Динамика материальной точки
Динамика материальной точки

Если действующие на точку силы не остаются в процессе движения постоянными, то для описания движения приходится решать дифференциальное уравнение (уравнение движения), следующее из второго закона Ньютона. Мы рассмотрим несколько примеров, в которых решение можно получить методом разделения переменных. В случае прямолинейного движения точки разделение переменных всегда можно выполнить, если сила зависит только от одной кинематической переменной. При первом интегрировании определяется скорость движения, при втором — закон движения. Для определения произвольных постоянных интегрирования в условии задачи должны быть заданы два начальных условия. Чаще всего задается скорость и координата движущейся точки в начальный момент времени, хотя возможны и иные условия.

Если сила зависит только от времени, то в уравнении движении:

 

 

 

 

 

 

разделение переменных выполняется умножением обеих частей уравнения.Интегрируя полученное уравнение, находим скорость как функцию времени:

 

 

 

 

 

и после определения постоянной интегрирования С можно найти закон движения.

Если сила зависит только от скорости, то после разделения переменных в уравнении (3.1) находим скорость как неявную функцию времени:

 

 

 

 

 

 

и для нахождения закона движения сначала требуется перейти к явной зависимости скорости от времени.

Если сила зависит только от координаты, то в уравнение (3.1) входят три переменные величины и необходимо от одной из них избавиться. Проще всего с помощью кинематического соотношения dx = vdt исключить из (3.1) переменную, а затем разделить переменные:

 

 

 

 

Интегрирование этого уравнения дает закон изменения кинетической энергии: изменение кинетической энергии точки равно работе действующих на нее сил:

 

 

 

 

 

Дальнейшее интегрирование выполняется, если из (3.4) выразить скорость как функцию от координаты х

 

 

Пример

Лодку разгоняют в спокойной воде до скорости г>о, после него выключают двигатель. Сопротивление воды пропорционально скорости. Описать дальнейшее движение лодки. Найти время движения до остановки и пройденный путь. Оценить по порядку величины коэффициент сопротивления к для обычной моторной лодки.

Решение.

Введем ось х вдоль направления движения лодки. В уравнении движения  легко разделить переменные по образцу (3.2). Находим



 

 

 

Считая при t = 0 скорость v = v0, определяем постоянную интегрирования Следовательно


 

 

 


Скорость движения убывает по экспоненциальному закону. Из (3.6) видно, что до полной остановки должно пройти бесконечное время. Такой вывод связан с учетом только одной силы сопротивления, хотя при уменьшении скорости движения эта сила может стать сколь угодно малой и в какой-то момент перестает быть основной силой, определяющей движение.

 

Мы нашли скорость как функцию от времени и теперь, разделяя еще раз переменные, как в § 1, считая х — 0 при t = 0, находим закон движения лодки:

 


 

 

 

 

Полагая t —► о, находим пройденный путь.

Из повседневных наблюдений известно, что если выключить двигатель у лодки при скорости порядка 10 км/ч (около 3 м/с), то, как правило, лодка остановится, пройдя ~ 10-20 м. Если для оценки принять массу лодки ~ 200 кг, то приходим к выводу, что коэффициент сопротивления составляет несколько десятков кг/с. Для более легких лодок (типа байдарок) этот коэффициент может быть на порядок меньше. 

Важнейшим средством для выполнения численных расчетов является представление функций в виде рядов. Начнем изучение этой техники с применения разложения функций в ряд Тейлора. Поскольку в курсе математики этот материал будет рассматриваться несколько позже, мы здесь приведем без доказательств основные математические сведения.

Функцию, непрерывную и имеющую все производные при х = а, можно представить в виде суммы бесконечного степенного ряда (ряда Тейлора):

Динамика материальной точки

 

 

 

Это представление справедливо для тех значений х при которых остаточный член

 



 

 

 

 

(£ находится между а и х) стремится к нулю при п —> оо. В этом случае говорят, что ряд (3.8) сходится к своей сумме f(x). Оценить область применимости разложения (3.8) можно также, вычисляя радиус сходимости ряда р по формуле

 


 

 

 

 

Ряд сходится при

 



Использовать представление функций в виде ряда (3.8) целесообразно в тех случаях, когда последовательные члены ряда быстро убывают и для вычисления суммы достаточно ограничиться учетом лишь нескольких первых слагаемых ряда.