УЧЕБНИК ОБЩИЙ КУРС ФИЗИКИ ОПТИКА СИВУХИН Д.В.
Общий курс физики. Оптика. Сивухин Д.В.





_____________________________________________________________________________

Векторы 

Не только законы Ньютона, но и другие законы физики, насколько мы знаем сегодня, обладают двумя свойствами, которые мы называем инвариантностью (или симметрией) относительно перемещений и поворота координатных осей. Оптика. Сивухин Д.В. Эти свойства настолько важны, что были разработаны специальные математические методы для учета их при изучени физических законов и при их применении. Решение поставленных задач потребовало довольно длинных математических расчетов. Для того чтобы свести их к минимуму, был разработан весьма мощный математический аппарат. Эта система, названная векторным анализом, и определила название этой главы, хотя, строго говоря, эта глава — о симметрии физических законов. С помощью методов, описанных ранее, можно получить искомый результат, но на практике хотелось бы делать это легче и быстрее, поэтому мы будем применять векторный анализ. Для начала отметим некоторые особенности двух видов величин, являющихся важными в физике на самом деле их больше, но начнем с двух. Оптика. Сивухин Д.В. Величины первого типа, подобно числу картофелин в мешке, мы называем обычными числами, или скалярами. Еще один пример такой величины — температура. Другие важные для физики величины имеют направление, например — скорость: нам надо отследить, по какому пути движется тело, а не только быстроту его движения. Импульс и сила также имеют направление, то же относится и к смещению: когда кто-либо делает шаг, мы можем сказать, насколько далеко он ушел, а также куда он перешел, определить направление его движения. Все количества, имеющие направление, подобно шагу в пространстве, называются векторами. Вектор — это три числа. Чтобы описать шаг в пространстве, скажем, из начала координат в некоторую точку с координатами, нам действительно нужно три числа, но мы будем использовать математический символ, который не похож на другие математические символы, используемые нами до сих пор . Оптика. Сивухин Д.В. Это не одно число, он задается тремя числами. Этот символ обозначает три числа, но не только эти три числа, поскольку при переходе в другую систему координат эти три числа заменились бы на. Однако мы хотим упростить нашу математику, поэтому будем использовать один и тот же символ для представления и тройки чисел. То есть мы используем один и тот же знак для представления первого набора из трех чисел в одной системе координат и второго набора, если используем другую систему координат. Это удобно потому, что при изменении системы координат нам не нужно будет менять форму уравнений. Если мы написали уравнения, используя координаты, а затем меняем систему отсчета, мы должны изменить обозначения на но будем писать простог, условившись, что это обозначает, если используется одна система координат, если используется другая. Три числа, описывающие векторную величину в данной системе координат, называются составляющими (компонентами) вектора в направлении координатных осей этой системы. Оптика. Сивухин Д.В. Таким образом, мы используем один символ для обозначения трех букв, относящихся к одному и тому же объекту, рассматриваемому с точки зрения разных осей координат. Произнеся слова «один и тот же объект», мы подразумеваем некую физическую интуицию, которая говорит, что шаг в пространстве не зависит от способа измерения его компонент, так что символ г будет обозначать одно и то же, как мы ни ориентируем оси системы отсчета. Теперь предположим, что имеется другая направленная физическая величина, любая другая величина, с которой также связаны три числа, например сила. Эти три числа меняются на другие три числа по строго определенному математическому правилу при изменении системы координат. Это должны быть те же самые правила, которые меняют . Другими словами, вектор — это величина, определяемая тремя числами, которые преобразуются так же, как шаг в пространстве при изменении системы координат. Уравнение вида справедливо в любой системе координат, если оно верно хотя бы в одной. Это уравнение, конечно, заменяет три уравнения Тот факт, что физические соотношения могут быть выражены в виде векторных уравнений, гарантирует нам, что эти соотношения верны в любой системе координат. Именно поэтому векторы так удобны в физике. Оптика. Сивухин Д.В. Давайте теперь рассмотрим некоторые свойства векторов. В качестве примеров векторов можно упомянуть скорость, импульс, силу и ускорение. Для многих целей удобно изображать вектор в виде стрелки, указывающей направление действия. Почему мы можем представить стрелкой силу? Потому что она преобразуется по тем же законам, что и «шаг в пространстве». Так что мы изображаем ее на какой-либо диаграмме, как если бы это было перемещение, используя такой масштаб, чтобы единица силы, или ньютон, соответствовала определенной длине. Когда мы сделали это, все силы могут быть представлены как отрезки, поскольку уравнение где некоторая константа вполне законно. Благодаря этому, мы можем всегда изображать силу отрезком, что очень удобно, потому что, изобразив отрезок, мы уже не нуждаемся в осях. Оптика. Сивухин Д.В. Конечно, мы можем быстро вычислить значения трех компонентов, когда они меняются при повороте осей — это сводится к простому геометрическому построению.