Траектории. Независимость и Обратимость движения. Уравнение траектории. Проекциями вектора.
Траектории. Независимость и Обратимость движения. Уравнение траектории. Проекциями вектора.

Рассмотренное движения частицы с помощью понятия радиуса-вектора изменяющегося со временем, основывалось на использовании определенной системы отсчета. Решение получавшихся векторных уравнений для перемещения частицы проводилось путем привлечения соответствующих им геометрических образов. В рассмотренных случаях при равномерном и равнопеременном движениях эти образы сводились к треугольникам, образованным складываемыми векторами. Для многих задач, однако, интерес представляют не только перемещения частиц в пространстве, но и траектории их движения. Для исследования криволинейных траекторий удобно использовать другой математический аппарат, связанный с проецированием векторных уравнений на оси системы координат. Системы координат. Наиболее простой и распространенной является так называемая декартова система координат, образованная тремя взаимно перпендикулярными осями. С помощью такой системы положение точки в пространстве можно задать, указав три ее координаты (рис. 53).


Для нахождения декартовых координат точки нужно опустить из нее перпендикуляры на оси (или на их продолжения). Координаты оснований этих перпендикуляров, т. е. точек и есть декартовы координаты точки А. Иногда это проецирование бывает удобно выполнить в два этапа: сначала опустить из точки А перпендикуляр на одну из координатных плоскостей, например (рис. 53), а затем из точки проекции точки на эту плоскость, опустить перпендикуляры на соответствующие оси. Проекциями вектора, т. е. направленного отрезка, соединяющего две точки, называют разности координат точек конца и начала этого вектора. Зафиксируем некоторую систему координат, связав ее начало и направления осей с определенным телом отсчета. Тогда для задания положения частицы в физическом пространстве вместо радиуса-вектора можно рассматривать три его проекции на оси выбранной системы координат. Поскольку начало радиуса-вектора по определению всегда находится в начале координат, проекции радиуса-вектора просто совпадают с координатами частицы. Координаты как проекции радиуса-вектора. Таким образом, для описания движения частицы можно задавать либо одну векторную функцию времени, либо три скалярных функции. При этом любое векторное равенство, например  


эквивалентно трем скалярным, получаемым путем почленного проецирования его на оси выбранной системы координат:


где буквами с индексами обозначены проекции векторов на соответствующие оси координат. Подчеркнем, что одному и тому же векторному равенству (1) могут соответствовать различные системы равенств (2), потому что положение начала координат и ориентация осей координат в пространстве могут быть выбраны по-разному: с одной и той же физической системой отсчета можно связать различные системы координат. Их конкретный выбор определяется исключительно соображениями удобства.

Траектория — плоская кривая. Как мы видели, при движении с постоянным ускорением, которое описывается уравнением (1), траектория движения представляет собой плоскую кривую, т. е. все ее точки лежат в одной плоскости. Положение в пространстве плоскости, в которой происходит движение, задается векторами ускорения а и начальной скорости. Поэтому ориентацию осей координат всегда можно выбрать так, чтобы эта плоскость совпадала с одной из координатных плоскостей, например с плоскостью. Тогда векторное уравнение (1) сводится к двум скалярным — первым двум уравнениям системы (2). При этом еще остается произвол в выборе ориентации осей , от которого зависит конкретный вид этих уравнений. Напомним, что проекция вектора на ось равна произведению модуля этого вектора на косинус угла между направлением вектора и положительным направлением этой оси. Сопоставим исследование векторного уравнения (1) , описывающего движение с постоянным ускорением, двумя рассмотренными способами — опираясь на геометрический образ этого уравнения и проецируя его на оси выбранной системы координат. Для этого вернемся к задачам и рассмотрим их решение вторым способом. Поместим начало координат в точку, откуда бросают тело, и направим ось по горизонтали, а ось вертикально вверх так, чтобы вектор начальной скорости лежал в плоскости. Тогда проекции на оси и у будут равны соответственно угол, образованный вектором с осью. Проекции вектоpa ускорения на оси равны соответственно. Таким образом, вместо векторного уравнения получим:


Полное время полета камня находится из второго уравнения, если положить в нем у упавшее на землю тело находится на том же уровне, что и в момент бросания:


Подставляя это значение в первое уравнение (3), находим дальность по горизонтали:


Для ответа на вопрос задачи , когда в условии задано время полета, а не направление начальной скорости, нужно выразить a из второго уравнения (3), положив в нем:


Теперь для нахождения дальности полета остается подставить в первое уравнение (3), выразив его через из (5):


