Ускорение и Движение частиц по окружности. Линейная Скорость.

Ускорение и Движение частиц по окружности. Линейная Скорость.

Важным частным случаем движения частицы по заданной траектории является движение по окружности. Положение частицы на окружности (рис. 46) можно задавать, указывая не расстояние от некоторой начальной точки, а угол, образуемый радиусом, проведенным из центра окружности к частице, с радиусом, проведенным в начальную точку. Наряду со скоростью движения по траектории, которая определяется как

удобно ввести угловую скорость, характеризующую быстроту изменения угла:  

Скорость движения по траектории называют также линейной скоростью. Установим связь между линейной и угловой скоростями. Длина дуги , стягивающей угол, радиус окружности, а угол измерен в радианах. Поэтому и угловая скорость со связана с линейной скоростью соотношением

Ускорение при движении по окружности, как и при произвольном криволинейном движении, имеет в общем случае две составляющие: тангенциальную, направленную по касательной к окружности и характеризующую быстроту изменения величины скорости и нормальную, направленную к центру окружности и характеризующую быстроту изменения направления скорости.

Значение нормальной составляющей ускорения, называемой в этом случае (движение по окружности) центростремительным ускорением, дается общей формулой (3) , в которой теперь линейную скорость можно выразить через угловую скорость со с помощью формулы:

Радиус  окружности, разумеется, одинаков для всех точек траектории. При равномерном движении по окружности, когда значение  постоянно, угловая скорость со, как видно из (3), тоже постоянна. В этом случае ее иногда называют циклической частотой. Период и частота. Для характеристики равномерного движения по окружности наряду с со удобно использовать период обращения, определяемый как время, в течение которого совершается один полный оборот, и частоту величину, обратную периоду которая равна числу оборотов за единицу времени:

Из определения (2) угловой скорости следует связь между величинами:

Это соотношение позволяет записать формулу (4) для центростремительного ускорения еще и в таком виде:

Отметим, что угловая скорость со измеряется в радианах в секунду, а частота в оборотах в секунду. Размерности одинаковы так как эти величины различаются лишь числовым множителем.

Задачи

По кольцевой дороге. Рельсы игрушечной железной дороги образуют кольцо радиуса  (рис. 47). Вагончик перемещается по ним, подталкиваемый стержнем, который поворачивается с постоянной угловой скоростью  вокруг точки, лежащей внутри кольца почти у самых рельсов. Как изменяется скорость вагончика при его движении?

Решение.

Угол образуемый стержнем с некоторым направлением, изменяется со временем по линейному закону. В качестве направления, от которого отсчитываться угол удобно взять диаметр окружности, проходящий через точку (рис. 47). Точка центр окружности. Очевидно, что центральный угол , определяющий положение вагончика на окружности, в два раза больше вписанного угла опирающегося на ту же дугу. Поэтому угловая скорость со вагончика при движении по рельсам вдвое больше угловой скорости, с которой поворачивается стержень.

Таким образом, угловая скорость со вагончика оказалась постоянной. Значит, вагончик движется по рельсам равномерно. Его линейная скорость неизменна и равна

Ускорение вагончика при таком равномерном движении по окружности всегда направлено к центру, а его модуль дается выражением (4):

• Посмотрите на формулу (4). Как ее следует понимать: ускорение  все-таки пропорционально или обратно пропорционально?  

• Объясните, почему при неравномерном движении по окружности угловая скорость со сохраняет свой смысл?