространства-времени, одна из которых в данном случае совпадает с началом координат. (В действительности это квадрат интервала, так же как это квадрат расстояния.) Это название подчеркивает различие в геометрии, но любопытно, что здесь всего лишь поменялись некоторые знаки и появилось с.

Давайте избавимся от с; эта величина излишняя, если мы хотим иметь удобное пространство, где можно переставлять. Неопытный человек может внести путаницу, если будет измерять ширину по углу, под которым виден предмет, а глубину — по напряжению мышц при фокусировании глаз, в результате толщина окажется измеренной в метрах, а ширина — в радианах. Тогда возникнет сложная мешанина в уравнениях преобразований типа, и нельзя будет увидеть ясность и простоту предмета из-за той простой технической причины, что одно и то же измеряется двумя разными единицами.

 

Природа говорит нам в уравнениях (5.1) и (5.3), что время и пространство равнозначны; время стало пространством; их следует измерять одними и теми же единицами. Какое расстояние измеряет «секунда»? Это легко представить из (5.3). Это 3 х 10 метров, расстояние, которое свет проходит за одну секунду. Другими словами, если мы станем измерять все расстояния и времена в одних и тех же единицах (секундах), тогда наша единица длины будет равна 3x10 метров, и уравнения станут проще. С другой стороны, мы могли бы сделать нашу единицу равной времени, измеренному в метрах. Чему равен метр времени? Метр времени — это такое время, за которое свет проходит один метр, и, следовательно, это равно секунд или 3,3 миллиардных долей секунды! Иначе говоря, нам надо записать все наши уравнения в системе единиц, в которой с = 1. Если время и пространство измеряются в одних и тех же единицах, тогда уравнения становятся явно проще. Они имеют вид

 

 

 

 

Может быть, вы чувствуете себя неуверенно или «боитесь», что после того, как мы записали систему, мы не сможем снова вернуться к нашим уравнениям. Напротив, гораздо легче запомнить их без с, и всегда несложно вернуть с на место, соблюдая размерность. Например, мы знаем, что в выражении  из не именованного числа 1 приходится вычитать именованное, естественно, что мы должны разделить, чтобы все выражение стало безразмерным.

Весьма интересно взглянуть на различие между пространством-временем и обычным пространством, на различие между интервалом и расстоянием. Согласно формуле (5.5), если мы рассмотрим точку, которая в заданной системе координат имеет нулевое время и ненулевые пространственные координаты, то квадрат интервала окажется отрицательным, и мы получим мнимый интервал, квадратный корень из отрицательного числа. В этой теории интервалы могут быть как действительными, так и мнимыми. Квадрат интервала может быть либо положительным, либо отрицательным, в отличие от расстояния, квадрат которого положителен. Когда интервал мнимый, мы говорим, что две точки имеют между собой пространственно-подобный интервал (а не мнимый), потому что этот интервал больше похож на пространство, чем на время. С другой стороны, если два предмета находятся в одном и том же месте в данной системе координат в разные моменты времени, тогда квадрат времени положителен, расстояние равно нулю, и квадрат интервала положителен; этот интервал называется времени-подобным. Если провести на пространственно-временной диаграмме две прямые под углом 45° (в четырехмерном пространстве это будут «конусы», называемые световыми конусами), то все точки на этих прямых имеют нулевой интервал между ними и началом координат. Все точки, куда из данной точки попадает свет, отделены от нее нулевым интервалом, как мы видим из уравнения (5.5). Между прочим, мы только что доказали, что если свет движется со скоростью с в одной системе, то он движется со скоростью с и в другой системе, поскольку, если интервалы в обеих системах совпадают, т. е. нулевой интервал в одной системе соответствует нулевому интервалу в другой, тогда утверждение, что скорость распространения света постоянна, равносильно утверждению, что интервал равен нулю.