В результате, что, разумеется, совпадает с приведенным в предыдущем параграфе ответом. Рассмотренные примеры показывают эквивалентность обоих методов, хотя использование проекций на оси координат иногда приводит к более громоздким алгебраическим преобразованиям. Рекомендуем попытаться решить этим методом еще и задачу и обе приведенные там задачи для самостоятельного решения. Удобство использования координат проявляется, как уже отмечалось, при исследовании формы траектории. Уравнение траектории. Будем опять для определенности рассматривать свободное движение вблизи поверхности земли. В таком случае зависимость координат тела от времени дастся уравнениями (3). Чтобы получить уравнение траектории, нужно исключить время из этих уравнений. Выражая из первого уравнения:


Соотношение представляет собой уравнение параболы, проходящей через начало координат. Ее ветви направлены вниз, так как коэффициент при отрицателен. Найдем положение вершины траектории. Выделим в правой части (квадрат разности, рассматривая член, содержащий , как квадрат первого слагаемого, а член, содержащий как удвоенное произведение первого слагаемого на второе. Для этого нужно прибавить и вычесть некоторый свободный член, не содержащий :


Легко видеть, что выражение в скобках представляет собой квадрат разности Очевидно, что максимум правой части достигается при том значении , при котором выражение обращается в нуль соответствующее максимальное значение правой части , т. е. высота вершины параболы, есть. Координаты вершины параболической траектории можно найти и более простым путем. Поскольку парабола — это симметричная кривая, ее вершина лежит посередине между точками пересечения с осью . Одна из этих точек начало координат , а другая соответствует максимальной дальности полета из формулы . Поэтому вершина параболы находится при , что совпадает . При этом ее высота получается подстановкой этого значения в уравнение траектории. Независимость движений. Соотношения можно получить и на основе принципа независимости движений. Рассматривая второе уравнение как уравнение движения тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью а, найдем максимальную высоту подъема, совпадающую с высотой вершины параболы. Подставляя время подъема в первое уравнение , описывающее равномерное движение по горизонтали со скоростью а, найдем значение координаты этой вершины, совпадающее с . Но чтобы убедиться в том, что траектория представляет собой параболу, все равно необходимо обратиться к формуле . Если интересоваться тем, как будет меняться траектория при изменении направления начальной скорости угла а, то удобнее преобразовать уравнение траектории таким образом, чтобы оно содержало только какую-нибудь одну тригонометрическую функцию угла а. Для этого воспользуемся тригонометрическим тождеством . Тогда Уравнение (11) описывает семейство параболических траекторий, зависящее от двух параметров: модуля начальной скорости и угл. Решение кинематических задач о свободном падении в однородном поле тяжести фактически сводится к исследованию этого семейства. Граница достижимых целей. В качестве примера рассмотрим баллистическую задачу о стрельбе из ружья, пренебрегая сопротивлением воздуха. Прежде всего зададимся вопросом, как следует стрелять, чтобы попасть в цель, находящуюся на расстоянии по горизонтали и на высоте над горизонтальной плоскостью, проходящей через ружье (рис. 54). Стреляя в цель, мы можем менять наклон ствола ружья а, но, разумеется, мы не в силах менять значение начальной скорости , так Рис. 54. Стрельба в цель, находя- как она зависит от заряда патронов и на расстоянии и высоте устройства ружья. Будем считать известной заданной величиной. Под каким же углом к горизонту следует направить ствол ружья? Чтобы ответить на этот вопрос, потребуем, чтобы траектория, описываемая уравнением (11), проходила через цель, т.е. точку с координатами .


Это квадратное уравнение относительно. Решая его, получаем для корней следующее выражение если дискриминант неотрицателен, то уравнение имеет вещественные корни и, следовательно, при данной начальной скорости пули в цель попасть можно. Если при этом дискриминант положителен, т.е. уравнение имеет два различных вещественных корня, то в цель пуля может попасть по двум различным траекториям. Траектория с меньшим значением угла а называется настильной, с большим — навесной. При равном нулю дискриминанте, когда корни совпадают, в цель при данном значении начальной скорости можно попасть единственным образом. Если же дискриминант отрицателен, то уравнение не имеет вещественных корней и в цель при данном значении попасть нельзя ни при каком значении угла а: ни одна из траекторий семейства не «дотягивает» до этой цели. Отсюда ясно, что равенство нулю дискриминанта определяет ту минимальную начальную скорость при которой еще можно попасть в данную цель Для тангенса угла наклона ствола ружья при равном нулю дискриминанте имеем из С другой стороны, при заданном значении равенство нулю дискриминанта определяет координаты наиболее удаленных целей, в которые еще можно попасть, т. е. границу области, простреливаемой из данного ружья. Выражая из в случае равенства, находим Эта формула определяет наибольшую высоту цели, находящейся на расстоянии от ружья по горизонтали, в которую еще можно попасть при данном значении . С ее помощью легко получить уравнение границы простреливаемой области, если заменить координаты определенной наиболее удаленной цели на переменные величины и у — координаты точек искомой границы Это уравнение параболы с вершиной при. Ее ветви направлены вниз и пересекают горизонтальную ось в точках (рис. 55). Все траектории с данным при разных значениях а, т.е. семейство парабол, целиком лежат под этой границей, и каждая из траекторий касается границы в одной точке. Другими словами, граница является огибающей для семейства таких траекторий. Через каждую цель, расположенную ниже границы, проходят две траектории, причем навесная касается границы до попадания в цель. Фактически граница простреливаемой области представляет собой некоторую поверхность, парабола.


