УЧЕБНИК ОБЩИЙ КУРС ФИЗИКИ АТОМНАЯ И ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА СИВУХИН Д.В.
Общий курс физики. Атомная и ядерная физика. Сивухин Д.В.





______________________________________________________________________________

Векторная алгебра 
 
Теперь мы должны описать законы, или правила, регулирующие возможные сочетания векторов. Прежде всего это сложение векторов. Пусть а это вектор в некоторой системе координат с компонентами другой вектор с компонентами. Теперь составим три новых числа. Образуют ли они вектор? Атомная и ядерная физика. Сивухин Д.В. Мы могли бы сказать: «Разумеется, ведь здесь имеются три числа, а три числа образуют вектор». Нет, не любые три числа образуют вектор! Чтобы получить вектор, нужно связать три числа с некоторой системой координат таким образом, чтобы при повороте системы координат эти три числа «поворачивались» одно относительно другого, «смешивались» согласно правилам, которые мы уже описали. Поэтому вопрос заключается в следующем: если мы поворачиваем систему координат, и при этом переходит в переходит в, во что перейдетПерейдет ли оно в или нет? Атомная и ядерная физика. Сивухин Д.В. Ответ, конечно, да, потому что исходное преобразование, описанное уравнениями, представляет собой то, что мы называем линейным преобразованием. Если мы применим это преобразование чтобы получить мы обнаружим, что преобразованное действительно то же самое. «Складывая» векторы а и b по только что описанному правилу, мы получаем новый вектор. Можно записать это как Вектор с обладает интересным свойством. которое можно получить из его компонентов. Верно также, что Мы можем складывать векторы в любом порядке.Атомная и ядерная физика. Сивухин Д.В. Каков геометрический смысл суммы? Предположим, что изображены в виде прямых линий на листе бумаги. Как при этом будет выглядеть с? Ответ показан на Мы видим, что сложить компоненты а с компонентами проще всего, если расположить прямоугольники, представляющие эти компоненты, так, как показано на рисунке. Поскольку b точно «вписывается» в свой прямоугольник, также как в свой, это будет то же самое, что совместить «хвост» с «головой» , тогда стрелка из «хвоста» а к «голове» будет вектором с. Можно поступить иначе: совместить «хвост» а с «головой . Согласно геометрическим свойствам параллелограмма мы получим тот же результат для с. Заметим, что векторы можно складывать подобным образом без помощи координатных осей. Предположим, что мы умножили некоторый вектор а на некоторое число а, что это означает? Договоримся понимать под этим новый вектор с компонентами. Доказательство того, что это действительно вектор, мы оставляем студентам в качестве задачи.Атомная и ядерная физика. Сивухин Д.В. Теперь рассмотрим вычитание векторов. Мы можем определить вычитание таким же образом, как и сложение, только компоненты не складываются, а вычитаются. Или же мы можем определить вычитание, введя понятие отрицательного вектора, а потом уже сложить компоненты. Оба способа дадут один и тот же результат, показанный на. Из рисунка видно, что заметим также, что, зная , разность легко легко найти из эквивалентного соотношения . Так разность даже легче найти, чем сумму: чтобы получить, мы просто проводим вектор! Теперь обсудим скорость. Почему скорость является вектором? Если положение задается тремя координатами то скорость задается производными. Это вектор или нет? Дифференцируя выражения в, мы можем определить закон преобразования. Мы видим, что компоненты действительно преобразуются по тому же закону. Следовательно, производная вектора является вектором. Значит, скорость есть вектор. Мы можем записать скорость в таком интересном виде: Что такое скорость, и почему она является вектором, можно понять на более ярком примере. Далеко ли передвинется некая частица за короткий промежуток времени? Ответ: на , поскольку, если частица находится «здесь» в один момент времени и «там» — в другой, то разность положений равна вектору и направлена вдоль направления движения, как показано на. Разделив эту разность на промежуток времени получим вектор «средней скорости».Атомная и ядерная физика. Сивухин Д.В. Другими словами, под вектором скорости мы понимаем предел разности радиус-векторов в моменты, деленной на, стремящемся к нулю. Таким образом, скорость — это вектор, потому что она равна разности двух векторов. Это верно также и потому, что компонентами скорости являются. Подумав над этим, мы придем к выводу, что если мы дифференцируем по времени любой вектор, то получаем новый вектор. Атомная и ядерная физика. Сивухин Д.В. Итак, мы имеем несколько способов получения новых векторов: умножением на константу, дифференцированием по времени, сложением или вычитанием двух векторов.