Статистический метод

Статистический метод

 
молекулярная физика

При рассмотрении систем из большого числа частиц основной задачей является нахождение плотности вероятности состояний системы. Если эта задача решена, то с помощью плотности вероятности устанавливаются средние значения всех макроскопических характеристик системы. Согласно эргодической гипотезе, средние значения по ансамблю совпадают со средними по времени. Поэтому в каждом конкретном случае можно выбрать способ нахождения средних значений.

Проиллюстрируем эти общие утверждения примером. Пусть имеется математический маятник длины и массой, совершающий малые колебания. Какова вероятность того, что при случайном его наблюдении будет обнаружено, что нить маятника отклонена от вертикали в интервале углов? Так поставленный вопрос эквивалентен вопросу об отыскании плотности вероятностей для смещений простого гармонического осциллятора. Можно задать и другой вопрос: какова вероятность того, что при случайном наблюдении будет обнаружено значение угловой скорости в интервале?

 

Для определения плотности вероятности используются главным образом два подхода. Первый состоит в том, что на основании физических соображений и определения вероятности ищется вероятность реализации данного состояния. В нашем примере можно догадаться, что вероятность наблюдать математический маятник в состоянии отклонения от вертикали в интервале углов  пропорциональна времени его движения в этом интервале углов, причем коэффициент пропорциональности есть обратная величина всего времени движения от положения равновесия до амплитудного отклонения четверти периода колебаний:

 

Это следует из временного определения вероятности. Преобразование к другим переменным выполняется с помощью замены переменных. Если из закона колебаний, перейти в (11.1), то найдем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

есть искомая плотность вероятности, с помощью которой можно находить средние по ансамблю значения величин, зависящих от угла отклонения маятника, — например, его потенциальной энергии:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Переходя от, мы уже воспользовались упомянутым вторым способом нахождения плотности вероятности. Он состоит в следующем. Если плотность вероятности состояний известна как функция некоторых переменных, то получить интересующую нас плотность вероятности по другим переменным, связанным с известными, можно простой заменой переменных. Вторым примером применения этого метода может служить определение плотности вероятности для распределения по угловым скоростям. В случае гармонического осциллятора угловая скорость его движения связана с его координатой

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Знак минус в (11.5) связан с тем, что при увеличении угла отклонения а скорость движения убывает и da < 0.

Функцию можно получить и из (III), используя связь угловой скорости и времени.

Найденную плотность вероятности можно использовать для расчета среднего по ансамблю значения всех величин, зависящих от скорости, — например, кинетической энергии:


Статистический метод

 

 

 

 

 

Сравнивая (11.4) с (11.7), видим, что средние значения кинетической и потенциальной энергии осциллятора одинаковы (что и следовало ожидать на основании физических соображений). Легко убедиться прямым расчетом также и в том, что эти средние по ансамблю равны соответствующим средним значениям по времени, например:

 

 

 

 

 

 

 

 

Изучая свойства идеального газа как статистической системы, мы используем максвелловское распределение по скоростям. Наиболее полная информация содержится в распределении по проекциям скорости:

 

 

Статистический метод

 

 

 

 

To же распределение, записанное в сферической системе координат (v, в, (р) в пространстве скоростей, имеет вид

 

Статистический метод

 

 

 

 

 

В зависимости от задачи бывает удобнее применять либо (11.9), либо (11.10). В (11.9) определяется доля молекул газа, проекции скорости которых находятся в интервалах. В (11.10) определяется доля молекул газа, модуль скорости которых имеет значение в интервале и которые летят в направлениях, соответствующих сферическим углам в интервалах.

Если распределение по каким-либо переменным нас не интересует, то по этим переменным выполняется интегрирование в пределах (-оо, оо) для проекций скорости в пределах для модуля скорости v и в пределах (0, 7г) и (0, 27г) для сферических углов в и (р. В результате получается распределение по оставшимся переменным. Так, например, если в (11.10) выполнить интегрирование по сферическим углам в и то получим распределение Максвелла для модуля скорости:

 

 

 

 

 

 

 

Решение статистической задачи, как правило, выполняется в два этапа. Сначала считаем, что никакого распределения нет (например, при изучении движения молекул газа считаем, что все они летят с одинаковыми по модулю и по направлению скоростями). Решаем динамическую задачу, соответствующую поставленным вопросам. Тем самым мы находим искомую величину для группы молекул, имеющих с точностью до бесконечно малых добавок произвольную фиксированную скорость. Второй этап — усреднение найденной величины с помощью известной плотности вероятности.

При вычислении средних значений различных физических величин часто приходится вычислять интегралы вида:

 


 

 

 

 

Среди множества способов их вычисления один из самых удобных — это метод дифференцирования по параметру. Зная, что

 

Статистический метод