Рис. 55. Граница простреливаемой области есть сечение этой поверхности вертикальной плоскостью, проходящей через начало координат. Вся поверхность может быть получена вращением параболы (16) вокруг оси . Другой способ нахождения границы. Если с самого начала интересоваться только границей простреливаемой области, то ее можно найти сразу с помощью уравнения траектории . Действительно, рассмотрим цели, находящиеся на одной вертикали, отстоящей от ружья на расстояние, и найдем на этой вертикали самую высокую точку, в которую еще может попасть пуля. Эта точка, очевидно, принадлежит границе. Таким образом, задача сводится к нахождению максимума у при заданном т. е. максимума квадратного трехчлена относительно. Квадратный трехчлен имеет максимум при. Соответствующее максимальное значение >' получается подстановкой . Результат совпадает с формулой. Полученные выше результаты, как нетрудно убедиться, содержат все хорошо известные частные случаи. Так, например, максимальная высота подъема получается из уравнения , а наибольшая дальность полета пули по горизонтали при условии, что ружье и цель находятся на одной высоте.  На какое максимальное расстояние можно бросить теннисный мяч в спортивном зале высотой , если начальная скорость мяча ? Под каким углом следует бросать мяч? 3. Найдите радиус кривизны параболической траектории в ее высшей точке, учитывая, что вектор ускорения там направлен по нормали к траектории. Начальная скорость направлена под углом а к горизонту. 4. С какой минимальной начальной скоростью можно бросить мячик, чтобы он смог перелететь через ангар с плоской крышей?

• Почему траектория движения частицы с постоянным ускорением представляет собой плоскую кривую? Как расположена в пространстве плоскость, в которой лежит траектория?

• Сформулируйте правило нахождения проекции вектора на ось системы координат. В каком случае проекция будет положительной? отрицательной? равной нулю?

• В какой точке параболической траектории тела, брошенного под углом к горизонту, его скорость минимальна?  

• Требуется попасть в цель, находящуюся на высоте и расстоянии от точки бросания. На первый взгляд кажется, что требуемая начальная скорость будет наименьшей, если высшая точка траектории совпадает с целью. Опровергните это утверждение. А Нахождение экстремумов. Нахождение координат вершины траектории можно выполнить с помощью известных правил исследования функции на экстремум на основе дифференциального исчисления. Положение максимума функции, задаваемой выражением , определяется приравниванием нулю производной. Вычисляя эту производную, имеем откуда для получаем значение, даваемое формулой. Аналогично можно поступать и в других случаях, где требуется нахождение экстремальных значений. Например, для определения минимального значения начальной скорости, обеспечивающей попадание в цель, находящуюся на высоте  расстоянии, следует выразить из как функцию переменной продифференцировать функцию и приравнять производную нулю. Рассматривать следует только ту область значений При этом получается квадратное относительно уравнение, у которого один из корней (положительный) дает направление начальной скорости, при котором ее модуль минимален. Второй корень физического смысла не имеет. Обратимость движения. Используя представление о траектории, можно конкретизировать смысл обратимости механического движения, о которой упоминалось еще в самом начале при обсуждении свойств симметрии пространства и времени. Рассмотрим движение частицы в заданном силовом поле, когда ее ускорение в каждой точке имеет определенное значение, не зависящее от скорости. Каким будет движение этой частицы, если в какой-либо точке ее траектории изменить направление скорости на противоположное? Математически это эквивалентно замене  во всех уравнениях. В уравнение траектории время не входит, и частица будет двигаться «вспять» по той же самой траектории. Более того, промежутки времени между прохождением двух любых точек траектории будут одинаковы как при прямом, так и при обратном движении. Каждой точке траектории соответствует определенное значение модуля скорости частицы независимо от направления движения по данной траектории. Указанные свойства особенно наглядны для совершающего колебания маятника. Все это справедливо, разумеется, лишь тогда, когда можно пренебречь трением — сопротивлением движению. Другими словами, обратимость движения имеет место тогда, когда выполняется закон сохранения механической энергии.